选修2-1第三章空间向量与立体几何教案(精品资料)1[1][1].part1(12)精选教学PPT课件
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量. n 给定一点 A 和一个向量 , 那么 l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 完全确定的. n
A
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m 是与平面平行或在平面 内，则有 n m 0
2
), sin
au a u
；
二面角 ─l ─ 的大小为 ( 0 ≤ ≤ ), cos
uv u v
10
.
画出图形意会
以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.
练习 1.已知两点 A( 1 ， 2，) 3 ,（ B 2， 1， 3 ）,求直线 AB 与坐 标平面 yOz 的交点. 2. 已知两点 A , 点 Q 在 OP （， 1 2， 3 ）,（ B 2， 1， 2 ）,（， P 1 1， 2 ） 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标. 3.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求证： DB1 是平 面 ACD1 的一个法向量.
2
(课本第 111 页)思考 1： 怎样用向量来表示点、 直线、 平面在空间中的位置？ ⑴点 在空间中，我们取一定点 O 作为基点， 那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量
OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向 量. P ⑵直线 P 空间中任 意一条直线 l a 的位置可以由 l 上一个定点 O A 以及一个定 B 方向确定. A
⊥ u ⊥ v u v 0.
画出图形意会
9
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤
2
), cos
ab a b
；
直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤
n (4, 3,6)
作业:课本 P
113
练习 1,2
16
问题:如何求平面的法向量?
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程
11
1答案
2答案
3答案
练习 1.已知两点 A( 1 ， 2，) 3 ,（ B 2， 1， 3 ）,, 求直线 AB 与坐标平面 yOz 的交点.
解:设直线 AB 与 yOz 平面的交点为 C (0, y1 , y2 )
由OC （ 1 t） OA tOB得 (0, y1 , z1 )（ 1 t） (1, 2, 3) t (2,1, 3) （ 0, y1 , z1 ） (1 t， 2 3t， 3 6t） OC （0， 5， 9 ）
课外思考:已知不共线的三点坐标 ,如何求经过这 三点的平面的一个法向量? 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一 个法向量.
作业:课本 P
113
练习 1,2
15
课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这 三点的平面的一个法向量? 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一 个法向量.
n a 0 组 n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
17
小时候，我可以在母亲的背上无忧无虑的长大，是母亲编织了女儿的梦，点燃了心中那盏灯，伴我走过人生那坎坷的路程。 我想不起病重的母亲是怎样背着我走路，我是怎样在母亲背上长大，可想而知，有病的母亲比健康的人更艰难。是母亲让我学会了人之初，做人做事的道理。当时我不懂母亲的心，她的爱她的温柔，她的关怀和牵挂，不懂事的我在母亲的包容下慢慢地长大，当我知道 和读懂母亲的时候，母亲含着眼泪，带着多少担忧与牵挂永远的离开了我。 我唯一的靠山倒了，但是母亲教会了我在逆境中学会坚强，勇敢地面对困难和失败，适应任何环境而求生存，这就是我的母亲留给我的无比珍贵的财富和爱。 母亲虽然走了，可她永远活在我的心里，我永远怀念她，她是我地唯一，无人取代，也是我的最爱，更是难忘的爱！ 我想不起小姨妈在母亲有病的时候是怎样抱着我，还是背着我，我不知道，从小姨妈对那段往事的回忆中，我才知道别人对她的冷眼，天寒地冷的无奈…… 我才知道她的棉衣前襟是明亮发光的，而且经常是湿地；才知道烧无烟煤时熏黑了的脸上那双有黑有大的眼睛的明亮。那时候小姨妈只有十六岁，一个失去父母关爱的小女孩，能在姐姐病重的时候撑起一个家，还带着一个不满周岁的孩子，可想而知，这是多么不容易 的事，每当小姨妈讲起那段往事，我就想起那苦难无助地童年，小姨妈无私的爱，让我永远难忘。小姨妈的人生很苦，很少有人去关她，可是她却为我们这些没有母爱的孩子现出了她的青春和所有的爱。 我母亲去世后小姨妈也经常照顾我，关心我。她不但关爱我，还有我的三姨家兄弟妹们。还在我母亲没有去世时，我的三姨妈由于有病去世了，留下四个孩子，最小的才两岁，她为了照顾这四个孩子，就和我三姨父结婚，把他们养大成人，现在孩子们都有了自己的家， 可是小姨妈由于劳累过度，而病倒了，现在病在床上不能自理，当我今年回家看到小姨妈时，我很惭愧，她为我们付出的太多了，可我们又给了她什么，她看到我时那含泪的笑容，我才体会到母爱的无私和伟大，也许她不求我们什么，能常回家看看足矣，可我们却做不到， 当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。 我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔· 泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不 到！” 猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经尽力而为了呀！” 再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？” 兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！” 泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出《圣经· 马太福音》中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会。 《圣经· 马太福音》中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。 几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。 泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？” 这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔· 盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔· 盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
平行
垂直 夹角
7
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行
l ∥ a u a u 0 ；
立体几何中的向量方法(一)
引入
知识要点
方向向量、 法向量的运 用思考 本课小结
练习
作业:课本 P
113
练习 1,2
1
立体几何中的向量方法(一) 前面,我们把 推广到 平面向量 空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
DB1 AC 0 ，所以 DB1 AC ,
同理 DB1 AD1 又因为 AD1
AC A
所 以 DB1 平 面 ACD , 从 而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
14
学习小结: 本节课主要是认识了直线的方向向量及 平面的法向量的概念 , 这两个向量是运用向 量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问 题必要的条件.
6
(课本第 113 页)思考 2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的 方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关 系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向 量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及 它们二面角的大小吗？
13
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2答案
练习 3⑴.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 , E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,求证: D1F 平面ADE .
证明: 设正方体的棱长为1,
1 则 AD ( 1, 0, 0), D1 F (0, , 1), 1 2 AD D1 F ( 1, 0, 0) (0, , 1) 0. 2 1
3.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , ⑴已知 (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为______________; ⑵ Rt △ ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , 2 C ( x,0,1) ,则 x ____; ⑶已知 A(3,5, 7) , B(2,4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为_______. 101
5
练习 3: ⑴在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 ,
E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,
D1 A1 D A F B B1 E
C1
求证: D1F 平面ADE .
C
⑵如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是 B1D1 的中点， 求证：B1C∥面 ODC1.
6
1答案
x
OP ( x, y, z ) P( x, y, z )
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) 2
空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 而且也类似于平面向量可以用坐标 来进行各种运算及进行有关判断. 如: 1.长度的计算
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则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
3
练习 1:已知 OE 是以 OA、OB 、OC 为棱的平行六面
体 OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ABC 的重心.
是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③ 注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,
即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
7
思考2
思考 2(课本 P95 思考) 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
a
、b（
b
≠
0
），
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?
•l
注:非零向量 a 叫做
A•
P
直线 l 的方向向量.
a
思考
2
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
学习共面
5
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)
高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。
三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。
5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
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MN=(
O
M
).
(A)
1 2
a
－2
3
b
+
1 2
c
(B)－
2 3
a
+
1 2
b+
1 2
c
A
C N
(C)
1 2
a
+
12b －
23 c
B
(D)
2 3
a
+
2 3
b
－
1 2
c
例3
10
例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD , 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
表示向量 OG
O
解：在△OMG中，
M
OG
OM
MG
1 2
OA
2 3
MN
C
G
A
N
1 OA 2 (ON OM )
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如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n .
A1
B1
则 A1H 为所求相对两个面之间的距离.
D
由 A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1 A H
C B
可证得H 在 AC上.
2
AC
( AB
BC )2
11
2cos 60
3
AC
3
AA1 AC AA1 (AB BC) AA1 AB AA1 BC cos60 cos60 1.
cos A1 AC
|
AA1 AA1 |
AC | AC
|
1 3
sin A1 AC
6 几何分析 3 加向量运算
A1H AA1 sin A1 AC
6 ∴所求的距离是 6 . 妙!妙!妙!
3
3
能否用法向量运算求解呢?
几何法较难,如何用向量知识求点到平面的距离?2
如何用向量法求点到平面的距离：
A O
∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
选修2-1第三章-空间向量与立体几何全章教案
§3.1 空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。
在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。
【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。
'【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件babD BAOC三．类比推广、探求新知（2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四边形法则，同样对于空间任意两个向量b a ,都看作同一平面内的向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：）如图，可以从空间任意一点O 出发作b OB a OA ==,，并且从A 出发作b AC =，则BA b a OC b a =-=+,.babD BACOC探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？ 探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？ （1） 思考《选2-1》课本P92探究题归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。
例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。
(如图) —让学生知道，数学中研究的向量是自由向量，与向量的起点无关，这是数学中向量与物理中矢量的最大区别。
空间三个或更多的向量相加，不能同时将这些向量都用同一个平面上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。
【数学课件】选修2-1第三章空间向量与立体几何教案(精品资料)1[1][1].part1(4)
• •l BP
实数 t R, 使 OP OA t AB .
O
2.空间一点 P 位于平面 ABC 上的充要条件是
___唯___一__有__序___实__数__对___(_x_,_y__) _,使___A__P____x_A__B____y_A__C__._.
或对空间任意一点 O,
空间向量及其运算(四)共线与共面分析
复习引入
空间向量 基本定理
例1
例2
课外补充 练习
作业:课本 P107 B 组第 2 题
1
空间向量及其运算(四)共线与共面分析
上一节,我们发现:
1.空间一点 P 在直线 AB 上的充要条件是
___唯___一__实__数___t___R__,_使___A_P____t__A__B_.
②平面AC//平面EG。
证明：②EF OF OE kOB kOA O
一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC
可变形为 OP (1 y z)OA yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA)
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A、B 、C ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP m AB nAC
∴OP OA m(OB OA) n(OC OA)∴OP (1 m n)OA mOB nOC
∵ OP xOA yOB zOC .
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案(精品资料)1[1][1].part1(16)精选教学PPT课件
解：以点C为坐标原点建立空间
直角坐标系C xyz 如图所示，
设
C1 C1
1则
1
A(1,0,0), B(0,1,0),
1
所F1(以2 ：,0,1)1, D1
(
2
,
2
,1)
11
AA11
AA
z FF11C1
C1 D1 D1
C
C
BB11
BB y
AF1 ( 2 ,0,1) , BD1
|
cos
A(0,0 , 0), B(0,1, 0) ,C(
3 , 1 , 0) 22
设 F1 方向上的单位向量坐标为(x, y , z) ，
由于 F1 与 AB , AC 的夹角均为 60 ，
∴
cos
60
1 (x, y , z)( 2
3 , 1 , 0)① 22
又∵ x2 y2 z2 1 ③
S
AD 1 ,求平面 SCD 与平面 SBA 所成的 2
锐二面角的余弦值.
B AD
作业:自学课本 P118 例 4
1答案 2答案
B1
B
C
11
练习 1:
三棱柱 ABC ─A1B1C1 中, BCA 90 , BC CA CC1 , E 、F
分别是棱 A1B1 、A1C1 的中点,求 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值.
6,BD＝8,求CD的长.
分析:要求 CD 的长可以转化为求 CD 的模的大小.
C
B
A
D
怎么求 CD 呢? 显然直接求 CD 出不来,这时可以
结合图形发现 CD 用其他已知向量来表示的关系式,从
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案(精品资料)1[1][1].part1(5)数学课件PPT
90─100
7
80─90
3
陈柏佑 126 8 李汝苏 125 10
70─80
2
60─70
0
黄振华 123 11 利家骥 123 11
60 分以下 0
最低分
73
利英铭 122 13
3
5. 过点(-1,1)且与抛物线 y2 x 只有一个公共点的直线有
则
1 p
1ห้องสมุดไป่ตู้q
等于(C
)
(A)2a
(B) 1 2a
(C) 4a
(D) 4 a
注意: y ax2 (a>0)不是抛物线的标准方程
数形结合分析
如果直接法困难,可考虑特殊值法
7
11. 已知方程 x2 y2 1 表示的曲线是焦点在 x 轴 9k 5k
上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 (5, 7) .
10
19. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2 上异 于坐标原点Ｏ的两不同动点 A、B 满足 AO BO （如图所示）, AOB 的面积是否存在最小值？若 存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
贵在有方法尝试
11
20. 设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的 准线上，且 BC∥x 轴,证明直线 AC 经过原点 O （2001 年全国高考数学试题）
140─150 0
阮永顺 104 4
130─140 0 120─130 0 110─120 3 100─110 9
刘建东 103 5 莫冠垒 103 5 林仕强 102 7 陈发成 101 8
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案1.
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案课题：平面向量知识复习教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备教学重点：平面向量的基础知识教学难点：运用向量知识解决具体问题教学过程：一、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
二、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21, e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, λλ，使a =；注意 (21OB OA OP +=, OA OA OP 1(λλ-+=的几何意义3、两个向量平行的充要条件：⑴ //a b的充要条件是：；（向量表示）⑵若 , (, , (2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是：；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件：⑴ a b ⊥的充要条件是：；（向量表示）⑵若 , (, , (2211y x b y x a ==，则a b ⊥的充要条件是：；（坐标表示）三、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC ·(OB +OC －2OA =0，则∆ABC 是（）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（）A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（） A ．15B． C ． 14D ．165．O 是平面上一定点, A,B,C 是平面上不共线的三个点, 动点P 满足OA OP =+ +λ，, 0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的(A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．设平面向量a =(－2，1 ，b =(λ，-1 ，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A ． , 2( 2, 21(+∞-B ．, 2(+∞C ． , 21(+∞-D ． 21, (--∞7．若((, 0,7, 4, 3, 2=+-==c a b a 方向在则b c 上的投影为8．向量(,1, (4,5, (,10 O A k O B O C k ===-，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝．9．在直角坐标系xoy 中，已知点A(0,1和点B(-3,4，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC |=2,则OC = 10．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM =2，则(OC OB OA +∙的最小值是__________。