人教版九年级数学上册第22章二次函数知识点总结

1 轴与抛物线 得交点为(0, ).
2与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).
3抛物线与 轴的交点:二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 抛物线与 轴相交；
②有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；
（2）已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
十二、用待定系数法求二次函数的解析式
1一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
2顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
3交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .
十三、直线与抛物线的交点
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
3关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
4关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是 ；
关于顶点对称后，得到的解析式是 ．
5关于点 对称
关于点 对称后，得到的解析式是
总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
（2）抛物线 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.
6.距离式。
（1）抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
（2）已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。
7.对称轴式。
③没有交点 抛物线与 轴相离.
4平行于 轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.
5一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点;②方程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与 没有交点.
1一般式： （ ， ， 为常数， ）；
2顶点式： （ ， ， 为常数， ）；
3两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.
4注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
五、二次函数 的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
轴
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
六、二次函数 的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
总结：
3常数项
⑴当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；
⑵当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；
⑶当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负．
总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置．
总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
（2）求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。
9.切点式。
（1）已知直线y=ax-a2(a≠0)与抛物线y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式。
（2）直线y=x+a与抛物线y=ax2+k的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。
10.判别式式。
（1）已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。
十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法
1公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 .
2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .
3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
四、二次函数 图象的画法
1五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
2画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
X=h
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
九、抛物线 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
1 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；
（1）抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
（2）已知抛物线y=-x2+ax+4,交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交y轴于点C,且OB-OA= OC，求此抛物线的解析式。
8.对称式。
（1）平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y轴于E，将三角形ABC沿x轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
（2）抛物线y= x2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
（3）抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。
5.平移式。
（1）把抛物线y= -2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2+k,求此抛物线解析式。
6抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、 是方程 的两个根，故
十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
2关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
人教版九年级数学上册第22章二次函数知识点总结(总6页)
人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结
一、相关概念及定义
1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2二次函数 的结构特征：
3.交点式。
（1）已知抛物线与x轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
（2）已知抛物线线与x轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y= a(x-2a)(x-b)的解析式。
4.定点式。
（1）在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线 经过x轴上一定点Q，直线 经过点Q,求抛物线的解析式。
十五、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；
⑵保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
2平移规律
在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2．
（2） 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项．
二、二次函数各种形式之间的变换
1二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .
2二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
三、二次函数解析式的表示方法
⑴当 时，抛物线开口向上， 越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；
⑵当 时，抛物线开口向下， 越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大．
总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
2一次项系数
在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴．
⑴在 的前提下，
1.三点式。
（1）已知抛物线y=ax +bx+c经过A（ ，0），B（ ，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
（2）已知抛物线y=a(x-1)２+4，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。
2.顶点式。
（1）已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。
（1）已知抛物线y=4(x+a)2-2a的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
向下
轴
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．