2020届重庆市江津中学、实验中学等七校高三下学期6月联考(三诊)数学(理)试题解析
2020届重庆市江津中学、实验中学等七校2017级高三6月联考(三诊)理科综合生物试卷参考答案
七校高2020级第三次诊断性考试理科综合答案生物ACDDBA29．（每空2分，共10分）（1）ATP和[H]（2分）Rubisco酶（2分）（2）高光照强度条件下的限制性因素是Rubisco 酶的数量，而低光照强度条件下，限制性因素是光照强度，野生型因叶绿素含量较高，光合速率较高（合理即可，2分）（3）高（2分）（4）适当降低水稻叶片中叶绿素的含量（2分）30．（除特殊标注外,每空1分,共10分）（1）血浆和淋巴（2）淋巴因子和抗原（2分）效应T细胞抗体（3）脑干体液调节和神经调节（2分）维持生物内部环境稳定，抵御外界各种因素干扰（2分）31．（除特殊标注外,每空1分,共10分）（1）抵抗力化学生物（2）生态系统的组成成分、食物链食物网（营养结构）（2分）实现了物质循环再生和能量的多级利用（2分）（3）标志重捕法第一次被捕捉的鼠，再次被捕捉的难度增大（或标志物脱落；被标记的鼠更容易被天敌捕食，答案合理即可）（2分）32．（共9分）（1）4种（1分）蓝花∶白花=5∶1（2分）（2）①重复（1分）蓝色（1分）②结果预测：若子代中蓝花∶紫花=1∶1 ，则其为突变体甲；（2分）若子代中蓝花：紫花= 1∶3 则其为突变体乙。
（2分）37．（15分，除标注外，每空2分）（1）该选择培养基中的唯一氮源是尿素（2）稀释涂布平板法酚红红（3）①②③（1分）（4）①②③（5）灭菌38．（15分，除标注外，每空2分）（1）细胞核（1分）（2）ES细胞具有发育的全能性（3）基因表达载体 B 和CHindⅢ和PstⅠ或EcoRⅠ和PstⅠ（共4分，一个组合2分）（4）绿抗原-抗体杂交七校高2020级第三次诊断性考试 生物答案 第1页 共1页2020届重庆市江津中学、实验中学等七校2017级高三6月联考（三诊）理科综合生物试卷。
2020届重庆市七校高三下学期联考数学(理)试卷及解析
2020届重庆市七校高三下学期七校联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（本大题共12道小题,每小题5分,共60分）1.已知集合2{|2}A x x =<,201x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭,则A B =（ ）A. ([)1,-∞-+∞B. (-C. ⎡-⎣D. 2⎤⎦【答案】B【解析】先分别求出集合A 与B,再利用集合的交集运算进行求解.【详解】{2{|2}A x x x x =<=<<；{}20121x B x x x x ⎧⎫-=≤-<≤⎨⎬+⎩⎭,∴(A B ⋂=-.故选：B.2.已知,,a b c ∈R ,则“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义以及等比数列的性质判断即可.【详解】由“实数,,a b c 均不为零”推不出“实数,,a b c 成等比数列”,比如1a =,2b =,3c =,反之成立,所以“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断,涉及的知识点包括等比数列的性质,举反例是解决本题的关键,属于基础题.判断p 是q 的什么条件,需要从两方面分析：一是由条件p 能否推出条件q ；二是由条件q 能否推出条件p .3.如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6,k ＋1)共线且方向相反,那么k 的值为( )A. －3B. 2C. －17D. 17【答案】A【解析】由题意可得 （k,1）=λ （6,k+1）,λ＜0,即 k=6λ,1=（k+1）λ,解得 k 值． 【详解】∵向量()1a k =，与()61b k =+，共线且方向相反,∴（k,1）=λ （6,k+1）,λ＜0, ∴k=6λ,1=（k+1）λ,解得 k=﹣3,故答案为：A4.若函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ,且,0a b >）可化为)y x ϕ=-,则ϕ应满足条件（ ） A. tan b a ϕ=B. cos ϕ=C. tan a b ϕ=D. sin ϕ=【答案】C【解析】先逆用两角和的正弦公式进行化简,再结合诱导公式,得到22k πϕθπ-=+,进而求得tan a b ϕ=. 【详解】sin cos y a x b x =+x x ⎫=+⎪⎭)x θ+, 其中tan b aθ=, 函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ,且,0a b >）可化为)y x ϕ=-,。
2020届重庆市江津中学、合川中学等七校高三第三次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市高三第三次诊断性联考数学（理）试题一、单选题1．命题“0x ∃∈R ，使02x e x <+”否定是（ ） A ．x ∀∈R ，2x e x <+ B ．x ∀∈R ，2x e x ≥+ C ．x ∀∉R ，2x e x <+ D ．x ∀∈R ，2x e x >+【答案】B【解析】根据特称命题的否定定义,即可得解. 【详解】由特称命题的否定可知, 0x ∃∈R ,使02x e x <+否定是 x ∀∈R ,2x e x ≥+故选B 【点睛】本题考查了特称命题的否定形式,属于基础题.2．集合{|0}A x =≥，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{1,0,1,2}- B ．{1,0,1}-C ．{0,1,2}D ．{1,2,3}【答案】B【解析】根据二次根式有意义的条件求得集合A,再根据交集运算即可求得A B I . 【详解】集合{|0}A x =≥,即{|1}A x x =≤ 因为{1,0,1,2,3}B =-所以{}|1{1,0,1,2,3}A x x B ≤-=I I{}1,0,1=-故选:B 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,集合交集的运算,属于基础题.3．已知i 是虚数单位，复数2(12)i -的共轭复数虚部为 A ．4i B ．3 C ．4 D ．4-【答案】C【解析】先化复数为代数形式，再根据共轭复数概念以及虚部概念得结果. 【详解】因为()21234i i -=--，所以复数()212i -的共轭复数为34i -+，因此虚部为4，选C. 【点睛】本题考查共轭复数概念以及虚部概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是( ) A ．5 B ．7C ．9D ．3【答案】A【解析】根据等差数列性质求6a 的值. 【详解】因为9235S S -=，所以3456789++++++=35a a a a a a a ，即667=35=5.a a ，选A. 【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.5．有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C 【解析】略6．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则C 的渐近线方程为（ ）A ．13y x =±B ．3y x =C ．3y x =D ．3y x =±【答案】B【解析】设出渐近线方程,根据直线与圆相切可知圆心到直线的距离等于半径,解方程即可求得直线方程的斜率,代入即可得渐近线方程.【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>设双曲线的渐近线方程为y kx=±,即0kx y±=因为双曲线的渐近线与圆22(2)1x y-+=相切,圆心为()2,0,半径1r=则圆心到双曲线渐近线的距离等于半径,由点到直线距离公式可得2211kdk==+解方程可得3k=±所以双曲线的渐近线方程为3y x=±故选:B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程,点到直线距离公式的用法,属于基础题.7．阅读如图程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（）A．3i≤B．4i≤C．5i≤D．6i≤【答案】B【解析】根据程序框图的结构,可知作用为求和.依次列出前几次循环,即可得输出值为30时的i值,进而得判断框里的不等式.【详解】由程序框图可知,0,1S i==(1) 1022,2S i=+==是(2) 2226,3S i =+== 是 (3) 36214,4S i =+== 是 (4) 414230,5S i =+== 否 由以上循环可知, 4i ≤ 故选:B 【点睛】本题考查了循环结构在程序框图中的应用,由输出结果确定判断框内容,属于基础题. 8．定义在R 上的奇函数()f x 满足： ()()11f x f x +=-，且当10x -<<时，()21x f x =-，则()2log 20f =（ ）A ．14 B ．14- C ．15- D ．15【答案】D【解析】由()()11f x f x +=-可知函数()f x 是周期为2的周期函数，所以()()()()()()22log 52222241log 202log 5log 5log 522log 521155f f f f f -⎛⎫=+==-=--=--=--=⎪⎝⎭，故选D.9．已知函数()()sin 3cos f x x x x R =∈, 先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得到的图象关于直线34x π=对称， 则θ的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．512πD ．23π【答案】A【解析】试题分析： ()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得()()2sin 23h x x πθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2sin 223x πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则322432k πππθπ⨯-+=+， k Z ∈， 2,23k k Z ππθ=-+∈，因为0θ>，最小值为2236πππθ=-+=．故选A ．【考点】三角函数图象变换，三角函数的对称轴．10．已知三棱锥A BCD -的四个顶点都在同一个球的球面上，3AB =，3BC =，23AC =，若三棱锥A BCD -体积的最大值为332，则该球的表面积为（ ） A ．323πB ．12πC ．16πD ．36π【答案】C【解析】根据三角形三条边可知ABC ∆为直角三角形,由体积最大可求得高的最大值.高取得最大值时,结合球的性质即可求出球的半径,进而求得表面积. 【详解】因为3AB =,3BC =,23AC =满足222AB BC AC +=,则ABC ∆为直角三角形三棱锥A BCD -体积即为三棱锥D ABC -的体积,当体积取最大值时,高取得最大值 由三棱锥体积公式可得13ABC V S h ∆=⨯,即331133232h =⨯⨯⨯⨯ 解得3h = 如下图所示:设球心为O,AC 中点为E,球的半径为R . 则222OE CE OC +=,即()22233R R -+=解方程可得2R =由球的表面积公式24S R π= 代入可得24216S ππ=⨯= 故选:C 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的性质及表面积公式的用法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.11．已知抛物线216C: y x =，焦点为F ，直线:1l x =-，点∈A l ，线段AF 与抛物线C 的交点为B ，若||5||FA FB =，则||FA =（ ） A ．2B ．35C ．43D ．40【答案】B【解析】根据抛物线的方程,可得焦点坐标.设A 、B 点坐标,由||5||FA FB =可得A 与B 点的关系,结合BF AF k k =即可求A 点坐标,进而得||FA . 【详解】抛物线216C: y x = 所以焦点坐标为()4,0F 因为∈A l ,设()()1,,,A a B m n -因为B 在抛物线216 y x =上,则216 n m =,即2,16n B n ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭又因为||5||FA FB =则5a n =,不妨设点A 在x 轴的上方,则5a n =,()0n >即()1,5A n - 因为A B F 、、在同一条直线上 则BF AF k k =所以25014416n n n --=---,化简可得248n =,解得43n =43n =-(舍)所以()1,203A -则()()2214203122535FA =--+==故选:B 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线性质的简单应用,属于基础题.12．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11A B 上移动，EAB θ∠=(0,)2πθ∈，过直线,AE AD 的平面ADFE 将正方体分成两部分，记棱BC 所在部分的体积为()V θ，则函数(),(0,)2V V πθθ=∈的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：当时，，则三棱柱的体积为，当时，，则棱所在部分的体积为，则函数的图象关于点对称；故选C．【考点】1.几何体的体积；2.三角函数的图象与性质．【思路点睛】本题考查几何体的体积公式、分段函数的图象、正切函数的图象与性质，是三角函数与立体几何结合的综合题目，属于中档题；因为过直线,AE AD的平面ADFE是变化的，棱BC所在部分的几何体的形状是不固定的，属于要注意找出分界点，确定几何体的形状，选择合理的体积公式进行求解.二、填空题13．()22,21,22x xf xx xx⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩，则()()1f f-的值为________.【答案】4【解析】根据解析式,代入即可得()1f-.再代入即可求得()()1f f-的值.【详解】∵()22,21,22x xf xx xx⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩∴2(1)(1)23f-=-+=∴()()11(3)3432f f f-==+=-【点睛】本题考查了分段函数的求值,根据自变量的值选择合适的解析式代入,属于基础题.14．若x，y满足，则的最小值为____【答案】2【解析】画出不等式组表示的可行域，将变形为，移动直线并结合图形得到最优解，进而得到所求的最小值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由可得．平移直线，由图形得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．由解得，所以点A的坐标为．所以．故答案为2．【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.正视图侧视图俯视图53【解析】根据三视图,可得空间几何体的形状为三棱柱剪去一个小的三棱锥.求得三棱柱的体积和小三棱锥的体积,即可求得该几何体的体积. 【详解】由三视图可知,几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥, 三棱柱的体积1V 为：1232232⨯=剪去的三棱锥体积2V 为：113231323⨯⨯=所以几何体的体积为：35323=. 【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,由割补法求几何体的体积,属于基础题.16．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，其前n 项积为n T ，则2018T = ．【答案】6-【解析】试题分析：因为11,2111+-==++n n n a a a a ，所以⋅⋅⋅==-=-=,2,31,21,35432a a a a ，即数列{}n a 是以4为周期的数列，且14321=a a a a ，所以6)3(221201820172018-=-⨯===a a a a T ；故填6-．【考点】1.数列的递推公式；2.数列的性质．【思路点睛】本题考查利用数列的首项和递推式求数列的通项公式以及利用数列的周期性求数列的前n 的积，属于中档题；已知数列的首项和递推式求通项或前n 的积（和）时，往往先探究数列通项或和（积）的周期性，如本题中，先通过首项和递推式求出数列的前几项，即可发现该数列的周期性.三、解答题17．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长.cos 2cos b A a B =，3cos B =. （1）求角A 的值； （2）若22c =+ABC ∆的面积.【答案】（1）4π；（2）22+. 【解析】（1）根据同角三角函数关系式,可得sin B ,由正弦定理代入表达式即可求得A . （2）根据正弦和角公式,可代入求得sin C .再由正弦定理可求得b ,结合三角形面积公式即可求得ABC ∆的面积. 【详解】（1）在ABC ∆中,因为3cos B =0B π<< 所以26sin 1cos B B =-= 因为cos 2cos b A a B =由正弦定理,得sin cos 2cos B A A B =,632A A = 所以cos sin A A =若cos 0A =,则sin 0A =,与22sin cos 1A A +=矛盾,故cos 0A ≠ 于是tan 1A = 又因为0A π<< 所以4A π=（2）因为22c =+4A π=,3cos B =,6sin B = 所以2326236sin sin()sin cos cos sin 23236C A B Ac B A B =+=+=+⨯=由正弦定理sin sinb cB C=,得6(22)sin322sin2366c BbC+⨯⋅===+所以ABC∆的面积为112sin22(22)22222S bc A==⨯⨯+⨯=+【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦定理解三角形,三角形面积公式的用法,属于基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是菱形，60DAB∠=︒，PD⊥平面ABCD，1PD AD==，点E，F分别为AB和PD中点.（1）求证：直线//AF平面PEC；（2）求PC与平面PAB所成角的正弦值.【答案】(1)见解析.(2)4214.【解析】【详解】试题分析：（1）作//FM CD交PC于M根据条件可证得AEMF为平行四边形，从而根据线面平行的判定，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，根据条件中的数据可求得平面PAB的一个法向量为3(1,0,)n=r，从而问题可等价转化为求PCuuu r与nr的夹角．试题解析：（1）作//FM CD交PC于M，∵点F为PD中点，∴，∴，AEMF为平行四边形，∴//AF EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴//AF平面PEC；（2）如图所示，建立坐标系，由已知得(0,0,1)P，(0,1,0)C，3(E，31(,,0)2A-，23a c =，∴31(,,1)2AP =-u u u r ，()0,1,0AB =u u u r ，设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =r ，∵0n AB ⋅=u u u r r ，0n AP ⋅=u u u r r ，∴310{2x y z y -++==，取1x =，则3z =，∴平面PAB 的一个法向量为3(1,0,)n =r，∵(0,1,1)PC =-u u u r ， 设向量n r与PC uuu r所成角为θ，∴3422cos 14724n PCn PCθ-⋅===-⨯u u ur r u u ur r ，∴PC 平面PAB 所成角的正弦值为4214．【考点】1．线面平行的判定；2．空间向量求空间角．19．某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人．为了 了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号（1-50号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮测试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：甲抽取的样本数据 编号 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 性别 男 女 男 男 女 男 女 男 女 女 投篮成 绩90607580838575807060乙抽取的样本数据 编号 1 8 10 20 23 28 33 35 43 48 性别 男 男 男 男 男 男 女 女 女 女 投篮成 绩95858570708060657060（Ⅰ）在乙．抽取的样本中任取3人，记投篮优秀的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（Ⅱ）请你根据乙．抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.下面的临界值表供参考：2()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8416.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）分布列见解析，期望为56；（2）有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关；（3）采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．【解析】试题分析：（1）利用超几何分布的概率公式求其概率，列表得到分布列，再利用离散型随机变量的期望公式进行求解；（2）先完成2×2列联表，再利用表格数据和2K 公式求值，再利用临界值表进行判定；（3）根据分层抽样和系统抽样的特点进行判定．优秀 非优秀 合计 男 女 合计10试题解析：（Ⅰ）在乙．抽取的10个样本中，投篮优秀的学生人数为4， ∴X 的取值为0，1,2,3，3,2,1,0,)(310364===-k C C C k X P kk 分布列为：X0 1 2 3P61 21 103 30153031022160=⋅+⋅+⋅+⋅=EX 6分（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得22⨯列联表如下： 优秀 非优秀 合计 男 4 2 6 女 0 4 4 合计 46107分2K 的观测值k 210(4402)4664⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 4.444>3.841， 9分 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． 10分 （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．【考点】1.离散型随机变量的分布列和期望；2.独立性检验思想的应用；3.抽样方法．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为23（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若过点(3,0)-的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，O 为坐标原点，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）7[4,)3-．【解析】（Ⅰ）由椭圆C 的短轴长可得1b =，结合离心率求得a 的值即可确定椭圆方程； （Ⅱ）设直线l 的方程为()3y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，与椭圆方程联立可得()222214243640k xk x k +++-=，结合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算公式可得2257414k OM ON k⋅=-++u u u u v u u u v ，，结合k 的范围确定OM ON ⋅u u u u v u u u v 的取值范围即可. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆C 的短轴长为2，所以22b =，所以1b =，又椭圆C 322213ca b a a --===2a =， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（Ⅱ）由题可设直线l 的方程为()3y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，将()3y k x =+代入2214x y +=，消去y 可得()222214243640k x k x k +++-=，所以()()()2222244143640k kk ∆=-⨯+->，即215k <， 且21222414k x x k +=-+，212236414k x x k-=+， 所以()()()()22212121212121233139OM ON x x y y x x k x k x k x x k x x k ⋅=+=++⋅+=++++u u u u v u u u v()222222222223642441457139414141414k k k k k k k k k k k ⎛⎫--=+⋅+⋅-+==-+ ⎪++++⎝⎭，因为2105k ≤<，所以2257190143k k ≤<+，所以2257744143k k -≤-+<+， 所以OM ON ⋅u u u u v u u u v的取值范围是74,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．设函数\2333()()22x f x e x a =---. （1）若0a >且()f x 在x 0=处的切线垂直于y 轴，求a 的值； （2）若对于任意[0,)x ∈+∞，都有()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）01a ≤≤.【解析】（1）先求得()f x 的导函数,根据()f x 在0x =处的切线垂直于y 轴可知在0x =处的导数等于0,代入即可求得a 的值.（2）根据任意[)0,x ∈+∞,都有()0f x ≥恒成立,则(0)0f ≥成立,代入可得0a ≥.结合函数单调性,使得()f x 在[)0,x ∈+∞上满足单调递增且(0)0f '≥,即可得a 的取值范围.再利用构造函数法,证明()f x 在[0,)x ∈+∞时满足单调递增即可. 【详解】 （1）2333()()22x f x e x a =--- 则22()33()xf x ex a '=--∴2(0)33f a '=-∵0a >且()f x 在0x =处的切线垂直于y 轴 ∴2330a -= ∴1a =±,又0a > ∴1a =（2）对于任意[)0,x ∈+∞,都有()0f x ≥恒成立 则3333(0)()022f a a =---=≥ 所以0a ≥22()33()x f x e x a '=--,[0,)x ∈+∞2(0)330f a '=-≥得21a ≤,所以11a -≤≤,即01a ≤≤下面证明01a ≤≤成立∴0a ≥,令()()()22'33x g x f x e x a ==--,[)0,x ∈+∞ ∴令()()()266xh x g x ex a '==--,[0,)x ∈+∞∴2()126(0)12660x h x e h ''=-≥=-=> ∴函数()h x 在[0,)x ∈+∞上单调递增 由()()0h x h ≥∴()()'0660g x g a '≥=+>∴22()33()x f x e x a '=--在[0,)x ∈+∞上单调递增()2'03f a =-.01a ≤≤时,(0)0f '≥∴()'0f x ≥ ,函数()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增 ∴3()(0)0 f x f a ≥=≥成立 故01a ≤≤ 【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、最值,利用导数研究不等式恒成立问题,综合性强,属于难题.22．【选修4-4，坐标系与参数方程】在直角坐标系中，直线的参数方程为（t 为参数），在以O 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与轴的交点为P ，直线与曲线C 的交点为A,B,求的值.【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）．【解析】试题分析：本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用，，转化方程；第二问，将直线方程与曲线方程联立，消参，得到关于的方程，利用两根之积得到结论. 试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为，，曲线的直角坐标方程为. （Ⅱ）将直线的参数方程（为参数）代入曲线：，得到：， ，.【考点】本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系.23．已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<. （1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）37,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）(0,2).【解析】（1）代入1a =,可得绝对值不等式|1||3|5x x ++-<.分类讨论x 的不同取值范围,即可解不等式.（2）根据绝对值三角不等式的性质,化简后结合不等式有实数解,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时,令()|1||3|5g x x x =++-< 当1x <-时,()225g x x =-+<,解得312x ->>- 当13x -≤<时,()45g x =<,不等式恒成立当3x ≥时,()225g x x =-<,解得732x ≤< 综上所述,不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ （2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+, 所以2255a a -+< 即25255a a -<-+< 解得()0,2a ∈ 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论思想和绝对值三角不等式性质的应用,属于中档题.。
重庆市七校2020届高三下学期联考数学(理)试题 含解析
齐次方程，主要有两个思考方向：一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题
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目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中 的代数的关系建立方程. 11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
f (x)
ab
2
2
cos x
ab
2
2
a2 b2 sin(x
)
，
b
Байду номын сангаас
其中 tan
，
a
y a sin x b cos x
a,b R a, b 0
函数
（其中
，且
）可化为 y
a2 b2 cos(x
)，
sin(x ) cos x
sin( ) sin
x
x
，
即
，
kZ 2 k
2
tan
tan
2
2
，
k 2
cot
tan
tan
，即
，
a
D. 先减后增
【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，先由 f（x+1）＝﹣f（x）确定函数的周期为 2，结合函数的奇偶性与在[﹣1，0] 上单调递减，分析可得答案．
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【详解】根据题意，∵f（x+1）＝﹣f（x）， ∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），∴函数的周期是 2； 又 f（x）在定义域 R 上是偶函数，在[﹣1，0]上是减函数， ∴函数 f（x）在[0，1]上是增函数， ∴函数 f（x）在[1，2]上 是减函数，在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，在[4，5]
2020年重庆市江津中学、实验中学等七校高考数学三诊试卷(理科) (解析版)
2020年高考（理科）数学三诊试卷一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log2x＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，1）2．设z=1+3i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，x03−x02+1≤0B．存在x0∈R，x03−x02+1≤0C．∃x0∈R，x03−x02+1＞0D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞04．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6＝4+a4，则S9＝（）A．18B．24C．48D．365．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β6．如图，给出的是1+13+15+⋯+199的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（）A．i≤99B．i＜99C．i≥99D．i＞997．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式V ≈3112L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．227B ．258C ．289D ．82278．函数f （x ）＝（x ﹣3sin x ）cos x 在[﹣π，π]上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知直线y ＝kx （k ≠0）与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√510．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ） A ．240种B ．120种C ．188种D ．156种11．已知k ∈R ，设函数f(x)={x 2−2kx +2k ，x ≤1(x −k −1)e x+e 3，x ＞1，若关于x 的不等式f （x ）≥0在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．[0，e 2]B ．[2，e 2]C ．[0，4]D ．[0，3]12．函数f （x ）＝sin （2x +θ）+cos 2x ，若f （x ）最大值为G （θ），最小值为g （θ），则（ ）A ．∃θ0∈R ，使G （θ0）+g （θ0）＝πB ．∃θ0∈R ，使G （θ0）﹣g （θ0）＝πC ．∃θ0∈R ，使|G （θ0）•g （θ0）|＝πD ．∃θ0∈R ，使|G(θ0)g(θ0)|=π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a→=（1，1），b→=(m，−2)，且a→∥(a→+2b→)，则m的值等于．14．(x2−2)(1x−1)5展开式的常数项是．15．已知圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1，过直线l：3x+ay﹣5＝0（a＞0）上的任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为√15，则直线l的斜率为．16．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），设b n=1a n+1+1a n+2+1a n+3+⋯+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+13＞b n恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cos A＝a cos C．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=√13，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠BAD=2π3，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，点M是棱PD的中点．（1）求证：CM∥平面PAB；（2）求二面角M﹣AC﹣D的大小．19．某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]300以上空气质 量等级一级 （优） 二级 （良） 三级 （轻度污染） 四级 （中度污染） 五级 （重度污染） 六级 （严重污染）（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）．①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率．20．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为F 1（﹣1，0），C 与y 轴正半轴交点为A ，且，∠AF 1O =π3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为k 1，k 2（k 1k 2≠0）的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M ，N ．证明：当k 2=k1k 1−1时，直线MN 过定点．21．已知函数f （x ）＝alnx ﹣x +a ，g （x ）＝kx ﹣xlnx ﹣b ，其中a ，b ，k ∈R ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若对任意a ∈[1，e ]，任意x ∈[1，e ]，不等式f （x ）≥g （x ）恒成立时最大的k记为c ，当b ∈[1，e ]时，b +c 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），直线l 的参数方程为{x =√3−√32ty =3+12t （t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为（2√3，θ），其中θ∈（π2，π）（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +12|+a |x −32|． （1）当a ＝﹣1时，解不等式f （x ）≤3x ；（2）当a ＝2时，若关于x 的不等式4f （x ）＜2|1﹣b |的解集为空集，求实数b 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |log 2x ＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（0，1）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣1，1）【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ． 解：∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}， B ＝{x |log 2x ＜0}＝{x |0＜x ＜1}， ∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}＝（01，2）． 故选：A ．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．设z =2i1+3i，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 解：∵z =1+3i =√3i)(1+3i)(1−3i)=√32+12i ， ∴在复平面内z 对应的点的坐标为（√32，12），位于第一象限．故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．命题“∀x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是（ ）A ．不存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0B ．存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0C ．∃x 0∈R ，x 03−x 02+1＞0D ．对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可． 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是：存在x 0∈R ，x 03−x 02+1＞0．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6＝4+a4，则S9＝（）A．18B．24C．48D．36【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a6＝4+a4找出首项a1与公差d的关系式求出a5，再代入前n项和的关系式求出S9．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a6＝4+a4可得a1+2d+a1+5d＝4+a1+3d，整理得：a1+4d＝4＝a5，所以S9=9(a1+a9)2=9a5＝36．故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的求法，属于基础题．5．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】由线线、线面平行及面面垂直的判定定理可得：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，则α⊥β，得解．解：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，即选项A正确，故选：A．【点评】本题考查了线线平行及面面垂直的判定定理，属中档题．6．如图，给出的是1+13+15+⋯+199的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（）A．i≤99B．i＜99C．i≥99D．i＞99【分析】由已知中该程序的功能是计算1+13+15+⋯+199的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，由此易给出条件中填写的语句．解：∵该程序的功能是计算1+13+15+⋯+199的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，故判断框中应该填的条件是：i≤99故选：A．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式V≈3112L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．227B．258C．289D．8227【分析】用L ，h 表示出圆锥的体积V =L 2ℎ12π，根据L 2ℎ12π=3112L 2h 计算π即可． 解：由L ＝2πr 可得r =L2π，故圆锥的第面积为S ＝πr 2=L 24π， ∴V =13Sh =L 2ℎ12π，若V ≈3112L 2h ，则112π=3112，故π=11236=289． 故选：C ．【点评】本题考查了圆锥的体积公式，属于基础题．8．函数f （x ）＝（x ﹣3sin x ）cos x 在[﹣π，π]上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】因为f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以根据函数奇偶性的定义可知，函数f （x ）为奇函数，可排除选项B ，对比选项A 、C 和D 后，分别计算出f(π2)=0，f(π6)＜0，可分别排除选项A 和C ，故而得解．解：∵f （﹣x ）＝[﹣x ﹣3sin （﹣x ）]•cos （﹣x ）＝﹣（x ﹣3sin x ）•cos x ＝﹣f （x ）， ∴函数f （x ）为奇函数，排除选项B ， 而f(π2)=(π2−3)×0=0，可排除选项A ， f(π6)=(π6−3×12)×√32＜0，可排除选项C ， 故选：D ．【点评】本题考查函数的图象，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手考虑，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 9．已知直线y ＝kx （k ≠0）与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5【分析】根据以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，得到以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，根据三角形的面积求出B 的坐标，代入双曲线方程进行整理即可． 解：∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ， ∴以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，由对称性知△ABF 的面积S ＝2S △OBF ＝2×12c h ＝ch ＝4a 2，即h =4a 2c，即B 点的纵坐标为y =4a 2c，则由x 2+（4a 2c）2＝c 2，得x 2＝c 2﹣（4a 2c）2＝c 2−16a 4c 2， B 在双曲线上，则c 2−16a 4c 2a 2−16a 4c 2b 2=1， 即c 2a 2−16a 2c 2−16a 4c 2(c 2−a 2)=1，即c 2a −16a 2c （1+a 2c 2−a2）＝1，即c 2a −16a 2c •c 2c −a =1，即c 2a 2−16a 2c 2−a 2=1，即c 2a 2−1=16a 2c 2−a2=c 2−a 2a2， 得16a 4＝（c 2﹣a 2）2，即4a 2＝c 2﹣a 2，得5a 2＝c 2，得c =√5a ，则离心率e =c a =√5a a=√5，方法2：设双曲线的左焦点为F ′，由图象的对称性得，圆O 经过点F ′，且|BF′|＝|AF|，设|BF'|＝|AF|＝m，|BF|＝n，∵BF⊥AF∴S△ABF=12mn＝4a2，m2+n2＝4c2，则mn＝8a2，∵|BF′|﹣|BF|＝2a，∴m﹣n＝2a则m2﹣2mn+n2＝4a2，∴4c2﹣16a2＝4a2，即c2＝5a2，则c=√5a，即离心率e=ca=√5a a=√5，故选：D．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出B的坐标，代入双曲线方程是解决本题的关键．考查学生的运算能力，运算量较大．10．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（）A．240种B．120种C．188种D．156种【分析】根据题意，按甲的位置分3种情况讨论，求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，甲班必须排在前三位，分3种情况讨论：①，甲班排在第一位，丙班、丁班排在一起的情况有4A22＝8种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，此时有8×6＝48种安排方案；②，甲班排在第二位，丙班、丁班排在一起的情况有3A22＝6种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，此时有6×6＝36种安排方案；③、甲班排在第三位，丙班、丁班排在一起的情况有4A22＝8种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，此时有8×6＝48种安排方案；则一共有48+36+48＝120种安排方案；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．11．已知k∈R，设函数f(x)={x2−2kx+2k，x≤1(x−k−1)e x+e3，x＞1，若关于x的不等式f（x）≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为（）A．[0，e2]B．[2，e2]C．[0，4]D．[0，3]【分析】当x≤1时，f（x）＝x2﹣2kx+2k，分k＜1、k≥1两类讨论，可求得k≥0；当x＞1时，f（x）＝（x﹣k﹣1）e x+e3，分k≤1、k＞1两类讨论，可求得k≤3；取其公共部分即可得到答案．解：（1）当x≤1时，f（x）＝x2﹣2kx+2k，∴f（x）的对称轴为x＝k，开口向上．①当k＜1时，f（x）在（﹣∞，k）递减，（k，1）递增，∴当x＝k时，f（x）有最小值，即f（k）≥0，∴0≤k＜1；②当k≥1时，f（x）在（﹣∞，1）上递减，∴当x＝1时，f（x）有最小值，即f（1）＝1，∴1≥0显然成立，此时k≥1．综上得，k≥0；（2）当x＞1时，f（x）＝（x﹣k﹣1）e x+e3，∴f'（x）＝（x﹣k）e x，①′当k≤1时，f（x）在（1，+∞）上递增，∴f（x）＞f（1）＝﹣ke+e3≥0，∴k≤e2，∴此时k≤1；②′当k＞1时，f（x）在（1，k）递减，（k，+∞）递增，∴f（x）≥f（k）＝﹣e k+e3≥0，∴k≤3，∴此时1＜k≤3．综上：0≤k≤3，∵关于x的不等式f（x）≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为0≤k≤3，故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题．12．函数f（x）＝sin（2x+θ）+cos2x，若f（x）最大值为G（θ），最小值为g（θ），则（）A．∃θ0∈R，使G（θ0）+g（θ0）＝πB．∃θ0∈R，使G（θ0）﹣g（θ0）＝πC．∃θ0∈R，使|G（θ0）•g（θ0）|＝πD．∃θ0∈R，使|G(θ0)g(θ0)|=π【分析】由三角函数的辅助角公式得：f（x）＝sin（2x+θ）+cos2x＝cosθ•sin2x+（sinθ+1 2）•cos2x+12=√54+sinθsin（2x+φ）+12，所以G（θ）=√54+sinθ+12，g（θ）=−√54+sinθ+12，由方程有解问题，分别求四个选项的值域判断即可得解．解：f（x）＝sin（2x+θ）+cos2x＝cosθ•sin2x+（sinθ+12）•cos2x+12=√54+sinθsin（2x+φ）+1 2，所以G（θ）=√54+sinθ+12，g（θ）=−√54+sinθ+12，①对于选项A，G（θ0）+g（θ0）=√54+sinθ+12−√54+sinθ+12=1，显然不满足题意，即A错误，②对于选项B，G（θ0）﹣g（θ0）=√54+sinθ+12+√54+sinθ−12=2√54+sinθ∈[1，3]，显然不满足题意，即B错误，③对于选项C，G（θ0）•g（θ0）＝（√54+sinθ+12）•（√54+sinθ−12）＝1+sinθ∈[0，2]，显然不满足题意，即C错误，④对于选项D ，|G(θ)g(θ)|＝|√54+sinθ−12+1|∈[2，+∞），即∃θ0∈R ，使|G(θ0)g(θ0)|=π，故D 正确，故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式及方程有解问题，属难度较大的题型 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（1，1），b →=(m ，−2)，且a →∥(a →+2b →)，则m 的值等于 ﹣2 ．【分析】根据题意，求出a →+2b →的坐标，进而由向量平行的坐标表示公式可得1+2m ＝﹣3，解可得m 的值，即可得答案．解：根据题意，向量a →=（1，1），b →=(m ，−2)， 则a →+2b →=（1+2m ，﹣3），若a →∥(a →+2b →)，则有1+2m ＝﹣3，解可得：m ＝﹣2； 故答案为：﹣2【点评】本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量的坐标计算公式，属于基础题．14．(x 2−2)(1x−1)5展开式的常数项是 ﹣8 ．【分析】把(1x−1)5按照二项式定理展开，可得(x 2−2)(1x−1)5展开式的常数项． 解：(x 2−2)(1x −1)5=（x 2﹣2）•（1x −5x +10x −10x +5x−1）的展开式的常数项为﹣10+2＝﹣8， 故答案为：﹣8．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1，过直线l ：3x +ay ﹣5＝0（a ＞0）上的任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为√15，则直线l 的斜率为 −34．【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，把过直线l ：3x +ay ﹣5＝0（a ＞0）上的任意一点作圆C 的切线，切线长最小转化为圆心到直线l 的距离最小，利用点到直线的距离公式得答案．解：如图，由（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1，得圆心坐标为（3，4），要使切线长最小，即圆心到直线l：3x+ay﹣5＝0（a＞0）的距离最小，∵圆的半径为1，切线长为√15，∴圆心到直线l：3x+ay﹣5＝0（a＞0）的距离等于√12+(√15)2=4．再由√9+a2=4，解得：a＝4．此时直线l的斜率为−3a=−34．故答案为：−3 4．【点评】本题考查了圆的切线方程，考查了直线和圆的位置关系，考查了数学转化思想方法，是中档题．16．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），设b n=1a n+1+1a n+2+1a n+3+⋯+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+13＞b n恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．【分析】通过并项相加可知当n≥2时a n﹣a1＝n+（n﹣1）+…+3+2，进而可得数列{a n}的通项公式a n=12n（n+1），裂项、并项相加可知b n＝2（1n+1−12n+1）=2n2n2+3n+1=22n+1n+3，通过求导可知f（x）＝2x+1x（x≥1）是增函数，进而问题转化为m2﹣mt+13＞（b n）max，由恒成立思想，即可得结论．解：∵a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），当n≥2时，a n﹣a n﹣1＝n，a n﹣1﹣a n﹣2＝n﹣1，…，a2﹣a1＝2，并项相加，得：a n﹣a1＝n+（n﹣1）+…+3+2，∴a n＝1+2+3+…+n=12n（n+1），又∵当n＝1时，a1=12×1×（1+1）＝1也满足上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=12n（n+1），∴b n=1a n+1+1a n+2+1a n+3+⋯+1a2n=2(n+1)(n+2)+2(n+2)(n+3)+⋯+22n(2n+1)＝2（1n+1−1n+2+1n+2−1n+3+⋯+12n−12n+1）＝2（1n+1−12n+1）=2n2n2+3n+1=22n+1n+3，令f（x）＝2x+1x（x≥1），则f′（x）＝2−1x2，∵当x≥1时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x＝1时，f（x）min＝f（1）＝3，即当n＝1时，（b n）max=1 3，对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+13＞b n恒成立，则须使m2﹣mt+13＞（b n）max=13，即m2﹣mt＞0对∀m∈[1，2]恒成立，即t＜m的最小值，可得得t＜1，∴实数t的取值范围为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cos A＝a cos C．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=√13，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）（2b﹣c）cos A＝a cos C，由正弦定理得：（2sin B﹣sin C）cos A＝sin A cos C，再利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得cos A，结合范围A∈（0，π）．解得A．（Ⅱ）利用余弦定理，三角形的面积公式可求b+c的值，即可计算得解三角形的周长．解：（Ⅰ）在三角形ABC中，∵（2b﹣c）cos A＝a cos C，∴由正弦定理得：（2sin B﹣sin C）cos A＝sin A cos C，∴可得：2sin B cos A＝sin C cos A+sin A cos C＝sin（A+C）＝sin B，∵sin B≠0，∴解得：cos A=1 2．∵A∈（0，π）．∴可得：A=π3．（Ⅱ）∵A=π3，a=√13，∴由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：13＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，又∵△ABC的面积为3√3=12bc sin A=√34bc，解得：bc＝12，∴13＝（b+c）2﹣36，解得：b+c＝7，∴△ABC的周长a+b+c＝7+√13．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，考查了计算能力，属于基础题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠BAD=2π3，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，点M是棱PD的中点．（1）求证：CM∥平面PAB；（2）求二面角M﹣AC﹣D的大小．【分析】（1）取AP的中点E，连接BE、EM．推导出四边形BCME为平行四边形，CM∥BE，由此能证明CM∥平面PAB．（2）在平面ABCD内过点A作AD的垂线Ax，由题意知PA，Ax，AD两两垂直，以A为坐标原点，Ax ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M ﹣AC ﹣D 的大小． 解：（1）如图，取AP 的中点E ，连接BE 、EM ． ∵M 是PD 的中点，∴EM =12AD ，EM ∥AD ， 又BC =12AD ，BC ∥AD ，所以EM ＝BC ，EM ∥BC ，∴四边形BCME 为平行四边形， ∴CM ∥BE ，又BE ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， ∴CM ∥平面PAB ．（2）在平面ABCD 内过点A 作AD 的垂线Ax ，由题意知PA ，Ax ，AD 两两垂直， 以A 为坐标原点，Ax ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知PA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝4，∠BAD =2π3， 可得A （0，0，0），C(√3，1，0)，M （0，2，1）， ∴AC →=(√3，1，0)，AM →=(0，2，1)， 设平面MAC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则由{n →⋅AC →=0n →⋅AM →=0，即{√3x +y =02y +z =0，令y ＝﹣3，则x =√3，z ＝6， ∴n →=(√3，−3，6)为平面MAC 的一个法向量． ∵PA ⊥底面ABCD ，∴可取平面ACD 的一个法向量为m →=(0，0，1)， ∴cos〈n →，m →〉=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=48=√32， ∵二面角M ﹣AC ﹣D 为锐二面角， ∴二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为π6．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面解的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]300以上空气质量等级一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）六级（严重污染）（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）．①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，求X的分布列和数学期望；②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图求出轻度污染的天数，然后说明空气质量等级为优或良的天数；（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，求出概率，得到分布列，然后求解期望． ②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，然后求解概率即可．解：（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在（90，110]的天数为2天， 空气质量指数在（110，130]的天数为1天， 所以估计空气质量指数在（90，100]的天数为1天， 故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天．（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，∴P(X =0)=C 242C 302=92145，P(X =1)=C 61⋅C 241C 302=48145，P(X =2)=C 62C 302=129， X 012P9214548145129∴X 的分布列为 ∴EX =0×92145+1×48145+2×129=25． ②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，∴P =C 32⋅(110)2⋅910⋅C 21⋅310⋅710=56750000．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布表的应用，是基本知识的考查，中档题．20．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为F 1（﹣1，0），C 与y 轴正半轴交点为A ，且，∠AF 1O =π3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为k 1，k 2（k 1k 2≠0）的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M ，N ．证明：当k 2=k1k 1−1时，直线MN 过定点． 【分析】（1）由题意可求出c ，b ，a ，可得方程；（2）先设方程，可得M ，N 横坐标之间的关系，代入题给的等式，化简可得． 解：（1）x 24+y 23=1，（2）由题不妨设MN ：y ＝kx +m ，联立{x 24+y 23=1y =kx +m，方程组的解M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 消去y 化简得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，且x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，∵k 1k 2＝k 1+k 2，∴y 1−√3x 1⋅y 2−√3x 2=y 1−√3x 1+y 2−√3x 2，∴代入y ＝kx +m ，化简得(k 2−2k)x 1x 2+(k −1)(m −√3) （x 1+x 2）+m 2−2√3m −3=0，8√3k(m −√3)=3(m −√3)2，∵m ≠√3，8√3k =3(m −√3)，∴m =8√3k 3+√3， 直线MN ：y =kx +8√3k 3+√3，MN 过定点（−8√33，√3）． 【点评】本题考查圆锥曲线，设直线方程是，注意斜率，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝alnx ﹣x +a ，g （x ）＝kx ﹣xlnx ﹣b ，其中a ，b ，k ∈一、选择题． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若对任意a ∈[1，e ]，任意x ∈[1，e ]，不等式f （x ）≥g （x ）恒成立时最大的k 记为c ，当b ∈[1，e ]时，b +c 的取值范围．【分析】（1）求导可得f′(x)=a−x x ，然后分a ≤0及a ＞0两种情况讨论即可得出单调性；（2）依题意，分析可知k ≤a(1+lnx)−x+xlnx+b x，而a(1+lnx)−x+xlnx+b x ≥1+lnx−x+xlnx+b x ，构造g(x)=1+lnx−x+xlnx+b x ，则g′(x)=−lnx+x−b x 2，令p(x)=−lnx +x −b ，则p′(x)=−1x +1，故p （x ）＝﹣lnx +x ﹣b 在（1，+∞）上递增，利用导数分p （1）≥0，可得此时c ＝g （x ）min ＝g （1）＝b ⇒b +c ＝2b ＝2，当p （e ）≤0，c =g(x)min =g(e)=b+2e ⇒b +c =b+2e +b ∈[e +1e ，e +2e+1]，当p （1）p （e ）＜0，c =g(x)min =g(x 0)=1+lnx 0−x 0+x 0lnx 0+b x 0=lnx 0+1x 0，则b +c =lnx 0+1x 0+x 0−lnx 0=x 0+1x 0，再利用导数求其最值即可．解：（1）∵f （x ）＝alnx ﹣x ﹣a （x ＞0，a ∈R ），∴f′(x)=a x −1=a−x x ，∵x ＞0，a ∈R ．∴①当a ≤0时，f （x ）的减区间为（0，+∞），没有增区间；②当a ＞0时，f （x ）的增区间为（0，a ），减区间为（a ，+∞）；（2）原不等式f （x ）≥g （x ）恒成立⇔k ≤a(1+lnx)−x+xlnx+b x ， ∵a ∈[1，e ]，x ∈[1，e ]，∴a(1+lnx)−x+xlnx+b x ≥1+lnx−x+xlnx+b x ，令g(x)=1+lnx−x+xlnx+b x ⇒g′(x)=−lnx+x−b x 2， 令p(x)=−lnx +x −b ⇒p′(x)=−1x +1≥0⇒p （x ）＝﹣lnx +x ﹣b 在（1，+∞）上递增；①当p （1）≥0时，即b ≤1，∵b ∈[1，e ]，所以b ＝1时x ∈[1，e ]，p （x ）≥0⇒g '（x ）≥0，∴g （x ）在[1，e ]上递增，∴c ＝g （x ）min ＝g （1）＝b ⇒b +c ＝2b ＝2．②当p （e ）≤0，即b ∈[e ﹣1，e ]时x ∈[1，e ]，p （x ）≤0⇒g '（x ）≤0，∴g （x ）在[1，e ]上递减；∴c =g(x)min =g(e)=b+2e⇒b +c =b+2e +b ∈[e +1e ，e +2e +1]． ③当p （1）p （e ）＜0时，p （x ）＝﹣lnx +x ﹣b 在上递增；存在唯一实数x 0∈（1，e ），使得p （x 0）＝0，则当x ∈（1，x 0）时⇒p （x ）＜0⇒g '（x ）＜0，当x ∈（x 0，e ）时⇒p （x ）＞0⇒g '（x ）＞0，∴c =g(x)min =g(x 0)=1+lnx 0−x 0+x 0lnx 0+b x 0=lnx 0+1x 0， ∴b +c =lnx 0+1x 0+x 0−lnx 0=x 0+1x 0．此时b ＝x 0﹣lnx 0， 令h(x)=x −lnx ⇒h′(x)=1−1x =x−1x＞0⇒h(x)在[1，e ]上递增，b ∈（1，e ﹣1）⇒x 0∈（1，e ），∴b +c ∈(2，e +1e )． 综上所述，b +c ∈[2，e +2e+1]． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，推理能力及计算能力，属于较难题目．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），直线l 的参数方程为{x =√3−√32t y =3+12t （t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为（2√3，θ），其中θ∈（π2，π） （Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．【分析】（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程，利用点A 的极坐标为（2√3，θ），θ∈（π2，π），即可求θ的值；（Ⅱ）若射线OA 与直线l 相交于点B ，求出A ，B 的坐标，即可求|AB |的值．解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），普通方程为x 2+（y ﹣2）2＝4，极坐标方程为ρ＝4sin θ，∵点A 的极坐标为（2√3，θ），θ∈（π2，π），∴θ=2π3； （Ⅱ）直线l 的参数方程为{x =√3−√32t y =3+12t（t 为参数），普通方程为x +√3y ﹣4√3=0， 点A 的直角坐标为（−√3，3），射线OA 的方程为y =−√3x ，代入x +√3y ﹣4√3=0，可得B （﹣2√3，6），∴|AB |=√3+9=2√3．【点评】本题考查三种方程的转化，考查两点间距离公式的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +12|+a |x −32|．（1）当a ＝﹣1时，解不等式f （x ）≤3x ；（2）当a ＝2时，若关于x 的不等式4f （x ）＜2|1﹣b |的解集为空集，求实数b 的取值范围．【分析】（1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f （x ）的最大值为14，可得|1﹣b |≤7，由此解得b 的范围．解：（1）当a ＝﹣1时，不等式f （x ）≤3x 可化为{x ＜−14−(2x +12)+(x −32)≤3x①；或{−14≤x ＜322x +12+(x −32)≤3x ②；或{x ≥322x +12−(x −32)≤3x ③． 解①求得−12≤x ＜−14，解求得−14≤x ＜32，解求得x ≥32． 综上可得，不等式的解集为{x |x ≥−12}．（2）当a ＝2时，f （x ）＝|2x +12|+|2x ﹣3|≥|2x +12−（2x ﹣3）|=72，（当且仅当−14≤x ≤32时取等号），则f （x ）的最大值为4•72=14，不等式4f （x ）＜2|1﹣b |的解集为空集，等价于|1﹣b |≤7，解得﹣6≤b ≤8，故实数b 的取值范围是[﹣6，8]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
重庆市江津中学、合川中学等七校联考2020届高三数学(理)三诊试卷附答案解析
正视图
侧视图
俯视图
16．数列
an
满足 a1
2
， an
an1 an1
1 1
，其前 n
项积为 Tn
，则 T2018
=
．
三、解答题
17．在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对边的长. b cos A
所以双曲线的渐近线方程为 y 3 x 3
故选:B 【点睛】 本题考查了双曲线的渐近线方程,点到直线距离公式的用法,属于基础题. 7．阅读如图程序框图，若输出的数据为 30，则判断框中应填入的条件为（ ）
A． i 3
B． i 4
C． i 5
D． i 6
【答案】B
【解析】根据程序框图的结构,可知作用为求和.依次列出前几次循环,即可得输出值为 30 时的 i 值,进而得判断框里的不等
甲抽取的样本数据
编号 2
7
12
17
22
27
32
37
42
47
性别 男
女
男
男
女
男篮成 90
60
75
80
83
85
75
80
70
60
绩
乙抽取的样本数据
编号 1
8
10
20
23
28
33
35
43
48
性别 男
男
男
男
男
男
女
女
女
女
投篮成 95
85
85
70
70
80
2020年6月重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三第三次高考诊断性联考英语试题及答案解析
绝密★启用前重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三毕业班下学期第三次高考诊断性联考英语试题2020年6月本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试用时120分钟。
★注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷第一部分听力（共20小题；满分30分）（长寿中学）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5个小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例如: How much is the shirt?A. £19. 15.B. £9.18.C. £9.15.答案是c。
1. What does the man ask the woman to give him?A. A table.B. Her ID card.C. A signed parcel.2. What will the woman do for the man?A. Clean the mark on his shirt.B. Give him a ride to a wedding.C. Buy him a shirt in ten minutes.3. How does the woman probably go to work at present?A. By car.B. By bus.C. By bike.4. What is the probable relationship between the speakers?A. Husband and wife.B. Neighbors.C. Mother and son.5. How is the weather now?A. Hot.B. Cloudy.C. Rainy.第二节（共15小题; 每小题1.5分，满分22. 5分）听下面5段对话或独白。
2020年重庆市江津中学高考数学三诊试卷(理科)(含答案解析)
2020年重庆市江津中学高考数学三诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|lg(x−3)<1}，集合B={x|x2−3x−4<0}，则A∪B=()A. (3,13)B. (−1,4)C. (−1,13)D. (2,3)2.在复平面内，复数z=2i1+i所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.命题“∀x∈R，x2−x≤0”的否定是()A. ∃x∈R，x2−x≥0B. ∀x∈R，x2−x≥0C. ∃x∈R，x2−x>0D. ∀x∈R，x2−x>04.等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=36，则a3+a7=()A. 4B. 8C. 12D. 165.已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是()A. 若l//α，l⊥β，则α⊥βB. α⊥β，l⊥α，则l⊥βC. 若l//α，l//β，则α//βD. 若α⊥β，l//α，则l⊥β6.如图给出的是计算12+14+16+⋯+118的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A. i>9B. i<9C. i>18D. i<187.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高，计算其体积V的近似公式V≈148L2ℎ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式V≈175L2ℎ相当于将圆锥体积公式中π的近似取为()A. 256B. 258C. 253D. 2548.函数f(x)=x3cos x2+sinx在[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.9.已知直线y=kx(k≠0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若▵ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √510.某次晚会有六个节目，安排要求如下：A必须排在前三位，且E、F必须排在一起，则这六个节目的不同安排方案共有()A. 240种B. 188种C. 156种D. 120种11.当x∈[−2,1]时，不等式ax3−x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A. [−5,−3]B. [−6,−98] C. [−6,−2] D. [−4,−3]12.函数f(α)=tsinα+cosα的最大值为g(t)，则g(t)的最小值为()A. 1B. 0C. |t|+1D. √t2+1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(m,−1)，若a⃗//(a⃗+b⃗ )，则m=______．14.若(2x−1x2)n的展开式中所有二项式系数和为64，则n=________，展开式中的常数项是________．15.过直线2x+3y=0上的任意一点作圆(x−2)2+(y−3)2=1的切线，则切线长的最小值为_______．16.已知数列{a n}中，a1=1，a n−a n−1=n(n≥2,n∈N)，设b n=1a n+1+1a n+2+1a n+3+⋯+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[1,2]时，不等式m2−mt+13>b n恒成立，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3sin A，周长为4(√2+1)，且sinB+sinC=√2sinA．(1)求a及cos A的值；)的值．(2)求cos(2A−π318.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF//平面BCE；(2)求二面角C−BE−D的余弦值的大小．19.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：空气质量指数(0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．(1)以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？(2)从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；(3)从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望．20.已知点F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，其焦距为2，椭圆C与y轴正半轴交点为A，且△AF1F2为等边三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点A作斜率为k1、k2(k1k2≠0)的两条直线分别交椭圆C于异于点A的两点M、N.证明：当k2=k1k1−1时，直线MN过定点．21. 已知函数f(x)=2lnx −ax(a ∈R)，g(x)=m −3x ．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a =−1时，对任意x ∈(0,+∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数m 的取值范围．22. 已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√2m,y =m2(m 为参数)，直线l 的参数方程为{x =t,y =3t +1(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．点A 的极坐标为(2√3,π6)． (1)求直线l 以及曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求线段MN 的中点到点A 的距离．23.已知函数f(x)=|x+a|+|x−2|．(Ⅰ)当a=−3时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x−4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了并集及其运算和不等式的解法，属于基础题．解一元二次不等式和对数不等式可得出集合B和集合A，进而得出A∪B．解：由集合A={x|lg(x−3)<1}，可得A={x|3<x<13}，由集合B={x|x2−3x−4<0}，可得B={x|−1<x<4}，∴A∪B={x|−1<x<13}，故选C．2.答案：A解析：解：∵z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，∴复数z所对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，x2−x≤0”的否定是：∃x∈R，x2−x>0．故选：C．全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.答案：B解析：解：等差数列{a n}的前n项和为S n，S9=36，所以S9=9(a1+a9)2=9(a3+a7)2=36⇒a3+a7=8，故选：B．由题意可得9(a1+a9)2=36，再根据等差数列的性质即可求出．本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题．5.答案：A解析：本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直与平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，根据题意逐项进行判断即可得到结果．解：A.若l//α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故A正确；B.若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除B；C.若l//α，l//β，则满足题意的两平面可能相交，排除C；D.若α⊥β，l//α，则l可能与β平行，相交，排除D.故选A.6.答案：A解析：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：S=0，n=2，i=1不满足条件，第一圈：S=0+12，n=4，i=2，不满足条件，第二圈：S=12+14，n=6，i=3，不满足条件，第三圈：S=12+14+16，n=8，i=4，…依此类推，不满足条件，第8圈：S=12+14+16++⋯+，n=18，i=9，不满足条件，第9圈：S=12+14+16++⋯+118，n=20，i=10，此时，应该满足条件，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i>9．故选：A．。
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设切线长最小时直线上对应的点为 ，则 ，利用点到直线的距离公式计算 的值并构建关于 的方程，解方程后可得 的值，从而得到所求的斜率.
解：
设切线长最小时直线上对应的点为 ，则 ，
又 ，因为切线长的最小值为 ，
故 ，解得 ，故直线 的斜率为 .
故答案为： .
点评：
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，此类问题一般转化为圆心到几何对象的距离问题，本题属于基础题.
三、解答题
17．在 中，角 的对边分别为 ，且满足 ．
(Ⅰ)求角 ；
(Ⅱ)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
答案：（1） （2）
(1)本题首先可以通过正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形内角和将 转化为 ，即可得出角 的值；
(2)首先可通过余弦定理求出 的值，再通过解三角形面积公式即可求出 的值，最后求出周长．
（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有 种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有 种情况，此时有 种安排方案；
（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有 种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有 种情况，此时有 种安排方案；
由加法计数原理可知共有 种方案，
故选：B
点评：
空气质量指数
300以上
空气质量等级一级（优） Nhomakorabea二级
（良）
三级
（轻度污染）
四级
（中度污染）
五级
（重度污染）
六级
（严重污染）
（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；
（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.
解：
因为 的通项为 ，
所以展开式的常数项为 。
点评：
本题考查的是二项式定理的相关性质，主要考查二项式的通项的相关性质，考查对二项式的通项的灵活使用，考查计算能力与推理能力，是简单题。
15．已知圆C的方程为 ，过直线l： （ ）上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为 ，则直线l的斜率为______.
A． B． C． D．
答案：C
设圆锥底面半径为 ,根据圆锥的底面周长 求得 ,再代入体积公式得 ,再对照 求解即可.
解：
设圆锥底面半径为 ,则 ,所以 .
故选：C.
点评：
本题主要考查了圆锥底面周长与体积等的计算.属于基础题.
8．函数 在 上的大致图象是（）
A． B．
C． D．
答案：D
先确定函数奇偶性，舍去B，再取特殊值舍去A,C，即得结果.
①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，求X的分布列和数学期望；
②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.
2020届重庆市江津中学、实验中学等七校高三下学期6月联考（三诊）数学（理）试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
答案：A
分别求出集合 和 ，再求并集即可.
解：
解不等式 得 ，即 ；
由 得 ，即 ；
所以 .
故选A
点评：
本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.
综上： .
故选：D
点评：
本题主要考查了根据分段函数的恒成立求解参数的问题,需要根据二次函数的最值以及求导分析函数的最值进行求解.属于难题.
12．函数 ，若 最大值为 ，最小值为 ，则（）
A． ，使 B． ，使
C． ，使 D． ，使
答案：D
通过对 进行化简整理，可以得到 与 的解析式，依次排除掉 选项，可得结果.
解：
由题意可得图像如下图所示： 为双曲线的左焦点
为圆的直径
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 为矩形
又 ，可得：
本题正确选项：
点评：
本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.
10．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（）
2．设 ，则在复平面内z对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：A
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 的坐标得答案．
解：
解： ，
在复平面内 对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选：A．
点评：
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
解：
（1）当 时, ，
∴ 的对称轴为 ,开口向上
①当 时, 在 递减, 递增
∴当 时, 有最小值,即 ,∴
②当 时, 在 上递减
∴当 时, 有最小值,即
∴ 显然成立,此时 ，
∴当 时, .
（2）当 时, ,∴
①当 时, 在 上递增
∴ ,∴ ,∴此时 .
②当 时, 在 递减, 递增
∴ ,∴ ,∴此时
∴当 时, .
解：
，
选项： ，所以 错误；
选项：
，所以 错误；
选项： ，所以 错误；
选项：
设
可知： ，所以 正确.
本题正确选项：
点评：
本题考查三角恒等变换以及与三角函数有关的值域问题，关键在于通过整理能够得到与 有关的函数解析式，从而利用 的范围，求解函数的值域.
二、填空题
13．已知向量 （1，1）， ，且 ∥ ，则 的值等于__________.
16．已知数列 中， ， ，设 ，若对任意的正整数 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______．
答案：
∵ ， （ ， ），当 时， ， ，…， ，并项相加，得： ，
∴ ，又∵当 时， 也满足上式，
∴数列 的通项公式为 ，∴
，令 （ ），
则 ，∵当 时， 恒成立，∴ 在 上是增函数，
故当 时， ，即当 时， ，对任意的正整数 ，
解：
解:（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在 的天数为2天，所以估计空气质量指数在 的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.
答案：-2
计算 ，由向量共线的坐标运算可者 ．
解：
由题意 ，因为 ∥ ，所以 ，解得 ．
故答案为： ．
点评：
本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．
14． 展开式的常数项是__________．
答案：-8
本题首先可以找出 的通项，然后根据 中的每一项的 的系数并将 中的每一项与 相乘即可找出展开式中的常数项。
【考点】程序框图．
7．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式 .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 .那么近似公式 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（）
当 时，不等式 恒成立，则须使 ，即 对 恒成立，即 的最小值，可得 ，∴实数 的取值范围为 ，故答案为 .
点睛：本题考查数列的通项及前 项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当 时 ，进而可得数列 的通项公式 ，裂项、并项相加可知 ，通过求导可知 是增函数，进而问题转化为 ，由恒成立思想，即可得结论.
故选：A.
点评：
本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.
6．如图，给出的是 的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
试题分析：由题意得，执行上式的循环结构，第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ； ，第 次循环： ，此时终止循环，输出结果，所以判断框中，添加 ，故选B．
答案：（1）28天；（2）①分布列见解析， ；② .
（1）利用频率分布直方图求出轻度污染的天数，然后说明空气质量等级为优或良的天数；
（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，求出概率，得到分布列，然后求期望；
②甲不适宜进行户外体育运动的概率为 ，乙不宜进行户外体育运动的概率为 ，然后求解概率即可.
解：
证明：（1）如图，取 的中点 ，连接 、 .
∵ 是 的中点，∴ ， ，
又 ， ，所以 ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）在平面 内过点 作 的垂线 ，由题意知 ， ， 两两垂直，以
为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空
间直角坐标系，由题意知 ， ， ，
D．若 ， ，则
答案：A
由线线、线面平行及面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解.
解：
对于A中，设 ，且 ，又由 ，所以 ，
由面面垂直的判定定理，即可证得 ；
对于B中，若 ， ，则 或 ，所以不正确；
对于C中，若 ，则平面 与平面 可能是相交的，所以不正确；
对于D中，若 ， ，则 与 可能是平行的，所以不正确.
解：
（1）因为 ，
所以 ，
即
由 ，得 ，