2.4平面向量数量积的物理背景及其含义
解析：因为 a⊥(2a＋b)，所以 a· (2a＋b)＝0， 所以 2|a|2＋a· b＝0，即 2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
因为|b|＝4|a|，所以 2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0， 1 2 所以 cos〈a，b〉＝－ ，所以〈a，b〉＝ π. 2 3
练习：步步高P57例3，跟踪训练3
答案：1
类型 3 向量的夹角与垂直问题(误区警示) [典例 3] 在△ABC 中， 已知∠A＝120°， ∠B＝∠C → ·BC → ＋BC → ·CA → ＋CA → ·AB →＝ ＝30°，AB＝AC＝1，则AB ________． 易错提示：易失分点一：因为两个向量的夹角求错， 从而导致数量积计算结果错误；易失分点二：数量积的运
→ ＝(1，1)，DC → ＝(x＋1，y－4)， 则由AB x＋1＝1， x＝0， 得 解得 y－4＝1， y ＝5 ， 所以 C 点的坐标为(0，5)，
→ ＝(－2，4)，BD → ＝(－4，2)． 从而AC → |＝2 5，|BD → |＝2 5. 且|AC → ·BD → ＝8＋8＝16，设AC → 与BD → 的夹角为 θ， AC → ·BD → AC 16 4 则 cos θ＝ ＝ ＝ . → ||BD → | 20 5 |AC
算律应用不当而致误．
防范措施：在求以平面图形为背景的数量积问题时， 关键是求向量夹角，此时要注意让两个向量共始点才能 → 与BC → 的夹角是角 B 的补角 找准向量的夹角， 如本例中AB 而不是角 B.
[正确解答] 过 A 作 AD⊥BC， 垂足为 D， 如图所示． 因为 AB＝AC，所以 BC＝2BD＝2×AB×cos B＝ 3 2×1× ＝ 3. 2 → ·BC → ＝|AB → ||BC → |cos 法一：AB
2．已知 a 与 b 是相反向量，且|a|＝2，则 a· b＝( D ) A．2 B．－2 C． 4 D．－4
解析：由已知 a＝－b，所以 a· b＝a· (－a)＝－a2＝－|a|2＝－4.
π 3．已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角为 ，则 a 在 b 方向上的投影为( 3 3 3 3 2 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 π 3 解析：向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos ＝ . 3 2
1 解析：(1)因为 e1·e2＝ ， 2 1 所以|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝ ，所以〈e1，e2〉＝60°. 2 又因为 b· e1＝b· e2＝1>0，所以〈b，e1〉＝〈b，e2〉 ＝30°. 1 2 3 由 b· e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，所以|b|＝ ＝ . 3 3 2
练习：步步高P57例1，跟踪训练1
类型 2 与向量模有关的问题 [典例 2]平面向量 a 与 b 的夹角为 60°， |a|＝2， |b|＝1， 则|a＋2b|＝(B ) A. 3 B．2 3 C．4 D．12
利用 a· a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2
|a＋2b|＝
（a＋2b）2 ＝
2
a2＋4a· b＋4b2
[思考尝试· 夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．( × ) (2)两个向量的数量积是一个向量．( × ) (3)设向量 a 与 b 夹角为 θ， 则： cos θ >0⇔a· b>0.( √ ) (4)若 a· b.c＝b· a.c，则一定有 a＝c× .( )
1 解析：因为 a⊥b，a· b＝(4，－2)· (k，－1)＝4k＋2＝0，则 k＝－ . 2
5． 已知 a＝( 3， 1)， b＝(－ 3， 1)， 则向量 a， b 的夹角 θ＝________．
解析：cos θ＝
3×（－ 3）＋1×1 （ 3）2＋12
1 ＝－ ， 2 2 2 （－ 3） ＋1
2
＝ |a| ＋4|a||b|cos 60°＋4|b| ＝
1 4＋4×2×1× ＋4＝2 3. 2
练习1：步步高P57，例2，跟踪训练2
练习2：步步高P57，当堂训练2，3
[类型 3] 向量的夹角 已知非零向量 a，b 满足|b|＝4|a|，且 a⊥(2a＋b)，则 a 与 b 的夹角为( ) C π π 2π 5π A. B. C. D. 3 2 3 6
B
b
a
B1
A
数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 与 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
3．向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角． (1)a⊥b⇔a· b＝0． (2)当 a 与 b 同向时，a· b＝|a||b|． 当 a 与 b 反向时，a· b＝－|a||b|． (3)a· a＝|a|2 或|a|＝ a· a＝ a2. a· b (4)cos θ＝ . |a||b| (5)|a· b|≤|a||b|.
1 又因为|a|＝|b|＝1， 〈a，b〉＝60°，所以 t＋1－t＝0， 2 所以 t＝2.
练习：步步高P58，例2，跟踪训练2
类型 2
与向量模有关的问题
[典例 2] (1)(2015· 浙江卷)已知 e1，e2 是平面单位向 1 量，且 e1·e2＝ .若平面向量 b 满足 b· e1＝b· e2＝1，则|b| 2 ＝________．
（a·b）· c＝a(b· c)
（a·b）· c≠a(b· c)
练习：步步高P58，例1，跟踪训练1
2．向量数量积的运算应注意的几点 (1)θ 的范围为 0°≤θ ≤180°； (2)对于非零向量 a 和 b，a⊥b⇔a· b＝0； (3)a· b>0⇔θ 为锐角或零角，a· b<0⇔θ 为钝角或平角．
)
(2)若两个非零向量的夹角 θ 满足 cos θ<0， 则夹角 θ 一定是钝角． (
解析：(2)错误．如 a＝(－1，－1)，b＝(1，1)，则 cos θ＝－1<0，但 a 与 b 的夹角是 180°而并不是钝角．
)
→ |＝ 2.( (3)若 A(1，0)，B(0，－1)，则|AB
)
2.
→ |＝ （0－1）2＋（－1－0）2＝ (3)正确．由两点间的距离公式，得|AB
D
)
2 2. ． 4. 若向量 a 满足 a2＝8，则|a|＝________
解析：因为|a|2＝a2＝8，所以|a|＝2 2.
→· →＝ － 16 ． 5． 已知△ABC 中， BC＝4， AC＝8， ∠C＝60°， 则BC CA ________
→ 与CA → 夹角为角 C 的补角(图略)， 解析：画图可知向量BC 1 → → 故BC·CA＝BC·ACcos(π－C)＝4×8×－2＝－16.
2．4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义（2）
1．向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
实数 a，b，c a≠0，a·b＝0⇒b＝0 a·b＝b· c(b≠0)⇒a＝c |a·b|＝|a|· |b| 满足乘法结合律 向量 a，b，c a≠0，a· b＝0≠⇒ b＝0 a· b＝b· c(b≠0) ≠⇒ a＝c |a· b|≤|a|· |b| 不满足乘法结合律
2.三个重要公式(模、夹角) 2 2 x1 ＋y1 (1)向量模的公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝_________． (2)两点间的距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， → |＝ （x －x ）2＋（y －y ）2． 则|AB
2 1 2 1
(3)设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 夹角为 θ，则
(2)|a＋2b|＝
（a＋2b）2 ＝
a2＋4a· b＋4b2 1 4＋4×2×1× ＋4＝2 3. 2
＝ |a|2＋4|a||b|cos 60°＋4|b|2＝ 2 3 答案：(1) (2)B 3
[变式训练] 设向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，(a－ b)⊥c，|a|＝1，则|b|＝________． 解析：因为 a＋b＋c＝0，所以 c＝－(a＋b)． 因为(a－b)⊥c，所以 c· (a－b)＝0， 所以－(a＋b)· (a－b)＝0，所以 a2－b2＝0， 所以|b|＝|a|＝1.
x1x2＋y1y2 a· b cos θ＝ ＝ 2 2 2. |a|· |b| x2 1＋y1· x2＋y2
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(
解析：(1)错误．当 a＝0 或 b＝0 时，x1x2＋y1y2＝0.此时 a∥b.
2．已知 a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则 a· b＝( A．5 B．4 C．－2
) D．－1
解析：a· b＝(1，－1)· (2，3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.
3．若 a＝(－3，4)，则|a|＝________．
解析：因为 a＝(－3，4)，所以|a|＝ （－3）2＋42＝5.
4. 若 a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且 a⊥b，则 k＝________．
2．4 平面向量的数量积 2．4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义（1）
[知识提炼· 梳理] 1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
已知条件 向量 a，b 是非零向量，它们的夹角为 θ 定义 记法
数量 a||b|cos_θ 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)
a· b＝|a||b|cosθ
练习：步步高P59，例3，跟踪训练3
类型 1
向量数量积的运算
[典例 1] 已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c ＝t a＋(1－t)b.若 b· c＝0，则 t＝________．
解析： (2)法一：因为 b· c＝0， 所以 b· [t a＋(1－t)b]＝0，即 t a· b＋(1－t)· b2＝0，
平面向量数量积的物理背景及几何意义
向量的数量积运算类似于多项式运算
例2.已知 | a | 6,| b | 4, a与b夹角为60 , 求： (1)(a 2b) (a 3b)
(2) a 2b | .
解：（1）. (a 2b) (a 3b) a a b 6b a a b cos 6 b 72
A D C
答案：2；2；-4;4;-2;0.
例2 已知 a =(1,1), b =(2,0),求 a b。
解： a
2, b 2, 450
a b a b cos 2 2 cos 450 2
是非零向量， e 是与b 方向相同的 设 a、b 单位向量， 是a与e 的夹角，则 a b | a || b | cos (1)e a a e | a | cos (2)a b a b 0 判断垂直的又一条 件 B (3)当a与b 同向时，a b | a || b |; b
一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹 角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与 b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
交换律:
在实数中 ab=ba 在向量运算中
a b b a
(√ )
结合律： (ab)c=a(bc)
( ×) ( a) b (a b) a (b) ( √ )
(a b) c a c b c
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
(4)|a·b| ≤ |a||b|.
并证明第(4)条性质． 证明 |a·b|≤|a||b|. 设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cos θ. 两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝±1，θ＝0 或 π 时，取“＝”． 所以|a·b|≤|a||b|.
例如，|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则 a 在 b 方
向上的投影为 －1 ，b 在 a 方向上的投影为 －12 .
问题 2 向量 b 在 a 方向上的投影不是向量，而是数量，它的 符号取决于夹角 θ 的范围. θ 范围 θ 是锐角 θ 是直角 θ 是钝角
图形
符号 |b|cos θ > 0 |b|cos θ＝0 |b|cos θ < 0
3．数量积的几何意义 a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影_|b_|_c_o_s_θ_的乘积．
探究点一 平面向量数量积的含义 已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0.
问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所 做的功 W＝_|F_|_|s_|c_o_s__θ_＝_F_·s_.
问题 2 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．
对于两个非零向量 a 与 b. 当 θ∈__0_，___π2___时，a·b>0； 当__θ_＝__2π____时，a·b＝0，即 a⊥b； 当 θ∈__π2__，__π___时，a·b<0.
2.4平面向量数量积的物理背景及其含义
( 3 ) 若 a b 1 0 3 , 试 求 a 与 b 的 夹 角 . a b a b c o s 0 a b 20. 解 : ( 1 ) 当 a / / b 时 , 若 a 与 b 同 向 , 则 = 0 , ab 2 0 . a b a b c o s 1 8 0 若 a 与 b 反 向 , 则 = 1 8 0 ,
（3）运算中涉及到了哪些量？ 它们之间具有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ样的关系？
向 量 数 量 积 的 定 义
已知两个非零向量a 与b ，它们的 夹角为 θ，我们把数量| a| | b|cosθ叫做 a b . a 与b 的数量积（或内积）, 记作
a · b =| a
|| b
| cosθ
1、本节课的主要内容是什么？ 通过本节学习，掌握平面向量的数量积的 定义、重要性质、并能简单运用。 2、平面向量的数量积有哪些应用？ 求向量的夹角、模、判断位置关系。
１、教材Ｐ108 A组2、6； ２、预习平面向量数量积的运算律及应用．
将尝试练习中的(1)(2)(3)中的结论推广到一般向量， 你能归纳出什么结论？
设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , 则
向 量 数 量 积 的 性 质
( 1 ) ab a b 0 ( 2 ) 当 a 与 b 同 向 时 ， a b || a || b ; 当 a 与 b 反向时， a b | a || b |; 2 2 特别地： a |a | a a a |a |或 a ab (3 )c o s | a|| b |
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 天才是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水 成功=艰苦劳动+正确方法+少谈空话
人教版数学 平面向量数量积的物理背景及其含义 (共15张PPT)教育课件
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
迁安市第三中学 玄立莲
a
静心自学 (1)已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量 a•bcos叫
做向量a与b的数量积，记作a • b ，即 a•babcos (θ为a， b的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 问题1、向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？
数量积的结果是实数，数乘的结果是向量
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
高中数学必修四课件：2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(共23张)
4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc 得a=c.但是有 a b b c 不能得 a c 5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
但 (a b)c a(b c)
(3)(a b) c a c b c.
等式 (a b)c a(b c)是否成立？
不成立
例2.我们知道，对任意 a, b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2 , (a b)(a b) a类似的结论？
(1)(a
b)2
谢 谢 指 导 ！
2
a
2a
b
2
b;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
b.
例3.已知 a 6, b 4, a与b的夹角为60，求(a 2b) (a 3b)
变式：已知 a 3, b 4,且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
小结
向量的数量积计算时， 一要找准向量的模； 二要找准两个向量的夹角。
a b 以及判断三角形的形状
4. a b a b
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º， 求 ab 。
2.已知 a 12, b 9,
a b 54 2, 求 a 与 b 的夹角.
数量积的运算规律：
(1)a b b a;
(2)(a) b (a b) a (b);
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为零，即 a 0 0。
B
| OB1 || b | cos
(完整)2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (公开课使用)
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么 判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
功的概念： 如果一个物体受到力的作用，并且在力 的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是 什么量？在数学中F和S又是什么量？ 与这 两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解 ：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b
3,
高中数学备课拓展资料2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下:两个向量a与b的向量积是一个新的向量c:(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积;(2)c垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时,a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.图5向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ,则|a×b|=|a||b|sinθ.在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则a×b=0.向量的向量积服从以下运算律:(1)a×b=-b×a;(2)a×(b+c)=a×b+a×c;(3)(m a)×b=m(a×b).二、备用习题1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( )①|a·b|=|a||b|⇔a∥b②a与b反向⇔a·b=-|a||b|③a⊥b⇔|a+b|=|a-b| ④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|A.1B.2C.3D.42.有下列四个命题:①在△ABC中,若AB·BC>0,则△ABC是锐角三角形;②在△ABC中,若AB·BC>0,则△ABC为钝角三角形;③△ABC为直角三角形的充要条件是AB·BC=0;④△ABC为斜三角形的充要条件是AB·BC≠0.其中为真命题的是( )A.①B.②C.③D.④3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为( )3A.43B.4C.42D.8+24.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a·b)c-(c·a)b=0; ②|a|-|b|<|a-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直; ④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④5.在△ABC 中,设AB =b ,AC =c ,则22)(|)|(|c b c b ∙-等于( ) A.0 B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC6.设i ,j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________.7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·b+c ·a =_________.8.设|a |=3,|b |=4,a 与b 的夹角为150°,求:(1)(a -3b )·(2a +b );(2)|3a -4b |.9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3114337+.9.{λ|λ<68511--或λ>68511+-. 10.由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos 3π=1.∵m =2a +b ,∴m 2=4a 2+b 2+4a ·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21.又∵n =a -4b ,∴n 2=a 2+16b 2-8a ·b =4+16-8=12.∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |cos θ. ①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m |=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23cos θ,∴cos θ=147-,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为147-.。
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2
2
题2、 已知 a 6， b 4， a与b的夹角为60 ，
0
求(a＋2b) (a－3b)
题3、 已知 a 3， b 4，且a与b不共线.k为 何值时，向量 a k b与a k b互相垂直.
提高练习：
1、三角形ABC为正三角形，问：
(1) AB与 AC 夹角为 600 (2) AB与 BC 夹角为 1200 (3) AB在 AC 上的投影为 (4) AB在 BC 上的投影为
(3)a (b c) a b a c (分配律)
说明：向量数量积不满足消去律，
也就是说：
当a 0, a b a c时，不一定有b c.
巩固训练
题1、求证：
(1)(a b) a 2a b b
2
2
2
(2)(a b)(a b) a b
平面向量数量积 的物理背景及其 含义
一、向量数量积的物理背景
在物理课中，我们学过功的概念， 即如果一个物体在力 F 的作用下产生 位移 S ，那么力 F 所做的功
W F S cos
F
S
我们将功的运算类比到两个向量 的一种运算，得到向量“数量积”的 概念。
W F S cos
1 | AB | 2 1 | AB | 2
2、判断下列说法的正误，并说明理由
(1)在ABC中，若AB BC ＜0，则ABC是锐角。
假
(2)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是钝角。
真
(3)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是直角。
真
3、 已知 a 2, b 3, a与b的夹角为 120 (1)a b =-3 (5) a b
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4平面向量的数量积2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．知识点一 平面向量数量积的定义非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，特别地，零向量与任意向量的数量积等于0. 思考 若a ≠0，且a ·b ＝0，是否能推出b ＝0.答案 在实数中，若a ≠0，且a ·b ＝0，则b ＝0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ·b ＝0，不能推出b ＝0.因为其中cos θ有可能为0. 知识点二 平面向量数量积的几何意义 1．条件：向量a 与b 的夹角为θ. 2．投影3.a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 思考 向量a 在b 方向上的投影是向量吗？答案 a 在b 方向上的投影是一个数量(可正，可为0，可负)，不是向量．知识点三 平面向量数量积的性质设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ. 1．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.2．当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.3．a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .4．cos θ＝a·b|a||b|.5．|a·b|≤|a||b|.知识点四平面向量数量积的运算律1．a·b＝b·a(交换律)．2．(λa)·b＝λ·(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?答案不可以．已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.1．向量a 在向量b 上的投影一定是正数．( × ) 2．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．( × ) 3．向量的数量积运算满足(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 4．已知a ≠0，且a ·c ＝a ·b ，则b ＝c .( × )题型一 求两向量的数量积例1 已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.反思感悟 求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b .跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )． 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 解 (2a ＋3b )·(3a －2b ) ＝6a 2－4a ·b ＋9b ·a －6b 2 ＝6|a |2＋5a ·b －6|b |2＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.题型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |. 解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |22|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.反思感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方． 跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝3，且|a －b |＝2，求|a ＋b |. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 方法一 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1＋9－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝3. ∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋9＋2×3＝16，∴|a ＋b |＝4.方法二 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2， |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，∴|a －b |2＋|a ＋b |2＝2a 2＋2b 2＝2×1＋2×9＝20. 又|a －b |＝2，∴|a ＋b |2＝16，∴|a ＋b |＝4. 题型三 求向量的夹角例3 (1)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n2a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a ＋b 的夹角及a 与a －b 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 如图所示，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|， ∴四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ， 这时OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .由于|a |＝|b |＝|a ＋b |，即|OA →|＝|AC →|＝|OC →|， ∴∠AOC ＝60°，即a 与a ＋b 的夹角为60°.∵∠AOC ＝60°，∴∠AOB ＝120°， 又|OA →|＝|OB →|，∴∠OAB ＝30°， 即a 与a －b 的夹角为30°.反思感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b |a||b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b 的值及|a |，|b |的值，然后代入求解，也可以寻找|a |，|b |，a·b 三者之间的关系，然后代入求解．(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解． (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，求a 与b 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角解 ∵(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2－2|b |2＋a ·b ＝－2. |a |＝|b |＝2，∴a ·b ＝2， 设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.向量的夹角与垂直问题典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．答案 π3解析 设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a ·b －b 2＝7－2cos θ＝6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )， ①求向量a 与b 夹角的大小； ②求|a －2b |的值．解 ①设a 与b 的夹角为θ，由已知得(a ＋2b )·(3a －b )＝3a 2＋5a ·b －2b 2 ＝3＋10cos θ－8＝0，所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a 与b 的夹角为60°.②因为|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4＋16＝13，所以|a －2b |＝13.[素养评析] 向量既有大小又有方向，我们可以通过代数运算来求解夹角、模等，这正是数学核心素养数学运算的具体体现．1．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，则a·b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值答案 A解析 a·b ＝1×2×cos π3＝1，故选A.2．在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－2 2 D ．2 2 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 B解析 BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝2×2×cos 45°＝2.3．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 考点 向量的投影 题点 求向量的投影 答案 D解析 向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2.4．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.∴BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD → ＝BC →·CD →＋CD →2 ＝a ·a ·cos 60°＋a 2＝32a 2.5．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，若c ＝2a －b ，d ＝a ＋2b ， 求：(1)c ·d ；(2)|c ＋2d |. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 (1)c ·d ＝(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝2×4－2×1＋3×2×1×12＝9.(2)|c ＋2d |2＝(4a ＋3b )2＝16a 2＋9b 2＋24a ·b ＝16×4＋9×1＋24×2×1×12＝97，∴|c ＋2d |＝97.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)． 2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆． 3．求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. (2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b |b |.4．对于两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 5．求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.1．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 B解析 由|a |＝|b |＝|c |且a ＋b ＝c ，得|a ＋b |＝|b |，平方得|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|b |2⇒2a ·b ＝－|a |2⇒2|a |·|b |·cos θ＝－|a |2⇒cos θ＝－12⇒θ＝120°.2．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－6 3 D ．6 3 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 C3．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( ) A ．16 B ．256 C ．8 D ．64 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 A解析 ∵|2a ＋3b |2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝16＋144＋96＝256，∴|2a ＋3b |＝16. 4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 考点 向量的投影 题点 求向量的投影 答案 A解析 根据投影的定义，设a ，b 的夹角为θ，可得向量a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝a·b |b|＝－4，故选A.5．已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．－7B ．7C ．25D ．－25 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值解析 由条件知∠ABC ＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A ) ＝－20cos C －15cos A＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.6．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.7．在△ABC 中，AB ＝6，O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →等于( ) A. 6 B ．6 C ．12 D ．18 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 D解析 如图，过点O 作OD ⊥AB 于D ，可知AD ＝12AB ＝3，则AO →·AB →＝(AD →＋DO →)·AB →＝AD →·AB →＋DO →·AB →＝3×6＋0＝18，故选D.8．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －b －a |＝1，则|c |的取值范围为( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 A解析 如图所示，令OA →＝a ，OB →＝b ，OD →＝a ＋b ，OC →＝c ，则|OD →|＝ 2.又|c －b －a |＝1，所以点C 在以点D 为圆心、半径为1的圆上，易知当点C 与O ，D 共线时，|OC →|取到最值，最大值为2＋1，最小值为2－1，所以|c |的取值范围为[2－1，2＋1]．故选A. 二、填空题9．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 2 3 解析 方法一|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.10．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 －9211．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 等边三角形解析 AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，因为0°<∠BAC <180°，所以∠BAC ＝60°. 又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.则向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为________． 考点 向量的投影题点 求向量的投影 答案101313解析 (2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－3b 2－4a·b ＝4×16－3×9－4a·b ＝61，解得a·b ＝－6， ∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝16＋9－12＝13，a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝10， ∴|a ＋b |＝13，设a 与a ＋b 的夹角为θ，∴cos θ＝104×13＝5213，则a 在a ＋b 方向上的投影为|a |cos θ＝4×5213＝101313.三、解答题13．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，求AB 的长．考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 如图，由题意可知，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝－12AB →＋AD →.因为AC →·BE →＝1，所以(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝1， 即AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝1.①因为|AD →|＝1，∠BAD ＝60°， 所以①式可化为1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1.解得|AB →|＝0(舍去)或|AB →|＝12，所以AB 的长为12.14．(2018·吉林长春调研)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，∴a 与b 的夹角为45°. (2)|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝22，|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝102，设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝12102×22＝55.。