第十讲 洛朗级数.ppt
课件(PPT版)4.4_洛朗级数
an (z z0 )n a1(z z0 )1 a2(z z0 )2 . (B)
n1
根据上一节的讨论可知：
(1) 对于 (A) 式，其收敛域的形式为 | z z0 | R2 ;
(2) 对于 (B) 式，其收敛域的形式为 | z z0 | R1 ;
(z i)n1.
解 (2) 将函数在每个解析环内分别展开
② 当 2 | z i | 时，
i
f (z) 1 1
z i (z i) 2i
i
1 zi
1 zi
1 1 2i
zi
(z
1 i)2
n0
(1)n
(2i)n (z i)n
z z0 1.
z0
z
C r R1
z0
G1
和泰勒展开式一样，可以推得
G2
1 f ( ) d
2πi z Γ2
1
n0 2 π i
|z|
1 1 z
1 z
1 1 1
1 z
1 z2
1 z3
.
z
这样一来，在整个复平面上就有
1 1 z z2 , (| z | 1); 1 z
1 1 z
1 z
1 z2
1 z3
,
(| z | 1).
一、含有负幂次项的“幂级数”
1. 问题分析 启示 如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，
n0
洛朗级数
O
1
O
1 2x
O
2
x
14
[解] 先把 f (z) 用以下分式表示：
i) 在 0<|z|<1 内；由于 |z|<1，从而
，所以
结果中无负幂项，原因在于 f (z) 在 z=0处解析.
15
ii) 在1<|z|<2内，由于 ，从而有
，则
，又因为
，因此有
16
iii) 在2<|z|<+内，由于 ，从而
, 所以
，故有
17
例 函数
在圆环域：
i) 0<|z-1|<1；
ii) 1<|z-1|<+； iii) 0<|z-2|<1； iv) 1<|z-2|<+； 内处处解析, 试把 f (z)在这些区域内展开成洛 朗级数。
18
[解] 先把 f (z)用部分分式表示：
i) 在 0<|z-1|<1 内，由于 |z-1|<1，所以
在计算双边幂级数收敛域时，要取正幂项的收敛域和 负幂项的收敛域的公共部分.
n
cn z n cn z n c n z n
n 0 n 1
cn 1 z n 1 1（或求幂级数收敛半径的常规作法） 正幂项： n cn z c n 1 z n 1 负幂项： 1 n c n z
[解] 因原函数在区域内处处解析，又
所以把上式中的 z 代换成有 ，即得所求的洛 朗展开式：
23
例 求函数
在以z = 0 为中心、由
它的奇点互相隔开的不同圆环域内的洛朗展开式。 [解] (1) 在| z |< 1内展开，得
洛朗级数
2、 Laurent 级数复变量的复值函数()()(),,f z u x y i v x y =+，f z ∈⊂C D ，（1） 全纯性（解析性） ——()f z 在0f z ∈D的邻域0z z R -<中解析，可展开成Tayler 级数()()()()000!n nn f z f z z z n +∞==-∑；且在收敛圆周0z z R-=上，至少存在一个点~z，使得级数()()~000!n nn f z z zn +∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑发散.（2） 亚纯性 ——()f z 以0f z ∈D为孤立奇点，在邻域00z z R <-<中解析，()f z 可展开成Laurent 级数()()()()10nnnnnnn n n f z z z z z z z ααα+∞-+∞=-∞=-∞==-=-+-∑∑∑主要部分解析部分，其中()()112n n C f dz i z ρςαπς+=-⎰，0,1,2,n =±± ，0:C z z ρρ-=，0R ρ<<.（3）()f z 的孤立奇点的分类 —— 设()f z 以0f z ∈D为孤立奇点，① 可去奇点： 若 ()00lim z z f z α→=，则0z称为可去奇点；② 极点： 若存在一正整数0m >，使得 ()()00lim 0mm z zz z f z α-→-=≠，则称0z 为m 级极点；③ 本性奇点： 若Laurent 级数中含有无穷多0z z -负幂次项，则称0z 为本性奇点.（4） 将()f z 在其孤立奇点的邻域内展开成Laurent 级数补充例1 将函数()()()112f z z z =--分别在圆1z <、12z <<、2z <<+∞中展开成级数()n n n f z z α+∞=-∞=∑.解 函数()()()112f z z z =--在1z =、2z =分母为零，是()f z 的不连续点（显然()f z也不会在这些点解析，因此是()f z 的孤立奇点），不能在它们的任何邻域中展开，于是，只能分别考虑三个圆周.① 在圆1z < 中 ——()()()112f z z z =--解析，因此展开成幂级数. 故()()()11111112121212f z z z z z z ==-=-------1000111222nnn n n n n z z z +∞+∞+∞+===⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，1z <；② 在环12z << 中 ——由1121,12z z z<<⇔<<，故()()()112f z z z =--在此环中可展开成 1z 的Laurent 级数，()()()1111111112122112f z z z z z z z z ==-+=--------110001111222nn n n n n n n z z z z z+∞+∞+∞++===⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，12z <<；注意：使用公式011nn z z +∞==-∑，只能在圆1z <中！③ 在区域2z <<+∞ 中 ——由 1122z z <<+∞⇔<、 1111212z z z z<<<<+∞⇔<<<，故 ()()()112f z z z =-- 在此区域中可展开成 1z 的Laurent 级数，故()()()111111112121211f z z z z z z z z z==-+=-+------1000111221nnn n n n n z z z z z+∞+∞+∞+===-⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，2z <<+∞.补充例2 将函数 ()1ze f z z =-（1） 分别在圆1z <、1z >中展开成级数()n n n f z z α+∞=-∞=∑；（2） 在环011z <-<中展开成级数()()1nnn f z z α+∞=-∞=-∑.解 函数()1ze f z z=- 在 1z <解析，故可展开成幂级数；在环1z >中可展开成Laurent 级数； 在1z =时，1z <的分母为零，是()f z 的不连续点；故在 011z <-< 应展开成()1z -幂次的Laurent 级数.（1） ① 在圆1z <中 ——(){}221111!2!!z nn e z z zf z z z z z n ⎧⎫==++++++++++⎨⎬-⎩⎭()12110n n n n a b a b a b +∞-==+++∑ ， 1z <，（作Cauchy 乘积）；② 在1z >中 ——注意到，在1z >中，函数ze解析，故仍展开成幂级数；函数11z- 则只能考虑11z<，故 ()2111111!2!!1z ne z z zf z z z n z⎧⎫-==+++++⎨⎬-⎩⎭-221111111!2!!n n z zz z z z z n ⎧⎫-⎧⎫=++++++++++⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭2231111111!2!!n n z zz z z z z n +⎧⎫⎧⎫=-++++++++++⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭1z >，作Cauchy 乘积，即为()f z 在1z >的、z 幂次的Laurent 级数；（2） 在环011z <-<中展开成()1z -幂次的Laurent 级数，由111z <<+∞-，故()()1111111z z z e e f z e e z z z -+--===⋅⋅---()()()()2311111111!2!3!!n n z z z e z z n ⎧⎫-----⎪⎪=++-++-+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭ ()()()211111111!2!3!!n z z z e z n -⎧⎫---⎪⎪=-++++++⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，011z <-< .补充例3 将函数()sin 1z f z z =-（1） 在圆 1z <、1z >中展开成级数()n n n f z z α+∞=-∞=∑； （2） 在环011z <-<中展开成级数()()1nnn f z z α+∞=-∞=-∑.解 （1） 函数()sin 1zf z z=- 在1z <解析，故可展开成幂级数；在1z >中可展开成Laurent 级数.① 在圆1z < 中 ——()3511sin 113!15!1z z z z f z z z z z ⎛⎫⎛⎫==-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭35111000113!5!n n n n n n z z z +∞+∞+∞+++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ()()21101121!k kn n z k ++∞+=⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭∑ ，1z <；② 在1z > 中 ——由111z z>⇔<，故展开成Laurent级数()1sin sin11z f z z z==--- ()()3211111111113!21!k k z z k z +⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----++--+⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 1z >；（2） 在环 011z <-< 中展开成 ()1z -的Laurent 级数()111sin sin sin sin 11111z z z f z z z z z -+⎛⎫==-=-=-+ ⎪----⎝⎭()()32111111111113!121!1k k z z k z +⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++-++⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 011z <-< .Taylor 级数、 Laurent 级数的通项较难归纳，因此很多问题要求写出前几项的表 示式就够了.补充习题1、 求函数()()21ze f z z z =+在01z <<中的Laurent 展开式. 2、 求函数()()()4111f z z z =--在1z <与1z <中的Laurent 展开式. 3、 求函数1ze 在0z <<+∞中的Laurent 展开式. 4、 求函数()2ln 1zf z z =-（在解析分支ln10=中）在011z <-<与011z <+< 中的Laurent 展开式.二、 Fourier 变换1、Fourier 变换的定义2、Fourier 变换的分析性质3、用Fourier 级数与Fourier 变换解微分方程三、 方阵1、方阵的对角化方法2、方阵的正交化方法3、二次型的标准化4、应用（四个）补充例题配方法、初等变换法例 将二次型()222123123121323,,3422f x x x x x x x x x x x x =+++++通过配方法化为标准型.解 （1） 配方法 由()222123123121323,,3422f x x x x x x x x x x x x =+++++()2221121323234232x x x x x x x x x =+++++()222221232323232324432x x x x x x x x x x x =++---+++()22212323232322x x x x x x x =++-+-()22222123223333211232393x x x x x x x x x ⎛⎫=++-++++ ⎪⎝⎭ ()2222212323331123233x x x x x x x ⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭， 令 112322333213y x x x y x x y x =++⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，于是，()2221231237,,33f x x x y y y =-+；也可再令11233322323z x x xzz x⎧⎪=++⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，就可化为()222123123,,f x x x y y y=+-.（2）初等变换法将相应的矩阵121211113A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦经过初等变换化为对角型，但是变换方阵要另外求.2332213132121121121121 211031012012 113012031005L L L LL LL LA↔---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→--−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2212332112555121100100010010010005005001 L L L L L L-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故()222123123,,f x x x y y y=-+.寄语：做一个高尚的人 —— 有道德、有素质，有益社会；知识的人 —— 有科学思维、有智慧技能，服务人民； 阳光的人 —— 身心健康、光明磊落、豁达乐观。
第十讲泰勒级数和罗朗级数28页PPT
§4.3 泰勒(Taylor)级数
1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式
一. 泰勒(Taylor)展开定理
由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数一定 是一个解析函数。
现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? ）
z1d z zd z ( 1 ) nn d,
0 1
0
0
即 l n ( 1 z ) z z 2 z 3 ( 1 ) n z n 1 |z | 1 .
23
n 1
§4.4 罗朗(Laurent)级数
1. 罗朗级数 2. 函数展开成罗朗级数 3. 如何展开成罗朗级数
以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在区D 域 内解,析 z0 D,R为z0到D的边界
上各点的最短 距 当z离 z0 R时,
f(z) cn(zz0)n (1)
n0
f (z)在z0处 的Taylor级数
其中 :cn
1 n!
f
(n)(z0)
n0,1,2,
sz i n e z 2 iie z i 2 1 i n 0( z n ! )n i n 0( n z !)n i
12 i2 k 1 z 2 k 1 ( 1 )k 1 z 2 k 1
2 ik 1(2 k 1 )!k 1 (2 k 1 )!
sz i n z z 3 z 5 z 7 ( 1 ) k 1 z 2 k 1 3 ! 5 ! 7 ! k 1( 2 k 1 )! 又 coz s(szi)n'
本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。
10第十讲 洛朗级数
R2 z0 R1
an ∞ zn 例如级数 ∑ n + ∑ n n=1 z n=0 b
∞ n ∞
∞
(a与 为 常 ) b 复 数
n
a a a 负 项 数∑ n = ∑ 当 <1, 幂 级 z n=1 z n=1 z 即| z |>| a | 时 敛 收 ,
z 而 正幂 级 ∑ n 则 | z |<| b | 时 项 数 当 收敛 所 . 以 n=0 b 当| a |<| b | 时 级数 圆 域| a |<| z |<| b | 收 . 原 在 环 敛 当| a |>| b | 时 级 处 发散 原 数 处 .
其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为级数:
1 1 1 f (z) = = z(1− z) 1− z 1− (1− z) 1 = [1+ (1− z) + (1− z)2 +⋯+ (1− z)n +⋯ ] 1− z = (1− z)−1 +1+ (1− z) + (1− z)2 +⋯ ⋯+ (1− z)n−1 +⋯
这就是(4.4.8)
用(4.4.8)计算cn要求环积分, 过于麻烦, 因此一 般不用. 一般是根据由正负整次幂项组成的 级数的唯一性 可以用别的方法, 特别是代数 唯一性, 唯一性 代数 运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 运算 代换 求导和积分等方法去展开 以求 得洛朗级数的展开式. 例如:
f (z) =
n=−∞
an (z − z0 )n ,并 C为 环 内 何 设 圆 域 任 ∑
∞
∞
C 一 , 条 向 单 曲 ,ζ为 上 点 则 正 简 闭 线 f (ζ ) =
洛朗级数展开习题精讲-PPT文档资料
1 令 z z0
2 3 则 a a a ... 1 2 3
设 | | R
1 → |z z | R ， R 0 0 2 2 R2
即负幂部分在|z-z0|=R2的圆外收敛。
n
作业题的错误集中在后半边的展开，特别是 原因应该是没有熟练掌握已有的展开 用到已有的展开：
1 n z( 在 0 z 1 泰 勒 展 开 ) 1 z n 0
k 定理2：设双边幂级数 f (z ) a ( z z ) k 0 k
k
的收敛环B为R2<|z-z0|<R1，则f(z) (1) 在B内连续； (2) 在B内解析，且逐项可导； (3) 在B内可逐项积分。
定理3：设函数f(z)在环状区域R2<|z-z0|<R1的内 部单值解析，则对于环内任一点z，f(z)
教学目的与要求: 了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰 勒级数的关系,掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛 朗展式的求法.
重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域 内的洛朗展式的求法. 难点：解析函数的洛朗展式的证明.
一、双边幂级数(含有正、负幂项)
k k a ( z z ) k 0
泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环 域R2<|z-z0|<R1内的洛朗级数也具有。 在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导、逐项积 分、和函数是解析函数。
求洛朗展开式的系数Cn
洛朗展开式的系数Cn用公式计算是很麻烦的，
由洛朗级数的唯一性，我们可用别的方法，特别
是代数运算、代换、求导和积分等方法展开，这
科技英语 洛朗级数
科技英语洛朗级数
洛朗级数（Laurent series）是数学分析中的一种级数表示方法，由法国数学家皮埃尔·阿尔方斯·洛朗（Pierre Alphonse Laurent）于1843年提出。
洛朗级数是将复变函数表示为幂级数与幂级数的倒数之和的形式。
一般而言，洛朗级数适用于复平面上除去有限个孤立奇点的函数。
洛朗级数的一般形式为：
f(z) = Σ(a_n (z - z_0)^n) + Σ(b_n (z - z_0)^(-n))
其中，a_n和b_n是复数，z_0是函数的奇点。
第一项Σ(a_n (z - z_0)^n)是幂级数，对应于函数在z_0处的收敛部分，第二项Σ(b_n (z - z_0)^(-n))是幂级数的倒数，对应于函数在z_0处的发散部分。
洛朗级数的优点在于它能够提供比泰勒级数更广泛的函数表达形式。
通过洛朗级数，我们可以描述那些在某些点附近的函数，即使这些点是奇点。
洛朗级数的应用涵盖了数学、物理、工程等多个领域。
在实际应用中，洛朗级数经常用于解析函数的研究、复变函数的积分计算以及计算复杂函数的留数。
洛朗级数也为研究奇点的性质提供了有力的工具，例如确定奇点的类型（可去奇点、极点或本性奇点），
以及计算奇点的留数等。
总结起来，洛朗级数是复变函数的一种级数表示方法，能够用于描述具有奇点的函数，并且在数学和应用领域中有广泛的应用。
对于研究和计算复杂函数的性质和行为，洛朗级数提供了一种重要的数学工具。
华中科技大学课件复变函数与积分变换洛朗级数
洛朗级数的应用：计算积分
洛朗级数在计算积分时有着广泛的应用，可以将复杂的积分计算简化为级数 求和的问题。
华中科技大学课件复变函 数与积分变换洛朗级数
欢迎来到华中科技大学课件复变函数与积分变换洛朗级数的讲座！在本次讲 座中，我们将深入研究复变函数、积分变换以及洛朗级数，为大家带来精彩 的知识盛宴。
什么是复变函数和积分变换？
复变函数是变量包含实部和虚部的函数，而积分变换是一种将函数从一个域转换到另一个域的数学操作。
洛朗级数的定义和性质
洛朗级数是复变函数在复平面上的展开形式，可以用于描述函数在奇点附近 的行为。
洛朗级数的收敛性和发散性
洛朗级数可以收敛到函数在奇点附近的解析扩张，但也可能发散或收敛到复平面上的其它点。
洛朗级数的求和方法
求解洛朗级数的问题通常可以通过手工计算或应用数值方法来实现，具体取决于问题数是定义在复数域上的函数，具有实部和虚部。它们具有许多性质，如解析性、全纯性和调和性。
复变函数的导数和积分
在复变函数中，我们可以定义导数和积分的概念，并研究它们的性质和计算 方法。
积分变换的定义和应用
积分变换是一种将函数从时域转换到频域的操作，广泛应用于信号处理、控 制系统和电路分析等领域。
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z0 )n
第二个积z
(z
) z
d
z
.由于z在K1上,点
z在K1的外部,
z
z
z0 z0
1.因此
z
1 z
1 z z0
1
1
z
z0
n1
(z z0 )n1
(z z0 )n
z z0
n1
(z
1 z0 )n1
(z z0 )n,
1 f (z ) dz
2π i z K1 z
现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定 能够展开成级数?先看下例.
函数f
(z)
1 z (1
z)
在z
0及z
1都不解析, 但
在圆环域0 | z | 1及0 | z 1| 1内都是解析的.
先研究0 | z | 1的情形,
f
(z)
1 z (1
z)
1 z
1 1
z
1 1 z z2 zn . z
由此可见, f (z)在0 | z | 1内是可以展开为级
电子工程学院
ez 1 z z 2 z n .
2!
n!
R
sin z z z3 z5 (1)n z2n1 R
3! 5!
(2n 1)!
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n
2! 4!
(2n)!
R
ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1
23
n 1
R 1
2 n0
1
(1 z2 )3
n0
(1)n (n 2)(n 1) 2
z2n
| | 1
arg tgz
z 0
dz 1 z2
z
1 n z2ndz
0 n0
1 n z 2n1
n0 2n 1
| z | 1
练 求下列函数的 ezcosz 在z=0的泰勒展开式
解： ez cos z 1 [e(1i)z e(1i)z ]
1 2π
| f (z ) |
K1
n0
|
z
z0
|
z z0
z z0
n ds
1 M1 qn 2π r M1q N .
2π nN r
1 q
M
是
1
|
f
(z) | 在K1上的最大值.
因为 lim q N N
0,
所以
lim
f (z) cn (z z0 )n n
其中
cn
1 2π
i
C
(z
f (z )
z0 )n1
dz .
(n
0,1,2,)
C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单
闭曲线.
[证] 设z为圆环域内的任一点, 在圆环域内作以z0 为中心的正向圆周K1与K2, K2的半径R大于K1的 半径r, 且使z在K1与K2之间.
n1
n1
这是z的幂级数, 设收敛半径为R, 令R1=1/R, 则当z<R 时,即z1|z-z0|>R1, (4.4.4)收敛即
(4.4.3)收敛, 因此, 只有在R1<|z-z0|<R2的圆 环域, 级数(4.4.1)才收敛.
R2 z0 R1
例如级数
n1
an zn
n0
zn bn
(a与b为复常数)
cn (z z0 )n c1(z z0 )1 cn (z z0 )n .
n1
(负幂项部分)(4.4.3)
只有在正幂项和负幂项都收敛才认为(4.4.1)式
收敛于它们的和.
正幂项是一幂级数, 设它的收敛半径为R2, 对
负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到
cn (z z0 )n cnz n c1z c2z 2 , (4.4.4)
z
z0
z
K1
z
K2
由柯西积分公式得
f (z)
1 2π
i
f
z
(z
) z
dz
1 2π
i
f
z
(z
) z
dz
K2
K1
对第一个积分, z在K 2上,
z在K 2内,
z
z
z0 z0
1.
和泰勒展开式一样, 可以推得
1
2π i
f
z
(z
) z
dz
K2
n0
1
2π
i
K2
(z
f (z )
z0 )n1
dz
(z
数的.
其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为级数:
f
(z)
1 z (1
z)
1 1 z
1 1 (1
z)
1 1
z
[1
(1
z)
(1
z)2
(1
z)n
]
(1 z)1 1 (1 z) (1 z)2
(1 z)n1
y
O
1
x
定理 设f(z)在圆环域R1<|z-z0|<R2内解析, 则
N 1 1
n1 2π
i
K1 (z
f
(z )
z0 )n1
dz
(z
z0 )n
RN (z),
其中RN (z)
1 2π
i
K1 nN
(z
z0 )n1 f (z
(z z0)n
)
d
z
.
令q z z0 r ,则0 q 1
z z0 | z z0 |
因此有
| RN (z) |
负幂项级数
an
n1 z n
a
n
当
a
n1 z z
1,
即| z || a |时收敛,
而正幂项级数
n0
zn bn
则当
|
z
||
b
|
时收敛.
所以
当| a || b |时原级数在圆环域 | a || z || b | 收敛.
当| a || b |时原级数处处发散.
幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数(4.4.1)在 收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 级数 (4.4.1)在收敛域内其和函数是解析的, 而且可 以逐项求积和逐项求导.
2
1 [1 in (1 i)n ]zn
n0 2n!
n in
in
2 2 e 4 e 4
zn
n0 n!
2
n
2 2 cos(n )zn
n0 n!
4
第十讲
洛朗级数
一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z), 可 以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果f(z) 在z0处不解析, 则在z0的邻域内就不能用z-z0 的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题 中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表 示法.
讨论下列形式的级数:
cn (z z0 )n cn (z z0 )n c1(z z0 )1
n
c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n , (4.4.1)
可将其分为两部分考虑
cn (z z0 )n c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n
n0
(正幂项部分)(4.4.2)
(1 z) 1 z ( 1) z2 ( 1)( 2) z3
2!
3!
( 1) ( n 1) zn ,| z | 1.
n!
练 求下列函数的 (1+z2)-3 与 arctgz 在z=0的泰勒
展开式
解： 1
(1 )3
1 2
( 1 )''
1
1 [ (1)n n ]
2 n0
1 1n (n 2)(n 1) n