2013年全国高中数学联赛
2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x x B ∉-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S ∆∆⋅=3.在ABC ∆中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ⋅=⋅=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1⋅⋅⋅中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i 均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21⋅⋅⋅=≥-n S S n n 这里n n x x S +⋅⋅⋅+=1. 证明：存在常数0>C ,使得⋅⋅⋅=⋅≥,2,1,2n C x n n10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ， 21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。
2013年全国高中数学联赛初赛广东省试题及答案
2013年高中数学联赛初赛广东省试题一、填空题（每小题8分，满分64分）1、已知sin cos ,cos sin 2αβαβ==，则22sin cos βα+=_______. 解：0或3.2已知两式平方相加，得2sin 0β=或21cos .4β=222sin cos 2sin βαβ+==0或3.22、不等式632(2)(2)x x x x -+>+-的解集为_________. 解：(,1)(2,).-∞-⋃+∞原不等式等价于623(2)(2).x x x x +>+++ 设3()f x x x =+，则()f x 在R 上单调增.所以，原不等式等价于22()(2)21 2.f x f x x x x x >+⇔>+⇔<->或3、已知错误！未找到引用源。
(错误！未找到引用源。
表示不超过x 的最大整数)，设方程12012{}2013x x -=的两个不同实数解为12,x x ，则2122013()x x ⨯+=__________. 解：2011-.由于1{}[0,1),(0,1)2013x ∈∈，所以112012(1,1).20122012x x ∈-⇒-<< 当102012x -<<时，原方程即21120121201320122013x x x -=+⇒=-； 当102012x ≤<时，原方程即2212012201312013x x x -=⇒=.4、在平面直角坐标系中，设点*(,)(,)A x y x y N ∈，一只虫子从原点O 出发，沿x 轴正方向或y 轴正方向爬行（该虫子只能在整点处改变爬行方向），到达终点A 的不同路线数目记为(,)f x y . 则(,2)f n =_______.解：1(1)(2).2n n ++ 111(1,2)323,(2,2)634,(3,2)104 5.222f f f ==⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯猜测1(,2)(1)(2)2f n n n =++，可归纳证明.5、将一只小球放入一个长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点P 到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径为___________.解：3或11.分别以三个面两两的交线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.设点P 坐标为(4,5,5)，小球圆心O 坐标为(,,).r r r6、将20132012表示成两个*1()n n N n+∈型分数的乘积的不同方法数是________.（其中ab 与ba 是同一种表示方法）解：24.设,p q 是正整数，满足201311201220132012.20122012p q p p q q ++⨯=⋅⇒=+- 220122013231161503⨯=⨯⨯⨯⨯的正因数的个数为4(12)(11)48+⨯+=.注意到(,)()p q p q ≠与(,)q p 是相同的表示方法，故所求的方法数为24.7、设E 为正方形ABCD 边AB 的中点，分别在边AD 、BC 上任取两点P 、Q ，则∠PEQ 为锐角的概率为__________.解：3ln 4.4- 设正方形边长为1，,AP x BQ y ==.则1()()0.4EP EQ EA AP EB BQ EA EB AP BQ xy ⋅=+⋅+=⋅+⋅=-> 从而，14xy >. 又01,01x y <<<<. 故所求概率为两直线1,1x y ==及曲线14xy =所围成图形的面积与边长为1的正方形的面积之比，即1214313ln 41:1.4444x ⎛⎫⨯-=-⎪⎝⎭⎰8、已知实系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根，则使得2222()()()a b b c c a ra -+-+-≥成立的正实数r 的最大值为____________.解：max 9.8r =不妨设1a =，方程20x bx c ++=的两实根为12,x x .由韦达定理，1212,.b x x c x x =--=222222()()()(1)()(1)a b b c c a b b c c ∴-+-+-=-+-+-22212121212(1)()(1)x x x x x x x x =++++++-2211222(1)(1)x x x x =++++2212131392[()][()].24248x x =++⋅++≥从而，98r ≤，当1212x x ==-时等号成立.二、解答题（第一道小题满分16分，后两道小题每题满分20分）9、已知数列{}n a 的各项均为正数，121,3a a ==，且对任意*n N ∈，都有2122n n n a a a ++=+．问：是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？ 解：在2122n n n a a a ++=+中，令1n =，得37.a = 若存在常数λ使得21n n n a a a λ+++=，则1328.3a a a λλ+=⇒=∵2122n n n a a a ++=+，∴2*112(2,)n n n a a a n n N -+=+≥∈.∴222212111112n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++-++-++-=-⇒+=+.由于0n a >，上式两边同除以1n n a a +，得1121(2).n n n n n n a a a a n a a +-++++=≥所以，21113128.3n n n n n n a a a a a a a a a +-+++++====即存在常数83λ=，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立.34OM OA OB =+，点N 由34OM OA OB =+，得M点.所以，由椭圆定义有||||2 2.NCND +=11、已知*(,)m n m n N <∈，两个有限正整数集合,A B 满足：||||,||A B n A B m ==⋂=（这里用||X 表示集合X 的元素个数）.平面向量集{,}k u k A B ∈⋃满足1i j i Aj Bu u ∈∈==∑∑. 证明：22||.k k A B u m n ∈⋃≥+∑ 证明：不妨设{1,2,,},{1,2,,2}.A n B n m n m n m ==-+-+-令121221,n m n n n m a a a a a a -++-======== 12 4.n m n m n a a a -+-+====由柯西不等式，注意到212()42().n mii an m m n m -==-+=+∑从而，22212||||.n m k i k A Bi u u m n-∈⋃==≥+∑∑。
2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
=
±
1 2
8.
247 256
.
ab
=
1 4
5
9
18 247
P
=
1−
29
=
. 256
9.
{an}
a1 = 2, an = 2(n + an−1), n = 2, 3, . . .
a1 = 2, a2 = 2(2 + 2) = 8 n 3
an − 2an−1 = 2n, an−1 − 2an−2 = 2(n − 1).
3 6
AB
=
√
3 6
,
P
M
=
√ MH2
+
PH2
=
√
1 12
+2
=
53 6
√ r = 2/6
r
OK
MH 1
√
=
2−r
PO
=∼ ∠KP O =
PM
=, 5
5.
[0, π)
sin 12x = x
4.
x>1
| sin 12x| 1 < x
[0, 1] 3π < 12 < 4π
sin 12x
3/2
2
4
√
6.
f (x)
盘的所有不同可能铺法的数目是 Tn ．下面的图是 n 3 时的两种不同的铺法：
a）求 T10 ；并且 b）求 T2013 的个位数．
2013
0
8
(B )
1. 3 4.
3c4 c = 3, 4 √
2. i = −1
34
c c2 > 43 − 33 > 22,
2013年全国高中数学联赛一试二试试题整理详解汇编(一试二试为B卷)(含解答)
AB < BC
∠AP B = ∠BP C
7
AB BC
1
B
A
P
∠BP C = ∠CP D
P
BM BC
C2 =
M; = DM CD
C
D
A, B, C, D
3.
x, y, z
x2 + y2 + z2 = 10
u = 6 − x2 + 6 − y2 + 6 − z2
6 − x2 +
6 − y2 +
2
6 − z2
x = 0, y = 0 (P
x– )
a+c = 0
ac x−
2
+ y2 =
ac 2
a+c
a+c
x–
(0, 0), (2ac/(a + c), 0)
b) x–
A, B, C, D (−1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0)
∠AP B = ∠BP C
P
y–
∠BP C = ∠CP D
1 16
(y1y2
+
8)2
=
0
y1y2 = −8 (−8)2
x1x2 = 16 = 4.
F (1, 0)
−→ −−→ √ x1 − x2 = (x1 + 1) − (x2 + 1) = |F A| − |F B| = 4 3.
4
y2 = 4x
x1, x2
√2 x1 + x2 = (x1 − x2)2 + 4x1x2 = 4 3 + 4 × 4 = 8.
Tn
n=3
2013年全国高中数学联赛吉林赛区
2013年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛一、选择题（每小题6分，共30分）1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ． π3√+2π B ． π83C ． π332+4πD ． π33+2π2．已知函数)0)(6cos()3sin(2)(>-++=ωπωπωx x x f 的最小正周期为π，则ω的值为（ ）A ． 4B ．2C ．21 D ． 41 3．已知函数[]()1,0)(∈+=x b ax x f ，则“0>2b +a 02>+b a ”是“0)(>x f 恒成立”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件，也不是必要条件4．若函数图像上)(y x f =的任意一点P 的坐标(,)x y 满足条件|| ||y x >，则称函数具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是 （ ）A ．()1-=xe xf B ．()()1ln +=x x f C ．()x x f sin = D ．()x x f tan =5.在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1那样摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为3的概率为( )A ．21 B ．31 C ． 41 D ． 612 22侧（左）视222正（主）视俯视图二、填空题（每小题5分，共30分） 6．已知函数)0)(4cos()(>+=A x A x f ωπω在)8,0(π上是减函数，则ω的最大值是 .7.三棱锥S-ABC 中,︒=∠=∠=∠90ACB SAC SAB ，13,2==BC AC ,29=SB .则直线SC 与AB 所成角的余弦值为_____________.8．椭圆()012222>>=+b a b y a x 的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若菱形的ABCD 内切圆半径等于椭圆焦距的66，则椭圆的离心率为 ． 9．设b a,为两个非零向量，且22,2=+=b a a ，则的最大值是 ．10．对于数列{}n a ，如果存在一个数列{}n b ，使得对于任意的*N n ∈，都有，则把{}n b 叫做{}n a 的“弱数列”.设，32524n b n n n =--+，, 且是的“弱数列”，则实数t 的取值范围是 _ ．11．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周顺时针滚动。
2013年全国高中数学联赛试题及其解答
2013 年全国高中数学联题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。
1、设集合A = 2，0，1，3 ，集合B = x| − x ∈ A，2 − x ∉ A ，则集合B中所有元素 的和为 。 解答：易知集合B = −2， − 3 ，所有集合B中所有元素的和为−5。 ⃑ · OB ⃑ = −4，F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中，点 A、B 在抛物线y = 4x上，满足OA 物线的焦点，则S△ · S△ = 。 ⃑ · OB ⃑= 解答：根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ，2m ，点B n ，2n ，则OA m n + 4mn = −4 ⇒ mn = −2。于是知S△ · S△ =
| |·| |
·
|
|·|
|
= |mn| = 2。
3、在△ABC 中，已知sin A = 10 sin B sin C，cos A = 10 cos B cos C，则tan A的值 为 。 解答：根据条件知：sin A − cos A = 10(sin B sin C − cos B cos C) = −10 cos(B + C) = 10 cos A ⇒ sin A = 11 cos A ⇒ tan A = 11。 4、已知正三棱锥P − ABC底面边长为1，高为√2，则其内切球半径为 。 解答：设△ABC 外心为 O，O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F，则OD = OE = OF =
10、（本题满分 20 分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为 + = 1（a＞b＞0），A 、A 分别为椭圆 的左、右顶点，F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。
交流知识
2013年全国高中数学联赛北京赛区获奖名单
2013年全国高中数学联赛北京赛区获奖名单一等奖（52名）姓名性别学校年级姓名性别学校年级唐敦男人大附中高三孙家进男北京四中高二胥晓宇男人大附中高三黄巍男北师大实验中学高一熊博远男人大附中高三刘瑜男北师大实验中学高三伍岳男人大附中高二钊龙祥男人大附中高一孙谦男人大附中高一李彦达男北京十一学校高三许云贝男人大附中高三王华男首师大附中高三左世良男北京四中高三夏宁静女人大附中高三杨宇琛男北师大实验中学高三房正阳男人大附中高三王正男人大附中高二贾泽宇男人大附中高一王润楠男人大附中高三彭俊尧男人大附中高一李兴远男北师大实验中学高三杨司晨男人大附中高三李伯瀚男北京四中高三孙元逊男人大附中高二赵嘉霖男北师大实验中学高二邱厚德男人大附中高一马思源男北师大实验中学高三李禹辰男北京四中高二赵伯钧男人大附中高三刘迪一男北师大实验中学高二董子超男北京十一学校高三赵芯培女清华附中高三于淼男北师大实验中学高三张婧宁女北师大实验中学高三孟涛男北京四中高三李蒙男人大附中高二李阳男北京十一学校高二刘沛江男北师大实验中学高三罗明宇男北师大实验中学高二刘子不男北师大实验中学高三王浩昀女人大附中高二刘陆川男北师大实验中学高三陆照男景山学校高二李润哲男北师大实验中学高三郑浩天男人大附中高三欧阳铭晖男人大附中高一安曼女人大附中高三何振豪男北师大二附中高三赵思衡男北师大实验中学高三王雪莹女人大附中高一李澍鹏男北师大实验中学高二石经天男人大附中高三二等奖（116名）姓名性别学校年级姓名性别学校年级张敬宣男人大附中高三陈启昭女北京一零一中高一周路奕男北师大实验中学高三吕奕枫男人大附中高三刘昊融男人大附中高三薛彦钊男人大附中高一王威男北京十一学校高三陈肇盟男北京一零一中高一李泽昊男人大附中高二张瀚方男北师大实验中学高三刘子博男北京一零一中高三刘修龙男北师大二附中高三黎晨远女人大附中高三周默男北师大实验中学高三许云宗男人大附中高三于睿元男北京十一学校高二方景和女人大附中高一胡晟男人大附中高三王澎男北师大实验中学高三程冰玉女北大附中高三薛宇皓男清华附中高三黄子懿男北师大实验中学高三林一衡男人大附中高一杨知乐男清华附中高三彭炳辉男北师大实验中学高二马成男北师大实验中学高三张宁辕男北师大实验中学高三孙奥博男北京十一学校高一苏虹宇男北师大实验中学高三王则林男北师大二附中高二王凯男北师大实验中学高二李子玄男北师大实验中学高二董昕妍女人大附中高一尚佳琦女北师大实验中学高三葛道通男人大附中高二赵嘉熹男人大附中高一史易萌女清华附中高三吉哲男北师大实验中学高一孙金钊男陈经纶中学高三白佳欣男北京十一学校高二王雪瑶女北师大实验中学高二宁小芾女北京四中高一张智立男人大附中高三王嘉琦男北京十一学校高二牛建耕男北京八中高三姜浩天男人大附中高三吴明睿男北京八中高三李岩昊男清华附中高三甘胜青男景山学校高三张晨皓男人大附中高二丁牧聪男人大附中高二金正韬男人大附中高二卢家睿男人大附中高三魏雪莉女人大附中高三戴铮男人大附中高三高心怡女北大附中高三王一同男人大附中高二王子禾男北师大二附中高三张润玉女北京四中高一蒋易悰男北京四中高一陈思亮男人大附中高二李昊闻男首师大附中高三杨菲然女清华附中高三刘睿男北师大实验中学高一康梓峰男北京四中高二候士钊男人大附中高二张佳慧女北京十一学校高二彭宇辰男北师大实验中学高一刘倩莹女北师大二附中高三李昊亚男北京十一学校高二王子赫男人大附中高二王梦溪女北京十一学校高二李尚德女人大附中高三周天茗男北师大实验中学高三王建刚男北师大实验中学高二杨哲男人大附中高三黄京磊男北师大实验中学高一贺博男北师大实验中学高二上官吴凡男北师大二附中高三桂枫男北大附中高三范季轩男北京一零一中高三刘绍辉男人大附中高二王一男北京四中高三王森淼男北京十一学校高二胡文信男北京四中高二张昊男北京五中高二李书恒男北京一零一中高一谭伯琛男北师大实验中学高二孟祥瓯男人大附中高二贾旺东男北京四中高一张梓航男北师大实验中学高一姜德青男北京十一学校高三郄宇辰男首师大附中高三李皓冉男北京八中少年班王逸伦男人大附中高二王子彤男北京八十中高三伍维晨男人大附中高二王羽希男中央民大附中高三谢彦桐男北师大实验中学高二郜晟男北师大实验中学高三白士昊男北师大二附中高三许浥林男清华附中高三毕嘉川男北京二中高二曲本豪男北京十一学校高三王祎竹男人大附中高三袁楚乔女首师大附中高三肖泽浩男人大附中高二周杉男中央民大附中高三张昊男人大附中高三许嘉诺男北京八中高三王伟宇男人大附中高二白一凡女北师大二附中高三张璟华女人大附中高一王悦女清华附中高三钱铖男北师大实验中学高三王婧女北京四中高三三等奖（80名）姓名性别学校年级姓名性别学校年级张蒲石男北师大实验中学高二姜杰东男北京八中高三胡绍然男北师大二附中高二萧逸凡男人大附中高二周展平男人大附中高一谷畅男人大附中高二张佳昕男北大附中高二许鹤凡男北京四中高一滕蕴男北师大实验中学高一慕思成男清华附中高三陈胜强男人大附中高二梁德法男北京十二中高二孙戈男北师大二附中高二毕新宇男清华附中高三牟兰女北师大实验中学高三林沐男北师大实验中学高二刘媛女北京四中高三周墨男北师大二附中高二贾寓舒女人大附中高三丁嘉辉男景山学校高三潘旭冉男北大附中高三曾挚男北京一零一中高三贾子航男北京十一学校高二崔曼修男北师大实验中学高一赵梦尧男昌平二中高三肖汝迪男北京十一学校高二谢瑞琪男北京潞河中学高三李远昭男北京四中高三孙盛鼎男北大附中高三李泽宇男北师大二附中高一倪晨阳男北京二中高三彭天任男北京十一学校高二李逸恺男北京八中高三赵冰寒男人大附中高三张云舒男人大附中高三平陆男人大附中高二陈一谨男北京十二中高三李鼎言男人大附中高三王开瑞男北京十一学校高二徐禹生男北师大实验中学高二刘隽甫男北师大实验中学高三张宸博男北师大二附中高二张铂尧男北京二中高三马思浩男北京八中高一关鑫男北京十一学校高三祝家乐男北京八十中高三何子昊男人大附中分校高三陈悦女人大附中高三张子扬男人大附中高二邴兆栋男清华附中高三周川男昌平一中高三李正一男北京二中高三李卓然女清华附中高二周雨生男北京二中高三吴昱舟男景山学校高三何子麒男牛栏山一中高三张赫男北京一零一中高三崔潇男牛栏山一中高三崔健男陈经纶中学高三付清顺男顺义一中高三李嘉琪女北京一零一中高三胡万丰男潞河中学高三杨若岑女首师大附中高三高允初男顺义杨镇一中高三王月女北师大二附中高三李梓萌男顺义一中高三王玥洁女北京四中高一崔艺谦男延庆一中高三甄逸雯女首师大附中高三王畅男平谷中学高三杨海欣男北师大二附中高二陈晨男潞河中学高三张开元男人大附中高三段鹏宇男延庆一中高三陈淑漓女人大附中高三张旭男北师大燕化附中高三张意佳女清华附中高三季鹏男怀柔一中高三赵子琦女北京四中高三张子珅男怀柔一中高三。
2013年全国高中数学联赛A卷一试真题+答案
8.
已知数列 an 共有 9 项，其中 a1
a9
1 ，且对每个 i 1,2,,8，均有 ai1
ai
2,1,
1 2
，则这样的
数列个数为__________.
二、解答题
9. 给定正整数列 xn 满足 Sn 2Sn1, n 2,3, ，这里 Sn x1 x2 xn .证明：存在常数 C 0 ，
6
3
V 1 3 2 6 ， S 3 3 1 1
34
12
4
2
2
2
3 6
2
3 2
3 ，故 r
2
；
6
1
5、
4
b 1 一次函数区间端点取最值，故
，由于 a b 2 1 a 2 b2 2ab 1 ，
a b 1
6、 232 323
且 a 2 b2 2ab ，故 4ab 1 ab 1 ，取“=”时， a b 1 ；
y1 y2 4
2；
3、11
cos A cosB C cos B cos C sin B sin C cos A sin A ，所以 sin A 11cos A ，
10 10 tan A sin A 11；
cos A
2
4、
V 1 Sr ，其中 r 为内切球半径， S 为表面积，根据数据可算出，
5. 设 a, b 为实数，函数 f x ax b 满足：对任意 x 0,1，有 f x 1.则 ab 的最大值为________.
6. 从1,2,,20 中任取 5 个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________.
7. 若实数 x, y 满足 x 4 y 2 x y ，则 x 的取值范围是__________.
2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
知 u 2 6 （当且仅当 x y z
30
，等号成立）
3
所以 u 的最大值为 2 6 。 接下来，我们考虑 u 的最小值。不妨设 x y z ，则由 x2 y2 z2 10 得 x 2 10 ，
3
又 u 6 x 2 6 y 2 6 z 2 6 x 2 6 y 2 6 z 2 6 x 2 2 x 2
3
2013B 7、设 a, b 为实数，函数 f x ax b 满足：对任意 x 0,1 ， f x 1，则 ab 的最大值
为．
1
◆答案：
4 ★解析：由题意得 a f (1) f (0) ， b f (0)
所 以 ab f (0) f (1) f (0) f (0) 1 f (1)2 1 f 2 (1) 1 f 2 (1) 1 ， 当 且 仅 当
Байду номын сангаас
MH 3 AB 3 , PM MH 2 PH 2
1
2 5
3
,
6
6
12
6
2013 年全国高中数学联合竞赛试题）（B 卷） 第 1 页 共 7 页
所以 r OK sin KPO MH 1 ,解得 r 2
2 r OP
MP 5
6
2013B 5、在区间 0, 中，方程 sin12x x 的解的个数为
3
3
3
411
法二：由 abc 1 得 a a 3 b 3 c 3 。
2a2
所以
b2
c2
1
a2
a2
a2
2013年全国高中数学联赛A卷一试真题+答案 Word版可编辑
2013年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1. 设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,.则集合B 中所有元素的和为__________.2. 在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则=⋅∆∆OFB OFA S S __________.3. 在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin =，C B A cos cos 10cos =，则A tan 的值为__________.4. 已知正三棱锥ABC P -底面边长为1，高为2，则其内切球半径为 .5. 设b a ,为实数，函数()b ax x f +=满足：对任意[]1,0∈x ，有()1≤x f .则ab 的最大值为________.6. 从20,,2,1 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________.7. 若实数y x ,满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是__________.8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1 ∈i ，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列个数为__________.二、解答题9. 给定正整数列{}n x 满足 ,3,2,21=≥-n S S n n ，这里n n x x x S +++= 21.证明：存在常数0>C ，使得 ,2,1,2=⋅≥n C x nn .10. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为12222=+by a x ()0>>b a ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q 、R 满足11PA QA ⊥，22PA QA ⊥，11PF RF ⊥，22PF RF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.11. 求所有的正实数对()b a ,，使得函数()b ax x f +=2满足：对任意实数y x ,，有()()()()y f x f y x f xy f ≥++.答案：1、5- 代元素检验，2-、3-满足条件，故和为5-；2、2 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222,4y y B ，故0416212221=++y y y y ，821-=y y ，()0,1F ，24222121==⋅=⋅∆∆y y y OF y OF S S OFB OFA ；3、11 ()10sin 10cos sin sin cos cos cos cos AA CBC B C B A +-=+-=+-=，所以A A cos 11sin =， 11cos sin tan ==AAA ； 4、62 Sr V 31=，其中r 为内切球半径，S 为表面积，根据数据可算出， 12624331=⨯⨯=V ，()32363212134322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯+=S ，故62=r ； 5、41 一次函数区间端点取最值，故⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤11b a b ，由于121222≤++⇒≤+ab b a b a ，且ab b a 222≥+，故4114≤⇒≤ab ab ，取“=”时，21==b a ； 6、323232 20个数选5个共有520C 种情况，5个数全不相邻共有516C 种情况（插空法），故至少有两个 相邻的概率为3232321520516=-C C ；7、{}[]20,40 由题意0≥≥y x ，令0≥-=y x m ，0≥=y n ，故22n m x +=，等式可化为m n n m 2422=-+，即()()52122=-+-n m ，故n m ,为圆上的点，且0≥m ，0≥n ，再根据几何意义，x 为满足等式的点()n m ,到坐标原点的距离的平方，算出∈x {}[]20,40 ；8、491 由于119892312==⨯⨯⨯a a a a a a a a ，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+21,1,21i i a a ，故每一个比值在选取数值时，选21-的 比值个数为偶数，结合8个比值成绩为1，可知选21-的个数与选2的个数必相同，故整体分为 3类：①全选1，1种选法；②2个21-，2个2，4个1，4202628=⨯C C 种； ③4个21-，4个2，7048=C 种；综上，共有491704201=++种选法，故由491个数列；9、证明：2≥n 时，12-≥n n S S 等价于121-+++≥n n x x x x ， 下面我们对常数141x C =用数学归纳法证明n n C x 2⋅≥； 当1=n 时，24111⨯≥x x 显然成立；2=n 时，2x 211241⨯=≥x x 也成立； 当3≥=k n 时，假设kk C x 2⋅≥成立，有121-+++≥n n x x x x 可得k k x x x x +++≥+ 211()k C C C x 222321⋅++⋅+⋅+≥ ()k C 2222322++++= 12+⋅=k C 成立，故由数学归纳法可得nn C x 2⋅≥成立.10、证明：令22b a c -=，则()0,1a A -，()0,2a A ，()0,1c F -，()0,2c F .设()00,y x P ，()11,y x Q ，()22,y x R ，其中()010220220≠=+y by a x ，由11PA QA ⊥，22PA QA ⊥可知，()()0010111=+++=⋅y y a x a x P A Q A ，()()0010122=+--=⋅y y a x a x P A Q A ，两式相减可得()0201=+x x a ，即01x x -=，反代可解得02201y a x y -=，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02200,y a x x Q ； 同理可解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--02200,y c x x R ，故02y b QR =，由于(]b y ,00∈，所以b QR ≥. 11、解：由题意，0>a ，0>b ，()()()()b ay b ax b y x a b xy a ++≥++++2222；①取0=x ，不等式化为()()0222≥-+-b b y ab a 恒成立，故100202≤<⇒⎩⎨⎧≥-≥-b b b ab a ； ②取x y -=，不等式化为()()0222242≥-+--b b aby yaa 恒成立，故1002<<⇒>-a a a ，此时，仍需满足()0222222222≥-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛---b b a a b a a a ab y a a 恒成立，故022222≥-+--b b a a b a ， 化简得022≤-+b a ；综上，不等式成立可推出022,10,10≤-+<<≤<b a a b ；同时，由不等式可得()()()()()()()()()22222222222bb axy y xab a xy aa bay b ax b y x a b xy a -+++-+-=++-++++，其中xy y x 222≥+，在推出条件下，可得 故(){}22,10,10,≤+≤<<<b a b a b a . ()()()()()()()()()()()02211222222222222≥---+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-++-+-≥++-++++b a a b a b xy a a b b axy xy ab a xy a a bay b ax b y x a b xy a。