数列求和的常用方法

数列求和的常用方法
主要方法：
1．求数列的和关键是看数列的通项公式形式注意方法的选取：
2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；转化思想的运用； 一、公式法
二、分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

1、求和：①321ΛΛ个
n n S 111111111++++=
②22222)1
()1()1(n n n x
x x x x x S ++++++
=Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S
2
、
求
数
列
的
前
n
项
和
：
231
,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，… 三、 合并求和法：
1、求22222212979899100-++-+-Λ的和。

2、1-2+3-4+5-6+7-8+9-……….+
n 1-1
n +）（ 3（2014山东19文）
在等差数列{}n a 中，已知2d =，2a 是1a 与4a 等比中项.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()12
,n n n b a +=
记()1231n
n n T b b b b =-+-++-L ，求n T . 4.( 2014山东19理）
已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。

（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4)
1(1
1
+--n n n a a n
求数列}{n b 的前n 项和n T 。

5、（2011山东理数20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1ln n
n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
6、（2011山东文数20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a
a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n
n n n b a a =+-，
求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．
四、 错位相减法：.×.
1、已知数列)0()12(,,5,3,11
2
≠--a a n a a n Λ，求前
n 项和。

2、
132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S
3、求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和 4、{2}.n
n n ⋅求数列前项和
5、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=
（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S ． 7、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1*
(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列
{}n b 的前n 项和n S
8、(){213}.n
n n -⋅求数列前项和
9、求数列1357
,,,,24816
⋅⋅⋅,212n n -的前n 项和.
10、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设1*
(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}
n b 的前n 项和n S
11、等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的
n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
（1）求r 的值；
（2）当b=2时，记 1
()4n n
n b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T
12、（07山东理17）设数列
{}
n a 满足
211233333
n n n a a a a -++++=
…，a ∈*
N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；
（Ⅱ）设n n
n
b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 13.(2009山东卷文)（本小题满分12分）
等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的
n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x
y b r b =+>且
1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1
()4n n
n b n N a ++=
∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T
五、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负
相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：
11
1)1(1+-
=+n n n n ；
1111
()
(2)22
n n n n =-++
)1
21
121(21)12)(12(1+--=+-n n n n
1、求和)12)(12()2(5343122
22+-++⋅+⋅=
n n n S n Λ
2、求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n
项和
11-+n
3、在数列{a n }中，
1
1211++⋅⋅⋅++++=
n n n n a n ，又1
2+⋅=
n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
1
8+n n
5、求数列
311⨯，421⨯，5
31
⨯，…，)2(1+n n ，…
的前n 项和S 6．求
7、数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足,11=a
,)1(2n n a n S +=
（I ）求n a 与1-n a 的关系式，并求{n a }的通项公式；
（II ）求和.1
1
111121232
2-++-+-=+n n a a a W Λ 9、（2010山东文理数）已知等差数列{}n a 满足：
37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．
（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =
2
1
1
n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
11.已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝
1
2
n +，设13242111
n n n T a a a a a a +=
+++⋅⋅⋅L ，求n T ． 六、倒序相加法求和 1、求
2222cos 1cos 2cos 3cos 89++++o o o o L L
2、求
οοοο89sin 3sin 2sin 1sin 2222+⋅⋅⋅+++
3、求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
七、带绝对值号的数列求和
1、在数列{}n a 中，已知4,2011+=-=+n n a a a ， 求的值
2、若数列{}n a 的通项公式为123-=n a n ，求数列{}n a 的前n 项和n S
（四）巩固练习：
1．求下列数列的前n 项和n S ： （1）5，55，555，5555，…，
5(101)9
n
-，…； （2）
1111
,,,,,132435(2)
n n ⨯⨯⨯+L L ； （3
）n a =； （4）
23,2,3,,,n a a a na L L ；
5、13,24,35,,(2),n n ⨯⨯⨯+L L ；
（6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o L L ． 2．已知数列{}n a 的通项65()2
()
n n
n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，
求其前n 项和n S ．。