竞赛辅导-解析几何
高中数学奥赛经典讲解教案
高中数学奥赛经典讲解教案
主题：解析几何
目标：通过本节课的学习，学生能够掌握解析几何中常见的定理、方法和技巧，提高解题能力。
一、引言（5分钟）
介绍解析几何的概念和作用，引导学生明确本节课的学习目标。
二、知识讲解（30分钟）
1. 直线方程的一般式和点斜式，以及两点式的转化和应用；
2. 圆的一般式方程和标准式方程的求解方法；
3. 解析几何中常见的定理和性质，如相交直线垂直的判断条件、圆与直线的相交关系等。
三、例题讲解（20分钟）
1. 根据已知条件，用解析几何方法求解直线方程或圆的方程；
2. 利用解析几何中的性质和定理解决几何问题。
四、练习与讨论（20分钟）
学生独立解答几道题目，然后与同学讨论、交流解题思路，并请学生展示解题过程。
五、总结与拓展（10分钟）
总结本节课所学内容，强调解析几何在数学竞赛中的重要性，并鼓励学生多加练习。
六、作业布置（5分钟）
布置相关习题作业，巩固本节课所学内容。
七、课后反馈（5分钟）
学生提交作业并讲解答案，教师及时反馈学生的表现，帮助学生改进解题方法。
注：本教案仅为范本，实际教学过程中应根据学生的掌握程度和学习节奏做出调整。
竞赛专题讲座解析几何
1．以知过点(0,1)的直线l 与曲线1:(0)C y x x x=+>交于两个不同点M 和N ，求曲线C 在点M 、N 处的切线的交点轨迹。
解：设,M N 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，曲线C 在点M 、N 处的切线分别为12,l l ，其交点P 的坐标为(,)p p x y 。
若直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+由方程组11y x x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得11x kx x +=+，即2(1)10k x x -+-=。
由题意知，该方程在(0,)+∞上有两个相异的实根12,x x ，故1k ≠，且121214(1)0(1)130(2)11410(3)1k x x k k x x k ⎧⎪=+->⎪⎪+=>⇒<<⎨-⎪⎪=>⎪-⎩对1y x x=+求导，得1''221111,1x x y y x x ==-=-则，2'2211x x y x ==-。
于是，直线1l 的方程为 11211(1)()y y x x x -=--，即1121111()(1)()y x x x x x -+=--， 化简后得到直线1l 的方程为：21112(1)(4)y x x x =-+，同理可求得直线2l 的方程为：22212(1)(5)y x x x =-+，(4)(5)-得：2221121122()0p x x x x x -+-=，因为12x x ≠，故有：12122(6)p x x x x x =+， 将(2),(3)两式代入(6)式得2p x =(4)(5)+得：22121211112(2())2()(7)p p y x x x x x =-+++，其中121212111x x x x x x ++== 2222121212122222221212121212()2112()12(1)21x x x x x x x x k k x x x x x x x x x x ++-++===-=--=-代入(7)得：2(32)2p p y k x =-+，而2p x =，得42p y k =-，又由314k <<得： 522p y <<，即点P 的轨迹为(2,2)，5(2,)2两点间的线段（不含端点）。
高一数学竞赛培训《解析几何部分》
高一上期数学竞赛培训资料（16）——解析几何部分（4）——与圆有关的点的轨迹问题一、知识要点——求点的轨迹方程的基本步骤：（1）建：建立直角坐标系；（2）设：设立动点坐标P （x ，y ）；（3）现：将动点的等量关系呈现出来；（4）代：代入点的坐标；（5）化：化简上述等式。
应注意：所求方程的完备性！二、题型示例：1、ABC ∆的两顶点A 、B 的坐标分别为(0,0)A 、(6,0)B ，顶点C 在曲线23y x =+上运动，求ABC ∆重心的轨迹方程。
2、过原点作曲线21y x =+的割线12OPP ，求弦12PP 中点的P 的轨迹方程。
3、已知两点(2,2)P -、(0,2)Q 以及一直线:l y x =，AB 在直线l 上移动，试求直线PA和QB 的交点M4、已知ABC ∆的顶点A 是定点，边BC 在定直线上滑动，且||4BC =，BC 边上的高为3，求ABC ∆的外心M 的轨迹方程。
5、设定点(6,0)P ，圆229x y +=上一点Q ，M 是PQ 上一点，满足12PM MQ =，当点Q 在圆上运动时，试求点M 的轨迹方程。
6、ABC ∆中，边||6BC =，且0135B C ∠+∠=，试求顶点A 的轨迹方程。
7、过定点(,)M a b 任作两条互相垂直的直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，试求线段AB 的中点P 的轨迹方程。
8、已知圆222:O x y r +=，点M 为圆O 上任意一点，又点(,0)A r -、(,0)B r ，过B 作BP ∥OM 交AM 的延长线于点P ，试求点P 的轨迹方程。
9、过圆22:4O x y +=与y 轴的交点A 作圆的切线l ，M 为直线l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，试求MAQ ∆垂心的轨迹方程。
10、已知点P 是圆22:4O x y +=上一动点，定点(4,0)Q 。
（1）试求线段PQ 中点的轨迹方程；（2）设POQ ∠的角平分线交PQ 于点R ，求点R 的轨迹方程。
高中数学竞赛专题讲座 解析几何
高中数学竞赛专题讲座解析几何高中数学竞赛专题讲座-解析几何高中数学竞赛专题讲座——解析几何一、选择题部分x2y2？？1在任意点P，使椭圆C（H为垂直底脚）的右引导线的垂直线pH为1。
（训练试题）穿过椭圆C:，将pH延伸到点Q，使| HQ |=32λ| pH |（λ≥1） .当P点在椭圆C上移动时，q点轨迹的偏心范围为a．(0,（）3] 3b。
（33，]32c.[3,1）3D.（3,1）2HP？1？Pq1？解：设P（x1，Y1），q（x，y）。
由于右侧的准直方程为x=3，h点的坐标为（3，y） HQ=λPH，所以3(1??)?x?[x?3(1??)]2y2x??1所以由定比分点公式，可得：?，代入椭圆方程，得q点轨迹为??1，所以离心率?223y1?ye=3.2.223?? 1.23? [，1）。
因此，选择c.233？2（2022年的南昌）。
如果抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x-4y=12上，抛物线方程是（d）a．y??12x2b.y？12倍22c．y??16x2d.y？16x23．（2021年江苏）已知抛物线y?2px，o是坐标原点，f是焦点，p是抛物线上的点，使得△pof是直角三角形，那么这样的点P股（b）a．0个b．2个c、 4 d.6x2y24．（2006天津）已知一条直线l与双曲线2?2?1（b?a?0）的两支分别相交于p、q两点，o为原点，当阿博普？OQ，双曲线中心到直线L的距离d等于（a）aba．b．2222b?ab?a5．(2021全国)方程abb2？a2b2？a2c.d。
ababx2sin2?sin3?y2cos2?cos3?1表示的曲线是（）a．焦点在x轴上的椭圆b．焦点在x轴上的双曲线c、聚焦于Y轴D的椭圆。
聚焦于Y轴的双曲解：？2.3.0 2? 2.3.2.cos（？2）？cos（3？），222?? sin2？sin3。
又0?2,?3??,?cos2?0,cos3?0,?cos2?cos3?0,222? 32? 3.罪？？(?) 2242? 3.2.3.罪恶（？）？方程式02424表示的曲线是椭圆(sin2sin3)(cos2cos3)22sin2.2.323.0罪？0 2222? 33? 3.244? (?) 风格0.即sin2?sin3?cos2?cos3.?曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选c。
解析几何竞赛辅导
若不允许共线。 如图，在正三角形 ABC 的内切圆上任取一点 P ，使得
向量 PA ， PB ， PC ， PO 不共线便满足要求。
A
O P B C
( PA + PB ) ⋅ ( PC + PO )
= OA + OB + 2 PO ⋅ OC + 2 PO
( (
)(
)
2 2
= 2 PO − OC ⋅ 2 PO + OC = 4 PO − OC = 0
XF1 ( x, y ) + YF2 ( x, y ) = 0
共轭方向： a11 XX ′ + a12 ( XY ′ + X ′ ) + a22YY ′ = 0 Y 主方向：即共轭又垂直的方向
⎛ a11 ⎜ ⎝ a12
a12 ⎞ ⎛ X ⎞ ⎛X ⎞ ⎟⎜ ⎟ = λ ⎜ ⎟ a22 ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎝Y ⎠
r (u, v) = ( x(u , v), y (u , v), z (u , v))
求点运动所成的曲线方程， ( x(t ), y (t ), z (t )) 求点运动所成的曲面方程， ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) 求空间直线运动所成的曲面方程， 直线： ( At + x0 , Bt + y0 , Ct + z0 ) ，参数 s 直线族：( A( s )t + x0 ( s ), B ( s )t + y0 ( s ), C ( s )t + z0 ( s ) )
三、空间的直线和平面 平面方程，直线方程，相互位置关系，平面束。 直线
x − x0 y − y0 z − z0 和 = = X Y Z
高中数学竞赛教练入门教案
高中数学竞赛教练入门教案
主题：解析几何初步
目标：通过本节课的学习，学生将能够掌握解析几何基本知识，能够灵活运用解析几何知
识解决问题，并提高解决问题的思维能力。
教学过程：
一、引入（5分钟）
教师引导学生思考：解析几何与几何的其他分支有哪些区别？解析几何在哪些领域有应用？为什么解析几何在数学竞赛中占有重要地位？
二、讲解基础知识（15分钟）
1. 介绍解析几何的基本概念和方法。
2. 讲解解析几何中常用的坐标系及其性质。
3. 引导学生理解解析几何中直线、圆的方程及性质。
三、例题讲解（20分钟）
1. 给出一道基础的解析几何题目，在黑板上解题过程。
2. 鼓励学生积极参与讨论，思考不同解题方法的异同。
四、练习与巩固（15分钟）
1. 学生进行解析几何的练习题，巩固所学的知识。
2. 指导学生解决一些较难的问题，提高解决问题的能力。
五、课堂小结（5分钟）
1. 教师总结本节课的主要内容，强调学生需要掌握的重点知识。
2. 鼓励学生在课后及时复习巩固所学的知识。
扩展活动：对于有兴趣的学生，可以提供更复杂的解析几何问题，挑战他们的思维能力。
教学资源：课件、练习题目、解析几何教科书。
备注：本教案为解析几何初步内容，后续将会有更深入的解析几何知识讲解。
(黄倩霞)大学生数学竞《解析几何》培训讲义
大学生数学竞赛解析几何培训讲义第三章平面与空间直线二、本章重点及难点解析几何最显著的特点就是用代数方法来研究几何.因此学习解析几何不仅要有良好空间图形的认知能力，而且更要有一些必要的代数知识，特别是向量代数知识.作为最简单的曲面与曲线——平面与空间直线来说，图形的认知应该是比较容易的，关键是要学会灵活运用有关它们的一些数量、向量以及向量形式的方程，比如平面上或直线上的点的坐标、平面的法向量、直线的方向向量、平面的向量式方程以及直线的向量式参数方程等来解决有关几何问题.本章的重点是：● 平面的各种形式的方程及其相互转换； ● 直线的各种形式的方程及其相互转换； ● 点、平面及直线的关系. 本章的难点是：● 点与平面的离差，平面划分空间问题； ● 向量式方程的运用；● 灵活运用某些点、平面的法向量、直线的方向向量，平面束等来解决一些几何问题.三、本章的基本知识要点1.平面的方程在中学的立体几何中，读者知道了一个公理：空间中不在一条直线上的三个点可以确定唯一的平面，还知道两个定理：①空间的两条相交直线可以确定准一的平面，②垂直于平面的直线同时垂直平面内的一切直线．通过上述的知识和利用矢量运算，可以得到以下平面的方程．(1)向量式方程：b v a u r r o++= (3.1)其中u,v 为参数．在仿射坐标系下，{}o o o o z y x r ,,= ，{}z y x r ,,= ，{}{}222111,,,,,Z Y X b Z Y X a ==将它们代人式(3．1)，可得到下述参数式方程．(2)参数式方程⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=vZ u Z z z v Y u Y y y v X u X x x O O o 212121 (3.2)由于向量b a r r o,,-共面，可以得到下述混合积方程．(3)混合积方程：0),,(=-b a r r o（3.3）将对应的向量的坐标代入式(3. 3)中，可得到下述点位式方程．(4)点位式(或行列式)方程0222111=---Z Y X Z Y X z z y y x x o o o (3.4)将式(3．4)中的行列式按第一行展开，可得到下述一般方程．(5)一般方程(或称为普遍式方程)0=+++D Cz By Ax (3.5)这是一个三元一次方程．当D 不等于零时，可以得到下述截距式方程．(6)裁距式方程1=++czb y a x （3.6） 为了便于讨论点到平面的距离和点与平面的位量关系，将平面方程的讨论限制在直角坐标系下．在空间直角坐标系下．设平面上点Mo 的径矢{}00000,,z y x r OM ==，平面上任意一点M 的径矢{}z y x r ,,== 以及平面的法向量{}C B A ,,=，由于n M⊥0，所以通过0)(0=-∙r r n(3．7) 可以得到平面的点法式方程． (7)点法式方程0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A （3. 8)格式(3. 8)展开整理后，仍可以得到与式(3．5)类似的三元一次方程.为了计算点到平面距离和讨论点与平面的相对位置，需要指定平面的法矢．将取自原点O 出发，垂直于平面π的矢量指定为平面π的法矢，有了指定法矢的平面常被称为有向平面．此时平面π上任意点M 的径矢{}z y x r OM ,,==与平面π的单位法矢{}γβαcos ,cos ,cos 0=n 有下面的关系：p r n =⋅(3．9)其中p 是非负的．是原点O 到平面π的距离．将式(3 9)中各矢量的坐标代入，可得到下述的法式方程．(8)法式方程0cos cos cos =-++p z y x γβα （3.10）将一般方程0=+++D Cz By Ax 转化为法式方程时，需要在方程两边同时乘上法化因子22211C B A n ++±=±=λ 其中λ的正负号选取应满足0 p D =-λ，即0≠D 时，取λ与D 异号，当D=0时，取λ与第一个变量的系数同号．例如，0≠A 取0 A λ(9)三点式方程0131313121212111=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x （3.11） 这个方程可以看做与式(3．4)为同一类．2．平面与点的相关位置(1)点0M 与平面间π的离差p r n -⋅=δ （3.12）其中0n 为原点指平面π的单位法矢矢, ,00r OM=p 为原点O 到平面π的距离．式(3．12)也可以写成代数表达式p z y x -++=γβαδc o s c o s c o s 000 (3．13) 原点)0,0,0(O 与平面π间的离差为p -=δ，反映出原点O 、平面π、及其单位法矢0n之间的关系．点与平面间的离差是一个代数值，它的正负号反映出点在平面的侧向．在平面π同侧的点，δ的符号相同；对于在平面π异仍的点，δ的符号相反；平面π上的点，δ等于零．点与平面向的离差公式(3.13)可以将空间不在平面上的点分成两部分．同理，两个相交的平面将空间的点分成四部分．(2)点),,(0000z y x M 与平面0=+++D Cz By Ax 间的距离为 222000CB A DCz By Ax d +++++==（3.14）3.两平面的相关位置 空间两平面0:11111=+++D z C y B x A π0:22222=+++D z C y B x A π 有以下的关系：（1）1π与2π相交222111::::C B A C B A ≠⇔ (2) 1π与2π平行21212112D D C C B B A A ≠==⇔(3) 1π与2π重合21212112D D C C B B A A ===⇔在空间直角坐标系下，两平面1π与2π间的交角是用两平面二面角的平面角1(π∠，2π)来表示，并且常取其中的锐角来表示．根据平面与其法矢垂直的关系，记θ=∠),(21n n，可以得到222222212121212121212121cos ),(cos CB A CB AC C B B A A n n n n ++++++=⋅==∠ θππ (3.15)同时，两平面1π与2π垂直的充要条件是0212121=++C C B B A A4．空间直线的方程在中学的立体几何课程中有一个公理：空间不重合的两点可以确定唯一的直线．读者容易知道直线上任意两个不重合的点可以确定一个直线的方向向量．因此，在空间取定坐标系，并设直线l 上一定点Mo 的径矢{}00000,,z y x r OM ==，直线 l 上任意点M 的径矢为{}z y x r ,,= ，直线l 的方向向量v，可以得到直线l 的向量式方程“（1）向量式方程v t r r o+= (3.16)其中t 为参数．（2）参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xt x x O O o (3.17)由式(3.17)梢去参数t ，可以得到直线l 的对称式方程．(3)对称式方程(或称直线l 的标准方程)Zz z Y y y X x x 000-=-=- (3.18) 在式(3．18)中，方向效Z Y X ,,是一组不全为零的数．如果其中有一个为零， 例 如0=X ．此时，可以设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=Z z z Yy y x x 000如果其中有两个数为零，例如0,0==Y X ，此时．可以设⎩⎨⎧==00y y x x这样可以得到相对应的直线方程．通过空间两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，可以得到直线的两点式方程．(4)两点式方程121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- （3.19）空间直线可以看做是两个相交平面的交线，所以可以得到直线一般方程． (5)直线的一般方程⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A (3.20)其中系数222111::::C B A C B A ≠。
数学解析几何公开课教案竞赛
数学解析几何公开课教案竞赛一、教案概述本课教案是为数学解析几何公开课竞赛而编写的教学设计。
本教案旨在通过对解析几何知识点的深入讲解和实例演练，提高学生的解析几何分析和解题能力。
在教学过程中，我们将注重培养学生的逻辑思维和空间想象能力，引导他们灵活运用解析几何的方法解决实际问题。
二、教学目标1. 知识目标：使学生掌握解析几何中的直线和平面的相关概念、性质和公式，并能够熟练运用这些知识解决各种几何问题。
2. 能力目标：培养学生的逻辑思维和推理能力，提高他们的分析问题和解决问题的能力。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和自信心，激发他们在解决解析几何问题中的求知欲和探索精神。
三、教学重难点1. 教学重点：直线和平面的相关概念、性质和公式的教学和学习。
2. 教学难点：让学生从几何图形中抽象出直线和平面的概念，并能够将其运用到解析几何的问题中。
四、教学方法本次公开课将采用讲授、示范演示和学生合作探究相结合的教学方法。
1. 讲授：通过讲授直线和平面的定义、性质和公式，引导学生建立相关概念的认知框架。
2. 示例演示：通过实例演示，让学生观察和分析直线和平面问题，从而理解和掌握相关知识。
3. 学生合作探究：组织学生进行小组活动，让他们合作解决一系列解析几何问题，培养他们的合作能力和解题能力。
五、教学内容和步骤本次公开课将分为三个部分：直线的相关概念与性质、平面的相关概念与性质、直线和平面的位置关系与相交性质。
教学步骤如下：1. 直线的相关概念与性质（1）讲授直线的定义和相关概念，包括直线段、射线等。
（2）讲授直线的性质和公式，如直线的斜率、直线的方程等。
（3）举例演示，通过实例演示直线问题，引导学生理解和运用直线的概念、性质和公式。
2. 平面的相关概念与性质（1）讲授平面的定义和相关概念，包括平面上的点、直线等。
（2）讲授平面的性质和公式，如平面上的点的坐标、平面的方程等。
（3）举例演示，通过实例演示平面问题，引导学生理解和运用平面的概念、性质和公式。
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则 tan k2 k1 ( 00 900 ).
1 k1k2
2.圆的参数方程:
x y
a b
R cos R sin
,其中圆心为
(a,b),半径为 R.
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3
思考一
1.与直线 2x 3 y 6 0 关于点 (1, 1) 对称的直线是
(D)
(A) 3x 2 y 2 0
竞赛辅导─解析几何(一)
引言
知识要点
思考一
思考二
思考三
课外思考
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1
竞赛辅导─解析几何(一)
(直线与圆)
解析几何是通过坐标系、用代数的方法来解决
几何问题的一门学科.
代数理论为几何问题提供了统一的处理方法,
而几何模型以为代数问题提供了直观解释,灵活掌
握数形结合的思想,对于解决数学问题大有好处.关
2.过点 (1,4) 引直线 l ,使它在两坐标轴上的截距都是
正数,且截距和为最小,求直线 l 的方程.
2x y 6 0
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7
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ！
x2 y2 6x 4y 9 ,则 2x 3y 的最大值与最小值
24 的和为_______.
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4
思考二
1. 设 P(2, h)(h 0) 为 光 源 , x2 y2 1( y ≥ 0)
为半圆形障碍线,若光线要照到点 Q(2, 0) ,则 h 的
最小值为__4__3. 2.点 P( x, y)3是圆环 2 ≤ x2 y2 ≤ 4 上的任意一
点,则 2x2 3xy 2 y2 的取值范围是_____1_0_.,10
3.( 教 程 P312 16) 求 过 直 线 x 2 y 4 0 和 圆
x2 y2 2x 4y 1 0 的交点,且满足下列条
件之一的圆的方程.
①过原点;②有最小面积.
①x2 y2 7 x 7 y 0;②( x 4)2 ( y 8)2 9
于这一点,数学界的泰斗──华罗庚写了一首诗:
数形本是相倚依,焉然分作两边飞.
数缺形时少直觉,形缺数时难入微.
数形结合百般好,隔裂分家万事休.
几何代数统一体,永远联系莫分离.
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2
竞赛辅导─(直线与圆)
知识点见教程第 301 页至第 302 页.
补充内容:
1.两直线的夹角计算公式: l1 与l2 的夹角为 ,
42
5
55
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5
思考三: 1.自学教程 P308 例 7 2.正方 形 ABCD 的边长为 1, AB, AD 上 各有一点 P, Q ,若 △APQ 的周长为 2,求 PCQ .
3. 在直 线 l : x y 5 0 上4找5一点 P( x, y) , 使 得点
P( x, y) 对 A(1,0), B(3,0) 的视角 APB 最大.
(B) 2x 3 y 7 0
(C) 3x 2 y 12 0
(D) 2x 3 y 8 0
96 2.(教程 P311 第 5 题)当 k ___ 时,方程
x2 xy 6 y2 20x 20 y k 0 表示两条直线,且它们
间的夹角为_____.
3. ( 教 程 4P311 第 8 题 ) 实 数 x, y 满 足 方 程
APB 的最大值为 ,
4 点 P 的坐标为 (3, 2)
整理ppt
6
课外思考:
1.当 a, b 均为有理数时,称点 P(a, b) 为有理点,又设
A A( 1998 , 0), B(0, 2000) ,则直线 AB 上( )
(A)不存在有理点
(B)仅有一个有理点
(C)仅有两个有理点 (D)有无穷多个有理点