数列求通项与求和常用方法归纳+针对性练习题

数列通项与求和常见方法归纳

一、知能要点

1、求通项公式的方法：

(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式a n ；

(2)利用前n 项和与通项的关系

a n ＝???

??

S 1

S n －S n －1

n ＝1，

n ≥2；

(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式； (4)累加法：如a n ＋1－a n ＝f (n )， 累积法，如a n ＋1

a n ＝f (n )；

(5)转化法：a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0，且A ≠1)．

2、求和常用的方法：

(1)公式法： ①d n n na a a n S n n

2

)

1(2)(11-+=+=

②

??

?

??≠--==)

1(1)

1()1(11q q q a q na S n n

(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，

即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项：

①111(1)1

n n n n =-++ ②1111()()n n k k

n n k =-++ ③2

2

2111

111111111();1211

1(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k

<=--=<<=---+++--

④1111

[](1)(

2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-+++++ ⑤

=

<

<

=

(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 项和公式的推导方法) .

(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n 项和公式的推导方法) .

(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

二、知能运用典型例题

考点1：求数列的通项 [题型1]

)

(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)

(1

n f a a n n =-+，利用累加法(逐

差相加法)求解。

【例1】已知数列{}n

a 满足2

11=a ，n

n a a

n n ++

=+21

1，求n

a 。

解：由条件知：1

1

1)1(1121+-

=+=+=

-+n n n n n n a a

n n

分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即

)

()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a

)

111()4131()3121()211(n

n --+??????+-+-+-=

所以n

a a

n

111-

=-

2

11=

a Θ，n

n a

n

1231121-=-+=

∴

[题型2]

n

n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为)

(1n f a a n

n =+，利用累乘法(逐

商相乘法)求解。

【例2】已知数列{}n

a 满足32

1=a ，n

n a n n

a

1

1

+=

+，求n

a 。

解：由条件知1

1+=

+n n a

a n

n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得

)

1(-n 个等式累乘之，即

1342312-??????????n n a a a a a a a a n

n 1

433221-?

?????????=n a a n 11=? 又3

2

1

=

a

Θ，

n

a n 32=

∴

[题型3]

q

pa a n n +=+1(其中p ，q 均为常数，且0)1(≠-p pq )。

解法(待定系数法)：转化为：)

(1t a p t a

n n -=-+，其中p q t -=1，

再利用换元法转化为等比数列求解。 【例3】已知数列{}n

a 中，11=a ，3

21

+=+n n a a

，求n a 。

解：设递推公式3

21

+=+n n a a

可以转化为)

(21

t a t a

n n -=-+即

3

21-=?-=+t t a a n n .故递推公式为)

3(231

+=++n n a a

,令3

+=n n

a b

，则

4

311=+=a b ,且23

3

11

=++=

++n n n

n a a b

b .所以{}n

b 是以41

=b 为首项，2为公比

的等比数列，则1

1224+-=?=n n n

b ,所以3

21-=+n n

a

.

[题型4]

n

n n q pa a +=+1(其中p ，q 均为常数，且0)1)(1(≠--q p pq )。 (或1

n

n n a

pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数)。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q ，得：q q a q p q a n

n n n 1

11+?=++引入辅助数列{}n b (其中n

n n

q

a b =)， 得：q

b q p b

n n 11

+=

+再待定系数法解决。

【例4】已知数列{}n

a 中，6

51

=a ,11

)2

1(31+++=n n n a a

，求n

a 。

解：在11

)2

1

(31+++=n n n a a 两边乘以1

2+n 得：1

)2(3

2

2

11

+?=?++n n n n a a

令n

n n

a b

?=2，则13

2

1

+=+n n b b

,解之得：n

n

b

)3

2

(23-=

所以n

n n

n n

b a

)31(2)21(32

-==

[题型5] 递推公式为n

S 与n

a 的关系式。(或()

n

n S f a =)

解法：这种类型一般利用

??

?≥???????-=????????????????=-)

2()

1(11n S S n S a n n n 与

)

()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n

S

)

2(≥n

或与)(1--=n n n

S S f S

)

2(≥n 消去n

a 进行求解。

【例5】已知数列{}n

a 前n 项和2

214--

-=n n n

a S

.

(1)求1

+n a 与n

a 的关系； (2)求通项公式n

a .

解：(1)由2

2

14--

-=n n n

a S 得：1

11

2

14-++-

-=n n n a S

于是)

2

12

1(

)(1

2

11--++-+-=-n n n n n n a a S S 所以111

21-+++

-=n n n n a a a

n

n

n a a 21211+=?+.

(2)应用题型4(n

n n q pa a

+=+1

，其中p ，q 均为常数，且

)1)(1(≠--q p pq )的方法，上式两边同乘以1

2+n 得： 2

22

11

+=++n n n n a a

由12

1

412

111

1

=?-

-==-a a S

a .于是数列{}n

n

a 2是以2为首项，2为公

差的等差数列，所以n n a

n

n

2)1(222=-+=1

2

-=

?n n n a

[题型6]

r

n n pa a =+1)

0,0(>>n a p

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为

q

pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。

【例6】已知数列}{n

a 中，2

11

1,1n n a a

a

a ?=

=+)0(>a ，求数列}{n

a 的通

项公式。 解：由21

1n n a a

a ?=

+两边取对数得a

a a

n n 1lg

lg 2lg 1

+=+，

令n

n

a b

lg =，则a

b b

n n 1lg

21

+=+，再利用待定系数法解得：

1

2)1

(-=n n

a

a a 。

考点2：数列求和 [题型1] 公式法

【例7】已知}{n

a 是公差为3的等差数列，数列}{n

b 满足

.

,3

1

,11121n n n n nb b b a b b =+==++

(1)求}{n

a 的通项公式；

(2)求}{n

b 的前n 项和.

解：(1)依题a 1b 2+b 2=b 1，b 1=1，b 2=

3

1，解得

a 1=2 …2分

通项公式为 a n =2+3(n -1)=3n -1 …6分

(2)由(Ⅰ)知3nb n +1=nb n ，b n +1=31b n ，所以{b n }是公比为3

1的等比数列 …9分 所以

{b n }

的

前

n

项

和

S n =

1

11()31

3122313

n

n --=-?- …12分

[题型2] 裂项求和

【例8】n

S 为数列{n

a }的前n 项和.已知n

a ＞0，3

422

+=+n n n

S a a

.

(1)求{n

a }的通项公式；

(2)设1

1n

n n b a a +=

,求数列{n

b }的前n 项和.

解析：(1)n

a =21n +；

(2)由(1)知，n

b =1111

()(21)(23)22123

n n n n =-++++，

所以数列{

n

b }前n 项和为

12n

b b b +++L =1111111[()()()]235572123n n -+-++-++L =11646

n -+.

[题型3] 错位相减求和

【例9】已知数列{}n

a 和{}n

b 满足，*111

2,1,2(n N ),

n n a b a

a +===∈

*1231111

1(n N )

23n n b b b b b n

+++++=-∈L .

(1)求n

a 与n

b ；

(2)记数列{}n n

a b 的前n 项和为n T ，求n

T .

解析：(1)由1

1

2,2n n

a a

a +==，得2n

n

a

=.

当1n =时，1

2

1b b =-，故2

2b =.

当2n ≥时，11n

n n

b

b b n

+=-，整理得11n n

b n b n

++=

，所以n

b n =.

(2)由(1)知，2n

n n

a b

n =?

所以2

3

222322n

n

T n =+?+?++?L

2341

222232(1)22n n n T n n +=+?+?++-?+?L

所以2

3

1122222

2(1)22

n

n n n

n

n

T T T n n ++-=-=++++-?=--L

所以1

(1)2

2

n n

T n +=-+.

[题型4] 分组求和

【例10】已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列．

(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；

(2)求数列{b n}的前n项和．

解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意得

d＝a4－a1

3＝

12－3

3＝3.

所以a n＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)．设等比数列{b n－a n}的公比为q，由题意得

q3＝b4－a4

b1－a1＝

20－12

4－3＝8，解得q＝2.

所以b n－a n＝(b1－a1)q n－1＝2n－1.

从而b n＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．(2)由(1)知b n＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．

数列{3n}的前n项和为3

2n(n＋1)，数列{2n

－1}的前

n 项和为1×1－2n

1－2

＝2n －1，

所以，数列{b n }的前n 项和为3

2n (n ＋1)＋2n －1. 三、知能运用训练题

1、(1)已知数列{}n

a 中，)2(12,21

1

≥-+==-n n a a a n n

，求数列{}n

a 的

通项公式；

(2)已知为数列{}n

a 的前n 项和，11=a ，n

n

a n S

?=2，求数列

{}n a 的通项公式.

【解】(1)Θ)

2(12,211

≥-+==-n n a a a n n ，∴1

21-=--n a a

n n

∴1

1232211)()()()(a a a a a a a a a a

n n n n n n n

+-++-+-+-=-----Λ

135)52()32()12(++++-+-+-=Λn n n 2

2

)

112(n n n =+-= (2)Θ11

=a ，n

n

a n S

?=2，∴当时，1

21

)1(--?-=n n a n S

∴1

1

)1(11221+-=

?

--=-=---n n a a a n a n S S a n n n n n n n .

∴1122332211a a a a a a a a a a a a

n n n n n n n

??????=

-----Λ.)

1(2

1314213211+=????--?-?+-=

n n n n n n n n Λ

2、已知数列{}n

a 中，3

2,111

+==+n n a a a

，求数列{}n

a 的通项公式.

【解】Θ3

21

+=+n n a a ，∴)

3(231

+=++n n a a

∴{}

3+n a 是以2为公比的等比数列，其首项为431

=+a

∴.

3224311-=??=++-n n n n

a a

3、已知数列{}n

a 中，n

n n a a a

32,111

+==+，求数列{}n

a 的通项公式.

【解】Θn

n n a a 321

+=+，∴n

n n n

n a a )2

3(22

11

+=

-+，令n

n n

b a

=-12则

n

n n b b )2

3

(1=-+，

∴1

12211)()()(b b b b b b b b

n n n n n

+-++-+-=---Λ

12

3)23()23()23()

23

(2321

++++++=---Λn n n 2

)23

(2-?=n

∴n

n n

a

23-=

4、已知为数列{}n

a 的前n 项和， )

2,(23≥∈+=+n N n a S n n ，求数

列{}n

a 的通项公式.

【解析】当时，1

231111

-=?+==a a S a ，

当时，)23()23(11+-+=-=--n n n n n

a a S S a .

∴2

3

3211=?

=--n n n n a a a a

∴{}

n a 是以23

为公比的等比数列，其首项为1

1

-=a

，

∴.

)2

3(11-?-=n n

a

5、已知数列{}n

a 中，n

n n a a a

33,111

+==+，求数列{}n

a 的通项公式.

【解析】Θn

n n a a

331

+=+，∴133

1

1

+=

-+n n

n

n a a ，令n

n n b a

=-13 ∴数列是等差数列，n

n b n

=-+=)1(11，

∴1

3-?=n n n a .

6、已知数列{}n

a 中，)3(3

2

31,2,12121

≥+=

==--n a a a a a

n n n ，求数列{}n

a 的

通项公式. 【解】由213

2

31--+=

n n n

a a a 得)

3)((3

2

211≥--=----n a a a a

n n n n

又0

112≠=-a a

，所以数列{}

n n a a

-+1

是以1为首项，公比

为23-的等比数列， ∴1

1)3

2(-+-=-n n

n a a

∴1

1232211)()()()(a a a a a a a a a a

n n n n n n n

+-++-+-+-=-----Λ

1

1)32

()32()32()32(232++-+-++-+-=--Λn n

1)3

2(5358---=

n ．

7、已知数列{}n

a 是首项为正数的等差数列，数列11

n

n a a

+???

???

?

的前n 项和为21n n +.

(1)求数列{}n

a 的通项公式；

(2)设()12n

a n

n b

a =+?，求数列{}n

b 的前n 项和n

T .

【解析】（1）设数列{}n

a 的公差为d ，

令1,n =得12

11

3

a a

=

，所以12

3

a a

=.

令2,n =得12

231125

a a

a a +

=，所以23

15

a a

=. 解得1

1,2a d ==， 所以2 1.

n

a

n =-

（2）由（I ）知24224,

n n n

b n n -=?=?所以1

2

1424

......4,

n n

T n =?+?++?

所以2

31414

24......(1)44,

n n n

T n n +=?+?++-?+?

两式相减，得1

2

1

344

......44n n n

T n +-=+++-?

114(14)13444,

1433

n n n n n ++--=-?=?-- 所以

1

13144(31)44.

999

n n n n n T ++-+-?=?+=

8、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n

2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2n

a ＋(－1)n a n ，求数列{

b n }的前2n 项和．

解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n

－

1

＝n 2＋n

2－

（n －1）2＋（n －1）

2

＝n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .

(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．

记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋

2n ，

则A ＝2（1－22n ）1－2

＝22n ＋1

－2，

B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .

故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1

＋n －

2.

9、已知数列{}n

a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n

b 是等差数列，

且1.

n

n n a

b b +=+

(1)求数列{}n

b 的通项公式； (2)令

1

(1).(2)

n n n n

n a c b ++=+求数列{}n

c 的前n 项和T n .

解析：（1）由题意知当2≥n 时，5

61+=-=-n S S a n n n

，

当1=n 时，11

11

==S a

，所以5

6+=n a

n

. 设数列{}n

b 的公差为d ，由??

?+=+=3

22211b b a b b a ，即

??

?+=+=d

b d

b 321721111，可解

得3,41

==d b ，

所以1

3+=n b

n

.

（2）由（Ⅰ）知11

(66)3(1)2

(33)n n n n

n c n n +++==+?+，

又n

n

c c c c T

+???+++=321，

得2

3

4

1

3[223242(1)2]n n

T n +=??+?+?+???++?，

345223[223242(1)2]

n n T n +=??+?+?+???++?， 两式作差，得

234123[22222(1)2]

n n n T n ++-=??+++???+-+?

22

4(21)

3[4(1)2]

21

32n n n n n ++-=?+-+?-=-? 所以

2

23+?=n n n T

10、等比数列的各项均为正数，且21

2

326231,9.

a a a a a +==

(1)求数列的通项公式； (2)设

31323log log ......log ,

n n b a a a =+++求数列1n

b

??

???

?

的前n 项和. 解析：（1）设数列{a n }的公比为q ，由2

3

26

9a a a =得32

34

9a

a =所

以2

19

q

=

。

由条件可知a>0,故。由1

2

231a a +=得1

2

231a a q +=，所以1

13

a =。故数列{a n }的通项式为a n =。 （2）

31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2

n n n =-++++=-

(12...)(1)

2

n n n =-++++=-

故

12112()(1)1

n b n n n n =-=--++

12111111112...2((1)()...())22311

n n b b b n n n +++=--+-++-=-++

所以数列1{}n

b 的前n 项和为21n n -+

11、在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；

(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解：(1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0， 解得d ＝－1或d ＝4.

所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *)． (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .

因为d<0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11， 所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；

当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11

＝12n 2－21

2n ＋110. 综上所述，

|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝

?????

－12n 2＋21

2n ，n ≤11，12

n 2－212n ＋110，n ≥12.

12、已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前n 项和。 (1)求及；

(2) 设数列1n

S ????

?

?

的前n 项和为，求证：当+∈N n 都有1

n

n

T n >+成立。

解：（1）∵是首项，公差的等差数列，

∴1(1)21n a a n d n =+-=- 故21()(121)

13...(21)22

n n n a a n n S n n ++-=+++-=

== （2）由（1）得，2222211111

1234n T n =

+++++

L 1111112233445

(1)n n >+++++?????+L 111111111122334451

n n =-+-+-+-++-

+L 1111n n n =-=++