习题2.2-2.3

xm ) ) <
*
, 2
= & supp ( ) x ) = & supp ( 'x )
)(S1 '(S1
p ( ' ( xn
x ) ) ! lim p ( ' ( xn
&x 1 = & x 1 x0 + 0, 0 ! p (
1 = lim n p ( x0 ) = 0 n *
(
m *
m
x)) !
, 2
Ax
m
x
x
2
所以 A 是单射.
0 = | ( Ax , x ) | m
故有
( R ( A) )
x= ,
,
所以 R ( A ) 是稠的. 设 { yn } 是 R ( A ) 中的基本列, 并设
9
( R ( A) ) = { } .
R ( A ) 是闭的. R ( A ) = R ( A ) = H , 即 A 是满射 . 所以根据Banach定理, A 1 L( H ). 2.3.4 设 X ,Y 是线性赋范空间，D 是 X 的线性子空间， A : D Y 是线性映射. 求证: (1) 如果 A 连续， D 是闭集，则 A 是闭算子; (2) 如果 A 是连续且是闭算子，则 Y 完备蕴含 D 闭; (3) 如果 A 是一一的闭算子，则 A 1 也是闭算子; (4) 如果 X 完备， A 是一一的闭 算子， R( A) 在 Y 中稠密，并且
x
证明 令
1
x 1 = x + supp ( 'x ) ,
'(S1
def
令
其中 S 是复平面上的单位圆周. 先证明 x 1 是 X 上的范数.
15 16
设 & = & ei ,
'(S1
注意到
'(S1
supp ( '&x ) = & supp 'ei x
) = 'ei
(
)
supp ( ' ( xn
'(S1 m *
18
17
A L( X ,Y ) ，使得 An 强 求证 收敛到 A ，且 A ! lim An . 证明 x X,
A是单射的闭算子 子.
(3)
A 1 也是闭算
2.3.5 用等价范数定理证明 (C [0,1], $ 1 ) 不是Banach空间， 其中 1 f = % 0 | f ( t ) | dt f C [0,1] . 证明 用反证法. 假如 是B空间, C [ 0,1] , $ 1
(
)
13
14
f = max f ( t ) .
5
任取 x [ x ] , 则有 x X, x = [ x] . 证法2 不用开映射定理. 教材p94, 定理 2.3.8 的证明中的 (1)为了证 T 是开映射， 必须且仅 须 > 0, s.t. TB ( ,1) U ( , ) . 取 = 1. 并设 B ( ,1) X 中的开单位球; U ( ,1) X X0 中的开单位球. 下面证明 U ( ,1) = B ( ,1) . x B ( ,1) x <1 [ x] ! x < 1
y =1
L(H) 并且 m > 0 ，使得 | (Ax,x) | m x 2 , x H . 求证 A 1 L(H) . 证明 由条件, x H, A
m x 2 !| (Ax,x) |! x
Ax
Ax
m x
2.3.3 设 H 是Hilbert空间，
7
所以 A 是单射. ? x ( R ( A)) , 0= | (Ax,x) | m x 2 x = , ? 故有 ( R ( A ) ) = { } . 所以 R ( A ) 是稠的. 设 { y n } 是 R ( A ) 中的基本列, 并设 Axn = y n , 则由 Ax m x { xn } 是基 本列.
n k =1 k
( x,z 0 )
||
k
＝
( x,
n k =1
n
k =1
( z k ,z 0 )z k
||
)
+x
n k =1
( x,z k ) z k ,z 0 )
M
= (
( x,z k ) zk , z 0 )
无关组就是本身. 用 Gram-Schmidt 过程, 构造出一个正交规范集 n n { z k }k =1 s.t. span { z k }k =1 = span { y k }k =1 . 则有 z k M ( k = 1,2, ,n ) . 令 z 0 = x 0 y 0 , 则 z 0 M. 对 x H,
1
还有一个条件 A 是闭算子, 下面证明 D 闭. 设
11
xn
D ( A) , yn = Axn
xn y
x
12
因为 A 是闭算子, 所以 x D ( A) , y = Ax y R ( A) , x = A 1 y . i.e. A 1 是闭算子. (4) 如果 X 完备，A是单射的闭 R( A) 在 Y 中稠密, 算子, 并且 A 1 连续，那末 R ( A ) = Y.
2.2.1 根据Riesz表示定 y k H, fk ( x ) = ( x,y k )
( k = 1, 2, ,n . n x M = N ( fk ) ( x,y k ) = 0 ( k = 1,2, ,n, x M ( ( x,z ) z k =1 这意味着, y k M ( k = 1,2, ,n ) . n 即得 不妨假定, { y k }k =1 的极大线性
0 ! t !1
" $ 是比 $ 1 强的范数,用等价范数 定理, $ 与 $ 1 等价, 即 M > 0, 使得 f ! M f 1 即
max f ( t ) ! M % 0 f ( t ) dt 0 ! t !1
1
f (t ) , % 0 f ( t ) dt ! max 0! t !1
1
1 Mt f (t) = 0
PM ( PL y ) = PM y 是 L M 上的投影算子 PL M . 即得 PL PM = PL M . 2.3.1 设 X 是Banach空间， X 0 是 X 的闭子空间，映射 : X X / X0 ，定义为 : x [x] x X ，其中 [x] 表 是开映 示含 x 的 商类. 求证 射. 证法1 用开映射定理, 只需证明 满射. 事实上,
1 (0 ! t ! M ) 1 ! t ! 1) (M
(
f
y
C [ 0,1] ) .
1 1 ! M $ 21 M = 2 矛盾. 2.3.6 Gelfand引理设 X 是Banach R1 满足 空间， p : X (1) p( x ) 0 x X ; (2) p(& x ) = & p( x ) & > 0, x X ; (3) p( x1 + x2 ) ! p( x1 ) + p( x2 ), x1 , x2 X (4) 当 xn x 时， p( xn ) p( x ) . 求证: M > 0 ，使得 p( x ) ! M x x X .
2
l( v) = 1 2 v
2
2
2
=1 u 2 v 设 u 0 C,
1
u s.t.
1 2
(
)
(u , v)
1 2
u
2
v C) .
2
u0
u = inf v u ,
v C 2 2
v C, = f ( u0 )
( PM x,y ) = ( PM x,PM y ) = ( x,PM y ) .
(
v C
因此 PL PM = 0 0 = ( PL PM x,y ) = ( PM x,PL y ) , x,y 于是 x L, y M, 有 ( x,y ) = ( PM x,PL y ) = 0 L M. (2) L = M PL + PM = I Ix = x = PM x + PM x PM x = ( I PM ) x, x H PL = PM = ( I PM ) (3) PL PM = PL M PL PM = PM PL ( ) PL PM = PL M = PM PL ( ) 设 PL PM = PM PL 设 P = PL PM , 则有 2 P 2 = ( PL PM ) = PL PM PL PM = PL PL PM PM 2 2 = PL PM = PL PM = P. 即 P 是幂等 算子.从而是投影算子.
' ( S1 , n > N xn xm <
, 2 , 2
)
x))
1 x0 ) ) ! limp ( n n * p ( ) = 0.
xn
下面证明
xn xm
1
( X, x )
1
" xn
完备.
xm 0,
x 1 = xn
x + supp ( ' ( xn
'(S1
x !
(
n > N)
0
xn
完备, " x ( X, 使得 , ( ( 0,1) , N ( N, , xn xm 1 < 2 ( n > N ) ,
( X, x )
x.
xn
, <2 +, ( n > N) . 2 = , 于是 x 1 是 X 上的完备范数,
M > 0, 最后根据等价范数定理, p( x) ! M x . 使得 x 1 ! M x 2.3.7 设 X ,Y 是Banach空间. An L( X ,Y ) ( n = 1,2, $ $ $) . 又对 x X ， { An x } 在 Y 中收敛.