2017届高三数学一轮复习训练2.2函数的单调性与最值.doc
【创新大课堂】高三数学(文)一轮复习活页作业：2.2函数的单调性与最值(含答案解析)
课时活页作业（五）[基础训练组]1．函数f(x)中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f(x 1)＞f(x 2)”的是( )A ．f(x)＝1xB ．f(x)＝(x －1)2C ．f(x)＝e xD ．f(x)＝ln(x ＋1)[解析] 由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数． A 中，f(x)＝1x满足要求；B 中，f(x)＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f(x)＝e x 是增函数；D 中，f(x)＝ln(x ＋1)是增函数． [答案] A2．已知函数f(x)＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，34B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎝⎛⎭⎫0，34 D.⎣⎡⎦⎤0，34 [解析] 当a ＝0时，f(x)＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数； 当a≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0－－4a ≥3，得0＜a≤34.综上，a 的取值范围是0≤a≤34[答案] D3．(2016·牡丹江月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x －1，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23B ．f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13C ．f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫13 [解析] 由题设知，当x ＜1时，f(x)单调递减，当x≥1时，f(x)单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，又13＜12＜23＜1， ∴f ⎝⎛⎭⎫13＞f ⎝⎛⎭⎫12＞f ⎝⎛⎭⎫23，即f ⎝⎛⎭⎫13＞f ⎝⎛⎭⎫32＞f ⎝⎛⎭⎫23.[答案] B4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x≥0，4x －x 2，x ＜0若f(2－a 2)＞f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析] 由题意知f(x)在R 上是增函数，由题意得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1. [答案] C5．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数[解析] 由题意知a ＜1，∴g(x)＝x＝x ＋ax－2a ，当a ＜0时，显然g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，当a ＞0时，g(x)在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g(x)在(1，＋∞)上一定是增函数．[答案] D6．(2014·天津高考)函数f(x)＝lg x 2的单调递减区间是________．[解析] 函数f(x)＝lg x 2的单调递减区间需满足x 2＞0且y ＝x 2单调递减，故x ∈(－∞，0)．[答案] (－∞，0)7．设函数f(x)＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________．[解析] f(x)＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a ，其对称中心为(－2a ，a)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1＞0－2a≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0a≥1⇒a≥1.[答案] [1，＋∞)8．(2016·荆州质检)函数f(x)＝|x 3－3x 2－t|，x ∈[0,4]的最大值记为g(t)，当t 在实数范围内变化时，g(t)的最小值为________．[解析] 令g(x)＝x 3－3x 2－t ，则g′(x)＝3x 2－6x ，令g′(x)≥0，则x≤0或x≥2，在[0,2]上g(x)为减函数，在[2,4]上g(x)为增函数，故f(x)的最大值g(t)＝max{|g(0)|，|g(2)|，|g(4)|}，又|g(0)|＝|t|，|g(2)|＝|4＋t|，|g(4)|＝|16－t|，在同一坐标系中分别作出它们的图象，由图象可知，在y ＝16－t(t≤16)与y ＝4＋t(t≥－4)的交点处，g(t)取得最小值，由16－t ＝4＋t ，得2t ＝12，t ＝6，∴g(t)min ＝10.[答案] 109．已知f(x)＝xx －a(x≠a)，(1)若a ＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)[证明] 任取x 1＜x 2＜－2， 则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝1－x 21＋2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f(x 1)＜f(x 2)． ∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)[解] 任设1＜x 1＜x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝2－x 11－2－.∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f(x 1)－f(x 2)＞0，只需(x 1－a)(x 2－a)＞0恒成立，∴a≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]．10．(2016·赣州市十二县(市)联考)已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝x.(1)求a 、b 的值；(2)若不等式f(2x )－k·2x ≥0在x ∈[－1,1]上有解，求实数k 的取值范围． 解：(1)g(x)＝a(x －1)2＋1＋b －a ，因为a>0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ ＝1＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0.(2)由已知可得f(x)＝x ＋1x －2，所以f(2x )－k·2x ≥0可化为2x ＋12x －2≥k·2x ，即为1＋⎝⎛⎭⎫12x 2－2·12x ≥k.令t ＝12x ，则k≤t 2－2t ＋1，因x ∈[－1,1]，故t ∈⎣⎡⎦⎤12，2.记h(t)＝t 2－2t ＋1，因为t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，故h(t)max ＝1, 所以k 的取值范围是 (－∞，1]．[能力提升组]11．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＞，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)[解析] 因为f(x)是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞14－a 2＞0a≥4－a 2＋2.解得4≤a≤8，故选B.[答案] B12．(2016·福建质检)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)＜0，则x 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1，＋∞)D ．(10，＋∞)[解析] 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以f(0)＝0，且函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因为f(lg x)＜0，所以f(lg x)＜f(0)，所以lg x ＜0，所以0＜x ＜1.故选A.[答案] A13．设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧，f ，k ，＞k ，取函数f(x)＝2－|x|.当k ＝12时， 函数f k (x)的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[解析] 由f(x)＞12，得－1＜x ＜1.由f(x)≤12，得x≤－1或x≥1.所以f 12 (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x≤－1.故f 12 x)的单调递增区间为(－∞，－1)． [答案] C14．(2016·厦门质检)已知函数f(x)＝x 2(e x ＋e －x )－(2x ＋1)2(e 2x ＋1＋e－2x －1)，则满足f(x)＞0的实数x 的取值范围是________．[解析] f(x)＝x 2(e x ＋e －x )－(2x ＋1)2(e 2x ＋1＋e－2x －1)，设g(x)＝x 2(e x ＋e －x )，则g(－x)＝(－x)2(e －x ＋e x )＝x 2(e x ＋e －x )＝g(x)，∴函数g(x)为偶函数，∴g′(x)＝2x(e x ＋e －x )＋x 2(e x －e －x )＝(2x ＋x 2)e x＋(2x －x 2)e－x＝＋x 22x＋－x 2e x，当x ＞0时，g′(x)＝＋x 22x ＋－x 2e x＞2x ＋x 2＋2x －x 2e x ＝4x ex ＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(x)＞0，∴g(x)－g(2x ＋1)＞0，∴g(|x|)＞g(|2x ＋1|)，即|x|＞|2x ＋1|，x 2＞(2x ＋1)2,3x 2＋4x ＋1＜0，∴－1＜x ＜－13.[答案] ⎝⎛⎭⎫－1，－13 15．已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b≠0时，有＋a ＋b＞0成立．(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＜f ⎝⎛⎭⎫1x －1； (3)若f(x)≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1＜x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数， ∴f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1)＋f(－x 2) ＝1＋－x 2x 1＋－x2·(x 1－x 2)，由已知得1＋－x 2x 1＋－x 2＞0，x 1－x 2＜0，∴f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)． ∴f(x)在[－1,1]上单调递增． (2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＜1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x ＜－1.(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f(x)≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 设g(a)＝－2ma ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g(a)＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a 的一次函数，若g(a)≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须有g(－1)≥0且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或m≥2或m≤－2.。
2.2 函数的单调性与最值(课时测试)-2017届高三数学(文)一轮复习(原卷版)
高三一轮复习 2.2 函数的单调性与最值（检测学生版）时间:50分钟 总分：70分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.给定函数①y ＝x 12，②y ＝12log (1)x +，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1， 其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．A ．1y x =B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x |4．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为( ) A.14 B.12 C.22D.325.(北京东城区市示范校2016届高三)已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2 在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是A. ()0,2-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()2,-∞-6．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a ＞1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]C ．sgn[g (x )]＝－sgn xD ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________。
第二章 §2.2 函数的单调性与最值-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§2.2函数的单调性与最值课标要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为D ，区间I ⊆D ，如果∀x 1，x 2∈I 当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间I 上单调递增，特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间I 上单调递减，特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间I 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间I 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果存在实数M 满足条件(1)∀x ∈D ，都有f (x )≤M ；(1)∀x ∈D ，都有f (x )≥M ；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值常用结论1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有f(x1)－f(x2)x1－x2>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f(x)的单调性相反．4．复合函数的单调性：同增异减．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上单调递增．(×)(2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3)．(×)(3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值．(√)(4)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)2．下列函数中，在其定义域上是减函数的是()A．y＝－2x＋1B．y＝x2＋1C．y＝x D．y＝2x答案A解析y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确；y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；y＝x在[0，＋∞)上是增函数，故C错误；y＝2x在R上是增函数，故D错误．3．(2023·宜春统考)函数y＝－1x＋1在区间[1,2]上的最大值为()A．－13B．－12C．－1D．不存在答案A解析y＝－1x＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则y＝－1x＋1在区间[1,2]上单调递增，所以y max＝－12＋1＝－13.4．函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f (2x －1)>f x 的取值范围是________．答案12，解析∵f (x )的定义域是[0，＋∞)，∴2x －1≥0，即x ≥12，又∵f (x )是定义在[0，＋∞)上的减函数，∴2x －1<13，即x <23，则x 的取值范围为12，题型一确定函数的单调性命题点1函数单调性的判断例1(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是()A ．y ＝x －1xB ．y ＝|x 2－2x |C ．y ＝2x ＋2cos xD ．y ＝lg(x ＋1)答案ACD解析∵y ＝x 与y ＝－1x 在(0，＋∞)上单调递增，∴y ＝x －1x在(0，＋∞)上单调递增，故A 正确；由y ＝|x 2－2x |的图象(图略)知，B 不正确；∵y ′＝2－2sin x ≥0，∴y ＝2x ＋2cos x 是R 上的增函数，故C 正确；函数y ＝lg(x ＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D 正确．命题点2利用定义证明函数的单调性例2试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解方法一定义法设－1<x 1<x 2<1，因为f (x )＝所以f (x 1)－f (x 2)＝＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．方法二导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.故当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法．(2)导数法．(3)图象法．(4)性质法．跟踪训练1(1)函数g (x )＝x ·|x －1|＋1的单调递减区间为()－∞，12 B.12，1C ．[1，＋∞)－∞，12∪[1，＋∞)答案B解析g (x )＝x ·|x －1|＋12－x ＋1，x ≥1，x 2＋x ＋1，x <1，画出函数图象，如图所示，根据图象知，函数的单调递减区间为12，1.(2)(2024·唐山模拟)函数f (x )＝212log (232)x x --的单调递增区间为________．答案解析令t ＝2x 2－3x －2>0，解得x >2或x <－12，则f (x )∞(2，＋∞)，由f (t )＝12log t 在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性：同增异减，函数t ＝2x 2－3x －2的单调递减区间，即为f (x )的单调递增区间，再结合f (x )的定义域可知，f (x )∞题型二函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(2023·湘潭统考)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则()A ．f (－2)<f (3)<f (4)B ．f (－2)>f (3)>f (4)C ．f (3)<f (4)<f (－2)D ．f (4)<f (－2)<f (3)答案A解析因为对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减，又f (x )为偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则f (2)<f (3)<f (4)，又f (－2)＝f (2)，所以f (－2)<f (3)<f (4)．命题点2求函数的最值例4(2023·四川外国语大学附中模拟)函数f (x )＝x －2x ＋1在[1,4]上的值域为()A.1，92B ．[0,1]C.0，92 D.2，92答案C解析由y ＝x 在[1,4]上单调递增，且y ＝2x在[1,4]上单调递减，可得f (x )＝x －2x ＋1在[1,4]上单调递增，又f (1)＝0，f (4)＝92，故值域为0，92.求函数的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．(3)数形结合法．(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”．(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式．典例(多选)下列函数中，值域正确的是()A ．当x ∈[0,3)时，函数y ＝x 2－2x ＋3的值域为[2,6)B ．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为RC ．函数y ＝2x －x －1的值域为158，＋∞D ．函数y ＝x ＋1＋x －1的值域为[2，＋∞)答案ACD解析对于A ，(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．对于B ，(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．对于C ，(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为158，＋对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，∵y＝x＋1与y＝x－1在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝x＋1＋x－1在[1，＋∞)上为增函数，∴当x＝1时，y min＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．命题点3解函数不等式例5函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．答案[－1,1)解析2≤a＋1≤2，2≤2a≤2，＋1>2a⇒－1≤a<1.所以实数a的取值范围是[－1,1)．命题点4求参数的取值范围例6(2024·恩施模拟)已知函数f(x)3a－1)x＋4a，x<1，2－ax＋6，x≥1满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2>0成立，则实数a的取值范围是()A．[2，＋∞)21D．[1,2]答案C解析对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2>0成立，所以函数f(x)3a－1)x＋4a，x<1，2－ax＋6，x≥1在R上是增函数，－1>0，1，－1＋4a≤1－a＋6，解得13<a≤1，所以实数a1.思维升华(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)已知函数f(x)(x＋1)，x≥0，2x2，x<0，则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是()A．(－2,1)B．(0,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)答案C解析由函数f(x)(x＋1)，x≥0，2x2，x<0的图象(图略)可得f(x)在R上是增函数，则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等价于x＋2<x2＋2x，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2，则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．(2)若函数f(x)＝x＋a－3x－1在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．答案[1,2)解析f(x)＝x＋a－3x－1＝x－1＋a－2x－1＝1＋a－2x－1∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增，－2<0，≥1⇒1≤a<2.课时精练一、单项选择题1．(2023·菏泽检测)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是()A．y＝－x2＋1B．y＝xC．y＝1xD．y＝3－x答案B解析y＝－x2＋1在区间(0,1)上单调递减，故A不符合题意；y＝x是[0，＋∞)上的增函数，所以在区间(0,1)上单调递增，故B符合题意；y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0,1)上单调递减，故C不符合题意；y＝3－x在区间(0,1)上单调递减，故D不符合题意．2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为() A．(－∞，2]B．[2，＋∞) C．[0,2]D．[0，＋∞)答案B解析∵y＝|x－2|－2，x≥2，x＋2，x<2，∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞)．3．(2024·邵阳统考)已知f(x)是偶函数，f(x)在[1,3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f(－3)的大小关系为()A．f(1)>f(－2)>f(－3)B．f(－2)>f(－3)>f(1)C．f(－3)>f(1)>f(－2)D．f(－3)>f(－2)>f(1)答案D解析因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．因为f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(3)>f(2)>f(1)，所以f(－3)>f(－2)>f(1)．4．已知函数f(x)＝2xx－1，则f(x)在区间[2,6]上的最大值为()A.125B．3C．4D．5答案C解析∵f(x)＝2xx－1＝2＋2x－1在[2,6]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝4.5．(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝x＋ln x－1，则不等式f(x)<0的解集为() A．(e，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0,1)D．(0，＋∞)答案C解析函数f(x)＝x＋ln x－1的定义域为(0，＋∞)．因为y＝x－1在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝1＋ln 1－1＝0，所以不等式f (x )<0的解集为(0,1)．6．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，对任意x 1，x 2且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1，则下列说法正确的是()A ．y ＝f (x )＋x 是增函数B ．y ＝f (x )＋x 是减函数C ．y ＝f (x )是增函数D ．y ＝f (x )是减函数答案A解析不妨令x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，∵f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1⇔f (x 1)－f (x 2)<－(x 1－x 2)⇔f (x 1)＋x 1<f (x 2)＋x 2，令g (x )＝f (x )＋x ，∴g (x 1)<g (x 2)，又x 1<x 2，∴g (x )＝f (x )＋x 是增函数．二、多项选择题7．下列说法中，正确的是()A ．若对任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则y ＝f (x )在I 上单调递增B ．函数y ＝x 2在R 上是增函数C ．函数y ＝－1x在定义域上是增函数D ．函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)答案AD解析对于A ，若对任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则有f (x 1)<f (x 2)，由函数单调性的定义可知y ＝f (x )在I 上单调递增，故A 正确；对于B ，由二次函数的性质可知，y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B 错误；对于C ，由反比例函数单调性可知，y ＝－1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，故C 错误；对于D ，由反比例函数单调性可知，y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故D 正确．8．(2023·广州联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间[1，＋∞)上一定()A ．单调递减B ．单调递增C ．有最小值D ．有最大值答案BC 解析∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，∴函数图象的对称轴应当位于区间(－∞，1)内，∴a <1，g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x－2a (x ≥1)，任取1≤x 1<x 2，g (x 1)－g (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝x 1－x 2＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－a x 1x 2，由a <1,1≤x 1<x 2，有x 1－x 2<0，x 1x 2>1>0，x 1x 2－a >0，则g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)，所以g (x )＝x ＋a x－2a 在区间[1，＋∞)上单调递增，函数的最小值为g (1)＝1－a ，无最大值．三、填空题9．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调递增区间为______．答案[－1,1]解析要使函数f (x )有意义，则－x 2＋2x ＋3≥0，解得－1≤x ≤3，令y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,1]．10．(2023·松原联考)已知函数f (x )＝2x －2－x ，则不等式f (3x －1)<f (1－x )的解集为________．答案解析函数y ＝2x 与y ＝－2－x 均在R 上是增函数，故f (x )在R 上是增函数，f (3x －1)<f (1－x )等价于3x －1<1－x ，得x <12.11．已知命题p ：“若f (x )<f (4)对任意的x ∈(0,4)都成立，则f (x )在(0,4)上单调递增”．能说明命题p 为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝(x －1)2(答案不唯一，如f (x )x ，0<x <4，，x ＝4，只要满足题意即可)解析由题意知，令f (x )＝(x －1)2，满足f (x )<f (4)对任意的x ∈(0,4)都成立，但函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，所以函数f (x )＝(x －1)2可以说明命题p 为假命题．12．(2023·临川一中模拟)已知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)在[0,1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案[2,4)解析函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)在[0,1]上单调递减，当0<a <1时，x 2－ax ＋3＋3－a 24≥3－a 24>0恒成立，而函数u ＝x 2－ax ＋3在区间[0,1]上不单调，因此0<a <1不符合题意；当a >1时，函数y ＝log a u 在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性，得函数u ＝x 2－ax ＋3在区间[0,1]上单调递减，因此a 2≥1，并且12－a ×1＋3>0，解得2≤a <4，所以实数a 的取值范围是[2,4)．四、解答题13．(2023·昆明统考)给定函数f (x )，g (x )＝－x 2＋4x ＋1，x ∈R .(1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象；(2)∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中的最大者，记为M (x )＝max{f (x )，g (x )}，试判断M (x )在区间(－∞，a ]上的单调性．解(1)f (x )，g (x )的图象如图所示．(2)由(1)及M (x )的定义得，M (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，所以当a ≤0时，M (x )在(－∞，a ]上单调递减；当0<a ≤2时，M (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，a ]上单调递增；当a >2时，M (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，a ]上单调递减．14．(2023·重庆联考)已知f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．(1)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(2)解关于t 的不等式f (t 2－3)＋f (2t )<0.解(1)f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1在R 上是增函数．证明：在R 上任取x 1，x 2且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝121212222(22)112121(21)(21)x x x x x x -⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，由x 1<x 2可知12022x x <<，所以1212220,210,210x x x x <>>－＋＋，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．即f (x )在R 上是增函数．(2)易知f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，由(1)知，函数f (x )在R 上是增函数，由f (t 2－3)＋f (2t )<0，可得f (t 2－3)<－f (2t )＝f (－2t )，所以t 2－3<－2t ，即t 2＋2t －3<0，解得－3<t <1，即关于t 的不等式f (t 2－3)＋f (2t )<0的解集为{t |－3<t <1}．15．(多选)(2024·长沙模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且对于y ＝f (x )(x ∈R )，当x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0恒成立，若f (2ax )<f (2x 2＋1)对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围可以是()A ．(－2，－1)－12，1C ．[0，2)D ．(2，＋∞)答案ABC 解析由题意得y ＝f (x )为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，故y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (2ax )<f (2x 2＋1)，故f (|2ax |)<f (2x 2＋1)，所以|2ax |<2x 2＋1，当x ＝0时，|0|<1恒成立，满足要求，当x ≠0时，|2a |<2x 2＋1|x |＝2|x |＋1|x |在x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒成立，其中2|x |＋1|x |≥22|x |·1|x |＝22，当且仅当2|x |＝1|x |，即|x |＝22时，等号成立，故|2a |<22，解得－2<a <2，综上，a 的取值范围为－2<a <2，A 选项，由于(－2，－1)⊆(－2，2)，A 正确；B －12，1⊆(－2，2)，B 正确；C 选项，[0，2)⊆(－2，2)，C 正确；D 选项，(2，＋∞)显然不是(－2，2)的子集，D 错误．16．已知函数f (x )－x 2，x ≥0，2x ，x <0.若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围为__________；若f (x )在[－1，t )上的值域为[0,4]，则实数t 的取值范围为__________．答案(－∞，0](2,4]解析若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则f (x )在R 上是减函数，则a 2≤0，即a ≤0，所以实数a 的取值范围为(－∞，0]；当a >0时，若f (x )在[－1，t )上的值域为[0,4]，则f ＝a 22－a 24＝4，解得a ＝4或a ＝－4(舍去)，又f (－1)＝2，f (0)＝f (4)＝0，所以2<t ≤4；当a ≤0时，f (x )在[－1，t )上单调递减，则f (x )在[－1，t )上的最大值为f (－1)＝2，不符合题意，所以实数t 的取值范围为(2,4]．。
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．【答案】[，＋∞)【解析】因为当时，为单调递减函数，所以当时，也为单调递减函数，因此且【考点】分段函数单调性2.已知函数对一切、都有：，并且当时，.（1）判定并证明函数在上的单调性；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）f（x）在上是增函数；（2）【解析】（1）将m、n赋值，并注意x＞0时f（x）＞2条件的使用；（2）根据（1）的结论，首先找出f（1）＝3，然后利用单调性去掉抽象函数，解二次不等式即可.试题解析：（1）设、且，则∵当时，∴即而函数对一切、都有：∴即∴函数在上是增函数（2）由题：∵∴∵∴即∴不等式的解集是【考点】抽象函数，函数的单调性，一元二次不等式的解法3.如果在区间上为减函数，则的取值范围（）A． B． C． D （0，）【答案】C【解析】首先当时满足在区间上为减函数，所以；其次当时，由二次函数的图象和性质可知：要使在区间上为减函数，必须且只需：，综上知的取值范围为；故选Ｃ．【考点】一次函数与二次函数的单调性．4.如果函数y＝f(x)图象上任意一点的坐标(x，y)都满足方程lg(x＋y)＝lgx＋lgy，那么y＝f(x)在[2,4]上的最小值是________．【答案】【解析】由lg(x＋y)＝lgx＋lgy，得，由x＋y＝xy得y＝f(x)＝＝＝1＋(x≠1)．则函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x)在[2,4]上的最小值是f(4)＝1＋＝.5.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|.下列不等关系：①<；②f(sin l)>f(cos l)；③<；④f(cos 2)>f(sin 2)．其中正确的是________(填序号)．【答案】④【解析】当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，从而f(x)＝f(x＋4)＝2－|x|，因为sin<cos，所以>；因为sin l>cos l，所以f(sin l)<f(cos l)；因为<，所以>；因为|cos 2|<|sin 2|，所以f(cos 2)>f(sin 2)．综上所述，正确的是④.6.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【答案】D【解析】函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝1·e x＋(x－3)·e x＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·e x>0，解得x>2.7.已知函数在[0，+∞]上是增函数，，若则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∵函数在[0，+∞]上是增函数，∴，∴或，∴或，又∵，∴或.【考点】函数的单调性、不等式的解法.8.下列函数中，既是偶函数又在区间（1，2）上单调递增的是（）A.【答案】A【解析】与满足,与满足,为奇函数，所以舍去，画出与的图象显然递增的是,故选A.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.9.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是奇函数，所以选项A不正确；因为是偶函数，其单调递增区间是，所以选项B不正确；是偶函数，在上单调递减，所以选项C不正大确；因为是偶函数，且在区间上为增函数，所以选项D正确.【考点】1、三角函数的图象和性质；2、三角函数的诱导公式.10.设函数若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的图像可知，在和上是递增的，在上是递减的，故函数在区间上单调递增，则或，即或，故选Ｄ．【考点】函数的单调性．11.下列函数中，对于任意的，满足条件的函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得函数在上单调递增。
高三步步高大一轮复习课件2.2函数的单调性与最值ppt
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
探究提高 (1)证明函数的单调性用定义法的步骤是：取 值—作差—变形—确定符号—下结论． (2)利用导数证明的一般步骤为：求导，判断导函数在区 间上的符号，下结论．导数法是比较常用的一种方法．
2．已知函数 y＝f(x)在 R 上是减函数，A(0，－2)、 B(－3,2)在其图象上，则不等式－2<f(x)<2 的解集 为_(_－__3_,0_)__． 解析 画一个草图，数形结合，得不等式的解集为 (－3,0)． 点评 数形结合是解决此类题目的常用方法．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
图象 描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性， 区间D 叫做 f(x)的单调区间．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
变式训练 2
函数 y log1 (2x2－3x＋1)的递减区间为
2
(A )
A．(1，＋∞) C.12，＋∞
高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.2 函数的单调性(解析版)
第二讲函数的单调性1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【套路秘籍】---千里之行始于足下考向一 单调区间求解【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A.y ＝2－xB.y ＝xC.y ＝log 2xD.y ＝－1x(2)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间 ． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间 ．(5)函数33y x x =-的单调增区间为__________． 【答案】见解析【解析】（1）只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且y ＝2－x是减函数，y ＝x 是增函数.选B （2）由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数． 要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间．∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D. （3）先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象．如图所示．由图可知f (x )在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f (x )的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．（4）由题意，得x >0.y ′＝1－1x ＝x －1x.由y ′＝0解得x ＝1.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始列表如下：由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．（5）21119033y x x '=->∴-<< ，即单调增区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【举一反三】1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( )A ． f(x)=lnxB ． f(x)=(x −1)2C ． f(x)=2−xD ． f(x)=x 3 【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f(x)=lnx 为对数函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意．【套路总结】一．函数单调性的判断方法有 ①定义法； ②图象法；③利用已知函数的单调性； ④导数法.二．复合函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.对于B ，函数f(x)=(x −1)2为二次函数，在(−∞,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，不符合题意． 对于C ，函数f(x)=2−x =(12)x 为指数函数，在(0,+∞)上单调递减，符合题意．对于D ，函数y =x 3为幂函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意．故选C ． 2．函数f (x )=log 2(4+3x −x 2)的单调递减区间是（ ） A ． (−∞,32] B ． [32,+∞) C ． (−1,32] D ． [32,4) 【答案】D【解析】函数f （x ）=log 2（4+3x-x 2），令t=4+3x-x 2＞0，求得-1＜x ＜4，即函数的定义域为（-1，4），且f （x ）=log 2t ，即求函数t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x 2在定义域内的减区间为[32,4).故选D ． 3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( )A ． [)0+∞，B ． (]0-∞，C ． (]2-∞-，D ． [)2+-∞， 【答案】A【解析】任取120,x x >> 则120,x x -> ()()()()121212120,g x g x x x x x g x g x ->-=->> ，所以函数()| g x x =的单调递增区间是[)0+∞，，故选A.考向二 单调性的运用一---比较大小【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 【答案】A【解析】 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.【举一反三】1.已知f (x )＝2x－2－x，117459279,,log 97a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (b )<f (a ) C.f (c )<f (a )<f (b ) D.f (b )<f (c )<f (a )【答案】B【解析】易知f (x )＝2x －2－x在(－∞，＋∞)上是增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714>⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0，∴f (a )>f (b )>f (c ).2.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c【套路总结】(1)比较大小：县判断出函数的单调性，再根据自变量的大小判断出函数值的大小关系。
【步步高】高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)2.2函数的单调性与最值文档专练 文
§2.2 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．结论M 为最大值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数． ( × )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． ( × ) (5)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( × ) (6)函数y ＝1－x 21＋x 2的最大值为1.( √ ) 2．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减答案 C解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)， 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．3．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断． 当a ＝0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________．答案 43，1解析 f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.5．函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为________．答案 (1，＋∞)解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为(－∞，12)∪(1，＋∞)．令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝log 21t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2(x －34)2－18，∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调增区间为(1，＋∞)．又y ＝log 21t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为(1，＋∞).题型一 函数单调性的判断例1 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．思维启迪 可根据定义，先设－1<x 1<x 2<1，然后作差、变形、定号、判断． 解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．(1)证明 设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．(2)解 令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 题型二 利用函数的单调性求参数例2 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14 B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．思维启迪 利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0a >1(2－a )×1＋1≤a， 解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 (2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)答案 (1)C (2)B 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0a ＋2≤－1，解得a ≤－3. (2)因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，故选B.题型三 函数的单调性和最值例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(3)用函数的单调性即可求最值． (1)解 令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)解 ∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；(2)利用函数单调性可以求函数最值，若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最小值是f (a )，最大值是f (b )．(1)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．－1(2)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在[12，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，12]上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. (2)易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6.函数单调性的应用典例：(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式．规范解答(1)证明设x1，x2∈R，且x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [2分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[12分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1.构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1．利用定义判断或证明函数的单调性 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 函数的单调性是对某个区间而言的． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质． 3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减． 失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.A 组 专项基础训练一、选择题1．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．A 中，f (x )＝1x满足要求；B 中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x 是增函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．2．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案 D解析 ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数， ∴a ≤1.①又g (x )＝(a ＋1)1－x 在[1,2]上是减函数．∴a ＋1>1，∴a >0.② 由①、②知，0<a ≤1.3．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(0，34]C ．[0，34)D ．[0，34]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34，综上a 的取值范围是0≤a ≤34.4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 D解析 依题意得1x <1，即x －1x >0，所以x 的取值范围是x >1或x <0.5．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 二、填空题6．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，4解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.7．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________．答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0a ≥1⇒a ≥1. 8．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎪⎪⎪⎪1x >1， ∴1x >1或1x <－1，∴0<x <1或－1<x <0. 三、解答题9．函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)求g (t )的最小值．解 (1)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8； 当t ＋1<2，即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.从而g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7 (t <1)，－8 (1≤t ≤2)，t 2－4t －4 (t >2).(2)g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8.10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值．解 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－(－2x 2＋1)＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). 由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. B 组 专项能力提升1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( ) A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 D 解析 由题意知a <1，∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x－2a ， 当a <0时，g (x )在(1，＋∞)上是增函数，当a >0时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 ∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a (x ≥a )，e －x ＋a (x <a )， ∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2. 当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.4．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， ∴g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上的最小值为 f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2.5．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]．。
高考数学一轮复习 2.2函数的单调性与最值教案-人教版高三全册数学教案
第二节 函数的单调性与最值教学目标：知识与技能：理解函数的单调性，最大（小）值及几何意义 ；会运用函数的图象理解和研究图象的性质过程与方法：会画初等函数的图象，能利用图象的单调性研究函数的性质情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形解题。
教学重点：函数的单调性，最大（小）值教学难点：利用图象的单调性研究函数教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I ，区间D ⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2,都有:(1)f(x)在区间D 上是增函数⇔f(x1)<f(x2)(2)f(x)在区间D 上是减函数⇔f(x1)>f(x2)2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间．3．函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在M ∈R,① 对于任意的x ∈I,都有f(x)≤M （或f(x)≥M ）② 存在x0∈I,使得f(x0)=M则称M 是f(x)的最大（或小）值二．例题讲解【典例1】(1)函数f(x)=log2(x2-4)的单调递减区间为_______. (2)试讨论函数 x ∈(-1,1)的单调性(其中a ≠0).【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解.(2)用定义法或导数法求解.答案：（1） (-∞,-2)(2)方法一(定义法):设x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2,则 ∵-1＜x1＜x2＜1,∴x2-x1＞0,x12-1＜0,x22-1＜0,-1＜x1x2＜1,x1x2+1＞0,∴因此当a ＞0时,f(x1)-f(x2)＞0. ()2ax f x ,x 1=-()()12122212ax ax f x f x x 1x 1-=---()()()21122212a x x x x 1x 1(x 1)-+=--21122212(x x )(x x 1)0.(x 1)(x 1)-+--＞即f(x1)＞f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a ＜0时,f(x1)-f(x2)＜0.即f(x1)＜f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数.方法二(导数法)：当a ＞0时,f ′(x)<0;当a ＜0时,f ′(x)>0.∴当a ＞0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;当a ＜0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.【互动探究】若将本题(1)中的函数改为 试求函数f(x)的单调递减区间.【解析】函数f(x)的定义域为(-1,+∞),令t=x+1,因为 在t ∈(0,+∞)上是减函数,t=x+1在x ∈(-1,+∞)上为增函数,所以函数 的单调递减区间为(-1,+∞). 【典例2】(1)设函数g(x)=x2-2(x ∈R), 则f(x)的值域是( ) (A)［ ］∪(1,+∞) (B)［0,+∞) (C)［ ) (D)［ ］∪(2,+∞) 【变式训练】用定义法判断函数.【解析】由x2-1≥0得x ≥1或x≤-1,即函数的定义域为(-∞,-1］∪［1,+∞).设x1＜x2,则∵x1-x2＜0,∴当x1,x2∈(-∞,-1］时,x1+x2＜0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)＞f(x2),故函数在(-∞,-1］上是减函数.当x1,x2∈［1,+∞)时,x1+x2＞0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)＜f(x2),故函数在［1,+∞)上是增函数.【小结】求函数最值的五种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. ()()()()()2222222a x 12ax a x 1f x x 1x 1---+'==--()()12f x log x 1,=+12y log t =()12f x log (x 1)=+()()()()()g x x 4,x g x ,f x g x x,x g x ,⎧++⎪=⎨-≥⎪⎩＜9,04-9,4+∞9,04-y =()()12f x f x -=22x x x x -+==0,+>(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【提醒】在求函数的值域时,应先确定函数的定义域. 【变式训练】(1)函数 在区间［a,b ］上的最大值是1,最小值是31 ， 则a+b=________.【解析】易知f(x)在［a,b ］上为减函数,答案：6【典例3】(1)(2014·某某模拟)若函数f(x)为R 上的增函数,且f(ax+1)≤f(x-2)对任意x∈[21 ,2]都成立,则实数a 的取值X 围是. (2)已知 满足对任意x1≠x2,都有 成立，那么a 的取值X 围是______.【思路点拨】(1)根据单调性转化不等式求解,注意定义域.(2)寻找f(x)是增函数满足的条件,列不等式组求解.【规X 解答】(1)因为f(x)为R 上的增函数,所以由f(ax+1)≤f(x-2)得ax+1≤x-2,即a ≤1-x 3 在[ 21 ,2]上恒成立, 令g(x)=1- x 3 ,则由于g(x)在[ 21 ,2]上为增函数, 所以g(x)min=g( 21 )=1- =-5, 所以a ≤-5,即a ∈(-∞,-5].答案:(-∞,-5] 2)∵对任意x1≠x2,都有 成立,∴函数f(x)是R 上的增函数.答案：【小结】 ()1f x x 1=-()()1f a 1,1,a 1111f b ,.3b 13⎧⎧==⎪⎪⎪-∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩即a 2,a b 6.b 4,=⎧∴∴+=⎨=⎩()()x 2a x 1x 1f x a x 1⎧-+⎪=⎨≥⎪⎩，＜，，，()()1212f x f x 0x x --＞312()()1212f x f x 0x x --＞()12a 0,a 1,a 2a 11,⎧∴-⎪⎨⎪≥-⨯+⎩＞＞3a 2.2∴≤＜“f ”不等式的解法根据函数的单调性，解含有“f ”的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))>f(h(x))”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.对于分段函数的单调性,不仅要注意每一段上的单调性,还应注意端点处函数值的大小关系.【变式训练】已知函数 若f(2-a2)>f(a)，则实数a 的取值X 围是( ) (A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-1,2)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】选由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数，由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固()22x 4x,x 0,f x 4x x ,x 0,⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩()()()2222x 4x x 24,x 0,C.f x 4x x x 24,x 0,⎧+=+-≥⎪=⎨-=--+<⎪⎩。
函数的单调性与最值-2025高考数学复习
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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归纳拓展 1．复合函数的单调性 函 数 y＝ f(u) ， u ＝ φ(x) ， 在 函 数 y＝ f[φ(x)] 的 定 义 域 上 ， 如 果 y＝ f(u)，u＝φ(x)的单调性相同，则y＝f[φ(x)]单调递增；如果y＝f(u)，u＝ φ(x)的单调性相反，则y＝f[φ(x)]单调递减．
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(2)解法一：设 1<x1<x2，
x1
x2
ax2－x1
则 f(x1)－f(x2)＝x1－a－x2－a＝x1－ax2－a.
因为 a>0，x2－x1>0，所以要使 f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0 恒成立， 所以 a≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．
－a 解法二：f′(x)＝x－a2<0，
数 f(x)＝x2＋1在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是 f(
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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题组三 走向高考 6．(2021·全国甲，4)下列函数中是增函数的为( D ) A．f(x)＝－x B．f(x)＝23x C．f(x)＝x2
f(x)＝－x2－2x＋3x<0， －x－12＋4x≥0，
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)因为 f(－3)<f(2)，则 f(x)在[－3,2]上是增函数．( × ) (2)函数 f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－ 2,3)．( × )
高三数学一轮复习 2-2函数的单调性与最值 北师大版
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第六章 数列
(3)利用复合函数关系判断单调性． 法则是“ 同增异减 ”，即两个简单函数的单调性 相同，则这两个函数的复合函数为 增函数 ，若两个简单 函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数． (4)图像法． (5)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有 相同 的 单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的 单调性．
件知函数 f(x)的图像为图中的射线 PA，PB 构成，
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第六章 数列
由yy＝ ＝－x＋x＋1 2 ，解得 y＝32. 即为函数 f(x)的最小值．
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第六章 数列
7．证明：f(x)＝x＋1x在(－∞，－1)上是增函数． [证明] 设 x1，x2 是(－∞，－1)内的任意两个不相等的负 实数，且 x1<x2，则 Δx＝x2－x1>0， Δy＝f(x2)－f(x1)＝x2－x1x1xx21x2－1， ∵x1<x2<－1，∴x1x2>1>0. ∴x1x2－1>0，∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0. 所以 f(x)＝x＋1x在(－∞，－1)上是增函数．
∞)为增函数，f(1)的取值范围是( )
A．(－∞，25]
B．(25，＋∞)
C．[25，＋∞)
D．(－∞，25)
[答案] C
[解析] 由题意知对称轴m8 ≤－2，即 m≤－16，所
以 f(1)＝9－m≥25.
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第六章 数列
3．已知 f(x)＝lo3gaa－x，1xx≥＋14a，x<1 是(－∞，＋∞)
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§2.2 函数的单调性与最值(值域)Ａ组基础题组1.(2015稽阳联考,2,5分)设f(x),g(x)都是定义在R上的函数,则()A.若f(x),g(x)都是R上的增函数,则f(x)×g(x)是R上的增函数B.若f(x),g(x)都是R上的增函数,则f(x)+g(x)是R上的增函数C.若f(x)×g(x)是R上的增函数,则f(x),g(x)都是R上的增函数D.若f(x)+g(x)是R上的增函数,则f(x),g(x)都是R上的增函数2.(2014北京,2,5分)下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=e-xB.y=x3C.y=lnxD.y=|x|3.(2014陕西,7,5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()A.f(x)=B.f(x)=x3C.f(x)=D.f(x)=3x4.(2014天津,4,5分)函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)5.(2015青岛诊断)函数y=的值域为()A.[0,+∞)B.(0,1)C.[0,1)D.[0,1]6.(2013重庆,3,5分)(-6≤a≤3)的最大值为()A.9B.C.3D.7.(2015陕西,10,5分)设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q8.(2016宁波效实中学高三期中,6,5分)函数f(x)=是R上的单调递减函数,则实数a的取值范围是()A.-≤a<0B.a≤-C.-1≤a≤-D.a≤-19.(2016浙江绍兴一中高三期中文,12,6分)已知实数a>0,且a≠1,函数f(x)=log a|x|在(-∞,0)上是减函数,则a的取值范围为,函数g(x)=a x+,则g(-3),g(2),g(4)的大小关系为.10.(2014重庆,12,5分)函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为.11.(2015福建,15,4分)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于.12.(2014大纲全国,16,5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,则a的取值范围是.13.(2015浙江评估测试卷二,14,4分)函数y=+的值域是.14.(2016超级中学原创预测卷二,14,4分)已知函数f(x)=log a|ax2-x|在[1,2]上单调,则实数a的取值范围是.15.已知函数f(x)=-(a>0,x>0).(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)在上的值域是,求a的值.B组提升题组1.(2013北京,3,5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|2.(2015湖南,5,5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数3.(2013安徽,4,5分)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2015四川成都七中模拟)函数f(x)=(a>0且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.5.(2013福建,10,5分)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(i)T={f(x)|x∈S};(ii)对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是()A.A∈N*,B=NB.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0<x≤10}C.A={x|0<x<1},B=RD.A=Z,B=Q6.(2016浙江深化课程改革协作校高三期中联考,4,5分)能判断出函数y=f(x)在R上为增函数的是()A.若m,n∈R,且m<n,则f(m2)<f(n2)B.若m,n∈R,且m<n,则f(m3)<f(n3)C.若m,n∈R,且m<n,则f(2m)<f(2n)D.若m,n∈R,且m<n,则f<f7.(2016学军中学高三期中文,9,6分)函数f(x)=log2(4-x2)的定义域为,值域为,单调递增区间为.8.(2015嘉兴一模,14,4分)函数f(x)=(x∈R),则函数的值域为.9.(2015浙江杭州一模,10)设函数f(x)=x2-(k+1)x+2(k∈R),则f=;若当x>0时,f(x)≥0恒成立,则k的取值范围为.10.(2015南京二模)已知函数f(x)=,x∈R,则不等式f(x2-2x)<f(3x-4)的解集是.11.(2016超级中学原创预测卷十,11,6分)若函数f(x)=1++tanx在区间[-1,1]上的值域为[m,n],则f(x)+f(-x)=,m+n=.12.(2015杭州七校第一学期期末,15,4分)若实数x,y满足x2+y2=4,则的取值范围是.13.(2015台州一模,12,6分)若对任意x∈[1,2],不等式2x>a-log2x成立,则实数a的取值范围是;若存在x∈[1,2],使得不等式2x>a-log2x成立,则实数a的取值范围是.14.(2015湖北,17,5分)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a=时,g(a)的值最小.15.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立.(1)求F(x)的表达式;(2)当x∈[-2, 2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求k的取值范围.Ａ组基础题组1.B当取f(x)=g(x)=x时,A不成立;当取f(x)=x,g(x)=x2时,C不成立;当取f(x)=2x,g(x)=-x时,D 不成立.故选B.2.B y=e-x在R上为减函数;y=x3是定义域为R的增函数;y=lnx的定义域为(0,+∞);y=|x|在R 上不单调,故选B.3.D∵f(x+y)=f(x)f(y),∴f(x)为指数函数模型,排除A,B;又∵f(x)为单调递增函数,∴排除C,故选D.4.D由x2-4>0得x<-2或x>2.又y=lo u为减函数,故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2).5.C>0且≤1,所以0≤1-<1,所以0≤<1,故选C.6.B易知函数y=(3-a)(a+6)的两个零点是3,-6,则其图象的对称轴为直线a=-,y=(3-a)(a+6)的最大值为y max=3+×=,则的最大值为,选B.7.C由题意知f()=ln=ln(ab)=(lna+lnb)=(f(a)+f(b)),从而p=r.因为>,f(x)=lnx在(0,+∞)上为增函数,所以f>f(),即q>p,从而p=r<q,选C.8.D要使f(x)在R上是单调递减函数,应满足解得a≤-1.9.答案a>1;g(2)<g(-3)<g (4)解析y=|x|在(-∞,0)上为减函数,又函数f(x)=log a|x|在(-∞,0)上为减函数,所以a>1.g(x)=a x+为偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,所以g(2)<g(-3)<g(4).10.答案-解析显然x>0,∴f(x)=log2·lo(2x)=log2x·log2(4x2)=log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=-≥-.当且仅当x=时,有f(x)min=-.11.答案 1解析由f(1+x)=f(1-x)可知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=1.结合图象知函数f(x)=2|x-1|在[1,+∞)上单调递增,故实数m的最小值为1.12.答案(-∞,2]解析f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx,令t=sinx,x∈,则t∈,原函数化为y=-2t2+at+1,由题意及复合函数单调性的判定可知y=-2t2+at+1在上是减函数,结合二次函数图象可知,≤,所以a≤2.13.答案[2,2]解析解法一:函数的定义域为[-3,1],∵()2+()2=4,∴可设=2cosα,=2sinα,其中α∈.∴y=+=2cosα+2sinα=2sin,由α∈,得≤α+≤,则≤sin≤1,故函数的值域为[2,2].解法二:函数的定义域为[-3,1],y2=4+2.当-3≤x≤1时,0≤-x2-2x+3≤4,则4≤y2≤8.又y≥0,故函数的值域为[2,2].14.答案a>1或0<a≤或a=解析易知a>0,且a≠1.令t=|ax2-x|,当a>1时,t=|ax2-x|在[1,2]上单调递增,f(x)在[1,2]上单调递增;当0<a≤时,≥2,所以t=|ax2-x|在[1,2]上单调递增,f(x)在[1,2]上单调递减;当<a<1时,要使f(x)在[1,2]上单调,则≤1<2≤,此时a=.综上,实数a的取值范围是a>1或0<a≤或a=.15.解析(1)证明:任取x1,x2,且x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0,f(x2)-f(x1)=-=-=>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)∵f(x)在上的值域是,又f(x)在上单调递增,∴f=,f(2)=2.易得a=.B组提升题组1.C A中y=是奇函数,A不正确;B中y=e-x=是非奇非偶函数,B不正确;C中y=-x2+1是偶函数且在(0,+∞)上是单调递减的,C正确;D中y=lg|x|在(0,+∞)上是增函数,D不正确.故选C.2.A解法一:函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x∈(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则f(x)是奇函数.又∵当x∈(0,1)时,f'(x)=+=>0,∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.解法二:同解法一知f(x)是奇函数.当x∈(0, 1)时,f(x)=ln=ln=ln.∵y=(x∈(0,1))是增函数,y=lnx也是增函数,∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.解法三:同解法一知f(x)是奇函数.任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=ln(1+x1)-ln(1-x1)-ln(1+x2)+ln(1-x2)=ln=ln.∵(1-x1x2+x1-x2)-(1-x1x2+x2-x1)=2(x1-x2)<0,且(1+x1)·(1-x2)>0,(1+x2)(1-x1)>0,∴0<<1,∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.3.C充分性:当a<0时,x>0,则f(x)=|(ax-1)·x|=-ax2+x的图象为开口向上的抛物线,且对称轴为x=<0,故为增函数;当a=0时,f(x)=x为增函数.必要性:当a≠0时,f=0,f(0)=0,f(x)在(0,+∞)上为增函数,则<0,即a<0,f(x)=x时,为增函数,此时a=0,故a≤0.综上,a≤0是f(x)在(0,+∞)上为增函数的充分必要条件.4.B根据函数单调性的定义知,f(x)为减函数应满足即≤a<1.故选B.5.D由(i)知函数f(x)的定义域为集合S,值域为集合T;由(ii)知f(x)在定义域上单调递增,故选项A中,函数f(x)=x-1即满足题意;对于选项B,由图(1)知,f(-1)=-8,当-1<x≤3时,必存在单调递增的连续函数f(x)满足题意,如:f(x)=对于选项C,同样存在如图(2)所示的函数图象,此时可构造函数f(x)=tan,满足题意.由以上分析知,此题选D.图(1)图(2)6.B结合函数单调性的判断,并注意变量的取值范围.7.答案(-2,2);(-∞,2];(-2,0]解析由对数函数有意义的条件知4-x2>0,∴-2<x<2,即函数f(x)的定义域为(-2,2).∵0<4-x2≤4,∴log2(4-x2)≤2,即函数f(x)的值域为(-∞, 2].要求f(x)的单调递增区间,只需求y=4-x2的单调递增区间,由二次函数的性质知y=4-x2在(-∞,0]上单调递增,又函数f(x)的定义域为(-2,2),∴函数f(x)的单调递增区间为(-2,0].8.答案(0,2)解析f(x)==2-,2x+1∈(1,+∞),∈(0,2),2-∈(0,2),所以函数的值域为(0,2).9.答案--+;(-∞,2-1]解析f=-(k+1)×+2=--+.当x>0时,f(x)≥0恒成立,等价于当x>0时,k+1≤恒成立,则k+1≤.∵x>0,∴=x+≥2(当且仅当x=时,“=”成立),故k≤2-1.10.答案(1,2)解析f(x)==当x<0时,f(x)==-1-单调递增,且f(0)=1.所以f(x2-2x)<f(3x-4)可化为x2-2x<3x-4<0或解得1<x<或≤x<2,所以1<x<2.11.答案4;4解析因为f(x)=1++tanx,所以f(-x)=1++tan(-x)=1+-tanx,则f(x)+f(-x)=2++=4.又f(x)=1++tanx在区间[-1,1]上是增函数,其值域为[m,n],则m+n=f(-1)+f(1)=4.12.答案[1-,2)∪(2,1+]解析由x2+y2=4,不妨设(θ∈R),则=,再令t=sinθ+cosθ,则t=sin∈[-,]且sinθcosθ=,则==t+1(t≠1),所以所求取值范围为[1-,2)∪(2,1+].13.答案(-∞,2);(-∞,5)解析不等式2x>a-log2x可转化为a<2x+log2x,令f(x)=2x+log2x,易知f(x)在x∈[1,2]内单调递增,所以2≤f(x)≤5.若对任意x∈[1,2],不等式2x>a-log2x成立,则a<2;若存在x∈[1,2],使得不等式2x>a-log2x成立,则a<5.14.答案2-2解析当a=0时,f(x)=x2,在[0,1]上为增函数,g(a)=f(1)=1;当a>0时,f(x)的图象如图所示:(i)当a≥2时,≥1,此时f(x)在[0,1]上为增函数,g(a)=f(1)=a-1;(ii)当1<a<2时,<1<a,此时g(a)=f=;(iii)当0<a≤1时,<a≤1,此时g(a)=max,f-f(1)=-(1-a)=,当0<a≤2-2时,f≤f(1),g(a)=f(1)=1-a,当2-2<a≤1时,f>f(1),g(a)=;当a<0时,f(x)的图象与a>0时f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)在[0,1]上为增函数,g(a)=f(1)=1-a.g(a)=其图象如图所示:∴当a=2-2时,g(a)的值最小.15.解析(1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,∴b=a+1,∴f(x)=ax2+(a+1)x+1.∵对任意实数x均有f(x)≥0恒成立,∴∴∴a=1,从而b=2,∴f(x)=x2+2x+1,∴F(x)=(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.∵g(x)在[-2,2]上是单调函数,∴≤-2或≥2,解得k≤-2或k≥6.故k的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).。