第14讲 不定积分的第一类换元法
不定积分之第一换元法
◆第一换元法
f x dx g x x dx
令u x
◆第二换元法
凑微分
g u du
u ( x )
d ( x )
f x dx
注：x
令x u
f u u du
1 2x 4x 3 ln C 2 3 3
2
4 x2 3
辅助三角形
1 2 ln 2 x 4 x 3 C1 2
1 C1 C ln 3 2
例4 解 原式
dx 求不定积分 2 2 ( x 1) 2 则 dx sec udu 令 x tan u,
u 1 ( x )
u 单调、可导，且 u 0
一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式
sin x cos x 1, 1 tan x sec x
2 2 2 2
化根式
再积分。 对于
a x ,
2 2
x a ,
2 2
x a
2
2
为三角函数的有理式，
a x ,
求不定积分
x
2
ln xdx
udv uv vdu
原式
1 3 ln xdx 3
1 3 3 ( x ln x x dx) 3 x 1 3 2 ( x ln x x dx) 3 1 3 1 3 ( x ln x x ) C 3 3
幂函数 对数函数dx v u 1
例9
求不定积分
sin ln x dx
udv uv vdu
解
原式
1 x sin ln x x cos ln x dx x
08-不定积分的第一类换元法课件
2 cos 2x d x ．
u ( x )
cos x d x sin x C
解 2cos 2x d x cos 2x(2x)d x
cosu d u
sin u |u2x C
u2 x
sin 2x C ．
例
求积分
1 3 2x
d
x
．
f
[ ( x )] ( x) d x f (u) d u
例如
3
1 2x
d
x
1 2
1 3 2x
d(3
2x)
1 2
ln
|
3
2x
|
C
．
凑微分法
例 求积分 2x ex22 d x ． 解 2x ex2 d x ex2 d(x2 )
ex2 C ．
例 求积分 x 1 x2 d x ．
解
x 1 x2 d x
1
(1
x
2
)
1 2
d(1 x2 )
1 x2 1 x2
所以
2 1 x2 ，
2 1 x2 d x x 1 x2 arcsin x C ．
定理 设函数 f (x) 有原函数 F(x)，且 u (x)可导，
则
f [(x)](x) d x F[(x)] C f (u) d u ． u ( x )
f (u)d u F(u) C
例
求积分
x2
1
a2
d
x
(a
0)
．
解
因为
1 x2 a2
1 1 2a x a
x
1
a
，
所以
x2
1
a2
d
x
不定积分的换元积分法
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
第一类换元积分法
dx dx 1 arctan x c . 20 . arcsin x c . 21 . 2 2 2 a a a x2 a a x dx x a 1 22 . 2 ln c . 2 2a x a x a
dx ax 1 23 . 2 ln c . 2 2a a x a x
例11. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
例12. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
被积函数中含有三角函数的例子 例13 求三角函数的不定积分
ln cos x cot xdx ? sin x sin x
ln sin x C
sec2 x 1 d tan x dx d x tan x ln tan x c 例 16 . sin x cos x tan x 1 sin2 x cos2 x sinx cos x dx sinx cos x dx (tan x cot x )dx ln cos x ln sin x C ln tan x C 1 1 x 例16ln tan x c . 例 17 . csc x dx d dx x cos x 2 2 sin x sin 2 2 2 sin 2 x 1 cos x x 2 tan csc x cot x . 2 2 sin x cos x sin x 2 2 csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
不定积分“第一换元积分法”教学三步曲
SCIENCE &TECHNOLOGY VISION科技视界2012年9月第26期科技视界Science &Technology Vision第一换元积分法是求不定积分的最基本最常用的重要方法之一,这种方法是把复合函数的微分法反过来用于求不定积分,利用中间变量的代换将被积函数化简,直到能应用不定积分表中的公式求出它的不定积分.对于初学者来说,凑微分是难点,寻找中间变量更不知从何下手.在教学第一换元积分法时,教师要引导学生认真走好三步:导入———理解———巩固,为后续学习打好基础.1类比联想导入凑微分法第一换元积分法的目的是通过换元将被积函数化简,直到能应用不定积分表中的公式求出不定积分.可见,利用公式求不定积分是学习第一换元积分法的基础,在教学中教师可以从不定积分公式表的应用导入第一换元积分法,使得学生对新知识的接受有一种水到渠成的感觉.为了自然地导入新课,教师可以让学生做一做热身运动(求下列不定积分):(1)∫x 2dx ,∫cos xdx ,∫1x dx ,∫dx x2,∫dx x√,∫11+x2dx ,∫dx1-x2√,∫cos xdx ,……这组题要求口答,一方面检查积分公式表掌握情况,巩固所学知识;另一方面为新课做准备.(2)∫(x +1)2dx ,∫(x +2)2dx ,…,∫(x +b)2dx .这组题的被积函数是二次幂的形式,学生通过展开被积函数,利用不定积分公式以及运算法则容易求得.(3)(1-2x )10dx .此题是由第(2)题修改而成的,次数是10,像第(2)题那样去计算是不现实的,这就需要寻找一种新的方法.这时,教师可以引导学生类比联想:①它与公式表中的哪个不定积分类似?(与∫x ndx 类似,被积函数的“底”不同.)②会求∫u 10du 吗?(直接用公式即可.)③∫(1-2x )10dx 与∫u 10du 有何异同和联系呢?(被积函数的“底”不一样,如果令u =1-2x ,那么“底”就相同.)④如果令u =1-2x ,那么dx 与du 什么关系?∫(1-2x )10dx会变成什么式子呢?请各位试一试。
微积分不定积分__换元积分法(第一类)
例18 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 x 1 d dx = ∫ 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1− arcsin 2 2 2
2
∫
1
dx .
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
1
小结 常用简化技巧 常用简化技巧:
§3.2 换元积分法
一、第一类换元法
问题
∫ cos 2 xdx
解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 利用复合函数，设置中间变量.
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 ③1 ①1 ②1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C= 2 sin 2 x + C .
1 例5 求 ∫ 2 dx . 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a a +x
1 x 1+ a
2
dx
1 = ∫ a
1 x x 1 d = arctan + C . 2 a x a a 1+ 记住此公式 a
1 1 x dx = arctan + C ∴∫ 2 2 a a a +x
例7. 求 解法1 解法
dx ∫1+ ex .
(1+ e ) −e = =∫ dx ∫ x 1+ e −ln( + ex ) +C 1 =x
x x
d(1+ ex ) dx − ∫ 1+ ex
解法2 解法
e d(1+ e ) =∫ dx = −∫ −x −x 1+ e 1+ e = −ln(1+ e−x ) +C
20-不定积分的第一类换元积分法省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
例例43.
x
1
x2
dx
1 2
d u1dx(21(1xx22))dx(1
12x2u)'1dx1x2
x2, d(1 x2) 2 xdx.
原式 x
u ( 1 )du 2x
dx 1 du, 2x
1212
1
u u2
d12 duu11uu23 33
23CC11(1(1xx2)223) 33
3
2CC
du
原式
2
cos
u
1 2
du
du d(2x) (2x)'dx 2dx. 1
cccooossusuuddduuussisinninuuuCCCssisinnin222xxxCCC
dx du, 2
例例32 2xex2dx ex2 (x2)dx ex2d(x2) eudu u x2 ,
原式
2
11(1ax(1ax)2)d2 daxaxa
a
a
例13
求
1 dx (a 0)
a2 x2
解
a2a121x2xd2 xdx1a1a
111( 1ax( a)x2)2dxdx
11 11( x(
a
a)x2)2d
daxaxaracrscisninaxax
111(1ax( ax)2)2dxdx
111( 1ax( ax)2)2ddaxaxaracrscisninax
x
f
f (cos x) sin xdx f (cos x)dcosx f (tan x) sec2xdx f (tan x)d tan x
f (sec x) sec x tan x dx f (sec x)d sec x
不定积分的第一类换元积分法
例 6 求不定积分 sin x cos xdx ．
1 2
解法一 sin x cos xdx sin xd(sin x) sin x C ．
2
1 2
解法二 sin x cos xdx cos xd( cos x) cos xd(cos x) cos x C ．
关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．
如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就是第一类换元积分
法，又称为凑微分法．
31-4
第一类换元法(凑微分法)
定理
设函数 f (u ) 在区间 D 上有一个原函数 F (u ) ，u ( x) 在
1 x3 3
解： 原式 e dx
3
u x3
1 u
= e du
3
1 u
e C
3
1 x3
e C
3
解：
ln x
例 3 求
dx ．
x
1 2
解： 原式 lnxdlnx ln x C
2
eex
解
dx
x
1 e
1
x
d(1
区间 I 上（内）可导，且有 { (x)|x I } D ，则
f ( ( x)) (x)dx f ( ( x))d (x)
u ( x )
f (u)du F (u) C F ( ( x)) C ．
31-5
熟记常用微分形式
例1
2 x3
求 x e dx ．
1
[ln|a+x| ln|a-x|] C
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
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1 dx 例10 ∫ 1+ x −1 1 2u ∫ 1 + x − 1 dx = ∫ 1 + u du
1 = 2 ∫ (1 − )du 1+ u
= 2[u −ln(1 + u )] + c
= 2[ x − 1 − ln(1 + x − 1)] + c
x dx 例4 ∫ 2 2 (1 + x )
1 −2 = ∫ u du 令1+x2=u 2 1 1 − 2 +1 = ⋅ ⋅u +c 2 − 2 +1
1 =− +c 2 2(1 + x )
例5
e ∫
sin x
cos xdx
= ∫e
sin x
d sin x
= ∫ de
sin x
=e
sin x
+c
以上使用的方法称为凑非分法 以上使用的方法称为凑非分法
例12
∫
1 dx x e +1
1 du =∫ u +1 u 1 1 = ∫ − du u u +1
= ln e
x x
= ln u − ln(u + 1) + c
e +1 +c
也可令e 也可令 x+1=u
例13
∫ csc
x dx
1 1 dx =∫ dx = ∫ x x sin x 2 sin cos
第14讲 讲
不定积分的 第一类换元法
•凑微分法 凑微分法 •第一换元法 第一换元法
一、凑微分法
例1
cos 2 xdx ∫
′ 因（sin 2 x）= 2 cos 2 x 1 ′ （ sin 2 x）= cos 2 x 2 1 故 ∫ cos 2 xdx = sin 2 x + c 2
再解: 再解
例13
1 cos x − 1 ∫ csc x dx = 2 ln cos x + 1 + c
= ln | csc x − cot x | + c
x 注:可以验证 ln | tan | +c 相同 可以验证 2
类似可得
sec xdx = ln | sec x + tan x | +c ∫
小结
1. 第一换元法（凑微分法） 第一换元法（凑微分法） 令φ(x)=u , 最后换回原变量 x
3
dx
u u = 6[ − + u − ln(u + 1)] + c 3 2 3 6 6 = 2 x − 3 x + 6 x − 6 ln( x + 1) + c
1 = 6∫ (u − u + 1 − )du u +1 3 2
例12
∫
1 dx x e +1
解: 令 ex=u ,
du x = ln u , dx = u
cos 2 xdx ∫
1 = ∫ cos 2 xd (2 x) 2 1 = ∫ d (sin 2 x) 2
1 = sin 2 x + c 2
例2
e dx ∫
2x
1 2x = ∫ e d 2x 2 1 2x = ∫ d (e ) 2 1 2x = e +c 2
2x 例3 ∫ dx 2 1+ x
1 2 =∫ dx 2 1+ x 1 2 =∫ d (1 + x ) 2 1+ x 2 = ∫ d ln(1 + x )
1 1 = ∫ d 2 ln x 2 1 + 2 ln x 1 1 = ∫ d (1 + 2 ln x) 2 1 + 2 ln x 1 = ln | 1 + 2 ln x | +c 2
例9
∫
e
3
x
x
3 x
dx
= ∫e
d (2 x )
2 3 x = ∫ e d (3 x ) 3 2 2 x = e +c 3
例11
6
∫
1 x +
3
x
dx
令 x = u , x =u6 ，dx=6u5du
∫
1 x +
3
x
dx =
∫
6u du 3 2 u +u
3
5
u u +1−1 = 6∫ du = 6 ∫ u +1 u +1
3
例11
x 3 3 u u +1−1 = 6∫ du = 6 ∫ u +1 u +1
2
∫
1 x +
− d cos x =∫ 2 1 − cos x 1 = ∫ 2 du u −1
令u=cosx
另一种解法: 另一种解法 1 1 1 1 = ∫ 2 du = ∫ − du u −1 2 u −1 u + 1
1 u −1 = ln +c 2 u +1 1 cos x − 1 = ln +c 2 cos x + 1
例6
∫ tan
x dx
sin x =∫ dx cos x 1 = −∫ d cos x cos x
= − ∫ d ln | cos x |
= − ln | cos x | +c
x+2 dx 例7 ∫ 2 x +x+2 1 (2 x + 2) + 2 = ∫ 2 dx 2 x + 2x + 2
1 2x + 2 dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 2 x + 2x + 2 x + 2x + 2
1 d ( x + 2 x + 2) 1 = ∫ 2 +∫ 2 2 x + 2x + 2 ( x + 1) 2 + 1
2
1 = ln( x + 2 x + 2) + arctan( x + 1) + c 2
dx 例7 ∫ x (1 + 2 ln x ) 1 =∫ d ln x 1 + 2 ln x
= ln(1 + x ) + c
2
x dx 例4 ∫ 2 2 (1 + x ) 1 1 2 = ∫ dx 2 2 2 (1 + x )
1 = ∫ (1 + x 2 ) − 2 d (1 + x 2 ) 2 1 −2 = ∫ u du 令1+x2=u 2 1 1 − 2 +1 = ⋅ ⋅u +c 2 − 2 +1
2. 三个常用公式
1 1 x−a ∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln | x + a | +c
∫ csc xdx = ln | csc x − cot x | + c
sec xdx = ln | sec x + tan x | + c ∫
2 2 1 =∫ dx x 2 x 2 tan cos 2 2
例13
∫ csc
x dx
1 =∫ dx x 2 x 2 tan cos 2 2
x sec 2d x =∫ x 2 tan 2
2
x =∫ d tan x 2 tan 2
x = ln | tan | +c 2
另一种解法: 另一种解法 1 sin xdx dx = ∫ 2 ∫ sin x sin x
另外一种解法： 另外一种解法：令
x =u
x =u2 , dx=2udu
∫
e3
x
x
dx =
3u
∫
e 3u 2 udu u
2 3u = 2 ∫ e du = e + c 3 2 3 x = e +c 3
一、凑微分 二、第一类换元法
1 dx 例10 ∫ 1+ x −1
解：令 x −1 = u x =u2+1 则 dx=2udu