2017_2018学年高考数学第03周导数及其应用周末培优试题理新人教A版

第03周 导数及其应用（测试时间：60分钟，总分：90分）班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数2()sin f x x =的导数是 A ．2sin x B ．22sin x C ．2cos xD ．sin 2x【答案】D2在1x =处的切线倾斜角是A B CD 【答案】D．故本题答案为D ． 3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()31ln f x xf x +'=，则()1f '=A B C ．1-D ．e【答案】A【解析】对x 求导可得则()()1311f f ''=+，故本题答案为A ． 4．设函数()()2,,f x ax bx c a b c =++∈R ，若函数()e xy f x =(e 为自然对数的底数)在1x =-处取得极值，则下列图象不可能为()y f x =的图象的是A B C D【答案】D【解析】由()()2e e x x yf x ax bx c ==++，得()()e e x x y f x f x ''=+=()2e [2]x ax b a x b c ++++，当1x =-时，函数()e xy f x =取得极值，可得1-是方程()220ax b a x b c ++++=的一个根，所以()20,a b a b c c a -+++=∴=，所以函数()2f x ax bx a =++，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D 不成立，故选D. 5．直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为A B ．9CD 【答案】C6．已知函数的定义域为，，对任意，都有成立，则不等式的解集为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】令函数，则，则函数是单调递减函数，且满足，故不等式可化为，即原不等式的解集为，应选C.【名师点睛】本题求解时，充分运用题设条件中的有效信息，巧妙构造函数，借助导数与函数的单调性之间的关系先断定函数的单调性，再将原不等式进行等价转化，依据函数的单调性建立不等式，通过解不等式使得问题巧妙获解.7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()()e xg x f x =-(e 为自然对数的底数)的零点个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】C【解析】当0x >时,函数()ln 1f x x x =-+,则函数在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减，当1x =时函数有极大值为()10f =，根据奇函数的对称性，作出其函数图象如图，由函数图象可知e x y =与()y f x =的图象有两个不同交点，则()()e xg x f x =-有两个零点.故本题选择C.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，指数函数的图象与性质，及数形结合的数学思想方法，函数的零点问题,方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数等.掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象，能利用函数的相关性质作出函数的草图.8．设01a <<，e 为自然对数的底数，则a ，ea ，e 1a -的大小关系为A ．e e 1a a a -<<B ．e e 1a a a <<-C ．e e 1a a a <-<D ．e e 1a a a <-<【答案】B【解析】e 01,a a a <<< ，令()()()()e 10,1,e 10x xf x x x f x '=--∈=->，所以函数()f x 在()0,1x ∈时单调递增，()()e 01100,e 1,e 1a a f x f a a a ∴>=--=∴->->>，故选B.9．若函数()2ln f x m x x mx =+-在区间()0,+∞内单调递增，则实数m 的取值范围为A ．[]0,8B ．(]0,8C ．][(),08,-∞+∞D ．()(),08,-∞+∞【答案】A10，如果存在实数,s t ，其中s t <，使得()()f s f t =，则t s -的取值范围是A ．[)32ln2,2- B ．[]32ln2,e 1-- C ．[]e 1,2-D ．[)0,e 1+【答案】A【解析】作出函数图象如图：当()ln 11x +=时，得e 1x =-，2-，则()22l n 1t s t t -=+-+，当1e 1t <≤-时，()0h t '>，当01t <<时，()0h t '<，所以当1t =时，()h t 有最小值32ln 2-，当0t =时，()02h =，当e 1t =-时，()e 1e 12h -=-<，所以()32ln 22h t -≤<，故选A ． 【名师点睛】本题涉及函数零点，方程的根等知识，属于难题．首先利用图象帮助寻求思路，然后将()22ln 1t s t t -=+-+转化，构造函数()()22ln 1h t t t =+-+，利用导数工具求其值域，进而解决问题．二、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）11．若函数()312f x ax x a =-+的单调递减区间为()2,2-，则a =__________．【答案】1【解析】()2312f x ax -'=，由题知2x =±是方程23120ax -=的解，故1a =.12．直线x a =分别与曲线21y x =+，ln y x x =+交于A ，B 两点，则__________．【答案】2三、解答题（本大题共2小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．已知函数()2f x x x =-，()e 1(e xg x ax =--为自然对数的底数).(1)讨论函数()g x 的单调性；(2)当0x >时，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)(],e 1-∞-. 【解析】(1)()e xg x a '=-，①若0a ≤，()0g x '>，()g x 在(),-∞+∞上单调递增； ②若0a >，当(],ln x a ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.所以0a ≤时，()g x 在(),-∞+∞上单调递增；0a >时，()g x 在(],ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.(2)当0x >时，2e 1xx x ax -≤--，即.令()()2e11(0)xx x x x ϕ=--+>，则()()e 2x x x ϕ'=-.当()0,ln2x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 当()ln 2,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增. 又()00ϕ=，()10ϕ=，所以，当()0,1x ∈时，()0x ϕ<，即()0h x '<，所以()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()1(e 1)0xx x x ϕ=--->，即()0h x '>，所以()h x 单调递增，所以()()min 1e 1h x h ==-， 所以(],e 1a ∈-∞-.【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与函数性质、解析几何相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性，已知单调性求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．14其中0a >，e 2.7≈). (1)若函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； (2)当1a =时，求函数()f x 在(3)当1a =时，求证：对于任意大于1的正整数n ，都有【答案】(1)[1,)+∞；(2)0；(3)证明见解析 .(2)当1a =时，∴当时，()0f x '<，故()f x 在当(]1,2x ∈时，()0f x '>，故()f x 在(]1,2上单调递增.∴()f x 在上有唯一的极小值点，也是最小值点，即()()min 10f x f ==.所以3ln e ln160->， 所以()f x 在综上所述，()f x 在上的最大值是1ln2-，最小值是0.(3)当1a =时，当1x >时，()0f x '>， 故()f x 在(1,)+∞上是增函数.。