八年级数学下册1.4角平分线角的平分线的性质重难点突破素材北师大版讲解
角的平分线的性质重难点突破
一、探索并证明角的平分线的性质
突破建议：首先将实际问题抽象为数学模型，运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．然后通过实际测量得到“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，接下来用严密的推理证明得到的结论，让学生经历实践发现、分析概括、推理证明的过程，体会分析几何问题的基本思路．
可参考以下过程设计：
追问2：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A 放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，射线AE就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
师生活动：教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．
追问3：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
师生活动：师生分别在黑板和练习本上利用直尺和圆规作∠AOB的平分线．教师与学生共同归纳，得出利用尺规作角的平分线的具本方法．
如果学生没有思路，教师可作如下提示：
1．在用平分角的仪器画角的平分线时，把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点
重合，且仪器的两边相等（AB=CD），怎样在作图中体现这个过程呢？
2．在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
追问4：你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？
师生活动：学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据．
【设计意图】让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角的平分线，提高作图技能．最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性．
问题 2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？首先思考下面的问题：
1．操作测量：任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：
2．观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________
3．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
师生活动：学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生互相补充，教师指导，一起猜想出角的平分线的性质．
二、证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质
突破建议：文字命题中学生难以分清哪是条件、哪是结论，原因是条件和结论具有一定的隐蔽性．而且把文字语言转化成数学语言也有一定的困难，例如，在用符号语言表述角平分线的性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”．教师要引导学生分析性质中的条件和结论（必要时可让学生将性质改写成“如果……那么……”的形式），找出结论中的隐含条件（垂直），从而正确写出已知和求证．
可参考以下过程设计：
1．明确命题中的已知和求证．已知：一个点在一个角的平分线上．结论：这个点到这
个角两边的距离相等．
2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．求证：PD=PE．
3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥ OB (已知)
∴∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
文字语言：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，∴ PD=PE．。
北师大版八年级数学下册1.4.1角平分线的性质课件
6.如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7，
DE＝4，则△ABD的面积为 14．
7.已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°,点D在 BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别为E、F，且DE=DF，求DE的长。
A
E
F
பைடு நூலகம்
B
D
C
8. 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 于E，且EA=EB. 求证：EO为∠AOB的平分线
求证：PD＝PE.
新课讲解
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
新课讲解
典例分析
例 如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10， DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，DE＝DF，求 DE的长.
是什么？ 怎样用尺规作出已知角的角平
∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图：∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1,则OF=
3.怎样用尺规作出已知角的角平 角平分线的性质定理的逆定理
怎样用尺规作出已知角的角平 ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
如何证明？ ∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7， (2)点在该平分线上； 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 一个锐角等于30°.
2.角平分线的性质定理的逆定理 角平分线的性质定理的逆定理
那么它所对的直角边等于斜 DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交
北师大版八年级数学下册1.4第1课时角平分线的性质教学课件.ppt
2014
第三节
教学准备
输入你的文本 根据你所需的内容输入你想要的文本 点击输入本栏的具体文字，简明扼要的说明分项内容，此为概念图解，
请根据您的具体内容酌情修改。
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导入新课
情境引入
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路
和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这
个集贸市场应建在何处？
O
（比例尺为1︰20000）
解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求.
D S
C
讲授新课
一 角平分线的性质 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
∴点P 在∠AOB的平分线上.
A
D C
P
E
B
例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上，A FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.
八年级数学下册1.4.1角平分线教案新版北师大版
课题：1.4.1角平分线教学目标：1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
教学重点与难点：重点: 角平分线的性质定理、判定定理.难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题.课前准备：多媒体课件、纸制角的模型。
教学过程：一、问题导学，自主探究【思考与探索】有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB 平分线OC 上一点P 处,为尽快爬到OA 或OB 上控制猎物,你认为它应该选择什么路线?两条路线长度关系怎样?处理方式：先观察图形，结合实践经验师生交流，根据“点到直线的距离垂线段的长最短”可以发现蜘蛛会沿着所在的点与角的边垂直的路线爬行，即蜘蛛所走的路线是从P 到A 和从P 到B ．然后教师提问：两条路线长度相等吗？学生讲述：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：（边演示边说明．）从折纸过程中，我们可以得出PD =PE ，所以蜘蛛选择的两条路线长度相等 ．B P【预设：如果学生不易想到角平分线上的点到角两边的距离相等，教师可提问：同学们，还记得角平分线上的点有什么性质吗? 回想一下，当时是怎样得到的？】师：这节课，我们应用推理的方法探究角平分线的有关性质．【教师板书课题：1.4角平分线（1）】设计意图：通过蜘蛛实例的思考与探索，实际上既复习了点到直线的距离这一概念，又发现感知角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质定理．通过动手折出角平分线，观察、验证平分线上的点到角的两边的距离相等.其一是激发了学生的求知的欲望、培养了学生的学习兴趣，其二是为了培养学生善于动手动脑、善于发现的学习习惯．二、诱思探究，展示交流活动一：探究“角平分线上的点到角的两边的距离相等”．1．讨论问题1：你能否将“蜘蛛实例”的结论转化为一个命题？问题2：你能说出这一命题的条件与结论吗？处理方式：学生分组讨论，教师巡视，对有困难的学生进行指导，完成后在小组内交流，说出自己的发现．“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一命题的条件是“点在角平分线上”，结论是“这点到角两边的距离相等”.师生结合图形认识“点到角的两边的距离”实际上就是“由点向这个角的两边所在直线作垂线，这个点与垂足之间垂线段的长度”.2．证明问题：你能否证明“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一命题吗？处理方式：学生试着根据条件和结论画出图形，写出已知和求证.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．教师给学生留出思考的时间和空间，不要代替学生思考，要给他们展示自我的机会．让一位学生到黑板上画出图形(示意图)、写出已知和求证，然后证明．其他学生在练习本上完成．同时巡视指导并收集具有代表性的错误及不规范的书写．证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠1=∠2，又∵OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．（请学生回忆蜘蛛控制猎物的方法、两条路线长度相等的道理．）3.小结师生共同归纳：我们把它叫做角平分线的性质定理(用多媒体演示并板书)定理在角平分线上的点到角的两边的距离相等.符号语言：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ．设计意图：放手让学生独立完成，并以黑板上学生的板演为样本，讲解定理及其证明，对学生不规范的书写和表达予以纠正，同时也能理顺学生的证明并让学生对定理的理解更加深入．通过符号语言，把抽象的问题形象化，有利于学生对定理的理解、应用．【教师提炼】这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一．活动二：探究“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．”．1.写出“角平分线上的点到角的两边的距离相等.”的逆命题.同学们表现的的很好！请大家继续思考下面的问题：（1）你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗？（2）它是真命题吗？处理方式：学生分组交流，教师对困难学生个别辅导，师生共同纠正得出逆命题．在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【预设：此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”师释疑：这位同学思考问题很深刻．事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．注意：如果没有学生提出，教师要适当引导，让学生看到这一情况.】如上图所示，只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．2.证明我们想想如何证明它的正确性，大家思考交流.（学生合作板书已知、求证.）已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E分别为垂足且PD=PE。
八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版
度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。
2020-2021学年北师大版数学八年级下册1.4角平分线(教案)
-能够准确描述角平分线的定义，并解释其性质。
-能够运用角平分线的性质解决几何问题。
2.探索与实践：通过尺规作图的实践操作，培养学生的空间想象能力和几何直观，提高数学建模和直观想象的核心素养。
-能够使用尺规工具准确画出给定角的平分线。
-能够通过作图探究角平分线的性质，并理解其在几何图形中的应用。
3.思维与创新：通过解决与角平分线相关的综合问题，激发学生的创新思维，培养数据分析与解决问题的能力，强化数学运算和数学探究的核心素养。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-尺规作图技巧的掌握：学会使用尺规工具准确画出角的平分线。
-举例：在实际操作中，学生需要掌握如何选择合适的点作为角平分线的起点，以及如何使用无刻度直尺和圆规来完成作图。
-角平分线在实际问题中的应用：能够将角平分线的性质应用到解决具体的几何问题中。
-举例：在三角形中，利用角平分线的性质来证明两边相学八年级下册1.4角平分线（教案）
一、教学内容
2020-2021学年北师大版数学八年级下册1.4角平分线：
1.角平分线的定义及性质
-通过一个角的顶点，并且将这个角平分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。
2020-2021学年北师大版数学八年级下册1.4三角形中的角平分线教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角平分线相关的实际问题，如如何在三角形中找到角平分线。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的尺规作图实验操作。这个操作将演示如何准确作出三角形的角平分线。
3.基本作图：学习如何作出三角形的角平分线，并掌握相关作图技巧。
4.应用举例：运用角平分线的性质解决实际问题，如求三角形内角平分线上的点的坐标等。
5.练习巩固：通过典型例题和练习题，让学生掌握角平分线的性质和应用。
本节课旨在帮助学生理解角平分线的概念，掌握其性质和应用，提高几何作图能力，为后续学习打下基础。
2020-2021学年北师大版数学八年级下册1.4三角形中的角平分线教案
一、教学内容
本节课选自2020-2021学年北师大版数学八年级下册1.4节，主要内容包括：
1.三角形角平分线的定义：引入角平分线的概念，探讨角平分线的性质和判定方法。
2.角平分线的性质：证明角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，以及角平分线分得的两个角相等。
4.提高学生的数学运算能力：在求解与角平分线相关的问题时，加强学生对数学运算方法和规律的掌握，提高运算准确性。
5.培养学生的合作交流意识：通过小组讨论、合作解决问题，培养学生团队协作能力和沟通交流技巧。
本节课核心素养目标旨在培养学生具备扎实的数学基础知识和技能，发展学生的几何直观、逻辑推理、数学建模和数学运算等综合能力，提高学生的合作交流水平，为学生的终身学习奠定基础。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观：通过观察和操作，让学生感受角平分线的概念，提高空间想象力和几何直观能力。
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质定理及逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第4节的内容。
本节课主要介绍了角平分线的性质定理及逆定理，并通过实例让学生了解这两个定理在实际问题中的应用。
教材通过探究活动，引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理，培养学生的观察、思考、推理能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段中点的性质等知识。
但由于角平分线的性质定理及逆定理较为抽象，学生可能难以理解和运用。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过直观演示、实例分析等方式，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理及逆定理。
三. 教学目标1.理解角平分线的性质定理及逆定理；2.学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决实际问题；3.培养学生的观察、思考、推理能力；4.培养学生的合作交流意识。
四. 教学重难点1.角平分线的性质定理及逆定理的理解和运用；2.引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理的过程。
五. 教学方法1.启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力；2.直观演示：利用教具演示，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理；3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题；4.合作交流：引导学生分组讨论，培养学生的合作交流意识。
六. 教学准备1.教具：角平分线演示教具；2.实例：选取一些实际问题，用于练习和巩固角平分线的性质定理及逆定理；3.课件：制作课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或教具，引导学生回顾角的概念和线段中点的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）展示角平分线的性质定理及逆定理的定义，引导学生观察和思考。
通过演示教具，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理。
3.操练（15分钟）分组让学生进行讨论，分析教材中的实例，运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。
数学北师大版八年级下册角平分线的性质定理及其逆定理
§1.4.1 角平分线的性质定理及其逆定理鸣沙九年制学校乔红强一、教学目标1、知识与技能会证明角平分线的性质定理及其逆定理。
2、过程与方法（1）经历探究、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。
（2）体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识。
3、情感态度与价值观（1）能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
（2）在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
二、教学重点：正确表述角平分线的性质定理及其逆定理。
三、教学难点：运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题。
四、教学用具：多媒体课件五、教学方法：探究法、讲练结合法、启发法六、教学流程（一）复习引入同学们，你们还记得角平分线有什么性质吗？（二）探究新知1、(1)角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．(2)请同学们自己尝试着证明上述结论已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．2、（1）你能写出这个定理的逆命题吗?角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（2）它是真命题吗? 你能证明它吗?已知：在∠AOB 内部有一点P ，且PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，D 、E 为垂足且PD=PE ，求证：点P 在∠AOB 的角平分线上．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠ PEO=90°．在Rt △ODP 和Rt △OEP 中OP=OP ，PD=PE ，∴Rt △ODP ≌ Rt △OEP(HL 定理)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。
北师大版八年级下册数学[角的平分线的性质(基础)知识点整理及重点题型梳理]
北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. （3）画射线OC.射线OC 即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M ，PN⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD 和△CBD 中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．2、（2016春•潜江校级期中）如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:的面积之比为（）A．3：2 B C．2：【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB AC=ABD与△ACD:3、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD ＝PE ，再根据“HL ”定理证明△OPD ≌△OPE ，从而得到∠OPD ＝∠OPE ，∠DPF ＝∠EPF ．再证明△DPF ≌△EPF ，得到结论.【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF＝CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【答案】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．。
北师大版(新)初中数学八年级下册 1,4角平分线 第二课时【优质课件】
1 已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB.下列确定P 点的方法正确的是( B ) A．P 为∠A 与∠B 的平分线的交点 B．P 为∠A 的平分线与AB 的垂直平分线的交点 C．P 为AC，AB 两边上的高的交点 D．P 为AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市．张、李两村 坐落在两相交公路内．超市的位置应满足下列条件：(1)使其 到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离 之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM上，且PD丄AB，PE 丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上)，即∠A 的平分线经过点P.
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
A
E
C
D
B
(1) 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC丄AC，DE丄AB 垂足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角). ∵ ∠C＝90°， ∴ B＝1 90＝45 . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
FEM＝FDN，
在△FEM 与△FDN 中， EMF＝DNF，
∴△FEM ≌ △FDN.
FM＝FN，
∴FE＝FD.
2 在△ABC 内到三条边距离相等的点是△ABC 的( B )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( D )