量子力学自旋与全同粒子

2）Pauli 算符
1. 引进Pauli 算符 对易关系：Sˆ Sˆ iSˆ
分量 形式
令 Sˆ ˆ
2
ˆ ˆ 2iˆ
S
x
2
x
S
y
2
y
Sz
2
z
分量形式：
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆ x
2iˆ z
ˆ yˆ z ˆ zˆ y 2iˆ x
ˆ zˆ x ˆ xˆ z 2iˆ y
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是± /2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1； σx2,σy2,σZ2 的本征值都是:
磁场沿 Z 向
e
2c
( Lˆ z
2Sˆ z )B
Schrodinger方程
考虑强磁场忽略自旋-轨道相互作用，体系Schrodinger方程：
2
2
2
V (r)
eB
2c
( Lˆ z
2Sˆ z
)
E
根据上节分析，没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：
第七章 自旋与全同粒子
1. 电子自旋 2. 电子自旋算符和自旋波函数 3. 简单塞曼效应 4. 两个角动量耦合 5. 光谱精细结构 6. 全同粒子的特性 7. 全同粒子体系的波函数, Pauli原理 8. 两电子自旋波函数 9. 氦原子（微扰法）
1. 电子的自旋
（1）Stern-Gerlach 实验 (2）光谱线精细结构
个分量
令
a b ˆ x c d
利用反对易 关系
ˆ zˆ x ˆ xˆ z
得
：
1 0
01
a c
b d
a c
b d
1 0
01
a c
b d
a c
b d
a 0 d 0
σX 简化为：
0 b x c 0
由力学 量算符 厄密性
ˆ
x
ˆ
x
0c
b 0
0 b*
c* 0
0 c
b0
得：b = c* (或c = b*)
所以
1
1
2
0
a1*
0
a1 0
1
| a1 | 1 a1 1
同理
0
1 2
1
二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交
0
1 2
1 2
1
1 0
0
（6）力学量平均值
引进自旋后，任一自旋算符的函数 G 在 Sz 表象表示为2×2矩阵
G
G11 G21
G12 G22
算符 G 在任意态Φ中对自旋求平均值
（2）光谱线精细结构
钠原子光谱中的一条亮黄线
5893Å，用高分辨率的光谱仪
观测，可以看到该谱线其实是由靠
的很近的两条谱线组成。
3p
其他原子光谱中也可以发现这 种谱线由更细的一些线组成的现 象，称之为光谱线的精细结构。 该现象只有考虑了电子的自旋才 能得到解释
58 93 Å
3s
3p3/2
D1
3p1/2 D2
（5）自旋波函数
波函数
1 2
一般情况下，ψ1 ≠ψ2，二 者对(x, y, z)的依赖是不一样的。
这是因为，通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态
对轨道运动有影响。但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，则
ψ1 ,ψ2 对 (x, y, z) 的依赖一样，即函数形式是相同的。此时Φ可以写
设 原 子 磁 矩 为 M， 外 磁 场 为 B，
则原子在 Z
向外场
B
中的势能为：
U M • B MBz cos
磁矩与磁 场之夹角
原子 Z 向受力
分析
Fz
U z
M
Bz z
cos
若原子磁矩可任意取向，
则 cos 可在 （-1，+1）之间连续变化，感光板 将呈现连续带
但是实验结果是：出现的两条分立线对应 cos = -1 和 +1 ， 处于 S 态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的 固有磁矩，即自旋磁矩。
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ± /2 两个值
所以 Sˆx
Sˆy
Sˆz 的本征值都是± /2，其平方为[ /2]2
Sˆ 2 算符的本征值是
Sˆ 2
Sˆx2
Sˆ
2 y
Sˆz2
3 4
2
仿照
L2 l(l 1)2
轨道量子数l 可有多个数值
S2
s(s
1)2
3 4
2
s
1 2
自旋量子数s 只有一个数值
t) t)
由于 SZ 只取 ± /2 两个值， 所以上式可写为两个分量：
写成列矩阵
规定列矩阵
1
(r ,
2(r ,
t) t)
第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = - /2。
若已知电子处于Sz =
/2或Sz = - /2
的自旋态，则波函数可分别写为：
1
2
1
(r, 0
t
)
0
1 2
2
(r ,
/2，即有：
Sˆz 1
2
h 2
1
2
矩阵形式
2
a c
b d
1
(r, 0
t )
2
1
(r, 0
t )
a c
1 1
01
a 1 c 0
同理对Φ–1/2 处理，有
2
a c
b d
2
0 (r,
t
)
2
2
0 (r,
t
)
b d
2 2
0 2
b 0 d 1
最后得 SZ 的 矩阵形式
Sz
2
1 0
01
SZ 是对角矩阵，对角矩阵 元是其本征值± /2。
表示 t 时刻在 r 点附近 单位体积内找到电子的几率
表示 t 时刻 r 点处 单位体积内找到自旋
Sz= /2的电子的概率
在全空间找
到Sz = /2的 电子的概率
1
(r ,
t
)d
在全空间找到 Sz = – /2 的电子的概率 2 (r , t )d
表示 t 时刻 r 点处单位
体积内找到 自旋 Sz = – /2 的电子的概率
S
z
)
Sˆ
z
1 2
(Sz
)
2
1 2
(Sz
)
因为 Sz 是 2 ×2 矩阵，所以在 S2, Sz 为对角矩阵的表象内， χ1/2, χ-1/2 都应是 2×1 的列矩阵。
1
2
a1 a2
1 2
a3 a4
代入本征方程得：
2
1 0
01
a1 a2
2
a1 a2
a1 a2
a1 a2
aa12
a1 0
由归一化条件确定a1
1）归一化
电子波函 数表示成
1
(
r,
2(r ,
t t
) )
矩阵形 式后，
波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即
d
* 1
* 2
1 2
(r, (r,
t t
) )
d
[|1 |2 | 2 |2 ]d 1
2）概率密度
(r, t ) | 1 |2 | 2 |2 1(r, t) 2(r, t)
（2）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z)
三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函
数为：
( x, y, z, Sz , t)
1(r ,
2(r ,
t) t)
( x, ( x,
y, y,
z, z,
2
2
, ,
t
)
（3）自旋算符的矩阵表示, Pauli 矩阵
1） SZ的矩阵形式
Sz
2
a c
b d
电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋 波函数上的，既然电子波函数表示成了
2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的矩
阵表示应该是 2×2 矩阵。
因为Φ1/2 描写的态，SZ有确定值 /2，所以Φ1/2 是 SZ 的本征态，本征值为
1）简单塞曼效应：在强磁场作用下，光谱线的分裂现象。 2）复杂塞曼效应：当外磁场较弱，轨道-自旋相互作用不能 忽略时，将产生复杂塞曼效应。
（2）氢、类氢原子在外场中的附加能
取外磁场方向沿 Z 向，则磁场引起的附加能为（CGS 制）：
U
( Mˆ L
Mˆ S ) •
B
e
2c
( Lˆ
2Sˆ ) •
B
即：
2 x
2 y
2 z
1
2. 反对易关系
基于σ的对易关系，可以证明 σ各分量之间满足反对易关系:
ˆ xˆ y ˆ yˆ x 0 ˆ yˆ z ˆ zˆ y 0 ˆ zˆ x ˆ xˆ z 0
左乘σy 我们从对易关系:
证： ˆ yˆ z ˆ zˆ y 2iˆ x
出发 ˆ yˆ yˆ z ˆ yˆ zˆ y 2iˆ yˆ x
由对易关系和反对易关系 还可以得到关于 Pauli 算 符的如下非常有用性质：
或
ˆ xˆ y ˆ yˆ x
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆ x
iˆ z
ˆ yˆ z ˆ zˆ y iˆ x
ˆ zˆ x ˆ xˆ z iˆ y
3. Pauli算符的矩阵形式