数论知识点

一 质数与合数

质数：除了1和本身，没有其他约数的正整数叫质数。

合数：除了1和本身，还有其他约数的正整数叫合数。

特殊地，1既不是质数也不是合数。

最小的合数是4，最小的质数是2，且2是唯一的偶质数。

质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

互质数：公约数只有1的两个正整数，叫做互质数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

已知a ，b 均为质数，且39a b +=，求a 、b 的值。

【分析】 若a 、b 均为奇数，则a b +必定为偶数，而39是奇数，所以a 、b 中至少包含一个2，则另一个为37。

A ，

B ，

C 为3个小于20的质数，A +B +C =30，求这三个质数。

【分析】 三个质数之和为偶数，这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是2，另两个奇质数之和为28，又因为这三个数都要小于20，所以只能为11和17，所以这三个质数分别是2，11，17。

将下列各数分解质因数：6= 12= 72= 2310= 【分析】 623=× 21232232=××=× 327223=× 2310235711=××××

二 约数与倍数

约数和倍数的定义：如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的约数． 最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数．在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数．例如：(8,12)4=，(6,9,15)3=．

求最大公约数的方法：

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．

例如：2313711=××，22

252237=××，所以(231,252)3721=×=；

②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘． 例如：21812

39632

，所以(12,18)236=×=；

（1）求48和72的最大公约数？（用两种不同的方法）

【分析】分解质因数法：44823=×，327223=×，所以（48，72）3

2324=×=。 短除法：24872

22436

21218369

23

，所以（48，72）3

2324=×=。 （2）求112和182的最大公约数？（用两种不同的方法）

【分析】分解质因数法：411227=×，1822713=××，所以（112，182）2714=×=。

短除法：2112182

75691813

，所以（112，182）2714=×=。

边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有___________种。

【分析】105537=××，总共有（1，105），（3，35），（5，21），（7，15）四种长方形。

最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：[]8,1224=，

[]6,9,1590=．

求最小公倍数的方法：

①分解质因数的方法；

例如：2313711=××，22252237=××，所以[]22

231,252237112772=×××=； ②短除法求最小公倍数； 例如：21812

39632

，所以[]18,12233236=×××=；

一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少支？

【分析】这盒钢笔的支数是2、3、4、5、6的最小公倍数的倍数，2、3、4、5、6的最小公倍数是：232560×××=，这盒钢笔最少有60（支）。

求18与30的最小公倍数（用两种不同的方法）

。 【分析】分解因式法：18233=××，30235=××，所以[18，30]233590=×××=

求4、5、6的最小公倍数。 【分析】2456

253 223560×××=

三 完全平方数

完全平方数的定义： 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数。 完全平方数的一般性质：

①完全平方数的末位数只能是0,1 ,4,5,6,9；

②奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数；

③如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；

反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数； ⑨一个正整数n 是完全平方数的充分必要条件是n 有奇数个约数(包括1和n 本身)。

写出1~100的自然数中有奇数个约数的数有多少个？

【分析】 根据完全平方数的性质：一个正整数n 是完全平方数的充分必要条件是n 有奇数个因

数。所以1~100的自然数中有奇数个约数的是其中的完全平方数。其中211=，210100=，所以一共有10个，分别是：21、22、23、24、25、26、27、28、29、210

2254a ×的积是一个完全平方数，a 的最小值是多少？

【分析】 22542=×7×7×23，所以22346a =×=，为a 的最小值

n 是一个整数，如果n n ×的十位数字是7，那么n n ×的个位数字是多少？

【分析】 根据完全平方数的性质之一：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；所以n n ×的个位数字是6

四 余数

余数的定义：

一般地，如果a 是整数，b 是整数(0)b ≠,若有a b q r ÷=…，或者a b q r =×+,0r b ≤<； 当0r =时，我们称a 能被b 整除；

当0r ≠时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商．

余数的性质：

①被除数=除数×商+余数；除数=(被除数?余数)÷商；商=(被除数?余数)÷除数；

②余数小于除数．

③如果,a b 除以c 的余数相同，就称,a b 对于除数c 来说是同余的，且有a 与b 的差能被c 整除．(,,a b c 均为自然数)例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711?能被3整除．

④a 与b 的和除以c 的余数，等于,a b 分别除以c 的余数之和(或这个和除以c 的余数)．

例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)+除以5的余数等于314+=．

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c 的余数．

例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)+除以5的余数等于(34)+除以5的余数． ⑤a 与b 的乘积除以c 的余数，等于,a b 分别除以c 的余数之积(或这个积除以c 的余数)．

例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)×除以5的余数等于313×=．

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c 的余数．

例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)×除以5的余数等于(34)×除以5的余数．

有两个自然数a ，b ，其中a 除以7的余数是1，b 除以7的余数是2，a b +除以7的余数是多少？

【分析】 根据同余定理，a b +除以7的余数是3

求123159876514285××除以9的余数．

【分析】 用弃九法算得12315除以9的余数是3；98765除以9的余数是8；14285除以9的余数为2，所以123159876514285××除以9的余数等于382××除以9的余数为3

有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数．

【分析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据余数性质③，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556?=，594514?=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14．

有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是________．

【分析】 (70110160)50290++?=，503162÷= ，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058152÷= ，5250>，所以除数不是58．7029212÷= ，11029323÷= ，16029515÷= ，12231550++=，所以除数是29

绝招一：减同余．

例如A a B b d ?=?=,则有[,]N d A B n +=，而N 的最小值是[,]N A B d =?;

绝招二：加同补．

例如：A a B b e +=+=;则有[,]N e A B n ?=，而N 的最小值是[,]N A B e =+;

绝招三：逐级满足法

绝招一：一个大于1的自然数数除以3余1，除以4余1，除以5余1，则这个自然数最小是多少？

【分析】 设这个自然数为a ，则（a-1）可同时被2,3,4整除，[3,4,5]=60，则a=60+1=61

绝招二：一个大于1的自然数数除以3余2，除以4余3，除以5余4，则这个自然数最小是多少？

【分析】 设这个自然数为a ，则（a+1）可同时被3,4,5整除，[3,4,5]=60，则a=60-1=59

绝招三：一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小的自然数．

【分析】 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”．可见这个数加上2后是5、6的公倍数，那么至少为[]5,6228?=，即28适合前两个条件．

再用28依次加上30的倍数，由于28是7的倍数，30除以7的余数为2，可知28304+×满足除以7余1，所以，满足条件的最小的自然数是28304148+×=．

五 约数的个数及约数的和

设自然数n 的质因子分解式如31212

3n a a a a n p p p p ×××× , 那么n 的约数个数：1231111n d n a a a a =+×+×+××+ ()()()()()

自然数n 的约数和：()()()11221121211111222211a a a a S n p p p p p p p p ??=+++++×+++++×× ()

1211n n a a n n n n p p p p ?+++++ 720的约数有多少个？

【分析】 427202222533253=××××××=××，约数个数为(41)2(21)30+××+=个。 360的所有约数的和是（ ）。

【分析】 32360235=××，其所有约数的和为12312(1222)(133)(15)1170+++×++×+=。

六 整除

数的整除特征：

①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；

一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……

②一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；

一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；

③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；

④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；

⑤被99/33整除的特点：从末尾数，两位一截断，加和，和能被99/33整除则这个数就能够被99/33整除； ⑥被999/333/111/27/37整除的特点：从末尾数，三位一截断，加和，和能被999/333/111/27/37整除则这个数就能够被999/333/111/27/37整除；

⑦部分特殊数的分解：111337=×；100171113=××；1111141271=×；1000173137=×；199535719=×××；1998233337=××××；200733223=××；2008222251=×××；10101371337=×××.22009741=×，2011是质数。

求满足下面各小题条件的a ：（每小题中a 代表同一个数字） 1）312a a 2）512a a 3）910a a

【分析】1）312a a ，所以0a =或3/6/9，而a 在首位，不能取0，所以3/6/9a =

2）512a a ，所以0a =或5，而a 在首位，不能取0，所以5a =

3）910a a ，9(1)a a ++，所以219a +=或18或21，只有219a +=符合，4a =。

在（ ）内填上合适的数字，使六位19()88() 能被35整除。

【分析】 设这个六位数为1988a b 。它能被35整除，即同时能被5和7整除。被5整除的话，0b =或5。若0b =，19880a 能被7整除，根据被7整除的数的特征，88019880190690a a a ?=??=?应该是7的倍数。其中6907984÷= ，要使19880a 能被7整除，那么4a =，这个六位数为194880；若5b =，19885a 能被7整除，根据被7整除的数的特征，88519885190695a a a ?=??=?应该是7的倍数。其中6957992÷= ，要使19885a 能被7整除，那么2a =或9，这个六位数为192885或199885。 731□是一个四位数，在□中依次填入三个数字，使所组成的三个四位数，依次能被9、11、6整除，所填入的这三个数字之和是_____。

【分析】 设□中的数为a 。要使这个四位数能被9整除，那么731a +++能被9整除，7a =；要使这个四位数能被11整除，那么()71+与()3a +的差能被11整除，可得5a =；要使这个数能被6整除，即a 要是一个偶数，同时所有位数之和能被3整除，所以4a =。所以这三个数字之和为75416++=。