单因素方差分析经典例题
8单因素方差分析
总离差平方和分解为
ST
j 1 s
( X ij X )
i 1
nj
2
＝
j 1
s
( X ij X . j )
2 i 1 j 1
nj
s
( X. j X )
i 1
nj
2
S （组内离差）
S A （组间离差）
SE SA
S A＝
j 1
s
(X
即 ES A ( s 1) n j j
2 j 1
s
j 1
2
(1.5)
SA nj ( X. j X )
J 1
S
2
ES A n j ( s 1)
2 j j 1
s
2
若
H 0 : 1 2 s
X ij ~ N ( j , )且独立：
则有总平方和的分解 S S S T A E
(1.3)
SE, SA的统计特性
SE
j 1
2
s
( X ij X . j )
i 1
nj
2
( X ij X . j )
i 1
nj
2
2
～（n j 1）
2
由 分布的可加性，有
s
SE
＝ 2
j 1
( X ij X . j )
检验此假设 的问题就是 方差分析
等价假设： H 0 : 1 2 s =0 （ ' 1.2） H 1 : j 0至少j
1. 总平方和的分解
记在水平Aj下的样本看作一组，记组内平均为
生物统计第三节单因素试验资料的方差分析
C T / N 460.5 / 25 8482.41
2
2
上一张 下一张 主 页
退 出
SST x C
2
ij
(21.5 2 19.5 2 17.0 2 16.0 2 ) 8482 . 41
8567 . 75 8482 . 41
Байду номын сангаас85.34
MSE
P
⑥ 列出方差分析表
df
3、确定P值、下结论
•从上表得F=14.32，查附表5（方差分析界值表，
单侧），自由度相同时，F界值越大，P值越小。
因F0.01，2，27= 5.49；故P<0.01，按α=0.05水准
拒绝H0，接受HA，可认为三个不同时期切痂对
ATP含量的影响有统计显著性差异。
方差分析的结果只能总的来说多组间是否
S，即
x
得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
上一张 下一张 主 页
退 出
表6-15 SSR值及LSR值
dfe
上一张 下一张 主 页
退 出
将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显
著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数
极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品
③ 计算总的变异及总的自由度
SST x C
2
ij
dfT kn 1 N 1
④ 计算组间变异及相应的自由度
SSB Ti 2 / ni C
df b k 1
⑤ 计算组内变异及相应的自由度
SSE SST SSB
df e dfT df b
N k
单因素方差分析完整实例
什么是单因素方差分析单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。
单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。
单因素方差分析相关概念●因素：影响研究对象的某一指标、变量。
●水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。
●单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。
单因素方差分析示例[1]例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。
下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。
现需要在显著性水平α = 0.05下检验这些百分比的均值有无显著的差异。
设各总体服从正态分布，且方差相同。
青霉素四环素链霉素红霉素氯霉素29. 627.35.821.629.224. 332.66.217.432.828. 530.811.18.325.32. 034.88.319.24.2在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。
假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。
这就是单因素试验。
试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。
即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。
这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题。
单因素方差分析的基本理论[1]与通常的统计推断问题一样，方差分析的任务也是先根据实际情况提出原假设H0与备择假设H1，然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。
本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。
在上例中，因素A（即抗生素）有s（=5）个水平，在每一个水平下进行了n j = 4次独立试验，得到如上表所示的结果。
这些结果是一个随机变量。
表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为,则按题意需检验假设不全相等为了便于讨论，现在引入总平均μ其中：再引入水平A j的效应δj显然有，δj表示水平A j下的总体平均值与总平均的差异。
体育统计学—单因素方差分析---(共六道练习题
体育统计学—单因素方差分析------（共六道练习题！）1、单因素方差分析实例1为探讨不同的训练方法对提高100m成绩的效果，现将64名初一男生随机分成4组，每组16人，进行4种不同方法的训练，一学期后，按统一测量方法进行测试，得到他们实验前后100m跑成绩的差数，问不同训练方法的效果是否存在显著性差异？一组: 0.3 0.20.0 0.10.4 0.2 0.3 0.5 0.40.3 0.10.0 -0.1 0.4 0.5 0.3二组: 0.4 0.30.1 0.20.4 0.6 0.5 0.2 0.30.4 0.60.30.5 0.2 0.1 0.5 三组: 0.2 0.00.1 0.4 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.0 -0.1 0.1 -0.20.3 0.1 0.2 0.1 四组: 0.1 0.1 -0.1 0.2 -0.1 0.2 0.0 0.3 0.20.1 0.1 -0.10.0 0.2 0.1 -0.12、单因素方差分析实例2在1990 年秋对“亚运会期间收看电视的时间”调查结果如下表所示。
问：收看电视的时间比平日减少了（第一组）、与平日无增减（第二组）、比平日增加了（第三组）的三组居民在“对亚运会的总态度得分”上有没有显著的差异？即要检验从“态度”上看，这三组居民的样本是取自同一总体还是取自不同的总体第一组: 42 41 42 42 43第二组: 39 40 40 41 40第三组: 43 44 43 45 453、单因素方差分析实例3某高原研究组将籍贯相同、年龄相同、身高体重接近的30名新战士随机分为三组，甲组为对照组，按常规训练，乙组为锻炼组，每天除常规训练外，接受中速长跑与健身操锻炼，丙组为药物组，除常规训练外，服用抗疲劳药物，一月后测定第一秒用力肺活量(L)，结果见表。
试比较三组第一秒用力肺活量有无差别。
对照组: 3.25 3.32 3.29 3.34 3.16 3.64 3.60 3.28 3.52 3.26锻炼组: 3.66 3.64 3.48 3.64 3.48 3.20 3.62 3.56 3.44 3.82药物组: 3.44 3.62 3.48 3.36 3.52 3.60 3.32 3.44 3.16 3.284、单因素方差分析实例4随机抽取某大学三个年级男生的共15人（每个年级5人）作为测试对象，测试他们的身高、体重、肺活量，求出肺活量体重指数。
方差分析实例详解
方差分析计算实例一、单因素方差分析二、双因素方差分析一、单因素方差分析（一）完全随机试验设计1、重复数相同（1）实例：不同浇水量对某蔬菜产量的影响试验，设置5个浇水量A、B、C、D、E；每个浇水量设置四个小区，小区采用完全随机试验设计；各小区产量见下表（单位：kg）（2）基本参数计算处理数k=5，重复数n=4220.0250.9750.485,11.143χχ==（3）方差同质性检验2220.0250.975,c χχχ≤≤五个处理的方差无显著差异平方和计算：（4）方差分析自由度计算：方差分析表：22222222/()/()(45.2869.5288.55108.48130.12)/4441.95/(45)1089.89t i ij SS T n x nk =−=++++−⨯=∑∑1107.051089.8917.16e T t SS SS SS =−=−=222222()/()16.6115.9531.11441.95/(45)1107.05T ijij SS x x nk =−=+++−⨯=∑∑1514t df k =−=−=(1)5(41)15e df k n =−=−=145119T df nk =−=⨯−=变异来源平方和自由度均方F 值F 0.05处理间1089.894272.47238.213.056误差17.1615 1.14总变异1107.0519F 值大于F 0.05，五个处理蔬菜产量平均值差异显著。
将五个处理小区产量平均值从大到小排列，采用字母标记法表示各均值间差异是否显著，均值间的差值大于LSD ，差异显著，标记不同的字母；均值间的差值小于LSD ，差异不显著，标记相同的字母。
标记字母时，第一个值标a ，用最大值减第二个值，差值若大于LSD 则标b ，差值若小于LSD 则标a ，再以最大值减第三个值，直到出现大于LSD 值，标记b ，再以该值为标准向上比较，若差值大于LSD 就停止比较，若小于LSD 值则在a 后面加上b ，直至出现差值大于LSD 就停止比较；再以最上面标记b 的均值为标准在向下比较；直到所有的平均值都标记字母。
第8章 单因素方差分析
第八章单因素方差分析8.1黄花蒿中所含的青蒿素是当前抗疟首选药物，研究不同播期对黄花蒿种子产量的影响，试验采用完全随机化设计，得到以下结果(kg/小区)[47]：重复播种期2月19日3月9日3月28日4月13日1 0.26 0.14 0.12 0.032 0.49 0.24 0.11 0.023 0.36 0.21 0.15 0.04对上述结果做方差分析。
答：所用程序及结果如下：options linesize=76 nodate;data mugwort;do date=1 to 4;do repetit=1 to 3;input yield @@;output;end;end;cards;0.26 0.49 0.360.14 0.24 0.210.12 0.11 0.150.03 0.02 0.04;run;proc anova;class date;model yield=date;means date/duncan;run;One-Way ANOVAAnalysis of Variance ProcedureClass Level InformationClass Levels ValuesDATE 4 1 2 3 4Number of observations in data set = 12One-Way ANOVAAnalysis of Variance ProcedureDependent Variable: YIELDSum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > F Model 3 0.18515833 0.06171944 14.99 0.0012 Error 8 0.03293333 0.00411667Corrected Total 11 0.21809167R-Square C.V. Root MSE YIELD Mean0.848993 35.48088 0.06416 0.18083DATE 3 0.18515833 0.06171944 14.99 0.0012One-Way ANOVAAnalysis of Variance ProcedureDuncan's Multiple Range Test for variable: YIELDNOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate, notthe experimentwise error rateAlpha= 0.05 df= 8 MSE= 0.004117Number of Means 2 3 4Critical Range .1208 .1259 .1287Means with the same letter are not significantly different.Duncan Grouping Mean N DATEA 0.37000 3 1B 0.19667 3 2BC B 0.12667 3 3CC 0.03000 3 4对于方差分析表中各项内容的含义，在“SAS程序及释义”部分已经做了详细解释，这里不再重复。
SPSS单因素方差分析案例
百度文库
1 单因素方差分析
步骤：
1.如图，进入单因素方差分析。
2.将“销售额”选入，“广告形式”选入。
3.将中的“广告形式”换成“地区”。
结果呈现：
表一广告形式对销售额的单因素方差分析结果
表二地区对销售额的单因素方差分析结果
分析：
1.如果仅仅考虑广告形式单个因素对销售额的影响，从“广告形式对销售额的单因素方差
分析结果”可以看出，统计量F对应的概率P-值为0.000，小于显著性水平a=0.05（a=0.01），所以，拒绝原假设，即，认为不同广告形式对销售额产生了显著的影响。
2.如果仅仅考虑地区单个因素对销售额的影响，从“地区对销售额的单因素方差分析结果”
可以看出，统计量F对应的概率P-值为0.000，小于显著性水平a=0.05(a=0.01),所以，拒绝原假设，即，认为不同地区对销售额产生了显著的影响。
3. 从上述两表可以看出，“广告形式对销售额的单因素方差分析结果”中的F值为13.483，“地区对销售额的单因素方差分析结果”中的F值为
4.062，而13.483>4.062，所以，如果从单因素考虑，广告形式对销售额的影响较地区有更明显的作用。
完整的单因素方差分析实例
单因素方差分析例题：
方差分析表
方差来源 因素 A 误差 e 总和
平方和 S
自由度 f
均方和 S
F值
70.4293 137.7374 208.1667
2 27 29
35.2147 5.1014
6.903
显著性 显著
单因素方差分析例题：
(4)多重比较：可以参考商务p648的追踪分析
n1 10 n2 9 n3 11 Se 1 1 ds12 ( )(r 1) F1 (r 1, n r ) n r n1 n2 137.7374 1 1 ( ) 2 F1 (2,27) ds23 ds13 27 10 9
理论准备方差齐性检验：
根据抽样数据，得到 的观测值b。 B 于是有： 若b 12 (r 1)，则拒绝H 0，认为r个正态总体的方差不全 相等。 若b 12 (r 1)，则接受H 0，认为r个正态总体的方差都相 等。
单因素方差分析例题：
菌型 A1 A2 A3 2 5 7 4 6 11 3 8 6 2 5 6
接种后存活日数 4 10 7 7 7 9 7 12 5 2 6 10 5 6 6 3 10 4
单因素方差分析例题：
(1)正态性检验 重排顺序统计量(由小到大)
顺序统计量 A1 A2 A3 2 5 3 2 5 5 2 6 6 3 6 6 4 6 6 4 7 7 4 8 7 5 10 9 7 12 10 10 11 7
W2
L2 2 ( x1i x1 ) 2
i 1 2 L1
W1
( x1i x1 ) 2
i 1
10
单因素方差分析例题：
(2)方差齐性检验
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单因素方差分析经典例题
单因素方差分析（AnalysisofVariance，简称ANOVA）是一种统计技术，可以用来确定两个或多个样本组（population）之间是否存在显著差异。
它可以用于研究不同课程在一类学生的表现，不同治疗方案的治疗效果，不同品牌的某一产品性能等等。
经典的单因素方差分析例题通常包括一组由测量数据组成的样本，这些样本可以分为若干组，每组由不同类型的数据组成，用来衡量变量之间的关系。
下面以一个三组数据的单因素方差分析为例，来介绍单因素方差分析的具体步骤。
首先，我们要说明需要分析的数据集。
本例中，数据集由三组数据组成，包括组1、组2和组3，它们的每组样本数目分别为10、15和20。
接下来，我们需要在数据集中定义一些变量，这些变量就是用来衡量两个或多个样本之间差异的指标，我们称之为“因变量”（dependent variables）。
在本例中，因变量可以是某种课程的平均成绩、某种药物的治疗效果或某种产品的性能指标等等。
最后，进行数据分析。
单因素方差分析的基本步骤包括一项假设检验，这项假设检验的目的是判断多组数据的方差是否相等，也就是要判断它们之间是否存在具有统计意义的差异。
如果存在某组数据的方差显著较大，那么就可以说它们之间存在显著差异。
如果多组数据的方差相等，那么就可以说它们之间没有显著差异。
最后，我们还要使用相关技术，如t检验或F检验，进一步确认多组数据之间是否存
在显著差异，以及它们之间差异的程度有多大。
综上，我们可以总结单因素方差分析的基本步骤：首先将数据集定义为不同的组别，然后在数据集中定义一些变量，最后使用假设检验和相关技术来判断多组数据之间是否存在显著差异。
此外，单因素方差分析还可以被用来分析数据的分布特征，包括正态分布、偏态分布和椭圆分布等等。
如果实验结果显示数据分布类型有显著差异，那么我们就可以认为多组样本之间存在显著差异。
总之，单因素方差分析是一种统计技术，可以用来衡量两个或多个样本之间的差异，做出有参考价值的判断。
它的具体步骤可以总结为：首先，将数据集定义为不同的组别；然后，在数据集中定义一些变量；最后，使用假设检验和相关技术来判断多组数据之间是否存在显著差异。
此外，它还可以用来分析数据的分布特征，判断多组样本之间是否存在显著差异。