taylor 级数展开式
泰勒(Taylor)展开式(泰勒级数)
泰勒(Taylor)展开式（泰勒级
数）
目录
泰勒公式
余项
1、佩亚诺(Peano）余项：
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
4、柯西（Cauchy）余项：
5、积分余项：
带佩亚诺余项
参考资料
泰勒公式
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。
余项
泰勒公式的余项Rn(x)可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺(Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈(0,1)，p为任意正实数。
（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈(0,1)。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈(0,1)。
5、积分余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
带佩亚诺余项
以下列举一些常用函数的泰勒公式：
参考资料
泰勒的通俗理解：
泰勒的更深层次的理解：。
taylor 级数展开式
taylor 级数展开式
泰勒级数是一种无限级数，将某个函数在某点附近展开成一系列次幂函数的和。
泰勒级数由泰勒公式得出，其公式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ... + f(n)(a)(x-a)^n/n! + ...
其中，f(x)是函数，f(a)是函数在a点的函数值，f'(a)是函数在a点的一阶导数值，f''(a)是函数在a点的二阶导数值，f'''(a)是函数在a点的三阶导数值，以此类推。
n是自然数，是展开式的项数。
Σ表示求和运算。
这个公式是在一个充分连续的区间上成立的，并且可以根据需要逐项进行截断或者是添加新的项。
泰勒级数展开通常用于在某个点周围进行局部近似，从而推导和计算某些数学上复杂的函数或算法，比如微积分，信号处理，图像处理等领域。
值得注意的是，每一个函数都有其独特的泰勒级数展开，而且展开式的项数通常需要根据所求问题而定，因此，展开式的求取需要仔细的推导和计算过程。
泰勒展开式及应用
第1讲：泰勒展开式及应用本讲主要研究以泰勒展开式为背景的导数命题模式.泰勒展开式应该是高中导数命题中最常用的高等背景，以其为背景的一阶导数（切线）放缩，二阶放缩等活跃于高考试题和各地模考试题中.本节，我们将通过一些典型例题来展示其中的泰勒身影，探析其中常见的命题手法.一．基本命题原理1.泰勒展开式（泰勒级数）：Taylor 多项式：20000000()()()()())()1!2!!n n n f x f x f x T f x x x x x x x n '''=+-+-++- Taylor 公式：0()()(())n n f x T x o x x =+-2.泰勒公式00x =时的麦克劳林公式：21()2!!n xn x x e x o x n =+++++ 352112sin (1)()3!5!(21)!m m m x x x x x o x m --=-+++-+- 24221cos 1(1)()2!4!(2)!m m m x x x x o x m +=-+++-+ 231ln(1)(1)()23n n n x x x x x o x n-+=-+++-+ 2(1)(1)(1)(1)1()2!!n n n x x x x o x n ααααααα---++=+++++ 211()1n n x x x o x x=+++++- 3.几个重要的不等式由泰勒公式，我们可以得到几个重要的不等式：3.10,1≥+≥x x e x；3.20,1212≥++≥x x x e x；3.30,21)1ln(2≥-≥+x x x x .下面我们尝试对对数的泰勒展开式进行变形处理：231ln(1)(1)()23n n n x x x x x o x n-+=-+++-+ 将x -代入上式，可得：)1,0(),3(211ln 3∈+>-+x x x x x ，这就是下面这道高考试题的命题背景.二．典例分析例1.（2021八省新高考适应考试）已知函数x x e x f x cos sin )(--=，x x e x g xcos sin )(++=.（1）略；（2）若ax x g +≥2)(，求a .例2.（2015北京）已知函数()1ln 1x f x x +=-．（1）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（2）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭；（3）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．由上述结论易得结论，此处不再赘述.下面我们再看几个泰勒展开的应用实例.例3.证明不等式：316x x -≤sin x x ≥0.解析：不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系。
高中数学泰勒展开公式
高中数学泰勒展开公式高中数学中，泰勒展开公式是一种重要的数学工具，广泛应用于函数近似、求极限、研究函数性质等方面。
它由苏格兰数学家James Gregory和Brook Taylor在17世纪中期独立发现和证明，后来被统称为泰勒展开公式。
泰勒展开公式的基本思想是，将一个函数在某一点的邻域内用无穷级数的形式表示出来。
具体而言，对于任意光滑的函数f(x)，如果f(x)在x=a处有n阶导数，那么在x=a附近的某个区间内，f(x)可以用泰勒级数展开表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... +f^n(a)(x-a)^n/n!其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，f^n(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数。
泰勒展开公式的一个重要应用是近似计算。
根据此公式，我们可以用高阶导数来逼近一个函数在某一点的近似值。
例如，当x离a较近时，我们可以截取泰勒级数展开的前几项来近似计算f(x)的值。
这在实际问题中具有重要意义，因为有时候我们无法直接求得一个函数在某一点的精确值，但可以通过泰勒级数展开来得到一个近似值。
泰勒展开公式还可以用于研究函数的性质。
例如，根据泰勒展开公式，我们可以判断一个函数在某一点的极限值。
通过对函数进行泰勒级数展开，我们可以分析函数在该点附近的行为，从而得到极限的性质。
这在高等数学中的微积分课程中是一个重要的应用。
总的来说，泰勒展开公式是高中数学中的一个重要工具，它在近似计算和函数性质研究中具有广泛应用。
掌握泰勒展开公式的使用方法，有助于学生更好地理解和应用数学知识，提高数学问题的解决能力。
taylor 级数展开式
taylor 级数展开式摘要：1.泰勒级数简介2.泰勒级数展开式3.泰勒级数应用正文：泰勒级数（Taylor series）是以英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）的名字命名的，是一种在给定点附近近似计算函数值的方法。
泰勒级数展开式是将函数展开为一个无穷级数，该级数的每一项都与该点的各阶导数有关。
泰勒级数在许多数学和工程领域具有广泛的应用，例如在数值分析、近似计算、泛函分析等方面都有重要的作用。
泰勒级数展开式通常表示为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x - a) + (f""(a)/2!)(x - a)^2 + ...+ (f^n(a)/n!)(x - a)^n + ...其中，f(x) 是要展开的函数，a 是展开点，f"(a)、f""(a)、...、f^n(a) 分别表示函数f 在点a 处的一阶导数、二阶导数、...、n 阶导数，x 是离a 点很近的一个变量。
为了更好地理解泰勒级数展开式，我们可以从一个简单的例子入手。
假设我们有一个函数f(x) = e^x，我们要在x = 0 处展开泰勒级数。
首先计算各阶导数：f"(x) = e^xf""(x) = e^xf^3(x) = e^x...然后将各阶导数除以相应的阶乘，并乘以(x - a)^n，得到泰勒级数展开式：f(x) ≈ 1 + x - (1/2!)x^2 + (1/3!)x^3 - (1/4!)x^4 + ...可以看到，泰勒级数展开式是一个无穷级数，通过计算有限项可以得到一个在展开点附近很好的近似值。
需要注意的是，泰勒级数的收敛性取决于函数和展开点，有些函数的泰勒级数在某个区间内收敛，有些函数的泰勒级数在全域内收敛，还有一些函数的泰勒级数在某些点不收敛。
泰勒级数在许多领域都有广泛的应用，如在数值分析中，泰勒级数展开式可以用来近似计算积分、求和等；在近似计算中，泰勒级数可以用来逼近函数，例如在插值和拟合问题中；在泛函分析中，泰勒级数可以用来研究函数空间等。
§3.3 泰勒(Taylor)级数展开
定理（泰勒定理）：
设 f z 在以z0为圆心 的圆域CR内解析，f z 可 展开为幂级数 z R1
CR
R
z0 CR1
f z a
k 0
k
z z0
k
其中
1 ak 2 i
z
CR1 0
f
k 1
d
f
k
z0
k!
又
z z0 t 1 z0
z z0 1 1 ( z z0 ) ( z0 ) k 0 z0
k
z z0 1 1 1 k 1 ( z z ) z z0 1 0 k 0 z0 z0
f ( z ) ak ( z z0 )
k 0
k
初等函数幂级数展开式举例： 例1 ： 解：
f z ez 在复平面上解析
f
z
f z ez 在z=0处
k
k!
0
2
z z z e 1 z 2! 3! k ! k
3
1 k!
k
z k 0 k !
1 解： f ( z) 有一个奇点 1, 2 (1 z ) 从而 R 0 (1) 1 1 由： 1 z z 2 ... z n ... z 1 1 z 1 1 可知： 1 z z 2 ... (1)n z n ... 1 z 1 ( z )
e e sin z 2i
iz
iz
k k iz iz 1 2i k ! k 0 k ! k 0
泰勒Taylor级数展开
zk f ( z ) e ak ( z z 0 ) k 0 k 0 k!
z k
z2 z3 zk 1 z ... ... 2! 3! k!
例2：将cosz、sinz在z=0处展开 利用ez的展开式，可得
eiz e iz 1 (iz ) k (iz ) k cos(z ) 2 2 k 0 k! k ! k 0
∵离z0=1最近的支点为z=0 ∴收敛半径取R=1，收敛圆为|z-1|< 1
而
(ln z )
1 z
1 1 (1 z ) k z 1 (1 z ) k 0
(1) k ( z 1) k
k 0
(| z 1 | 1)
1 ln z dz (1) k ( z 1) k dz z k 0
奇次幂全部消去
(1) k z 2 k cos(z ) (2k )! k 0
(| z | )
e iz e iz 1 (iz ) k (iz ) k 同理 sin(z ) 2i 2i k 0 k! k ! k 0 1 i 2 k 1 z 2 k 1 i k 0 (2k 1)!
k 0
1 f ( ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) (| z z0 | R)
k 0
f ( k ) ( z0 ) ( z z0 ) k k!
k a ( z z ) k 0 的每一项都是z的解析函数，且在
其收敛圆内任一同心闭圆上一致收敛。
z0=0点展开成泰勒级数。
1 ∵ f ( z) 2 有一个奇点z=-1 (1 z )
常见泰勒公式展开式
常见泰勒公式展开式常用泰勒展开公式如下：1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。
(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)11、arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。
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taylor 级数展开式
【原创实用版】
目录
1.泰勒级数展开式的概念
2.泰勒级数展开式的应用
3.泰勒级数展开式的举例
正文
1.泰勒级数展开式的概念
泰勒级数展开式是一种数学工具，用于描述一个可微函数在某一点附近的近似值。
这个展开式是以英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）的名字命名的，他在 18 世纪初发现了这个重要的数学公式。
泰勒级数展开式的基本形式如下：
f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + Rn(x)
其中，f(x) 是一个可微函数，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等分别表示函数在点 a 的一阶导数、二阶导数、三阶导数等，n! 表示 n 的阶乘，Rn(x) 是泰勒级数的余项。
2.泰勒级数展开式的应用
泰勒级数展开式在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，主要包括以下几点：
（1）求函数的近似值：通过泰勒级数展开式，我们可以将复杂的函数在某一点附近近似为多项式，从而简化问题。
（2）求函数的极值和拐点：通过分析泰勒级数展开式的各项系数，可以判断函数在某一点附近的极值、拐点等情况。
（3）证明数学定理：泰勒级数展开式在证明一些数学定理时也起到关键作用，例如泰勒公式可以用来证明洛必达法则等。
3.泰勒级数展开式的举例
以函数 f(x) = e^x 为例，我们可以展开其在 x=0 附近的泰勒级数：f(x) = e^x = 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + x^4 / 4! +...
通过泰勒级数展开式，我们可以将指数函数 e^x 在 x=0 附近近似为多项式 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + x^4 / 4! 等。
这样，在计算涉及 e^x 的问题时，我们可以利用这个近似值来简化计算。