【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.5空间向量运算的坐标表示课件 新人教A版选修2-1
3．1.5 空间向量运算的坐标表示 ．
学习目标 1.理解空间向量坐标的概念， 会确定一些简单几何 理解空间向量坐标的概念， 理解空间向量坐标的概念 体的顶点坐标． 体的顶点坐标． 2． 掌握空间向量的坐标运算规律 ， 会判断两个向 ． 掌握空间向量的坐标运算规律， 量的共线或垂直． 量的共线或垂直． 3． 掌握空间向量的模 、 夹角公式和两点间距离公 ． 掌握空间向量的模、 式，并能运用这些知识解决一些相关问题． 并能运用这些知识解决一些相关问题．
1 1 1 → → 1 1 ∴EF·CF＝ × ＋(－ )× ＋－2×0＝0. － × ＝ 2 2 2 2 → → ∴EF⊥CF，即 EF⊥CF. ⊥ 1 → (2)由(1)知CE＝(0，－ ， )， ，－1， ， 由 知CE＝ ，－ 2 → ∴|CE|＝ ＝
12＝ 5. 0 ＋(－1) ＋ ) 2 2
→ → (2)∵a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)， ∵ ＝ ， ＝ － ， ，－4)． ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－ ． ＋ ＝ － ， ， － ＝ ＋ ， ，－ ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ＋ ⊥ － ， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0. ＋ － ＝ ，－4) 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－ － ， ＋ ， ，－ ＝2k2＋k－10＝0. － ＝ 5 解得 k＝2 或 k＝－ . ＝ ＝－ 2
的坐标为(11,4，－ ． ，－2)． ∴点 P 的坐标为 ，－
，
坐标形式下平行与垂直条件的应用 利用空间向量的坐标运算来解题， 利用空间向量的坐标运算来解题，要熟练掌握以 下两个常用的充要条件，若a＝(x1，y1，z1)，b＝ 下两个常用的充要条件， ＝ ， ＝ (x2 ， y2 ， z2)， 则 a∥ b⇔ x1 ＝ λx2 ， y1 ＝ λy2 ， z1 ＝ ， ∥ ⇔ λz2(λ∈R)；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. ∈ ； ⊥ ⇔
互动探究
将本例中条件“若向量ka＋ 与 － 将本例中条件“若向量 ＋b与ka－
2b互相垂直 ” 改为 “ 若向量 ＋ b与 a＋ kb互相 互相垂直” 改为“ 若向量ka＋ 与 ＋ 互相 互相垂直 平行” 其他条件不变， 的值． 平行”，其他条件不变，求k的值． 的值 解：a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， ＝－ ＋ － － ＝ ， b＝(－3＋2,0－0，4－2)＝(－1,0,2)， ＝－ ＋ － ， － ＝－ ， ∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， ＋ ＝ ， ＋－ ＝ － ， ， a＋kb＝(1,1,0)＋(－k,0,2k)＝(1－k,1,2k)， ＋ ＝ ＋－ ＝ － ，
证明： 【解】 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐 证明 标系 D-xyz， ， 0，0，1，C(0,1,0)， 则 D(0,0,0)，E ， ，2 ， ， 1，1，0，G1，1，1. ， ， F2 2 2 1 → 1 1 ∴EF＝2，2，－2， 1 → 1 CF＝ ，－ ，0. 2 2
例2 已知空间三点 A(－2,0,2)、 －1,1,2)、 － B(－ C(－ － 、 、
→ → 3,0,4)．设 a＝AB，b＝AC. ． ＝ ＝ → (1)若|c|＝3，c∥BC，求 c； 若 ＝ ， ∥ ； (2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k. 若 ＋ － 互相垂直，
思路点拨】 【 思路点拨 】 → → (1) 根据 与BC共线，设c＝λBC(λ∈R) 根据c与 共线， ＝ ∈ )
2 2
名师点评】 【名师点评】
在特殊的几何体中建立空间直
角坐标系时要充分利用几何体本身的特点， 角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以 使各点的坐标易求，利用向量解决几何问题， 使各点的坐标易求 ，利用向量解决几何问题， 可使复杂的线面关系的论证、 可使复杂的线面关系的论证 、角及距离的计算 变得简单． 变得简单．
课堂互动讲练
考点突破 空间向量的坐标运算 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐 求点的坐标时， 标 ． 求点的坐标时 ， 一定要注意向量的起点是否 在原点，在原点时,向量的坐标与终点坐标相同 向量的坐标与终点坐标相同； 在原点，在原点时 向量的坐标与终点坐标相同 ； 不在原点时， 不在原点时 ， 向量的坐标加上起点坐标才是终点 坐标． 坐标．
→ → → (1)AB－AC＝CB＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1， －－ ＝ ，
，－3)， ∴(x－2，y＋4，z－1)＝(9,8，－ ， － ， ＋ ，－ ＝ ，－ － ＝ ＝ x－2＝9 x＝11
＋ ＝ ＝ ∴y＋4＝8 ，解得y＝4 z－1＝－ z＝－ ＝－3 ＝－2 － ＝－ ＝－
2 x2＋y2 · x2＋y2 1 1 2
知新益能 1．空间向量的坐标运算 ． ， ＝ ， 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ＝ (1)a＋b＝_______________________ ； ＋ ＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a (2)a－b＝_______________________ ； － ＝ ( 1－b1，a2－b2，a3－b3) (3)λa＝________________ (λ∈R)； ＝ (λa1，λa2，λa3) ∈ ； (4)a·b＝________________； ＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ； a3＝λb3 (5)a∥b⇔________,________ ,_________ (λ∈R)； ∥ ⇔ a1＝λb1 a2＝λb2 ∈ ； (6)a⊥b⇔___________________； ⊥ ⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ；
问题探究
→ 1．在空间直角坐标系 Oxyz 中，向量 的坐标与向 ． 向量AB → → 的坐标相同．这一判断是否正确？ 量OB－OA的坐标相同．这一判断是否正确？
提示：正确． 提示：正确． 2．如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 ． 标运算之间的关系？ 标运算之间的关系？ 提示： 空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运 提示 ： 算类似， 仅多了一项竖坐标， 其法则与横、 算类似 ， 仅多了一项竖坐标 ， 其法则与横 、 纵坐 标一致． 标一致．
【解】 －4)， ， → ∴OP＝2(5,1，－ ＝(10,2，－ ， ，－4)＝ ，－8)， ，－ ，－ 的坐标为(10,2，－ ，－8)． ∴点 P 的坐标为(10,2，－8)． → (2)设 P(x，y，z)，则AP＝(x－2，y＋4，z－1)． 设 ， ， ， － ， ＋ ，－ ． → → ，－1)， ，－2,2)， 又AB＝(1,6，－ ，DC＝(－8，－ ，－ － ，－ ， → → ，－3)， ∴AB－DC＝(9,8，－ ， ，－
→ 根据模列出关系式 → 求λ → 求C 写出ka＋b， 写出 ＋ ， 利用垂直 (2) → → 求k 列关系式 列关系式 ka－2b的坐标 － 的坐标
→ → ，－1,2)且 c∥BC， 【解】 (1)∵BC＝(－2，－ ∵ － ，－ 且 ∥ → ，－λ， ， ∈ ∴设 c＝λBC＝(－2λ，－ ，2λ)，λ∈R. ＝ － ，－ ∴|c|＝ (－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3. ＝ ) ) ) ＝ 解得 λ＝±1. ＝ ∴c＝(－2，－ ＝ － ，－1,2)或 c＝(2,1，－ ． 或 ＝ ，－2)． ，－ ，－
3.1.5 空 间 向 量 运 算 的 坐 标 表 示 课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝ ＝ ， ＝ ， ＝ (x1±x2，y1±y2)；a·b＝x1x2＋y1y2；λa＝(λx1，λy1)(λ ； ＝ ＝ ∈R)；|a|＝ x2＋y2；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b ； ＝ 1 1 ∥ ⇔ ； ⊥ a·b ⇔ x1x2 ＋ y1y2 ＝ 0 ； cos 〈 a ， b 〉 ＝ ＝ |a||b| x1x2＋y1y2
k＝－ k＝1 ＝－1 ＝－ ＝ ，∴ 或 ， ＝－1 ＝－ ＝ λ＝1 λ＝－
利用向量的坐标表示求夹角和距离 利用空间直角坐标系解立体几何中的题， 利用空间直角坐标系解立体几何中的题 ， 需首 先建立空间直角坐标系， 选取图中有公共起点 先建立空间直角坐标系 ， 且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴； 且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴 ； 再 利用公式解决夹角、模等问题． 利用公式解决夹角、模等问题．
在棱长为1 如图 ， 在棱长为 的正方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ， E、 F、 G 、 、 分别是DD 的中点． 分别是 1、BD、BB1的中点． 、 (1)求证：EF⊥CF； 求证： ⊥ ； 求证 (2)求CE的长． 求 的长． 的长
例3
【思路点拨】 思路点拨】
建系
→ 确定所需点的坐标 → 求出相关向量的坐标 → 利用向量的夹角、距离公式求解 → 结论 利用向量的夹角、
∵ka＋b 与 a＋kb 平行， ＋ ＋ 平行， ∴ka＋b＝λ(a＋kb)(λ∈R)， ＋ ＝ ＋ ∈ ， 即(k－1，k,2)＝λ(1－k,1,2k)． － ， ＝ － ． k－1＝ (1－ ) k－1＝λ(1－k) ＝ ∴k＝λ·1 2＝λ·2k ＝ 的值为±1. ∴k 的值为
方法感悟 1．空间向量在几何中的应用 ． 有了向量的坐标表示，利用向量的平行、 有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定 几何中线线、线面的平行与垂直；利用向量长度公 几何中线线、线面的平行与垂直； 式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的 只需通过简单运算即可．在此处， 角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会 向量的工具性作用． 向量的工具性作用．
例1 知 O 为原点，A，B，C，D 四点的坐标分 为原点， ， ， ，
别为： A(2， －4,1)， B(3,2,0)， －2,1,4)， C(－ D(6,3,2)． 别为： ， － ， ， ， ． 的坐标． 求满足下列条件的点 P 的坐标． → → → → → → (1)OP＝2(AB－AC)；(2)AP＝3(AB－DC)． ； ． → → → → → 思路点拨】 坐标⇒ 【思路点拨】 (1)AB－AC＝CB⇒CB坐标⇒OP坐标 → → 坐标； ⇒点 P 坐标；(2)A，B，C，D 坐标⇒AB，DC坐标 ， ， ， 坐标⇒ → → → → → 的坐标⇒ 坐标⇒ 坐标⇒ ⇒AB－DC的坐标⇒3(AB－DC)坐标⇒AP坐标⇒点 P 坐标 坐标． 坐标．
学习目标 1.理解空间向量坐标的概念， 会确定一些简单几何 理解空间向量坐标的概念， 理解空间向量坐标的概念 体的顶点坐标． 体的顶点坐标． 2． 掌握空间向量的坐标运算规律 ， 会判断两个向 ． 掌握空间向量的坐标运算规律， 量的共线或垂直． 量的共线或垂直． 3． 掌握空间向量的模 、 夹角公式和两点间距离公 ． 掌握空间向量的模、 式，并能运用这些知识解决一些相关问题． 并能运用这些知识解决一些相关问题．
1 1 1 → → 1 1 ∴EF·CF＝ × ＋(－ )× ＋－2×0＝0. － × ＝ 2 2 2 2 → → ∴EF⊥CF，即 EF⊥CF. ⊥ 1 → (2)由(1)知CE＝(0，－ ， )， ，－1， ， 由 知CE＝ ，－ 2 → ∴|CE|＝ ＝
12＝ 5. 0 ＋(－1) ＋ ) 2 2
→ → (2)∵a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)， ∵ ＝ ， ＝ － ， ，－4)． ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－ ． ＋ ＝ － ， ， － ＝ ＋ ， ，－ ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ＋ ⊥ － ， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0. ＋ － ＝ ，－4) 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－ － ， ＋ ， ，－ ＝2k2＋k－10＝0. － ＝ 5 解得 k＝2 或 k＝－ . ＝ ＝－ 2
的坐标为(11,4，－ ． ，－2)． ∴点 P 的坐标为 ，－
，
坐标形式下平行与垂直条件的应用 利用空间向量的坐标运算来解题， 利用空间向量的坐标运算来解题，要熟练掌握以 下两个常用的充要条件，若a＝(x1，y1，z1)，b＝ 下两个常用的充要条件， ＝ ， ＝ (x2 ， y2 ， z2)， 则 a∥ b⇔ x1 ＝ λx2 ， y1 ＝ λy2 ， z1 ＝ ， ∥ ⇔ λz2(λ∈R)；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. ∈ ； ⊥ ⇔
互动探究
将本例中条件“若向量ka＋ 与 － 将本例中条件“若向量 ＋b与ka－
2b互相垂直 ” 改为 “ 若向量 ＋ b与 a＋ kb互相 互相垂直” 改为“ 若向量ka＋ 与 ＋ 互相 互相垂直 平行” 其他条件不变， 的值． 平行”，其他条件不变，求k的值． 的值 解：a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， ＝－ ＋ － － ＝ ， b＝(－3＋2,0－0，4－2)＝(－1,0,2)， ＝－ ＋ － ， － ＝－ ， ∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， ＋ ＝ ， ＋－ ＝ － ， ， a＋kb＝(1,1,0)＋(－k,0,2k)＝(1－k,1,2k)， ＋ ＝ ＋－ ＝ － ，
证明： 【解】 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐 证明 标系 D-xyz， ， 0，0，1，C(0,1,0)， 则 D(0,0,0)，E ， ，2 ， ， 1，1，0，G1，1，1. ， ， F2 2 2 1 → 1 1 ∴EF＝2，2，－2， 1 → 1 CF＝ ，－ ，0. 2 2
例2 已知空间三点 A(－2,0,2)、 －1,1,2)、 － B(－ C(－ － 、 、
→ → 3,0,4)．设 a＝AB，b＝AC. ． ＝ ＝ → (1)若|c|＝3，c∥BC，求 c； 若 ＝ ， ∥ ； (2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k. 若 ＋ － 互相垂直，
思路点拨】 【 思路点拨 】 → → (1) 根据 与BC共线，设c＝λBC(λ∈R) 根据c与 共线， ＝ ∈ )
2 2
名师点评】 【名师点评】
在特殊的几何体中建立空间直
角坐标系时要充分利用几何体本身的特点， 角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以 使各点的坐标易求，利用向量解决几何问题， 使各点的坐标易求 ，利用向量解决几何问题， 可使复杂的线面关系的论证、 可使复杂的线面关系的论证 、角及距离的计算 变得简单． 变得简单．
课堂互动讲练
考点突破 空间向量的坐标运算 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐 求点的坐标时， 标 ． 求点的坐标时 ， 一定要注意向量的起点是否 在原点，在原点时,向量的坐标与终点坐标相同 向量的坐标与终点坐标相同； 在原点，在原点时 向量的坐标与终点坐标相同 ； 不在原点时， 不在原点时 ， 向量的坐标加上起点坐标才是终点 坐标． 坐标．
→ → → (1)AB－AC＝CB＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1， －－ ＝ ，
，－3)， ∴(x－2，y＋4，z－1)＝(9,8，－ ， － ， ＋ ，－ ＝ ，－ － ＝ ＝ x－2＝9 x＝11
＋ ＝ ＝ ∴y＋4＝8 ，解得y＝4 z－1＝－ z＝－ ＝－3 ＝－2 － ＝－ ＝－
2 x2＋y2 · x2＋y2 1 1 2
知新益能 1．空间向量的坐标运算 ． ， ＝ ， 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ＝ (1)a＋b＝_______________________ ； ＋ ＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a (2)a－b＝_______________________ ； － ＝ ( 1－b1，a2－b2，a3－b3) (3)λa＝________________ (λ∈R)； ＝ (λa1，λa2，λa3) ∈ ； (4)a·b＝________________； ＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ； a3＝λb3 (5)a∥b⇔________,________ ,_________ (λ∈R)； ∥ ⇔ a1＝λb1 a2＝λb2 ∈ ； (6)a⊥b⇔___________________； ⊥ ⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ；
问题探究
→ 1．在空间直角坐标系 Oxyz 中，向量 的坐标与向 ． 向量AB → → 的坐标相同．这一判断是否正确？ 量OB－OA的坐标相同．这一判断是否正确？
提示：正确． 提示：正确． 2．如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 ． 标运算之间的关系？ 标运算之间的关系？ 提示： 空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运 提示 ： 算类似， 仅多了一项竖坐标， 其法则与横、 算类似 ， 仅多了一项竖坐标 ， 其法则与横 、 纵坐 标一致． 标一致．
【解】 －4)， ， → ∴OP＝2(5,1，－ ＝(10,2，－ ， ，－4)＝ ，－8)， ，－ ，－ 的坐标为(10,2，－ ，－8)． ∴点 P 的坐标为(10,2，－8)． → (2)设 P(x，y，z)，则AP＝(x－2，y＋4，z－1)． 设 ， ， ， － ， ＋ ，－ ． → → ，－1)， ，－2,2)， 又AB＝(1,6，－ ，DC＝(－8，－ ，－ － ，－ ， → → ，－3)， ∴AB－DC＝(9,8，－ ， ，－
→ 根据模列出关系式 → 求λ → 求C 写出ka＋b， 写出 ＋ ， 利用垂直 (2) → → 求k 列关系式 列关系式 ka－2b的坐标 － 的坐标
→ → ，－1,2)且 c∥BC， 【解】 (1)∵BC＝(－2，－ ∵ － ，－ 且 ∥ → ，－λ， ， ∈ ∴设 c＝λBC＝(－2λ，－ ，2λ)，λ∈R. ＝ － ，－ ∴|c|＝ (－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3. ＝ ) ) ) ＝ 解得 λ＝±1. ＝ ∴c＝(－2，－ ＝ － ，－1,2)或 c＝(2,1，－ ． 或 ＝ ，－2)． ，－ ，－
3.1.5 空 间 向 量 运 算 的 坐 标 表 示 课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝ ＝ ， ＝ ， ＝ (x1±x2，y1±y2)；a·b＝x1x2＋y1y2；λa＝(λx1，λy1)(λ ； ＝ ＝ ∈R)；|a|＝ x2＋y2；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b ； ＝ 1 1 ∥ ⇔ ； ⊥ a·b ⇔ x1x2 ＋ y1y2 ＝ 0 ； cos 〈 a ， b 〉 ＝ ＝ |a||b| x1x2＋y1y2
k＝－ k＝1 ＝－1 ＝－ ＝ ，∴ 或 ， ＝－1 ＝－ ＝ λ＝1 λ＝－
利用向量的坐标表示求夹角和距离 利用空间直角坐标系解立体几何中的题， 利用空间直角坐标系解立体几何中的题 ， 需首 先建立空间直角坐标系， 选取图中有公共起点 先建立空间直角坐标系 ， 且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴； 且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴 ； 再 利用公式解决夹角、模等问题． 利用公式解决夹角、模等问题．
在棱长为1 如图 ， 在棱长为 的正方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ， E、 F、 G 、 、 分别是DD 的中点． 分别是 1、BD、BB1的中点． 、 (1)求证：EF⊥CF； 求证： ⊥ ； 求证 (2)求CE的长． 求 的长． 的长
例3
【思路点拨】 思路点拨】
建系
→ 确定所需点的坐标 → 求出相关向量的坐标 → 利用向量的夹角、距离公式求解 → 结论 利用向量的夹角、
∵ka＋b 与 a＋kb 平行， ＋ ＋ 平行， ∴ka＋b＝λ(a＋kb)(λ∈R)， ＋ ＝ ＋ ∈ ， 即(k－1，k,2)＝λ(1－k,1,2k)． － ， ＝ － ． k－1＝ (1－ ) k－1＝λ(1－k) ＝ ∴k＝λ·1 2＝λ·2k ＝ 的值为±1. ∴k 的值为
方法感悟 1．空间向量在几何中的应用 ． 有了向量的坐标表示，利用向量的平行、 有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定 几何中线线、线面的平行与垂直；利用向量长度公 几何中线线、线面的平行与垂直； 式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的 只需通过简单运算即可．在此处， 角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会 向量的工具性作用． 向量的工具性作用．
例1 知 O 为原点，A，B，C，D 四点的坐标分 为原点， ， ， ，
别为： A(2， －4,1)， B(3,2,0)， －2,1,4)， C(－ D(6,3,2)． 别为： ， － ， ， ， ． 的坐标． 求满足下列条件的点 P 的坐标． → → → → → → (1)OP＝2(AB－AC)；(2)AP＝3(AB－DC)． ； ． → → → → → 思路点拨】 坐标⇒ 【思路点拨】 (1)AB－AC＝CB⇒CB坐标⇒OP坐标 → → 坐标； ⇒点 P 坐标；(2)A，B，C，D 坐标⇒AB，DC坐标 ， ， ， 坐标⇒ → → → → → 的坐标⇒ 坐标⇒ 坐标⇒ ⇒AB－DC的坐标⇒3(AB－DC)坐标⇒AP坐标⇒点 P 坐标 坐标． 坐标．
合集下载
3[1].1.5空间向量运算的坐标表示.ppt1
![3[1].1.5空间向量运算的坐标表示.ppt1](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/108d056ea45177232f60a2a8.webp)
3.1.5空间向量运算的坐标表示
冷水江市一中 孙祝梧
一．复习回顾
1．空间向量的基本定理： 若是{a, b, c} 空间的一个基底， p 是空间任意一向量，存在 p 唯一的实数组使． xa yb zc 2．平面向量的坐标表示及运算律：
(1)若 xi y j (i, j分别是x, y轴上同方向的两个单位向量) p 则p 的坐标为( x, y )
例4. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中E , F 分别是BB1 , CD的中点,
求证D1F 平面ADE
证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单 位长度,设 DA i, DC j, DD1 k 分别以 i, j , k 为坐标向量建立空间直 角坐标系 D xyz 则 D(0,0,0), A(1,0,0), D1 (0,0,1) 1 1 F (0, , 0), E (1,1, ) 2 2 1
3 B(1 , 1 , 0) , E1 1 , , 1 , 4
BB D E ， 例 3 如图， 正方体 ABCD A1 B1C 1 D1 中， F 分别是 1 ，1 B1 中点，求证： EF DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ， 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) ， F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ( , , ) ， 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ， 所以 DA1 (1 , 0 , 1) 1 1 1 所以 EF DA1 ( , , ) (1 , 0 , 1) 0 ， 2 2 2 因此 EF DA1 ，即 EF DA1
冷水江市一中 孙祝梧
一．复习回顾
1．空间向量的基本定理： 若是{a, b, c} 空间的一个基底， p 是空间任意一向量，存在 p 唯一的实数组使． xa yb zc 2．平面向量的坐标表示及运算律：
(1)若 xi y j (i, j分别是x, y轴上同方向的两个单位向量) p 则p 的坐标为( x, y )
例4. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中E , F 分别是BB1 , CD的中点,
求证D1F 平面ADE
证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单 位长度,设 DA i, DC j, DD1 k 分别以 i, j , k 为坐标向量建立空间直 角坐标系 D xyz 则 D(0,0,0), A(1,0,0), D1 (0,0,1) 1 1 F (0, , 0), E (1,1, ) 2 2 1
3 B(1 , 1 , 0) , E1 1 , , 1 , 4
BB D E ， 例 3 如图， 正方体 ABCD A1 B1C 1 D1 中， F 分别是 1 ，1 B1 中点，求证： EF DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ， 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) ， F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ( , , ) ， 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ， 所以 DA1 (1 , 0 , 1) 1 1 1 所以 EF DA1 ( , , ) (1 , 0 , 1) 0 ， 2 2 2 因此 EF DA1 ，即 EF DA1
人教版高中数学选修第三章-3.1.5空间向量运算的坐标表示ppt课件
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.
2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直. 3. 掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这 些 知识解决一些相关问题．
填要点、记疑点
1．空间向量的坐标运算 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝
探要点、究所然
探究点一 ：空间直角坐标系与空间向量的坐标表示
例1 设正四棱锥 S—P1P2P3P4 的所有棱长均为 2， 建立适当的空间直角坐标系， 求
→ 、P→ SP 1 2P3的坐标．
解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中 O 为底面正方 形的中心，P1P2⊥Oy 轴，P1P4⊥Ox 轴，SO 在 Oz 轴上．
反思与感悟
建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜．
向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意 向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时， 向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．
探要点、究所然
探究点一 ：空间直角坐标系与空间向量的坐标表示
→· → ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)· 则QA QB (2－λ，1－λ，2－2λ)
探要点、究所然
探究点一 ：空间直角坐标系与空间向量的坐标表示
＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10，
4 → → ∴当 λ＝3时，QA· QB取得最小值．
4 4 8 → → 4 又OQ＝λOP＝3(1,1,2)＝3，3，3.
(1)证明
建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0,0,0)，
高中数学3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示课件新人教A版选修2_1
【做一做 2-1】 在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知点 A 的坐标为 (-1,2,1),点 B 的坐标为(1,3,4),则( ) A. ������������ = (−1,2,1) B. ������������ = (1,3,4) C. ������������ = (2,1,3) D. ������������ = (−2, −1, −3) 解析:∵A(-1,2,1),B(1,3,4),∴ ������������ = (2,1,3).
������· ������ . |������||������|
空间两个向量平行与平面两个向量平行的表达式不一样,但实 质是一致的,即对应坐标成比例,且比值为 λ.空间两个向量垂直与平 面两个向量垂直公式类似.
空间向量的长度公式是计算向量的长度,其形式与平面向量的 长度公式一致,学习时可用类比的方法进行.它的几何意义是表示长 方体对角线的长度. 夹角公式可根据数量积的定义 a· b=|a||b|cos θ,结合空间向量的 数量积、空间向量的长度推出其范围为 0°≤θ≤180°. 空间两点间的距离公式是长度公式的推广.先根据向量的减法 推出向量������������的坐标表示,再用长度公式推出.
(7)|a|= ������· ������ = (8)cos<a,b>=
������· ������ |������||������|
2 2 2 ������1 + ������2 + ������3 ;
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
������1 ������1+������2 ������2+������3 ������3
题型一
题型二
题型三
题型四
空间向量的坐标运算 【例1】 已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2), (4,5,-1),(-2,2,3).求点P的坐标,使:
高中数学 3.1.5 空间向量运算的坐标表示课件 新人教A
2
答案：(1)× (2)√
(3)×
三、空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则 (1) AB (_a__2-_a__1,_b__2-_b__1,_c_2_-_c_1_). (2) dAB AB __(_a_2__a_1_)_2 __(_b_2___b_1)_2___(c_2___c_1)_2_. 思考：空间向量 AB 的坐标与点A和点B的坐标有何关系？ 提示：空间向量 AB 的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐 标，不能颠倒.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a∥b
a1 a2 a3 . b1 b2 b3
(
)
(2)任给向量a，b，都有a·b≤｜a｜｜b｜.( )
(3)空间两向量夹角的范围与异面直线所成角的范围相
同.( )
提示：(1)错误.当
a1 b1
【知识点拨】 1.关于空间向量运算的坐标表示的两点说明 (1)空间向量的加法、减法、数乘运算后依然是一个向量，其 结果还是向量的坐标形式. (2)空间中相等向量的坐标是相同的，在不同的坐标系中，同 一向量的坐标是不相同的.
2.关于空间向量坐标的求法 (1)空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两 端点的坐标. (2)通过空间向量间的坐标运算求得新向量的坐标. (3)给出条件求空间向量坐标的问题，可先设出向量的坐标， 然后通过建立方程组，解方程组求其坐标. (4)向量平移后其坐标不发生变化，变化的是向量的起点与终 点的坐标.
2.已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，-2，3)，B(2，1，
-1)，C(-1，0，3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使
答案：(1)× (2)√
(3)×
三、空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则 (1) AB (_a__2-_a__1,_b__2-_b__1,_c_2_-_c_1_). (2) dAB AB __(_a_2__a_1_)_2 __(_b_2___b_1)_2___(c_2___c_1)_2_. 思考：空间向量 AB 的坐标与点A和点B的坐标有何关系？ 提示：空间向量 AB 的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐 标，不能颠倒.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a∥b
a1 a2 a3 . b1 b2 b3
(
)
(2)任给向量a，b，都有a·b≤｜a｜｜b｜.( )
(3)空间两向量夹角的范围与异面直线所成角的范围相
同.( )
提示：(1)错误.当
a1 b1
【知识点拨】 1.关于空间向量运算的坐标表示的两点说明 (1)空间向量的加法、减法、数乘运算后依然是一个向量，其 结果还是向量的坐标形式. (2)空间中相等向量的坐标是相同的，在不同的坐标系中，同 一向量的坐标是不相同的.
2.关于空间向量坐标的求法 (1)空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两 端点的坐标. (2)通过空间向量间的坐标运算求得新向量的坐标. (3)给出条件求空间向量坐标的问题，可先设出向量的坐标， 然后通过建立方程组，解方程组求其坐标. (4)向量平移后其坐标不发生变化，变化的是向量的起点与终 点的坐标.
2.已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，-2，3)，B(2，1，
-1)，C(-1，0，3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使
人教A版高中数学选修2-1第三章3.1.5空间向量运算的坐标表示 课件(共23张PPT)
Hale Waihona Puke A1B1 4，AH
AA 1 4
，求证 D F 1与BH垂直。
D1
F1
C1
A1
E1 B1
D
H
O
A
x
Cy
B
课堂检测：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F 分别是BB1，D1B1的中点，求EF与DA1所成角。
90°
四、课堂小结：
1.基本知识： 空间向量运算的坐标表示
2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) λa=(λa1,λa2,λa3)
a•b=a1b1+a2b2+a3 b3.
a•b=a1b1+a2b2+a3b3.
设i,j,k为单位正交基底，
则a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k. 所以 利a•用b=向(a量1i+数a量2j+积a3的k)分•(b配1i律+b以2j+及b3k). i•i=j•j=k•k=1 i•j=j•k=i•k=0，
a//b a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，
设a=(a1,a2,a3),
ab/=/(b1,b2,ba3)=λ
ab1=λb1，ba2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
注意空间两向量平行与平面两向量平行的 表达式不一样，但实质上是一致的，即对 应坐标成比例，且比值为λ.
AA 1 4
，求证 D F 1与BH垂直。
D1
F1
C1
A1
E1 B1
D
H
O
A
x
Cy
B
课堂检测：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F 分别是BB1，D1B1的中点，求EF与DA1所成角。
90°
四、课堂小结：
1.基本知识： 空间向量运算的坐标表示
2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) λa=(λa1,λa2,λa3)
a•b=a1b1+a2b2+a3 b3.
a•b=a1b1+a2b2+a3b3.
设i,j,k为单位正交基底，
则a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k. 所以 利a•用b=向(a量1i+数a量2j+积a3的k)分•(b配1i律+b以2j+及b3k). i•i=j•j=k•k=1 i•j=j•k=i•k=0，
a//b a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，
设a=(a1,a2,a3),
ab/=/(b1,b2,ba3)=λ
ab1=λb1，ba2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
注意空间两向量平行与平面两向量平行的 表达式不一样，但实质上是一致的，即对 应坐标成比例，且比值为λ.
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示课件新人教A版选修21
在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝ 90°，D 为 BB1 的中点，则异面直线 C1D 与 A1C 所成角的余弦值为( )
A．
10 5
B．2 7 5
C．
15 15
D．
10 15
第十五页，共52页。
【解析】 建系如图，则 C1(0，1，2)，D(1，0，1)，A1(0，0，2)， C(0，1，0)．
【精彩点拨】 (1)已知两点的坐标，怎样表示由这两点构成的向量的 坐标？(2)向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则是怎样的？
第十八页，共52页。
【自主解答】 由于 A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2， －1，－2)，所以 p＝A→B＝(2，1，3)，q＝C→D＝(2，0，－6)．
第二十七页，共52页。
向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用 平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：(1) 适当引入参数(比如向量 a，b 平行，可设 a＝λb)，建立关于参数的方程；(2) 最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
第二十八页，共52页。
(1)A→B＝_____(_a_2_－_a_1_，__b_2－__b_1_，_c_2_－__c_1)______； (2)dAB＝|A→B|＝_____（__a_2－__a_1_）__2_＋__（__b_2－__b_1_）__2＋__（__c_2_－__c_1）__2_____．
第十四页，共52页。
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à
à
课件6:3.1.5 空间向量运算的坐标表示
点坐标减去起点坐标.
2.空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加法或
减法运算,最后进行数量积运算,先算括号里,后算括号外.
3.空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样,应注意
一些计算公式的应用,例如,
b+b2;
(1)(a+b)2=a2+2a·
b+b2;
(2)(a-b)2=a2-2a·
答案:3 2
·
1×0-3×4+2 2× 2 4
=
=- .
||||
3 2·
3 2
9
4
9
;a 与 b 夹角的余弦值等
首 页
探究一
探究二
探究三
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCEI
探究四
空间向量的坐标运算
1.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终
答案:5
.
首 页
探究一
探究二
探究三
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCEI
探究四
空间向量夹角与模的计算
1.空间两点间的距离(线段长度)的求法.
空间两点可以确定一个向量,通过求向量的模或根据两点间的距离公
式求出两点间的距离.
b=0⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0.
练一练 2
若空间向量 a=(1,λ,3),b=(λ,4,λ+4),若 a∥b,则 λ=
2.空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加法或
减法运算,最后进行数量积运算,先算括号里,后算括号外.
3.空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样,应注意
一些计算公式的应用,例如,
b+b2;
(1)(a+b)2=a2+2a·
b+b2;
(2)(a-b)2=a2-2a·
答案:3 2
·
1×0-3×4+2 2× 2 4
=
=- .
||||
3 2·
3 2
9
4
9
;a 与 b 夹角的余弦值等
首 页
探究一
探究二
探究三
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCEI
探究四
空间向量的坐标运算
1.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终
答案:5
.
首 页
探究一
探究二
探究三
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCEI
探究四
空间向量夹角与模的计算
1.空间两点间的距离(线段长度)的求法.
空间两点可以确定一个向量,通过求向量的模或根据两点间的距离公
式求出两点间的距离.
b=0⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0.
练一练 2
若空间向量 a=(1,λ,3),b=(λ,4,λ+4),若 a∥b,则 λ=
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量
空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量运算
坐标表示
a＋b a－b
λa a·b
__(_a_1_＋__b_1，__a_2_＋__b_2_，__a_3＋__b_3_)_____ _(_a_1_－__b_1，__a_2_－__b_2_，__a_3－__b_3_)_ _(λ_a_1_，__λ_a_2，__λ_a_3_)____ __a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3__
合作探究 课堂互动
空间向量的坐标运算
已知a＝(－2,0，－5)，b＝(3,2，－1)，求下列各 式的值：
(1)a·a； (2)|b|； (3)(3a＋2b)·(a－b)． 思路点拨： 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的 加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标 乘积的和．
(1)a·a＝a2＝(－2)2＋02＋(－5)2＝29； (2)|b|＝ b2＝ 32＋22＋－12＝ 14； (3)方法一：3a＋2b＝3(－2,0，－5)＋2(3,2，－1)＝(0,4， －17)，a－b＝(－2,0，－5)－(3,2，－1)＝(－5，－2，－4)， 所以(3a＋2b)·(a－b)＝(0,4，－17)·(－5，－2，－4)＝ 0×(－5)＋4×(－2)＋(－17)×(－4)＝60.
解析： (1)2a＋3b＝(4,2,12)＋(－24，－9,6) ＝(－20，－7,18)． (2)3a－4b＝3(2,1,6)－4(－8，－3,2) ＝(6,3,18)－(－32，－12,8) ＝(38,15,10)． (3)12b·a＝12(－8，－3,2)·(2,1,6) ＝－4，－32，1·(2,1,6)＝－8－32＋6＝－72.
课件2：3.1.5空间向量运算的坐标表示
4．用坐标运算解决几何问题时，先建系，确定相关 点的坐标，找出题设条件与结论对应的向量，再依据相关 关系进行运算，最后翻译为几何关系得出结论．
5．已知两向量夹角为锐角或钝角，求参数取值范围 时，要注意共线的情形．
巩固训练
一、选择题
1．设 M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若O→M＝A→B，则点 B 应为( )
3．运用空间向量解决立体几何问题，先要考察原图形是否方便 建立直角坐标系，将问题中涉及的点、线(向量)、面(向量的线性组 合)用坐标表示，如果容易表示则先建系，将点用坐标表示出来，然 后，利用垂直、平行、共面的条件通过向量运算推证有关结论，利 用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角，最后将计算 的结果转化为几何结论；当图形中的点不方便用坐标表示时，可直 接设出向量的基底，将各条件、结论中涉及的向量表示为基底的线 性组合，再运用向量线性运算及内积运算的规则进行推理、计算最 后转化为相应几何结论．
出证明．
[错解](1)取 A 为坐标原点，AB，AC，AP 所在直线分别为 x、 y、z 轴建立空间直角坐标系，设 PA＝1，则 P(0,0,1)，B(2,0,0)， O(0,2,0)，C(2,2,0)，E(2,1,0)， ∴P→E＝(2,1，－1)，A→D＝(0,2,0)， ∴P→E·A→D＝2≠0， ∴PE 与 AD 不垂直．
[解析] ∵a·b＝2k，|a|＝ 13，|b|＝ k2＋9， ∴cos120°＝ 13×2kk2＋9， ∴k＝－ 39.
[答案]
2 arccos5
6 2
[解析]以 A 为原点 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 直角坐标系，设正方体棱长为 1，则
E0，12，1，F1，0，21，∴A→E＝0，12，1，A→F＝1，0，12，
3.1.5空间向量运算的坐标表示课件人教新课标
a12 a22 a32 b12 b22 b32
课堂练习
1. 已知 ABCD,顶点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2). 则顶点D的坐标为 (1,-1,2) .
2. 在Rt ABC中,∠BAC=90°,A(2,1,1),B(1,1,2), C(x,0,1),则x= 2 .
3. 点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)，则 ABC的形 状是( C ).
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
4.正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，点M分AC'
的比为1/2，N为BB'的中点，则|MN|为( A ).
A. 21a 6
B. 6 a 6
C. 15 a 6
D. 15 a 3
5.已知两点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2)，点Q在OP上 运动，求当OA•OB取得最小值时，点Q的坐标.
设a=(a1,a2),b=(b1,b2) 则a+b=(a1+b1,a2+b2)
a-b=(a1-b1,a2-b2)
λa=(λa1,λa2)
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) λa=(λa1,λa2,λa3)
| b | b12 b22 b32
cos a,b
a1b1 a2b2 a3b3
a12 a22 a32 b12 b22 b32
注意
cos<a,b>的范围[0º,180º]， 当夹角为0º或180º时，两向量平行； 当夹角为90º时，两向量垂直；