人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习赢在高考(圆锥曲线)
高中数学人教A版选修2-1练习课件第二章 圆锥曲线与方程 复习总结精选ppt课件
(2)[完美作答] 以l1为x轴，l2为y轴建立平面直角坐标系， M为坐标原点．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、 D、F.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，N(xN,0)．
依题意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3， yA＝|DM|＝ |AM|2－|DA|2＝2 2. ∵△AMN是锐角三角形， ∴xN＝|ME|＋|EN| ＝|ME|＋ |AN|2－|AE|2＝4， xB＝|BF|＝|BN|＝6. 设P(x，y)是曲线段C上任一点， 则P∈{(x，y)|(x－xN)2＋y2＝x2，xA≤x≤xB，y>0}． ∴曲线段C的方程为y2＝8(x－2)(3≤x≤6，y>0)．
第二章 圆锥曲线与方程
章末复习总结
一、轨迹方程问题 求轨迹方程的几种常用方法 (1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何 条件直接寻求x，y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动 点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所 求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足 的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系 式．
直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系综合题，往往因综合性强，难 度偏大，从而使很多同学遇到圆锥曲线题后感到无从下手，因 此有些同学选择对其置之不理，先将其他题目完成后再做圆锥 曲线题(考试过程中)，这样一由于时间紧张，二由于无从下手， 三由于运算量大，有些同学不得不放弃，从而造成遗憾．实际 上直线与圆锥曲线综合题的求解是有一定的规律可循的，如下 规律不妨试一试，共分六步，每步都有一定的步骤得分，因此 要求步骤要全且规范，争取做到能得分且得分．
例3
[2013·安徽高考]设椭圆E：
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习例析运用圆锥曲线定义解答探索性问题的策略
例析运用圆锥曲线定义解答探索性问题的策略 慕芸蔚 在解析几何中，灵活运用圆锥曲线定义解题，往往能收到避繁就简，达到事半功倍之效.在解决与圆锥曲线有关的探索性中更能显示出特殊的功效，下面举例说明. 一、解答椭圆中的探索性问题例1 已知椭圆x 24+y 23=1，能否在椭圆的位于y 轴左侧部分，找到一点M ，使M 到左准线L 的距离|MN |等于M 到两个焦点F 、F 距离的等比中项？说明理由.分析与解：本题涉及到椭圆的两个焦点与准线，因此可考虑利用椭圆的第一定义和第二定义进行解答.由椭圆方程知a 2=4，b 2=3，所以c =1，左准线L 的方程x =-4，假设存在满足条件的点M (x ,y )，则|MN |=x +4.由椭圆第二定义得|MF 1|=e |MN |=12(x +4)(如右图)， 又由椭圆的第一定义得|MF 2|=2a -|MF 1|=2﹣12x ， 由条件|MN |2=|MF 1|·|MF 2|得 (x +4)2=12(x +4)(2﹣12x ) 解之得x =-4，x =﹣125. 由于椭圆上所有点的横坐标必须满足x ∈[-2，2]，但-4∉[-2，2]，﹣125∉[-2，2]. 故不存在点M 使M 到左准线L 的距离|MN |等于M 到两个焦点F 1、F 2距离的等比中项. 评注：本题的解法体现了方程的思想的应用，主要是充分利用椭圆的两个定义，建立两个方程，从而达到解题的目的.二、解答双曲线中的探索性问题例2 已知双曲线x 225﹣y 2144=1的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，右准线为L ，能否在曲线的右半支上找到点P ，使得|PF 2|2=d ·|PF 1|(d 是P 到L 的距离).分析与解：本题涉及到双曲线的两个焦点与一条准线，因此考虑利用双曲线的定义.由已知曲线方程，得a =5，b =12，c =a 2+b 2=13，e =c a =135. 假设存在P (x ,y )满足条件，则x ≥5.根据双曲线的第二定义，得|PF 2|d =e =135. 因为|PF 2|2=d ·|PF 1|，∴|PF 1||PF 2|=|PF 2|d =e =135① 又由曲线的第一定义，得|PF 1|﹣|PF 2|=2a =10②由①、②解得|PF 2|=254，|PF 1|=654， ∴|PF 2|+|PF 1|=452<26，而|F 1F 2|=2c=26，∴|PF 2|+|PF 1|<|F 1F 2|.∴出现矛盾，故不存在P 使|PF 2|2=d ·|PF 1|.三、解答抛物线中的探索性问题例3 要使抛物线y 2=4x 上点P 到点A (4，1)的距离与P 点到焦点F 的距离和|PA |+|PF |最小，这样的点P 是否存在？若不存在，说明理由，若存在，求出点P 的坐标.分析与解：过点A 作x 轴平行线，交抛物线于点P ，交抛物线的准线于点B ，任取抛物线上异于P 的点P '，连结P 'A ，过P '作x 轴的平行线交准线于点C ，如图，则根据抛物线的定义，|PF |=|PB |∴|PA |+|PF |=|PA |+|PB |≤|P 'A |+|P 'C |.所以，像上面这样作出的点P 就能使|PA |+|PF |最小，.因为y P =1，所以x P =14y P 2==14，因此点P 的坐标为(14，1). 评注：本题用直接构造法给问题一个确定的答案，其解题过程通过利用抛物线的定义进行转化，充分体现了一个“化折为直”思想.例3 设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．试问直线AC 是否过一定点，若不过定点，说明理由；若过定点，求出定点的坐标．分析与解：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则AD ∥FE ∥BC ．连结AC ，与EF 相交手点N ，则|EN ||AD |=|CN ||AC |=|BF ||AB |，|NF ||BC |=|AF ||AB |， 根据抛物线的定义，得|AF |=|AD |，|BF |=|BC | ，∴|EN |=|AD ||BF ||AB |=|AF ||BC ||AB |=|NF | 即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过定点O ．其坐标为(0，0). 评注：本题在充分利用抛物线定义的同时，通过结合平面几何的知识(平行线分线段成比例)进行转化，从而达到快速解题的目的.。
【高中数学教学课件】人教A版高中数学选修2-1：第二章 圆锥曲线小结复习 课件
例6.如图,过抛物线y2 x上一点A(4, 2)作倾斜 角互补的两条直线AB, AC ,交抛物线于B,C 两点,求证 : 直线BC的斜率为定值.
解 : (1)设kAB k,kAC k, AB的方程为 : y k( x 4) 2,代入抛物线方程得 :
k 2 x2 (8k 2 4k 1)x 16k 2 16k 4 0,
x2 a2
y2 b2
1
a
0, b
0
y2 a2
x2 b2
1
a
0, b
0
抛物线的标准方程：
y2 2 px p 0 x2 2 py p 0
l
椭
d . .M
F
圆
l d .M
抛 物
.
F
线
l d.M
双 曲
.
F
线
范围 对称性 顶点 离心率 焦点、准线 焦半径 渐进线(双曲线）
直线与圆锥曲线的位置关系：
直线与圆锥曲线的交点
△0
直线与圆锥曲线的弦长
(过焦点)
| AB | 1 k 2 |a|
直线与圆锥曲线的弦中点
韦达定理 或点差法
问题：
1、圆锥曲线的标准方程
2、直线与圆锥曲线的位置关系
3、直线与圆锥曲线的弦长 4、直线与圆锥曲线的弦的中点
5、圆锥曲线综合题
例1：方程x2 sin y2 cos 1(0 2 )
(1)求以A(2,1)为中点的弦的直线方程；
（2）过B(1,1)是否存在直线l，使B为弦的中点。
解：xx12（ 22 1）yy2122设22 交11点相坐减直 标得为线: 方 yx(11x1程, xyy为 212),：(x22(yy,x11y2)y4x22x)
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习例谈圆锥曲线中的模型结论
例谈圆锥曲线中的模型结论河南 陈建新模型结论1.①在椭圆 12222＝＋by a x (a ＞b ＞0)中, 1F 、2F 是左右焦点，M 是椭圆上一点，∠21MF F ＝θ，则2tan 2MF F 21θ＝△b S .②在双曲线12222＝－by a x ( (a 、b ∈R +)中, 1F 、2F 是左右焦点，M 是双曲线上一点，∠21MF F ＝θ，则2cot 2MF F 21θ＝△b S .证明：结论① 由⎩⎨⎧θ－＋＝＝＋cos |MF |||2||||||2a |MF |||21222122121MF MF MFF F MF得：|MF 1|·|MF 2|＝θcos 122+b21MF F △S ＝ 21|MF 1|·|MF 2|·sin θ＝21·θcos 122+b · sin θ＝θθcos 1sin 2+b ＝2tan 2θb .同理可证结论②。
例1．在双曲线1251622＝－y x 上一点P 与两焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为 。
解析：由模型结论1得：2cot 2PF F 21θ＝△b S ＝25×cot45 ＝25.模型结论2.①在椭圆中，以过焦点的弦为直径的圆与相应准线相离； ②在双曲线中，以过焦点的弦为直径的圆与相应准线相交； ③在抛物线中，以过焦点的弦为直径的圆与准线相切。
以椭圆为例简要证明： 如图所示：由第二定义知， |AF|＝e|AA 1| , |BF|＝e|BB 1| , 圆的半径R ＝|AB|＝21（|AF|＋ |BF|）＝2e（|AA 1|＋|BB 1|）＝e ·21（|AA 1|＋|BB 1|）＝e ·d (d 为圆心到准线的距离)在椭圆中e ＜1,故R ＜d . 即为所证。
例2.在双曲线191622＝－y x 中，过左焦点的直线AB 分别与双曲线相交于A 、B ，则以AB 为直径的圆与直线x ＝－516的位置关系是（ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 解析：x ＝－516为该双曲线的左准线，由模型结论2得该直线与以AB 为直径的圆相交，故选A 。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习圆锥曲线中的数学思想
圆锥曲线中的数学思想山东 秦振数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁。
解决圆锥曲线问题经常用到各种基本数学思想，掌握这些数学思想有利于提高我们分析问题和解决问题的能力。
下面介绍数学思想在圆锥曲线中的应用，供大家参考。
一、函数思想利用函数的有关性质，解决圆锥曲线的有关问题。
即以运动和变化的观点，分析圆锥曲线问题的数量关系，建立函数关系，运用函数的图象和性质求解，从而使问题获得解决。
例1 如图1所示，曲边梯形由曲线21y x =+及直线0y =，x=1，x =2所围成，试问通过曲线21y x =+，[]12x ∈，上的哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。
分析 先求出适合条件[]12x ∈，的一条切线方程，再求出这条切线与直线x=1，x =2的交点坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式，再求最值。
解 设[]012x ∈，，点()2001x x +，为曲线21y x =+上一点，过这点的切线的斜率是002y x '=，故切线方程是20021y x x x =-+①。
切线①与x=1，的交点纵坐标是210021y x x =-+，与x =2的交点的纵坐标是22041y x x =-+。
所以切线①在曲边梯形上切出梯形的中位线长21200312y y x x +=-+，梯形的高为1。
故普通梯形的面积20031S x x =-+2031324x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭。
当032x =时，S 最大。
故过点31324⎛⎫ ⎪⎝⎭，作切线能切出最大面积的普通梯形。
评注 在解圆锥曲线中的最值或次数的取值范围问题时，通常转化为函数问题，结合具体的函数性质求解，这样可以使问题化难为易，化繁为简，是一个重要的解题策略。
如果函数解析式中含有参数，一般要根据定义域和参数的特点分类讨论。
二、方程思想圆锥曲线问题，大部分题目都以二元二次方程形式给出的，因此，根据题目中的其它数量关系再列出方程与原方程联立，并运用方程（组）的有关性质求解，从而简化解题过程，减少运算量。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习立体几何与圆锥曲线的完美结合
立体+曲线 =“综合+创新”浙江 陈冬良新教材的改革使得试题日趋综合化，知识间的网络考查也日趋增多。
此类试题更能考查学生的综合、创新能力,起到一个选拔的功能。
立体几何常规考查往往是“立体+直线”型的综合，“立体+曲线”使得立体几何与平面几何、解析几何有机的结合，这也是现在考查的一个热点，以下是笔者教学中的一些点滴积累，供参阅。
一.立体+圆例1．1）(如图)已知平面α内一线段AB ，α⊥PA 于A 点,过B点在平面α内任作一直线l (不重合与AB)，又过P 作点于E l PE ⊥,问：E 点在平面α内的轨迹是______________解：连结AE ，由三垂线定理得AE l ⊥，由圆的性质得E 点轨迹为以AB 为直径的圆周(去掉A 、B 两点)2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离为233的点的集合形成一条曲线(此曲线不一定在同一平面上)，则此曲线的长度为_______________.解：由题意可得曲线是以A 为公共点的三个面上三段圆周,分离一个平面上的轨迹，如图所示，计算得是以A 为圆心，233为半径的圆周的121，三段之和为圆周的41，故曲线的长度为3322⋅π=33π. 3)已知平面α//平面β,直线,l P l α⊂∈点,平面α,β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是A.一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点解：如图，设点P 在平面β上的射影是O ，则OP 是平面α，β的公垂线段，OP=8。
在β内到点P 的距离等于10的点到O 点的距离等于6,故点的集合是以O 为圆心，以6为半径的圆。
在β内到直线l 的距离等于9的点的集合是两条平行直线m,n ，它们到点O 的距离都等于2298176-=<,所以直线m,n 与这个圆均相交，共有四个交点，因此所求点的轨迹是四个点。
故应选C 。
α m nO P l β评注：圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹,在立体几何中渗透使得考查新颖独特.读者可自行处理以下一试题：如图，正方体ABCD_A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 是BC 的中点，点P 是平面ABCD 内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A 1D 1的距离为5，则点P 的轨迹是A ．圆 B.双曲线C .两个点 D.直线 二.立体+椭圆 例2.1)一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆．已知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母线长为1，则该几何体的体积等于 ．解：由题可知，圆柱直径即为椭圆的短轴长4，被截后几何体的最长侧面母线长为1+2245-=4,由椭圆的对称性可把被截后几何体切割后补成高为25的圆柱(过椭圆短轴作平行底面的平面截几何体上面部分刚好补全下方圆柱所缺部分)，则V=ππ102522=⋅⋅=⋅h S 底. 另解：可在几何体上面补一个同样大小的几何体，使其成为高为5的圆柱，则V=ππ105221212=⋅⋅=⋅h S 底. 评注：切与割是立体几何中求体积常用的方法，但上面的切割应建立在椭圆对称性的基础之上的。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习高考圆锥曲线透视
透视高考《圆锥曲线》熊有画（江西南昌实验中学330006）大纲解读：分类展示高考要求，明晰把握高考大纲，预测08高考题型。
1考试内容：圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）标准方程，圆锥曲线简单几何性质，椭圆的参数方程。
2考试要求：掌握圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义，标准方程及其简单几何性质，了解圆锥曲线的简单应用，结合教学内容进行运动、变化观点的教育。
3考点分析：高考对圆锥曲线知识的考查在选择题、填空题、解答题中均会出现，选择题、填空题通常考查圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义，标准方程及其简单几何性质，了解圆锥曲线的简单应用，分值占5～10分，而解答题通常考查圆锥曲线的轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合应用，分值占12分。
考点主要有：（1）考查对圆锥曲线概念的认识和理解，如运用圆锥曲线的定义解题，计算圆锥曲线的标准方程，借助圆锥曲线的几何性质求解椭圆、双曲线的离心率，圆锥曲线的准线方程等；（2）以其它知识（如平面向量、数列、立体几何等、）为载体考查圆锥曲线轨迹方程、离心率、双曲线的渐近线等知识；或以圆锥曲线为载体考查其它知识（如平面向量的运算、三角函数的化简、函数方程的根的分布等），突出考查学生数学知识网络的交汇点、数学语言能力的转换和使用、圆锥曲线综合运用能力，直线与圆锥曲线的关系等，运用数形结合的思想、函数方程思想，分类与整合思想等数学思想分析问题与解决问题的能力；(3)以圆锥曲线为背景的应用性题型，具有构思独特、巧妙新颖、解法灵活等特点，主要考查学生的对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”及创造性的解决问题的能力，培养与加强学生数学应用意识。
高考预测：预测在08年高考试题中仍可能会在选择题、填空题中出现5～10分的容易题或中档题，主要考查对圆锥曲线概念的认识与理解，或是以圆锥曲线为背景的应用性试题的运用，考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等，在解答题中继续保持12分的中档题或偏难度题题型，结合平面向量、数列、三角函数、函数方程等考查圆锥曲线的综合知识、圆锥曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的关系。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习“圆锥曲线复习点滴
“圆锥曲线”复习点滴刘明远解析几何是中学数学的重点和难点，而圆锥曲线是重中之重，新课程标准对这一章的要求也比较高。
要学好圆锥曲线，必须熟悉各种圆锥曲线的有关概念和各种类型的标准方程，以及准线方程和渐近线方程等。
并且由曲线方程能迅速地找出有关点的坐标和有关的参量。
另外在这一章学习中还要特别注意以下几方面问题。
1.对概念、定义要牢固地掌握和深刻理解.对于定义必须学会用数学语言表达，但不能停留在死记硬背及形式上。
知识不是装饰品而是工具，更应该会用知识来解决问题。
况且，在学习知识的过程中又有好多好方法。
如：椭圆，双曲线的两个定义的应用就非常灵活，应用它们解题，可使许多问题得到简化。
2.熟记圆锥曲线中常见问题及相应的处理策略.圆锥曲线中有很多经典的题型，我们应该熟练掌握其解决方法，如直线与圆锥曲线的位置关系问题的处理方法，焦点弦、中点弦的处理方法，轨迹问题的处理方法，另外还有最值问题、定值问题、对称问题、存在性的问题等等。
3.注意圆锥曲线和其他知识的联系.数学是一个有机的整体，各部分之间均有内在的联系。
所以对中学阶段所学知识要有一个整体认识和比较全面、系统的了解，再经过自己的消化，理解，领会精神后、融化在头脑中，这样应用起来才会自如。
圆锥曲线与函数与方程的联系居多，常用函数与方程的思想处理圆锥曲线问题；圆锥曲线与不等式的联系主要是讨论参数的取值范围、最值问题等；与三角的联系多在圆锥曲线参数方程的运用上；与平面向量的联系则是利用向量来解圆锥曲线问题。
典型例题分析例 1. (2005年高考福建理科卷)已知12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+解析：设边1MF 的中点为P ，则12PF F ∆是直角三角形，且12||2F F c =，1||2sin603PF c c ==，2||2cos 60PF c c ==。
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赢在高考，智者晋级（圆锥曲线） 设x 1、x 2∈R ，常数a ＞0，定义运算“⊕”：2
2121)(x x x x +=⊕，定义运算“⊗” ：22121)(x x x x -=⊗；对于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），定义.)(21y y AB d ⊗= （Ⅰ）若;))()(,(,0C a x a x x P x 的轨迹求动点⊗-⊕≥
（Ⅱ）已知直线与12
1:1+=x y l （I ）中轨迹C 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，若158)()(2121=⊗+⊗y y x x ，试求a 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中条件下，若直线l 2不过原点且与y 轴交于点S ，与x 轴交于点T ，并且
与（Ⅰ）中轨迹C 交于不同的两点P 、Q ，试求)()
()()
(SQ d ST d SP d ST d +的取值范围.
解：（Ⅰ）设,)()(a x a x y ⊗-⊕=
则,4)()()()(222ax a x a x a x a x y =--+=⊗-⊕=
又由,0)()(≥⊗-⊕=a x a x y
可得)()(,(a x a x x P ⊗-⊕的轨迹方程为)0(42
≥=y ax y ，
轨迹C 为顶点在原点，焦点为（a ，0）的抛物线在x 轴上及第一象限的内的部分； （Ⅱ）由已知可得,04)164(,121422=+-+⎪⎩
⎪⎨⎧+==x a x x y ax y 整理得 由,01681616)164(2
22≥⨯-=--=∆a a a 得.02
1≤≥
a a 或 .21,0≥∴>a a 2212212121)()()()(y y x x y y x x -+-=⊗+⊗∴
221221)2
()(x x x x -+-= 15816)164(2
54)(25221221=--=-+=a x x x x ， 解得2
12-==a a 或（舍）.
（Ⅲ）2121)(y y y y AB d -=⊗= ，
SQ ST
SP ST
SQ d ST d SP d ST d +=+∴)
()
()()
( 设直线l 2：x=my+c ，
依题意m ≠0，c ≠0，则T （c ，0） 分别过P 、Q 作PP 1⊥y 轴，QQ 1⊥y 轴，垂足分别为P 1、Q 1，则 .||||11Q P x c
x c QQ OT PP OT
SQ ST
SP ST
+=+=+
由.0)82(82222=++-⎩⎨⎧+==c x m c x y c
my x x y 得消去 .21||21||2)||1||1(2==≥+=+c c x x c x x c SQ ST
SP ST
Q P Q P P x 、Q x 取不相等的正数，
∴取等的条件不成立，
).,2(|
)(||)(||)(||)(|+∞+∴
的取值范围是SQ d ST d SP d ST d。