函数最值常用的几种方法
２２ 月上 科技创新与应用 ｍ ￣４ （）Ｉ
函数最值常用 的几种方法
刘 妍妮
（ 陕西交通职业技 术学院， 陕西 西安 ７ ０ １ ） １０ ８ 摘 要： 函数的最值 问题是数学 中的一个重要 问题。本文主要 系统 归纳 了求函数最值的几种常用方法， 并结合一些具体的例子 进 一步 说 明 了这 些 方法 在解 题 ＂中的 应 用。 ３ －
．
盖
ｙ
分析 本题需要采取两次均值不等式法． 解 。 ＞ ， ０ｘ ０ ． ０ ＞， ， ‘ ｙ ＞ ｘ
・ ．
．
—
离小于或等于半径， 即
以数 解形两个方面。 用数 形结合法求 函数 的最值 ， 利 发挥代换法和图象法 故 利用判别 式法求 出 Ｙ 的范围后应综合 函数 的定义域 ，将扩 大的部 分予 两方面的技巧 ， 既可化 难为易 ， 又形象 直观 ， 适宜 于解 析式变化 复杂 或易 以剔除。 于从 图象上 瘵分析 的函数 。 ３ ． ４不等式法 例 １已知 ｘ ｙ ２＋ｙ２＝ ， ｘ－ 的最 值． ２ ２ ｘ４－０Ｏ求 ＋＿ ｖ 有些函数可利用已证过的重要不等式来求最值，特别是均值不等式 分析 将 已知条件转化为（ １ ＋ ２ ， ｘ ２ － 可借助几 何图形数形 结合 在求最值 的问题 中更是应用广泛 。著名 的平均值不等式 ： ＿ ５
１ ２ｘｌ （ ） Ｏ －４ －２ ＋２ －ｚＩ ＜５
—
是—个应用广泛 的不等式 ， 许多外形与它截然相异 的函数 式 ， 常常也 能利 萁 图形是斜率为 １且与已知圆相交的—簇平行线， 于 用 它巧妙地 求出最 值。 例 ４ 已知 ｘ０ ＞， ０ ｘｙｚ １试 求 ｌ＋ ＋ 的最小值 ＞ ， Ｏ ＞ ， ＋ ＋： ， ｙ ｚ不论是直接或间接地利用配方法求函数 的最 值时， 都必须注意 函数 的最值 求解 是 函数 中的重要 内容之一 ， 它在解决 实际 问题 中有 着广泛 的应用 ， 其涉及 的知识面广 ， 技巧性 强 ， ￣ｔ 因题而异 。 解题 ７ ＋Ｅ ｙ－ 求函 自 变量 的取值范 围， 或注意挖掘隐含条件 ， 否则就会导致错误 。 数最值方法很 多 ， 配方法 、 元法 、 式法 、 常用 换 判别 不等式法 、 反函数法 、 图 ３ 判别式法 ３ 如果 函数 ｘ １ 可化为 ａｙ ‘ ６ｙ ＋ （） （（） ） （） ＋ （ ｘ ｃｙ＝０口ｙ ≠０ 的形式 ， 同 像 法（ 数形结合法 ）函数 的单 调性法 以及均值不等式法等 。 、 这些方法分别 具有 极强的针对性 ， 每—种方法又不是万能 的。 本文就常用的几种方法进 时可从 Ａ＝ｂ（ 一 ａ ） （） ２ ） ４（ ｃ ０中求 出 Ｙ ｙ ｙ ｙ 的取值范 围 ， 可考虑用判别 式 便 行例析 。 法求此 函数 的最值 。 判别式 法多用 于求分式 函数 或无理 函数 的最值 。 运用 ｌ函数最值的定义 此 方法必须全面慎重 ，特别是对于原函数的定义域不是实数而是在 给定 设 函数 ｙ ｆ ａ 问内有定义 ， 如果有 】 ａ ， 【 期 使得对 于任一 Ｘ 【 区间上的函数 ， ｏ ｆ ｅａ ， 当用判别式方法求 出 Ｙ 的变化范 围后 ， 应将端点值代 回原 都有 ｆ）－ｘ（ ｆ） （ ） 立 ， （－ （ 或 （≥ｆ 成 ｘ ｆｏ ） ｘ ｘ 则称 函数 ｆ） 点 Ｘ处有最 大 （ ） ｆ 函数 进行检 验 ， （在 ｘ ｏ 小 值 否则易产生“ 值”‘ 判” 隋况 。 增 、｛ 等 ‘ 吴 例 ３求函数 Ｙ ＋ 一 ） ＝ √ （ 的最大值和最小值． ２ ㈨。 分析 先将 已知 函数式变形为—个方程式 ， 然后应 用判别法 ２函数 在［ ａ 上的最大（ ） 小 值的求法 ２ ． １找出 函数 在ｆ） ａ１ Ｊ上的一切 极值 ； 将这些极值与 函数在 区间 解 Ｙ ＝￣ （一 ） — ／２ ， ｘ 得 一 （＋１ ， 的 端点 ｆ ， ） 选出 值 （ 比较， 其中最大（ ） ａ ｂ ） ， 的一个值就是函 ｆ在ｆ Ｊ 、 数 （ ａ ｘ 上的 两边平方整理 ， ２ ２ｙ ＋Ｙ＝０ ） 。是实数 ． △ ４ ＋ ） ８ ≥ ， Ｘ ’ （ １一 ｙ ０ ． ｙ 最大（、 ，） Ｊ值。 ３函数最值的求法 解 得 １ √ Ｙ ＋ 一 １ √ ， ３ 数形结合法 ． １ 止夕 ， ｘ 一 ） ０得 ０ Ｘ ， ｌ 由 （ ， ≤２ ： ２ 所谓数形结合 ， 就是根据数学 问题 的条件和结论 之间 的内在联 系分 于是 Ｙ ＋ ＝ ０ ， 析其代 数含义 ， 又揭示其几何直观 ， 使数量关系与空间形式 和谐 地结 合起 ０ Ｙ ｌ ． ＋√
＿
．
‘
．
．
来。 故 ｙ ， ， Ｆ ＋ ５． ｙ １ Ｖ 通过 数与形之间 的对应和转 化来解决数学 问题 ， 它包含 以形助 数和 说明： 此题在解 的过 程中历经平方 变形 ， 从而扩大 了 Ｙ 的取值 范围 ，
处理 。 解 作 ｘ ｖ ２＋ｖ２＝ 的图形． ２ ２ ｘ４＿０１ ＋－ ３ 它是 在 Ｐ１－半径为 ５ （ ２ ｒ） 的圆． 依 题意有 ｘ ｖ ２ ＋ ｙ２ ， ｘ ｖ ， ｚ２－ｙ２ ， ＋０设 ２ 则 ＝ ｘ ＋０即 ＋ ４
“ ａ、 ， Ｒ， 若 １ ， ∈ ＋ ａ 则
遏
≥Ｖ
当且仅当 ａ ａ … ’ ＝
ｙ ｘ ＝１ ＋ ：
题。
是求 ｚ 的最值 问题 就是求 这簇平 行线 中在 Ｙ 的截距最 大或 最小 的问 轴 由平 面几何知识可知 ， 圆心 Ｐ１－】 （，２ 到切线 ２＿ｙ２－＝ 的距 ４＋０ｚ０
求函数最值的12种方法
求函数值域的12种方法一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
1.函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R；2.二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是[ab ac 442-，+)∞，当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]；3.反比例函数)0,0(≠≠=x k xky的值域为}0|{≠y y ；4.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R；6.函数)( cos ,sin R x x y x y ∈==的值域为[-1，1]；函数 ),2k (x tan Z k x y ∈+≠=ππ,cot xy =),(Z k k x ∈≠π的值域为R；7.对勾函数)0,0(≠>+=x a xa x y 的值域为),2[]2,(+∞⋃--∞a a ；8.形如)0,0(≠>-=x a xa x y 的值域为}0|{≠y y ；渐近线为y=x二、求值域的方法1.直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==,时，min y =1.例2求函数323y x =+-的值域。
解：由算术平方根的性质，知23x -≥0，故323y x =+-≥3.∴函数的值域为)∞+,3[.2.反函数法求值域对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例3求函数12x y x +=+的值域。
解：显然函数12x y x +=+的反函数为:121y x y -=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y∈R｝。
求函数最值的方法总结
求函数最值的方法总结函数最值是指函数在一些特定区间内取得极大值或极小值的点或值。
寻找函数最值的方法，在不同的情况下，可以使用不同的技巧和策略。
以下是几种常用的方法总结：一、数学分析法：1.寻找函数的临界点和分段函数的不连续处。
-对于连续函数，可以通过求导数，令导函数等于零来求解，找到导数为0的点，即可能的极值点。
-对于分段函数，需要寻找函数的断点和不连续点，分别对两个分段区间进行分析。
2.使用二次函数的顶点公式。
-当函数为二次函数时，可以通过二次函数顶点公式求得函数的顶点，从而得到函数的最值点。
3.使用最大最小值定理。
-若函数在区间[a,b]上连续且可微分，那么函数在这个区间上一定有最大值和最小值。
通过求解函数在区间端点和内点的函数值，并进行比较，可以找到函数的最大值和最小值。
4.运用函数特性和图像分析法。
-对于特定的函数，可以通过观察函数的特性和图像来猜测函数的最值。
例如，对于单调递增的函数，最小值一定在区间的起点，最大值一定在区间的终点。
二、数值计算法：1.使用计算工具和数值优化算法。
- 对于复杂的函数，可以使用计算工具如Matlab、Python等进行数值计算。
一些数值优化算法，如牛顿法、梯度下降法等，可以寻找函数的极值点。
三、综合运用法：1.结合数学分析法和数值计算法：-对于一些复杂的函数，可以先通过数学分析的方法预估最值点的范围，然后再通过数值计算进行精细的寻找。
-例如，对于较复杂的函数，可以通过对函数进行数学分析，找出函数的极值点的大致范围，然后再使用数值计算的方法进行更加准确的求解。
在实际应用中，根据具体的函数形式和求解需求，选择适当的方法进行求解。
对于简单而规则的函数，使用数学分析法会更为直观和准确；而对于复杂的函数，可以综合运用数学分析法和数值计算法进行求解。
在进一步优化和提高计算效率时，可以结合使用多种方法，如利用已知最值点来进行剪枝，或引入约束函数等。
总的来说，函数最值的求解方法需要根据具体情况综合考虑，并灵活运用。
高等数学求极值的方法
高等数学求极值的方法求解函数的极值是高等数学中的一个重要内容，可以通过求导和利用导数的性质来进行。
下面将详细介绍求极值的方法。
一、求解函数极值常用的方法有以下几种：1. 初等函数判断法：对于初等函数，可以通过观察函数的定义域、性质和图像特点来判断极值点的存在。
比如对于多项式函数，一阶导数为零时，可以判断函数是否有极值点。
2. 导数判别法：求解函数极值最常用的方法是导数判别法，即利用函数的导数来判断极值点的存在和类型。
3. 高阶导数法：当一阶导数判断不出结果时，可以使用高阶导数进行判别，求解函数的极值。
4. 参数化法：对于含参数的函数，可以通过参数化的方法来求解极值。
二、导数判别法的具体步骤：1. 求导数：对给定的函数进行求导，得到一阶导数和二阶导数。
2. 导函数为零的点：将一阶导数等于零的点求出，并分别判断这些点是否为极值点。
一阶导数等于零的点称为驻点，而极值点必定是驻点。
(1) 当驻点是极大值点时，其对应的二阶导数小于零。
(2) 当驻点是极小值点时，其对应的二阶导数大于零。
3. 极值点的判别：对于一些特殊函数，如周期函数和反函数，还需要考虑边界点的极值判别。
4. 得出结论：根据以上的步骤，得出函数极值的存在和类型。
三、高阶导数法的具体步骤：当一阶导数判断不出结果时，可以通过高阶导数来进行进一步的判断。
1. 求取二阶导数：对给定的函数进行两次求导，得到二阶导数。
2. 极值点的判别：对于一阶导数等于零的驻点，通过二阶导数的正负性来判断其类型。
(1) 当二阶导数大于零时，驻点为极小值点。
(2) 当二阶导数小于零时，驻点为极大值点。
3. 极点的存在性判断：根据二阶导数的正负性，判断函数的定义域是否存在极大值点和极小值点。
4. 得出结论：根据以上的步骤，得出函数极值的存在和类型。
四、参数化法的具体步骤：当给定的函数为参数方程时，可以通过参数化的方法来求解函数的极值。
1. 将函数进行参数化：将给定的函数进行参数化，得到新的函数形式。
求函数最值的10种方法
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学） 设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内 可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值 和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导 数法．
【例 6】 函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
【例 3】 设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值 是______． （以后学） 分析 由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法 求a＋b的最值． 解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。
本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。
1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。
例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。
2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。
如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。
如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。
对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。
3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。
例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。
我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。
同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。
4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。
当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。
我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。
5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。
在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。
综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。
通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。
计算函数极值的方法
计算函数极值的方法
计算函数极值的方法，主要有几种：一是微分法；二是关联函数法；三是拉格朗日法，以及常用的圆锥法。
1、微分法：
即将函数的参数进行调整，并根据函数的导数相等或为0的原理，来求得函数的极值点。
具体来说，可以计算出函数f(x)的导数f '(x)，并设置f'（x）= 0，求解出f（x），因此即可找出极值点。
2、关联函数法：
通过把函数的极值问题重新定义为某种关联函数的极值的搜索问题，然后借助关联函数的性质求得变量的极值。
这是一种特殊的求极值方法，只有当函数可以重新定义为关联函数时，才能使用此方法。
3、拉格朗日法：
这是一种优化算法，即把求极值问题转化为一个最优化问题，通过求解最优点，来求得函数的极值点。
4、圆锥法：
圆锥法也称为泰勒-展开式法，是在函数f（x）的某一点处对f （x）做一次二阶导数的展开。
展开后的表达式可以用圆的形
式表示，因此这种方法称为圆锥法。
以上是求取函数极值的方法，可以根据函数的特性，选择合适的方法来计算函数的极值点。
函数最大值计算公式
函数最大值计算公式在数学中，我们经常需要求解一个函数的最大值。
函数的最大值是函数在定义域内取得的最大函数值。
为了找到函数的最大值，在这里我们介绍了一些常用的方法和公式。
泰勒级数泰勒级数是一个函数的无限次可微的点附近的函数值的分解成无穷项级数的表示方法。
通过泰勒级数展开，我们可以得到函数在某个点附近的近似表示。
对于一个函数f(x)，它在某个点a处的泰勒级数展开为：$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\\cdots $$导数判定法导数判定法是求解函数最大值的一种常用方法。
函数在极值点处的导数等于零，这是函数取得极值的必要条件。
具体来说，对于一个函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x0就有可能是函数的极大值或极小值点。
梯度下降法梯度下降法是一种优化算法，用于求解函数的最小值或最大值。
通过不断迭代更新参数，梯度下降法可以找到函数的极值点。
在梯度下降法中，我们需要计算函数的梯度，并按照梯度的方向进行更新参数，直到满足停止条件为止。
拟牛顿法拟牛顿法是一种优化算法，用于求解函数的极值点。
拟牛顿法通过逼近函数的黑塞矩阵来优化参数，从而找到函数的最大值或最小值。
拟牛顿法在实际应用中往往有较好的收敛性能。
数值方法除了以上提到的方法外，我们还可以使用数值方法来求解函数的最大值。
数值方法是通过计算机对函数进行离散化处理，并利用迭代算法来逼近函数的极值点。
数值方法在求解复杂函数的最大值时具有一定的优势。
综上所述，我们介绍了几种常用的方法和公式来计算函数的最大值。
不同的方法适用于不同的函数和问题，选择合适的方法可以更有效地求解函数的最大值。
希望本文对您有所帮助！。
求函数最小值方法
求函数最小值方法求函数最小值是数学中的一个常见问题，它在实际生活和工程领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍几种常见的方法来求解函数最小值，包括极值点法、导数法和二次型法。
一、极值点法极值点法是求函数最小值的一种常用方法。
其基本思想是通过求函数的极值点来确定函数的最小值。
具体步骤如下：1. 找出函数的定义域；2. 求函数的导数，并解方程f'(x)=0，得到函数的极值点；3. 将求得的极值点代入函数中，得到相应的函数值；4. 比较函数值，得到最小值。
二、导数法导数法是求函数最小值的另一种常用方法。
其基本思想是通过利用导数的性质来确定函数的最小值。
具体步骤如下：1. 找出函数的定义域；2. 求函数的导数，并求导函数的导数，直到导数为0或不存在；3. 解方程f'(x)=0，得到函数的极值点；4. 将求得的极值点代入函数中，得到相应的函数值；5. 比较函数值，得到最小值。
三、二次型法二次型法是求函数最小值的一种较为复杂的方法。
其基本思想是将函数转化为二次型，并通过求解二次型的最小值来确定函数的最小值。
具体步骤如下：1. 将函数展开为多项式；2. 利用线性代数中的知识将多项式转化为二次型；3. 求解二次型的最小值，得到最小值对应的自变量；4. 将求得的自变量代入函数中，得到最小值。
求函数最小值可以通过极值点法、导数法和二次型法来实现。
这些方法在实际应用中都具有一定的优势和局限性，需要根据具体问题的特点来选择合适的方法。
在求解过程中，需要注意函数的定义域、极值点和函数值的比较，以确保结果的准确性。
此外，还可以利用数值方法来求解函数最小值，如牛顿法、梯度下降法等，这些方法在计算机科学和工程领域中得到广泛应用。
最后，对于复杂的函数，可以借助计算机软件来进行求解，提高求解的效率和准确性。
初中数学求最值的几种常见方法
初中数学求最值的几种常见方法求最值是数学中的常见问题，在初中数学中，我们主要会遇到求函数的最值和求集合的最值这两种情况。
下面我将介绍一些常见的方法来求解这些问题。
一、求函数的最值1.函数图像法：对于一个函数而言，最值一般出现在函数图像的极值点或者无穷远点。
因此，我们可以通过观察函数图像来判断最值的位置，并进一步进行求解。
2.导数法：对于一个可导函数，当导数等于0的时候，往往对应着函数的极值点。
因此，我们可以通过求函数的导数，找到导数等于0的点，并进行进一步的判断。
3.函数的不等式法：当我们需要求一个函数在其中一区间上的最大值或最小值时，可以将函数的定义域和该区间进行比较，通过对函数值的大小关系进行推理，来求得最值。
二、求集合的最值1.枚举法：对于一个有限集合，我们可以通过枚举法逐个列举其中的元素，然后找到其中的最大值或最小值。
2.求和法：对于一些集合中元素有特殊规律的情况，我们可以通过求和的方法求解最值。
例如，对于一组等差数列或等比数列中的元素求和，可以直接利用求和公式，通过对公式中的参数进行合理选择，求解最值。
3.上下界法：对于一个区间，如果我们能够确定最大值或最小值的上界和下界，那么我们可以通过比较上界和下界来确定最值。
例如，在一个整数区间中求最大值，我们可以设定一个初始的最大值下界，然后逐个比较区间中的元素，如果发现一个大于最大值下界的元素，就更新最大值下界，直到遍历完整个区间。
综上所述，求函数的最值主要可以通过函数图像法、导数法和函数的不等式法来求解；求集合的最值可以通过枚举法、求和法和上下界法来求解。
当然，在具体问题中，我们可能会结合多种方法来求解最值。
在数学学习中，不仅仅要掌握这些方法，还要能够在具体问题中灵活运用。
求函数最值的常用方法
求函数最值（值域）的常用方法1、（1） 配方法（适宜二次函数或二次函数的复合函数）；（2）判别式法（适宜有理分式函数22ax bx c y dx ex f++=++，为常数，不同时为0，且是最简分式）注意：对,,,,,a b c d e f ,a d 2x 系数的讨论；（3）换元法：通过换元，将()y f x =转化为()y g t =，从而求解；注意：新元t 的取值范围；（4）利用函数的性质：如果函数()y f x =在闭区间[],m n 上是单调函数，则其在端点处取得最值；如果函数()y f x =在定义域上是有界函数。
如：sin 1,cos 1x x ≤≤，，等。
（5）利用均值不等式：注意：一正、二定、三等；（6）利用数形结合或图象法；（7）利用导数的方法；（8）其它方法（如转化为平方、变量的几何意义、反函数法、复合函数等）。
20x ≥0x a >2、指出以下问题的求解方法：（1）函数()212log 32y x x =−+−的值域为 ； 答案： [)2,+∞ （2）函数2132x y x −=+的值域为 ； 答案：2|3y R y ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭ 评注：可以研究ax b y cx d+=+(),,,0a b c d ac ≠为常数，且的有关性质。
（3）函数()31f x x x =−+−的最小值为 ； 答案：2 （4）函数)1)(111(log 2>+−+=x x x y 的最小值为 ； 答案：2 （5）函数 的值域 (223111y x x x =−++−≤≤) ； 答案：174,8⎡⎤−⎢⎥⎣⎦ （6）函数y x =的值域 ； 答案：(],1−∞（7）函数y x =的最大值为 ；答案：54（8）函数2122+++=x x x y的值域 ； 答案：33,44⎡+⎢⎣⎦ （9）函数(5sin ,0,sin y x x )xπ=+∈的最小值为 ；答案：6 （10）使得方程cos 23sin 0x x m −+=有解的的取值范围是 m ；答案：1748m −≤≤； （11）设，则函数0x >23()f x x x=+的最小值是 ； 答案：x =时，()f x；用导数或均值； （12）函数y =的最小值为 ；（13）如果实数,x y 满足等式()2223x y −+=，那么y x 的最大值是（ ）A 12B 3C 2D 答案：D （14）若,x y 是实数，22(,)5445f x y x xy y x =++−+的最小值是 ； 案：1（15）已知,x y R ∈，且，求22410x y x +−+=22x y +的最大值与最小值；答案：22x y +的最大值是7+，最小值是7− ； （16）已知椭圆()022221x y a b a b+=>>,与x y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，在 AB （位于第一象限）上求一点P ，是四边形OAPB 的面积最大，并求这个最大值。