高中数学平面向量的坐标表示及计算方法
数学必修4平面向量公式总结
数学必修4平面向量公式总结平面向量是高中数学必修4新教材中新增加的重要内容之一，是高中学生需要学习的重要知识点。
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数学必修4平面向量公式高中数学必修4平面向量知识点坐标表示法平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。
由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y 轴上的坐标。
来表示平面内的各个方向在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向.在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b.零向量与零向量相等.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.向量的运算1、向量的加法：AB+BC=AC设a=(x,y) b=(x',y')则a+b=(x+x',y+y')向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量加法的性质：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a=a2、向量的减法AB-AC=CBa-b=(x-x',y-y')若a//b则a=eb则xy`-x`y=0若a垂直b则ab=0则xx`+yy`=0高中数学学习方法抓好基础是关键数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3平面向量的坐标运算习题课件新人教A版
探究 2 (1)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量 相等建立方程(组)．
点的坐标与向量坐标有何区别？ 答：(1)向量 a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标 A(x，y)中 间没有等号．因为向量坐标是 a＝xi＋yj 的简写！它与点的坐标意义 不同． (2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量 终点的坐标相同． (3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示 一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．
(1)若 P 在一、三象限角平分线上，则 5＋5λ＝4＋7λ. ∴λ＝12. (2)若 P 在第三象限内，则45＋＋75λλ<<00，，∴λ<－1. ∴λ＝12时，点 P 在第一、三象限角平分线上；λ<－1 时，点 P 在第三象限内．
课后巩固
1．已知M→N＝(2，3)，则点 N 位于( )
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
要点 1 平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴，y 轴方向相同的两 个单位向量 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向 量基本定理可知，有且仅有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj；则 把有序数对(x，y)叫做向量 a 的(直角)坐标，记作 a＝(x，y)． ②在向量的直角坐标中 i，j 称为标准基底：i＝(1，0)，j＝(0， 1)，0＝(0，0)．
23＝2
3，c2＝|c|sin(－30°)＝4×(－
2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.3平面向量的坐标及其运算课件新人教B版
类型二 向量的坐标运算(数学运算) 【典例】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 C M ＝ 3 C A ， C N ＝ 2 C B ， 求M,N及 M N 的坐标. 【思路导引】方法一:先求 C A , C B ,设出M,N的坐标,根据 C M ＝ 3 C A ， C N ＝ 2 C B 列方程求解. 方法二:设O为坐标原点,用向量线性运算的几何意义直接计算 O M , O N 的坐标.
2.平面上向量的运算与坐标的关系
(1)向量加法与减法运算
设a=(x1,y1), b=(x2,y2),则 ①a+b=_(_x_1+_x_2_,_y_1_+_y_2)_, ②a-b=_(_x_1-_x_2_,_y_1_-_y_2)_, ③λa=_(_λ__x_1,_λ__y_1_)_.
④向量相等的充要条件:a=b⇔_x_1=_x__2 且_y_1_=_y_2 . ⑤ua+vb=(u x1+v x2,u y1+v y2); ⑥ua-vb=(u x1-v x2,u y1-v y2). (2)模长公式:设a=(x,y),则|a|= x 2 y 2 .
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,O A =a, A B =b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标; (2)求向量 B A 的坐标; (3)求点B的坐标.
【解题策略】 求向量坐标的方法 (1)定义法:将向量用两个相互垂直的单位向量e1,e2表示出来. (2)平移法:把向量的始点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (3)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标 即得该向量的坐标.
2
6-3-3平面向量加、减、数乘运算的坐标表示 课件20张-人教A版(2019)高中数学必修第二册
6.3.3 平面向量加、减、数乘运算的坐标
表示
复习引入
平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a=λ1e1+λ2e2.
e1
e1
a
O
e2
e2
a
探究新知
思考：向量的坐标与点的坐标有何联系与区别？
(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
解法2：如图，由向量加法的平行四边形
法则可知 BD ＝ BA ＋BC ＝(-2-(-1),1-3)
＋(3-(-1),4-3)＝(3,-1)，
而 OD ＝ OB ＋ BD ＝(-1,3)＋(3,-1)
＝(2,2)，
所以顶点D的坐标为(2，2)．
∴a＋b＝(2,1) ＋(－3，4)＝(－1，5)，a－b＝(2,1) －(－3，4)＝(5，－3)，
3a＋4b＝3(2,1) ＋4(－3，4)＝(6,3) ＋(－12，16)＝(－6,19)。
典例分析
例3 如图，已知□ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别是
(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
目标检测
2．在下列各小题中，已知A、B两点的坐标，分别求 AB ， BA
的坐标：
（1）A（3，5），B（6，9）；
（2）A（－3，4），B（6，3） ；
（3）A （0，3）， B（0，5）；
（4）A （3，0）， B（8，0）．
的位置的坐标．
2.求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点
坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该
高中数学-公式-平面向量
平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。
〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=;十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v3、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕直线、m l 所成的角(0)2πθθ≤≤，cos θ⋅=a ba b〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤，sin θ⋅=a ua u〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u vu v教学过程：二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0〕，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a ∥b 〔a ≠0〕，那么有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
6.3平面向量基本定理及坐标表示-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义
D． (5, 4)
【答案】A
【分析】
根据 AB (2,8) ， AC (3, 4) ，可得 BC ；由 BM MC 可得 M 为 BC 中点，即可求得 BM 的坐标，进而利用
AM AB BM 即可求解．
【详解】
因为 AB (2,8) ， AC (3, 4)
所以 BC AC AB (5,4)
巩固提升
1、若
a
2,
3,
b
4,
7
，
b
方向上的单位向量为
e
.则
a
在
b
上的投影向量为（
）
A．
65
e
5
B．
65 e
C．
13
e
5
D．
13 e
【答案】A
【分析】
由向量的投影计算公式，代值计算即可求得.
【详解】
由向量的投影计算公式可得，
故
a
在
b
上的投影向量为
a
b
b
e
13 e 65
65 5
【详解】
（1）由题意，
m
a
k
b
3,1
k
,
2k
3
k
,1
2k
，
2a
b
6, 2
1,
2
7,
4
，
因为 m 与 2a b 垂直，
所以 m
2a b
73 k 41 2k 0
整理得 25 15k 0 ，解得 k 5 ．
3
（2）由题意，
kk
1,
1
k
1,
2k
1
，
，从而 m−n=−3.
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高中数学平面向量的坐标表示及计算方法
在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在代数中扮演着重要的角色。
平面向量的坐标表示及计算方法是我们学习平面向量的基础，下面我将结合具体的题目，详细介绍平面向量的坐标表示及计算方法。
一、坐标表示
平面向量可以用一个有序数对表示，这个有序数对就是向量的坐标。
对于平面上的一个向量a，它的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。
例如，给定平面上两点A(2, 3)和B(5, 1)，我们可以通过这两个点得到向量AB 的坐标表示。
向量AB的x轴分量为5-2=3，y轴分量为1-3=-2，因此向量AB的坐标表示为(3, -2)。
二、向量的加减法
对于平面上的两个向量a=(a₁, a₂)和b=(b₁, b₂)，它们的加法定义为：
a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂)。
这意味着向量的加法就是将它们的对应分量相加。
例如，给定向量a=(2, 3)和b=(-1, 4)，我们可以计算出它们的和向量c=a+b。
根据定义，c的x轴分量为2+(-1)=1，y轴分量为3+4=7，因此向量c的坐标表示为(1, 7)。
同样地，向量的减法也可以通过对应分量相减得到。
对于向量a和b，它们的减法定义为：a-b=(a₁-b₁, a₂-b₂)。
三、向量的数量积
向量的数量积也叫点积，它是两个向量的乘积的数量表示。
对于平面上的两个向量a=(a₁, a₂)和b=(b₁, b₂)，它们的数量积定义为：a·b=a₁b₁+a₂b₂。
例如，给定向量a=(2, 3)和b=(-1, 4)，我们可以计算它们的数量积。
根据定义，a·b=2*(-1)+3*4=8。
四、向量的数量积的性质
向量的数量积具有以下性质：
1. 交换律：a·b=b·a，即数量积的结果与向量的顺序无关。
2. 结合律：(ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k为任意实数。
3. 分配律：a·(b+c)=a·b+a·c，其中a、b、c为任意向量。
这些性质使得数量积在计算中非常灵活，可以简化计算过程。
五、向量的夹角
两个非零向量a和b之间的夹角θ可以通过以下公式计算得到：
cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模。
例如，给定向量a=(2, 3)和b=(-1, 4)，我们可以计算它们之间的夹角θ。
根据公式，cosθ=(2*(-1)+3*4)/(√(2²+3²)*√((-1)²+4²))=5/√(13*17)。
通过计算，我们可以得到
夹角θ的近似值。
六、一点延长线的坐标表示
在平面向量中，我们经常需要求一条向量的延长线上某一点的坐标表示。
对于
向量a=(a₁, a₂)，我们可以通过给定的起点和延长线上的一个点P(x, y)来求得P的
坐标表示。
例如，给定向量a=(2, 3)和起点A(1, 1)，我们需要求得延长线上的一点P的坐
标表示。
设P的坐标为(x, y)，根据向量的定义，有P=A+a，即(x, y)=(1, 1)+(2,
3)=(3, 4)。
因此，延长线上的点P的坐标表示为(3, 4)。
通过以上的讲解，我们可以看到平面向量的坐标表示及计算方法是非常重要的。
它不仅可以帮助我们解决具体的几何问题，还可以为代数运算提供便利。
掌握了这些方法，我们可以更加灵活地运用向量进行计算和推理。
希望同学们通过学习和练习，能够熟练掌握平面向量的坐标表示及计算方法，
提高数学解题的能力。
同时，也希望家长们能够关注孩子的学习进展，帮助他们解决遇到的问题，共同促进孩子的数学学习。