数学·必修5(苏教版)练习：第2章2.2-2.2.2等差数列的通项公式

第2章数列
2.2 等差数列
2.2.1等差数列的概念
2.2.2 等差数列的通项公式
A级基础巩固
一、选择题
1．已知等差数列{a n}的通项公式a n＝3－2n，则它的公差d为()
A．2 B．3 C．－2 D．－3
解析：d＝a n＋1－a n＝3－2(n＋1)－3＋2n＝－2.选C.
答案：C
2．已知等差数列{a n}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝()
A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6
解析：a n＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6.
答案：C
3．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()
A．2 B．3 C．6 D．9
解析：由题意2m＋n＝10，2n＋m＝8，两式相加得3m＋3n＝18，
所以m＋n＝6.所以m＋n
2＝3.
答案：B
4．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是()
A．第11项B．第12项
C．第13项D．第14项
解析：由a n＝a1＋(n－1)d得a n＝－7n＋88，令a n≥0，
解得n≤88
7＝12
4
7.
而a12＝4，a13＝－3，
故a13的值最接近零．
答案：C
5．若数列{a n}满足3a n＋1＝3a n＋1，则数列是() A．公差为1的等差数列
B．公差为1
3的等差数列
C．公差为－1
3的等差数列
D．不是等差数列
解析：因为3a n＋1＝3a n＋1，所以3a n＋1－3a n＝1.
所以a n＋1－a n＝1 3.
故数列{a n}为公差为1
3的等差数列．
答案：B 二、填空题
6．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________．解析：根据等差数列的性质，a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7＝37.
所以原式＝37＋37＝74.
答案：74
7．在等差数列{a n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝______．解析：由a3＋a8＝10得a1＋2d＋a1＋7d＝10，即2a1＋9d＝10，3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝4a1＋18d＝2（2a1＋9d）＝20.
答案：20
8．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
解析：因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.
又Δ＝(2b)2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，
所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1个或2个．
答案：1或2
三、解答题
9．在等差数列{a n}中，已知a1＋a6＝12，a4＝7.
(1)求a9；
(2)求此数列在101与1 000之间共有多少项．
解：(1)设首项为a1，公差为d，则2a1＋5d＝12，
a1＋3d＝7，解得a1＝1，d＝2，
所以a9＝a4＋5d＝7＋5×2＝17.
(2)由(1)知，a n＝2n－1，由101＜a n＜1 000知
101＜2n－1＜1 000，
所以51＜n＜1 001 2.
所以共有项数为500－51＝449.
10．已知数列{a n }中，a 1＝12，1a n ＋1＝1a n ＋13
，求a n . 解：由1
a n ＋1＝1a n ＋13知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为2，公差为13的等差数列，所以1a n ＝2＋(n －1)·13＝n ＋53
. 所以a n ＝3n ＋5
(n ∈N *)． B 级 能力提升
一、选择题
11．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
解析：由b 3＝－2和b 10＝12得b 1＝－6，d ＝2，
所以b n ＝2n －8，即a n ＋1－a n ＝2n －8，由叠加法得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 8－a 7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0.
所以a 8＝a 1＝3.
答案：B
12．等差数列{a n }中，前三项依次为：1x ＋1，56x ，1x
，则a 101等于( )
A ．5013
B ．1323
C ．24
D ．823
解析：由1x ＋1＋1x
＝2×56x 解得x ＝2，故知等差数列{a n }的首项为13，公差d ＝112，故a 101＝a 1＋100d ＝13＋100×112＝263＝823
. 答案：D
13．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目，把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，
且使较大的三份之和的17
是较小的两份之和．则最小的1份为( ) A.53 B.56 C.103 D.116
解析：设这5份分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (d >0)，则有17
(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝100，故a ＝20，d ＝556，则最小的一份为a －2d ＝20－553＝53
. 答案：A
二、填空题
14．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________．
解析：因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以{a n ＋b n }也是等差数列，
其公差为21－72＝142
＝7. 所以a 5＋b 5＝7＋(5－1)×7＝35.
答案：35
15．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝
________．
解析：设等差数列公差为d ，则由a 3＝a 22－4，
得1＋2d ＝(1＋d )2－4，
所以d 2＝4.所以d ＝±2.由于该数列为递增数列，
所以d ＝2.
所以a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1(n ∈N *)．
答案：2n －1(n ∈N *)
三、解答题
16．“三个数成递减等差数列，且三数和为18，三数的积为66”，求这三个数．
解：法一：设三个数分别为a 1，a 2，a 3.
依题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1·a 2·a 3＝66， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝18，a 1·（a 1＋d ）·
（a 1＋2d ）＝66， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－5.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝5.
因为数列{a n }是递减等差数列，所以d <0.
所以d ＝－5，a 1＝11，所以a 2＝6.a 3＝1.
所以这三个数为11，6，1.
法二：设等差数列{a n }的前三项依次为a －d ，a ，a ＋d ，
则⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝18，（a －d ）·a ·（a ＋d ）＝66，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝±5. 又因为{a n }是递减等差数列，所以d <0，
所以取a ＝6，d ＝－5.
所以这三个数分别为11，6，1.
17．已知1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b
是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2是等差数列．
证明：由已知条件，得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a
， 所以2b ＋a ＋c （b ＋c ）（a ＋b ）＝2c ＋a
. 所以(2b ＋a ＋c )(a ＋c )＝2(b ＋c )(a ＋b )．
所以a2＋c2＝2b2，即a2，b2，c2是等差数列．。