结构力学期末超静定总复习

两个三角形图乘:
曲线图形与直线图形图乘: 两个梯形图乘:
h
a
l
l
a
1 ql 8
2
b
b
l
b l
y 0 abl
(1/3高高底）
c
l
d
c
l
d
1 3
y 0 abl
1 6
(1/6高高底） 基线同侧积为正，反之为负。
2 1 hl (c d ) (1/6杆长乘2倍同侧积加1倍异侧积） 3 2
D. 组合结构
组合结构举例： 6 1 4 2 5 3
3. 分别说出下面几种基本结构中，力法方程的具体意义及 11 1P 的具体含义， P P x1 并用图形表示。 P B C
x1
基本结构⑴
x1 x1
基本结构⑵ 基本结构⑶
A
原结构
11 x1 1 p 0
P B C
11 x1 1 p 0
静定结构的 去掉多余联系的个数及方法（掌握）： 基本形式 悬臂梁式 三铰刚架式 ⑴ 去掉一根链杆支座或切开一根链杆 = 去掉一个约束。 ⑵ 去掉一个铰支座或单铰 = 去掉二个约束。 ⑶ 去掉一个固定端或切断连续杆 = 去掉三个约束。 ⑷ 去掉一个定向支座 = 去掉二个约束。 ⑸ 把刚性联接或固定端换成一个铰联接 = 去掉一个约束。
3．力法典型方程的形式，力法方程的物理意义，各符号的含义。 一次超静定结构
11 x1 1 p 1 (0)
两次超静定结构
11 x1 12 x 2 1 p 1 (0) 21 x1 22 x 2 2 p 2 (0)
力法方程的物理意义： 基本结构在荷载和多余约束力共同作用下，在多余约束处的变形和原结构 在多余约束处的变形是相等的。 ——实质是多余约束处的变形协调条件（位移条件） 应明确以下几点 ⑴ 基本未知量xi是广义多余力，每个方程是与多余约束相应的位移条件。 ⑵ 力法的基本结构是去掉多余约束后的静定结构。 ⑶ 力法方程中：
x1
B
x1
P C
11 x1 1 p 0
原结构在B处的 相对角位移
11
x1 1
1P
P
x1 1
A 基本结构⑶
基本结构在一对力偶 x1和荷载P共同作用下 在B处的相对角位移
二.力法解超静定结构的计算步骤 用力法计算并绘图示结构的M图 解: 1)取基本结构，确定基本未知量 2) 列力法方程 11x1 1 p 0 3)绘
1 hl 3

1 hl 2
举例：1.指出以下结构的超静定次数。
复铰
6次 4次
2.判断或选择 ⑴ 静定结构的内力计算，可不考虑变形条件。（√）
4次
通过静力平衡条件能 求出静定结构的全部 反力及内力。
⑵ 力法只能用于线形变形体系。
由力法方程的系数 ij 只有线性变形体满足此条。 ⑶ 力法典型方程的物理意义是： A. 结构的平衡条件 C. 结构的变形协调条件
Pl / 4 MP
3 Pl 28
P
M1
1.5
M2
解:１．列力法方程
11x1 12 x2 1 p 0 21xi 22 x2 2 p 0
x2 0
11 Pl 56
3 Pl 56
２．将已知条件代入方程求基本未知量
M 图
x1
1P
11
Pl 2 12 3 3 Pl pl (即 M CA M CB ，外侧受拉） 16 7 l 28 28
5) 把系数代入方程，求基本未知量
64 X 1 32 X 3
2

200 0 3
32 X 1
256 X 3
2
80 0
55 5.71 X1 3.93 14 M 图 (kN.m) 15 X2 0.536 6.42 如： 28 M CB 4 3.93 4 (0.536) (20) 6.42kN.m（右侧受拉）
（√ ）
MiM j dx 可知，EI应为常数且不能均为无穷大。 EI
（C ） B.结点的平衡条件 D.结构的平衡条件及变形协调条件
•⑷ 在超静定结构计算中，一部份杆件考虑弯曲变形，另一部份杆件考虑轴向变形， 则此结构为 ( D )。
A. 梁
B. 桁架
C.横梁刚度为无限大的排架
杆1、杆2、杆3、杆4、杆5 均为只有轴力的二力杆，仅 考虑轴向变形。 杆6为梁式杆件，应主 要考虑弯曲变形。
简化的半结构
M1 图
MP 图
解： 1.利用对称结构在反对称荷载作用下取左半跨结构进行计算， 取基本结构,列力法方程
11 X 1 1 P 0
A
20.45
24.55
2. 绘 M1 MP 图，求系数和自由项， 1 2.5 2.5 3 2.5 2.5 2.5 11.46 11 ) ( EI 3 3 EI
M0 M0 简化为 M0
b. 偶数跨 — 取半边结构时，对称轴通过的杆件，弯曲刚度取一半。
EI
EI
EI
简化为
EI
EI/2
L/2
L/2
L/2
⑶ 对称结构上作用一般荷载时，可将荷载分解为正对称与反对称两种情况 之后在于以简化。（例：略） 另：简化时，应充分利用局部平衡的特殊性，以简化计算。 例如： P P/2 P/2 P/2 P/2
3 pl 1 3 pl 28 2 56
３．利用叠加法求Ｍ图 M AC M 1 X 1 M 2 X 2 M P
（右侧受拉）
（试题）（同作业） 用力法计算图示结构，并绘出M图。EI=常数。（20分） 解: 1) 选 取基本结构，确定基本未知量x1、x2。 2) 列力法方程 11x1 12 x2 1 p 0
a. 奇数跨 — 取半边结构时，对称轴截面处视为定向支座。
M0 M0 简化为 M0
b. 偶数跨 — 取半边结构时，对称轴截面处视为固定端。
简化为
L/2
L/2
L/2
⑵ 对称结构在反对称荷载作用下（特点：M、N图为反对称，Q图为对称）
a. 奇数跨 — 取半边结构时，对称轴截面处视为与杆件垂直的可动铰支座。
i —与多余约束相应的原结构的已知位移，一般为零。 iP —基本结构单独承受外荷载作用时，在x 作用点，沿x 方向的位移。(自由项） i i
ij —基本结构由于xj=1作用，在xi作用点，沿xi方向的位移。（柔度影响系数）
4．在外荷载作用下，超静定梁和刚架的内力与各杆的EI的相对值有关，而与 其绝对值无关。（ ij iP 的分母中都有EI，计算未知力时，EI可约简） 5.求 ij
（a） （b） 对称荷载 反对称荷载 （局部平衡，各杆弯矩为0） P/2 P/2 简化 P/2
（b） 反对称荷载
往年试题举例:
用力法求图示结构M图, EI=常数 ， M0=45kN.m 。 A M0 B D
4m
M0
M0
M0 X1
2.5
45
M0
X1=1
C
3m 2.5m 2.5m 3m 3m 2.5m 基本结构
200 2 1 1 ( 20 2 2 2 EI 3 EI 3 2
X2 1
4
Mp
M2 4
20
1P
2P
1 1 80 ( 20 2 4) 2 EI EI
6)
利用叠加法 绘 M 图
2.14 2.14 10
M ik M 1 X 1 M 2 X 2 M P
M0
M0
x1 1
l M图 1
M0
M p图
5) 把系数和自由项代入力法方程求未知量：
x1
1 p
11
M 0 l 2 6EI 3M 0 2EI 5l 3 5l
2M 0 5
M0 M0
3M 0 5
x1
6) 作结构的M图。 （将解得的基本未知量直接作用于B支座处， 利用截面法计算即可）
10KN 4m
X1 1
2m 2m
21xi 22 x2 2 p 0
3)绘 M 1
X1 X2
M2
和
Mp 图
10KN
4) 求系数和自由项
11
1 1 64 ( 4 4 4) EI 3 3EI
2
M1
基本结构
4
10KN
22 12
1 1 256 ( 4 4 4 4 4 4) EI 3 3EI 1 1 32 21 ( 4 4 4) EI 2 EI
3M 0 5l
2M 0 5
3M 0 5
2M 0 5
M
C
0
M图
三.对称性的利用 （重点掌握半刚架法） 1。对称结构的概念（几何尺寸、支座、刚度均对称）
EI EI
2EI
非对称结构
L/2
L/2
2EI
EI
2EI
EI EI EI
2EI
2EI 2EI
EI
L
L
L/2
L/2
对称结构
非对称结构
2。简化方法 ⑴ 对称结构在对称荷载作用下（特点：M、N图对称，Q图反对称）
C
M0
x1
A
EI 2 EI 原结构 l
B
M0
C
B
EI
l
A
x1
2 EI 基本结构
M1 和 M p 图
4) 求系数和自由项
l
l
5l 3 1 1 1 11 (l l l ) ( l l l) EI 3 6 EI 2 EI
1 P M 0l 2 1 ( M 0 l l ) 2 EI 2 EI
图a A
l
l 3
x2 图b P
l /2
1
l /2
说 明 也可不画单位弯矩 图和荷载弯矩图，求出 基本未知量后，直接利 用AC段弯矩图是斜直线 的特点由比例关系求出A 截面的弯矩值： l3 3 M AC Pl 28 2l 3 3 Pl （此方法简便） 56
X1=1 1
1 0.5
X2 =1
1 p 1 2 .5 45 3 112 .5 ( ) 3 EI EI
B D
24.55 20.45
C
3.求X1 4.绘 M 图。
x1
1 P
M M 1 x1 M P
11
9.82
M 图（kN.m）
M BD 2.5 9.82 24.55kN M
ij ji
M i 图与 M P 图图乘，有正、负、零的可能。
iP
Mi MP ds EI
应掌握图乘法的注意事项： ⑴ ω—一个弯矩图的面积。y0—与取面积的图形形心对应的另一个弯矩图的纵标值。 ⑵ 两个弯矩图中，至少有一个是直线图形。 y0取自直线图形。（折线应分段） ⑶ 必须是等截面的直杆。（变截面应分段） ⑷ 常用的图乘结果：
基本结构在竖向力x1 和荷载P共同作用下在 C处的竖向线位移
原结构在C处 的竖向线位移
P
11
x1 1
x1
A 基本结构⑴ P B C
1P
11 x1 1 p 0
基本结构在力偶x1和 荷载P共同作用下在A 处的转角位移
原结构在A处 的角位移
P
A
x1
基本结构⑵
11
x1 1
1P
l y 0 (2ac 2bd ad bc) l y 0 (2ac 2bd ad bc ) 6 6
⑸ 记住几种常用图形的形心位置、面积计算公式。
h
l 2 l 2
5 l 8 3 l 8
h
3 l 4 1 l 4
h
2 l 3 1 l 3
h

2 hl 3
2 hl 3
iP 实质上是计算静定结构的位移，对梁和刚架可采用“图乘法”计算。 y0 图乘法计算公式 基线同侧图乘为正，反之为负。 EI 2
主系数 ii
Mi ds EI
M
i
图自乘，恒为正。
副系数 ij 自由项
Mi M j EI
ds
M
i
图与 M j 图图乘，有正、负、零的可能。
M BC 0 9.82 0 M BA 2.5 9.82 45 20.45kN M 请思考：若此题若改为对称荷载，结构又应该如何简化？
7l EI 12 0 EI 11 例：图b为图a的基本体系。已知 12 2 3l Pl EI 22 EI 2 P 0 求结构的M图. (EI=常数) EI 1P 4 16 P x1 P B C x1
结构力学
期末总复习
第一部分Hale Waihona Puke Baidu
一．基本概念 1．超静定结构的基本概念 ⑴ 由静力平衡方面分析:
力法
静定结构：通过静力平衡条件能求出结构的全部反力及内力的结构。 超静定结构：通过静力平衡条件不能求出结构的全部反力及内力的结构(需增加 变形协调条件) 。 ⑵ 由几何组成方面分析: 静定结构：无多余约束的几何不变体。 超静定结构：具有多余约束的几何不变体。 2．判定超静定次数的方法：去掉多余约束使之成为静定结构。 超静定次数=多余约束的个数 简支梁式