完全平方公式几何意义及拔高
完全平方公式几何意义及拔高
01
基础练习:
已知
02
若 求
01
谢谢指导！
202X
汇报人姓名
错
错
错
错
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
解: (4m+n)2=
例1、运用完全平方公式计算：
=16m2
(1)(4m+n)2
(a +b)2= a2 + 2 a b + b2
(4m)2
+2•(4m) •n
+n2
+8mn
+n2
解： (x-2y)2=
=x2
(2)(x-2y)2
(a - b)2= a2 - 2 ab + b2
x2
-2•x •2y
+(2y)2
-4xy
+4y2
例2、运用完全平方公式计算：
思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗?
1、积为二次三项式；
间的符号相同. 首平方，尾平方，积的2倍放中央 .
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
贰
壹
叁
想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
《完全平方公式》
《完全平方公式》完全平方公式是数学中的一个重要公式，其实际应用非常广泛。
完全平方公式的概念比较简单，即对任意实数a和b，有(a+b)²=a²+2ab+b²。
完全平方公式的这个形式可以拆解开来，得到a²和b²，非常有用。
从几何角度看，完全平方公式可以简化两个线段相加的平方求和计算。
例如，将两根线段相加，然后求和再平方，即(a+b)²。
可以使用完全平方公式将这个式子简化为a²+2ab+b²。
这两者相等，可以通过数学推导证明。
完全平方公式在代数中的应用非常广泛。
例如，当我们需要展开一个含有两项的平方时，可以直接使用完全平方公式。
例如，将(a+b)²展开，得到的式子就是完全平方公式的形式。
可以通过这种方式将一个复杂的式子简化为更简单的形式。
完全平方公式还可以用于解一元二次方程，即形如ax²+bx+c=0的方程。
我们可以通过配方法（即二项式的平方）和完全平方公式来求解该方程。
首先，对方程两边进行配方法，即将方程左边看成一个完全平方，然后利用完全平方公式将其展开。
通过对比方程两边的系数，我们可以得到一个关于x的一元二次方程。
完全平方公式也广泛应用于数学推导中。
例如，我们如果需要证明一个式子具有一些性质，可以使用完全平方公式将式子进行展开，然后得到一个更加清晰、易于理解的形式。
这样，我们就可以更容易地证明该式子的性质。
完全平方公式在实际应用中也有一些具体的例子。
例如，我们可以用完全平方公式来计算矩形的对角线长。
假设一矩形的两边长分别为a和b，利用完全平方公式可以得到矩形对角线长为√(a²+b²)。
完全平方公式还可以用于计算两个数的平均数的平方。
例如，设两个数的平均数为a，差值为b，利用完全平方公式可以计算出这两个数。
我们知道两个数之差的一半为平均数，即(a+b/2)²=a²+b²/4、通过进一步整理，我们可以得到这两个数。
完全平方公式知识点：常考经典变形及同步拔高（初二数学）
完全平方公式知识点：常考经典变形及同步拔高（初二数学）
完全平方公式是中学阶段（中考数学）必须掌握的重点知识。
而同学们学习了乘法公式之后，我们经常会遇到这样一类求值问题：【第一类】题目只给出两数和与两数积的值，让我们求一些相关代数值的值：
【典型例题】
【思路分析】
这类问题我们无需计算出ab的具体值，只需要利用乘法公式对已知条件进行适当变形，即可拼凑出想要的条件：
【第二类】题目只给出了一个数和其倒数的和，让我们求一些相关代数值的值：
【总结归纳】
本课以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：
【巩固练习】
答案：
1题：答案为1；2题：答案为98；3题：答案为13，其它题暂不公布答案，同学们可跟帖发布。
完全平方公式教学课件
05
完全平方公式总结与展望
公式总结
完全平方公式的推导过程
通过完全平方公式，我们可以轻松计算土地面积。
详细描述
在农村或城市，土地的面积往往需要计算。完全平方公式可以用于计算土地的面积，特别是当土地形状不规则时。 我们可以通过将土地划分为多个小块，然后对每个小块进行面积计算，最后将所有小块的面积加起来得到总面积。
案例二：投资组合优化
总结词
完全平方公式可以帮助我们找到最佳的投资组合。
公式变形
平方差公式：完全平方公式可以推广 到平方差公式，用于解决两个数平方 差的计算问题。
平方差公式
应用范围：完全平方公式可以广泛应 用于代数、几何等领域，是数学中非 常重要的公式之一。
应用范围
复杂表达式的分解
完全平方公式的应用
通过完全平方公式的变形及应 用，可以将复杂表达式转化为 简单形式，便于计算。
完全平方公式教学课 件
01
引言
教学内容和目 标
内容
完全平方公式的推导过程、公式 应用、实例解析
目标
理解完全平方公式的意义和应用， 掌握公式推导方法，能够灵活运 用公式解决数学问题
教学重点与难点
重点
完全平方公式的推导过程和公式应用
难点
如何从完全平方公式的推导过程中理解公式的意义，并能够灵活运用公式解决 各种数学问题
进一步学习建议
学习建议
学生可以通过多做练习题，加深对完 全平方公式的理解，同时可以尝试使 用完全平方公式解决一些实际问题。
完全平方公式ppt
自Gauss以来，完全平方公式在数学中得到了广泛的应用和发展，它已经成为数 学学习和研究中的基本工具之一。
02
完全平方公式的证明
几何证明
证明结论
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
证明过程
利用几何形状的性质，将边长为$a$和$b$的正方形分别向外 和向内扩展，形成边长为$a \pm b$的新正方形，通过比较 面积得到结论。
完全平方公式
xx年xx月xx日
contents
目录
• 完全平方公式概述 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的变体 • 练习和例题
01
完全平方公式概述
定义和公式
定义
$完全平方公式是指对于一个项x，(x \pm d)^2 = x^2 \pm 2dx + d^2$，其中d为常数。
解析：利用完全平方公式如何求一个数的平方根？
THANKS
代数证明
证明结论
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
证明过程
利用代数的运算律，将$(a \pm b)^2$展开，得到$a^2 \pm 2ab + b^2$。
三角函数证明
证明结论
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
证明过程
利用三角函数的诱导公式和两角和差的余弦公式，将$(a \pm b)^2$展开，得到 $a^2 \pm 2ab + b^2$。
平方差公式
公式形式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
推导过程
$(a+b)(a-b)=a^2+ab-abb^2=a^2-b^2$
§15.2.2完全平方公式
提高练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合思考题是更高层次的练习，要求学习者能够综合运用完全平方公式和其他数学知识来解决复杂的问题。这些问题通常涉及到多个数学概念和技巧，需要学习者具备较高的思维能力和综合素质。通过解决这类问题，可以提高学习者的数学思维能力和解决问题的能力。
综合思考题
感谢您的观看
THANKS
$ab = frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$，$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
完全平方公式的变形
利用完全平方公式可以将一元二次方程转化为更简单的形式，从而求解。
解一元二次方程
在代数运算中，完全平方公式可以简化复杂的代数表达式，提高运算效率。
代数运算
在几何图形中，完全平方公式可以用于计算图形的面积和周长等。
完全平方公式是数学中一个重要的恒等式，它在代数、几何和三角学等领域有着广泛的应用。
完全平方公式的意义
02
完全平方公式的证明
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方公式的方法，通过归纳推理，逐步推导证明结论。
详细描述
首先，我们假设$n=k$时，公式成立，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。然后，我们考虑$n=k+1$的情况，通过展开$(a+b)^{k+1}$并利用归纳假设，我们可以推导出$(a+b)^{k+1}=[a(a+b)^k+b(a+b)^k]=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=(a+b)^2$。因此，我们证明了当$n=k+1$时，公式也成立。
完全平方公式拔高题
完全平方公式拔高题摘要：一、引言- 介绍完全平方公式- 说明完全平方公式的重要性二、完全平方公式的推导与理解- 完全平方公式的一般形式- 完全平方公式的推导过程- 完全平方公式的几何意义三、完全平方公式在实际问题中的应用- 求解二次方程- 求解平方根- 求解相关问题，如平均值、中位数等四、完全平方公式的拓展与拔高- 勾股定理与完全平方公式- 三角函数与完全平方公式- 完全平方公式在其他学科中的应用五、总结- 回顾完全平方公式的关键知识点- 强调完全平方公式在数学及实际生活中的重要性正文：一、引言完全平方公式是中学数学中一个非常重要的公式，它涉及到平方、乘法、加法等基本运算，几乎贯穿了整个中学数学的学习过程。
因此，对完全平方公式的掌握和理解程度，直接影响到学生对其他数学知识的学习和运用。
二、完全平方公式的推导与理解1.完全平方公式的一般形式完全平方公式是指(a±b)=a±2ab+b，其中a、b 为任意实数。
2.完全平方公式的推导过程我们可以通过代数方法来推导完全平方公式。
首先，将(a±b)展开得到a±2ab+b，然后通过配方法将中间的±2ab 项变形为(a+b)(a-b)，即得到完全平方公式。
3.完全平方公式的几何意义从几何角度看，完全平方公式描述了一个平面直角坐标系中点P(a,b) 到原点O 的距离平方，等于点P 到原点O 的横坐标a 的平方与纵坐标b 的平方之和，即O(0,0) 到P(a,b) 的距离平方。
三、完全平方公式在实际问题中的应用1.求解二次方程通过完全平方公式，我们可以将二次方程ax+bx+c=0 转化为(x±√(b-4ac))/2a 的形式，从而求得方程的解。
2.求解平方根完全平方公式可以帮助我们快速求解一个数的平方根，例如√(a+b) 可以转化为(a+b)/√2 或(a-b)/√2。
3.求解相关问题，如平均值、中位数等完全平方公式在求解一些实际问题，如求平均值、中位数等时也具有很大作用。
学好完全平方公式的三点提示
学好完全平方公式的三点提示完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式，它的应用十分广泛，是教材 中的重点和难点•那么如何掌握完全平方公式呢？下面给予三点提示，供参考.一、意义特征要牢记1 完全平方公式:(1) (a+b)2=a 2+2ab+b2 ; (2) (a- b)2=a 2- 2ab+b 22、 文字描述：这两个公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，而且每一 项都是二次式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方， 而第三项是左边二项式中两项乘积的2倍(或-2倍).可用以下口诀来记忆：“头平方和尾平方，头(乘)尾两倍在中 央，中间符号是一样” •这里的“头”指的是 a , “尾”指的是b .这两个公式实质上是统一的，即都是二项式的平方展开式.其中第一个公式是基本的， 第二个公式可由第一个公式导出.如：(a-b ) 2=[a+ (-b ) ]2=a 2+2a (-b ) + (-b ) 2= a 2- 2ab+b 2.3、 完全平方公式的几何意义在图1中，大正方形的面积是(a+b)2，它等于两个小正方形的面积a 2、b 2及两个等积的 长方形面积ab 的和，因此有(a+b)2=a 2+2ab+b 2.在图2中，大正方形的面积是a 2,它等于两个小正方形的面积b 2、(a-b)2及两个等积的长方形面积(a-b)b 的和，因此有(a- b)2=a 2- 2(a-b)b-b 2= a 2-2ab+b 2.二、两个公式的区别要清楚在运用完全平方公式时，经常会出现类似于 (a+b)2=a 2+b 2、(a-b)2=a 2 -b 2的错误.要注意从以下几个方面进行区别：(1) 意义不同：(a+b)2表示数a 与数b 和的平方，(a-b)2表示数a 与数b 差的平方；而 a 2+b 2表示数a 的平方与数b 的平方和，a 2- b 2表示数a 的平方与数b 的平方差.(2) 读法不同：(a+b)2读作两数a 、b 和的平方，(a-b)2读作两数a 、b 差的平方；而a 2+b 2读作两数a 、b 平方的和，a 2- b 2读作两数a 、b 平方的差.(3) 运算顺序不同：(a+b)2的运算顺序是先算 a+b ，然后再算和的平方，(a-b)2的运算 顺序是先算a-b ，然后再算差的平方；而 a 2+b 2是先算a 2与b 2,再求和a 2+b 2，a 2-b 2是先算 a 2与b 2，再求差a 2-b 2.b a ab图2（4） 一般情况下它们的值不相等：如当a=2 , b=1时，（a+b ）2=（2+i ）2= 32=9 , (a-b)2=(2-1)2=12=1 ;而 a 2+b 2= 22+12=5, a 2- b 2= 22-12=3.三、应用方法要掌握完全平方公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式，还可以表示多项式及各种代数式.应用时要认真观察题目是否符合公式的特征和条件, 征和条件，若符合，再把公式中的字母同具体题目中的数或式对照，再逐项对照着计算；若 不符合就不能应用公式.要搞清楚公式中各项的符号，灵活地进行公式的各种变形应用.例1、计算3xy 2公式.2解： 3xyc 23xy说明：本题还可以进行如下变形:(a 2b c)2 [(a c)2 2b]2 或(a 2b c)2 [a 完全平方公式应用错例分析完全平方公式是乘法公式中的重要组成部分， 它能帮助同学们简捷、灵活的完成整式的乘法运算，但在运用公式解题的过程中， 却经常出现这样或那样的错误， 现将典型错例进行 评析.一、 漏掉“中间项” 例1 计算：（a+3）2 错解：（a+3）2=a 2+9分析：完全平方公式的结果有三项：首平方，末平方，乘积的 2倍写中央.因此，运用公式时不要漏掉乘积项.不能将完全平方公式与平方差公式混淆.正解：（a+3）2=a 2+6a+9 二、 “中间项”漏乘2例2计算(2y+ — ) 22 11 1错解：(2y+) 2 = 4y 2+2y X + —变形后是否符合公式的特 分析：把 3xy 2看成 a , 1 _x 22y 看成 b ,原式即为两项差的平方， 然后套用完全平方差c 23xy31 x y4例 2、计算：（a-2b-c ） 2分析：可以把 24 =9x y3x 3y（a-2b ）看作公式中 a , 把c 看作公式中的 b ,然后套用完全平方差公式. 解：（a 2b c)2[(a 2b) c]2 (a 2b)2 2(a 2b)c c 2=a 24ab24b 2ac 4bc2 2a 4b4ab 2ac4bc .(2b c)]212 2 4分析：没有理解完全平方公式的中间项“2ab”中2的意义，2y中的2表示首项的一部分，不是乘积的2倍.防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公式中的项进行对应，一定要找准哪个代表字母a,哪个代表字母b.正解：(2y+- ) 2 = 4y2+2 2y - +- = 4y2+2y+ —2 2 4 4三、“―”处理错误例3计算(-t-1) 2错解：(-t-1)2=t2 -2t+1 或(-t-1) 2= 士+2t+1分析：本题可以看成首项-t与末项1的差的平方，应把-t看做一个整体.正解：(-t-1) 2=(-t) 2-2 (-t) X 1 +12= t2+ 2t+1.四、系数未平方例4计算(3x-2y) 2错解：(3x-2y) 2=3x2-12xy+2y 2分析：首项3x与末项2y都应看成一个整体进行平方.正解：(3x-2y) 2 = (3x) 2-12xy+(2y) 2 = 9x2-12xy+4y 2五、问题考虑不全面例5已知x2-2mx+1是一个完全平方式，则m= _____错解：因为12= 1由乘积项—2mx=2x X 1得m=-1 .分析：错解忽略了另一种情况：因为(-1) 2=1，由一2mx=2x X (-1)得m=1，所以m= 土1.正解：m= 土 1.六、运算顺序错误例6 计算2(a-)2错解：2(a- b ) 2=(2a-b) 2分析：由乘方的定义知：2(a-b) 2=2(a-b)(a-b)=(2a-b) (a- b),这与(2a-b)2的结果是不2 2 2 2相等的•因此，应按照运算顺序先算乘方，再算乘除进行化简.b 1 1正解：2(a- ) 2=2(a2-ab+ b2)=2a2-2ab+ b2.2 4 2总之，运用完全平方公式进行整式的运算时，应牢固掌握公式的实质，并与其它相关法则、运算顺序有机的结合，才能简便、准确地进行整式的运算.完全平方公式学习导航湖北吴育弟2 2 2 2 2 21•完全平方公式有两个：(a b) a 2ab b ,(a b) a 2ab b •即，两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍•这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为(a b)2a22ab b2.记忆口诀： 首平方、尾平方，2倍乘积在中央 2•公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方3•公式的结果是：这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍.4•公式的特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项 的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的 母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式 式的结构特征，就可以运用这一公式•5.完全平方公式的几何意义 如图1，大正方形的面积可以表示为（a b ）2，也可以表示为2 2 2 2S S | S || S i” S iv ，同时 S a ab ab b a 2ab b .从而验证了完全平方公式（a b ）2 a 2 2ab b 2.6•完全平方公式重难点重点1 （ 1）公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（差）2（2） （a b ）的计算，可以看做是（a b ）（a b ），由多项式与多项式的乘法展开、合并同类项，可以得到公式。
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例3.
a b 5, ab 6, 2 2 2 2 若 求 a b ,a ab b .
拓展练习:
1. 2.若
2008 2 2008 2009 2009
2 2
1 =_______;x 2 源自kx 9是一个完全平方公式,
(a -
2 b) =
- 2 ab +
2 b
2 =x -4xy
+4y2
例2、运用完全平方公式计算：
(1) 1022 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404 (2) 992 解： 992 = (100 –1)2 =10000 -200+1 =9801
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗?
则
k
2
3 _______;
2
3.若 x 8 x k 是一个完全平方公式,
4 则 k _______;
4.请添加一项________，使得 k 4 是完全平方式. 2 k 4k 4k
2
x y 8, x y 4, 求xy.
4
5.已知
xy 12
a 2 b 2 (a b) 2 2ab (a b) 2 2ab,
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 错
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 错
完全平方公式
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
思考:
你能根据图1和图2中的面积说 明完全平方公式吗?
b a a b a 图1 b a 图2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
例1、运用完全平方公式计算：
2 (1)(4m+n)
解: (4m+n)2= (4m)2+2•(4m) •n +n2 (a
2 +b) = 2 a
+
2ab
+
2 b
2 =16m
+8mn +n2
2 (2)(x-2y)
解：
2 (x-2y) =
2 x 2 a
2 +(2y) -2•x •2y
b
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab a
b² ab b
2 2
(a+b)²
a²
a
2
( a b) a + 2ab+b
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b a
ab
b²
(a-b)²
a² ab
a b
( a b) a ab ab b
2
2
2
a 2ab b
2= a2 +2ab+b2 (a+b) 1、完全平方公式：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母及其指数； 3、解题时常用结论：
a b (a b) 2ab 2 (a b) 2ab
2 2 2
4ab (a b) (a b)
2
2
课本P156习题15.2—2、3、4题, 《同步导学》P97-98.
2
2
2 (a+b) =
2 a
2 +2ab+b
公式特征：
2 (a-b) =
2 a
-
2 2ab+b
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同.
首平方，尾平方， 积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式.
想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？