模糊划分的一个新定义及其应用

c
6 ( 2) Cr ( ui ) 越接近 1, 聚类效果越好。即: 可以取其平均 V ( u ) = Cr ( ui ) c 作为 F CM 算 i= 1
法的聚类有效性函数, 当 V ( u ) 达到最大值时, F CM 算法聚类效果最佳。以后 V ( u ) 称为模
糊划分 u 的平均清晰度, 在下文中将用具体数据对它的有效性进行检验。
Px
I
X, A i( x ) [
iI I1
6 A i ( x ) , 显然有如下两种情形:
i I I2
( 1) I 1 H I 2= § 令 Ic2= I \ I 1, 显然: I 2 < Ic2,
则 6 A i ( x ) [ 6 A i ( x ) [ 6 A i ( x ) , 由于 P i I I , v x I X , 满足 A i ( x ) > 015, 故
1 模糊划分的新定义
通常认为一个划分代表的是一组截然不同的概念, 论域 X 上的一模糊集合族 R= ( A i | i I I ) 叫做 X 的一个模糊划分, 当且仅当
( 211) P § X I 1, I 2 A I ; G A i A G A i ] I 1 A I 2;
0引言
1969 年 Ruspini 在其阐述模糊聚类分析的文章[ 1] 中给出了当前流行的模糊划分的定义:
定义 1 论域上 X 的一模糊集合族 R= ( A i | i I I ) 叫做 X 的一个模糊划分 P, 当且仅当:
( 111) P i I I , A i X § ;
( 112) P x I X , 6 A i ( x ) = 1。 iI I
3 实验数据、方法及结果
数据 1: 共有 4 450 样本, 分 5 类, 其中以[ 0, 0] 为类中心的有 2 225 个样本, 以[ 4, - 4] 为 类中心的有 1 112 个样本, 以[ 4, 4] 为类中心的有 556 个样本, 以[ - 4, 4] 为类中心的有 278 个 样本, 以[ 8, 0] 为类中心的有 279 个样本, 每类样本皆由类中心加服从 N ( 0, 1) 分布的白噪声 生成。以上类中心称为理想类中心。数据 1 的样本分布图见图 1。
时, A < B Z Px I X , A ( x ) [ B ( x ) 。在本文将一直使用这些运算。
但是定义 1 也有一个不足之处:
例如: Px I X , A 1( x ) = 011, A 2( x ) = 012, A 3( x ) = 017, 显然, 根据定义 1, A 1、A 2、A 3
( 312) P x I X , 6 A i ( x ) = 1。 iI I
定理 1 定义 2 与定义 3 等价。
证明 据引理, 定义 2 可以推出定义 3, 只需证明定义 3 ] 定义 2。用反证法:
6 即设
v< X
Ii, I2
A I,
i
G
II
1
A
i
A GA iI I2
i;
且
I
1
¤ I 2, 这就是说:
1) 国家自然科学基金资助项目(69872003) 收稿日期: 1999-12- 18
6 20
北 京 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版)
第 36 卷
组成了 X 的一个模糊划分, 但因为 A 1 < A 2 < A 3, 它与我们对划分的直观不相吻合。实际上, 它不能算是一个有意义的模糊划分。在下文中将致力于解决此问题, 并通过实验加以验证。
2 模糊集合的相对清晰度
由定义 3 可知: 在模糊划分中, 一个模糊集合真正有意义的是那些隶属度大于 015 的元
素, 由此可以定义一个模糊集合的相对清晰度。 定义 4 A 是论域X = { x 1, x 2, ,, x n} 上的一个非空模糊集合, 其相对清晰度
Cr( A ) =
6 A ( xi)
ui k = 1, uik \ 0, 015 <
uik < n - 015。
k= 1
uik > 01 5
n
6 6 如果令: Pi I { 1, 2, ,, n } , ui = { ui 1, ui 2, ,, uin} , 则: Cr ( ui ) =
u ik
u ik
uik > 01 5
k= 1
根据定 义 2、3、4, 以 及 FCM 算 法 计 算 u 的 公 式 容 易 看 出: ( 1) 0 < Cr ( ui ) [ 1。
图 2 数据 2 的样本分布图 Fig. 2 T he distribution graph of Data Set 2
对数据 1: 令 s= 50, c= 5, 实验结果如下: 有 30 次 FCM 算法计算出的类中心为 v = [ - 01032 1, - 01050 2; 41004 2, - 31981 4; 31955 7, 31949 5; - 31843 5, 31786 3; 71849 7, - 01019 6] ; 此时模糊划分 u 的平均清晰度 V ( u) = 01757 2; 有 20 次 FCM 算法计算出的类中心为 v = [ - 01525 2, - 01034 7; 41278 3, - 31873 9; 41475 1, 31672 9; - 31914 7, 31918 5; 11000 0, - 01060 2] ; 此时模糊划分 u 的平均清晰度 V ( u) = 01692 3。数据 1 的变化图( 对 s ) 见图 3。 对数据 2: 令 s= 20, c= 5, 实验结果如下: 有 1 次 FCM 算法计算出的类中心为 v = [ - 01040 1, - 01005 6; 31924 5, 41137 5; - 41008 9, 31942 2; 31859 0, - 31870 9; 51603 3, 01298 1] ;
当 X = { x 1, x 2, ,, x n } , I = { 1, 2, ,, c} 时, 令 A i = [ A i ( x 1) A i ( x 2) ,A i ( x n) ] ; 称矩阵
A=
[
A
T 1
A
T 2
,A
T c
]
T
为模糊划分 P
的划分矩阵。
据 1980 年 Bezdek 在 文 [ 2] 中 推 广 的 F CM 算 法, 其 目 标 函 数 为 Jm ( u , V ; X )
A ( x ) > 01 5
i N
,
6 A ( xi)
i= 1
( 当 A = § 时, 定义: Cr ( A ) = 1) 。
定义 5 A 是论域X = { x 1, x 2, ,, x n} 上的一个非空模糊集合, 则:
( 511) 当 Cr ( A ) = 1 时, 称 A 为X 上的相对清晰集;
nc
6 6 =
( uik ) m +x k -
vi
+
2 A
其中:
X=
{ x 1, x 2, ,, x n }
<
Rp , u =
{ uik} c@ n 为划分矩阵,
k= 1 i= 1
n
c
6 6 uik = 1, uik \ 0, 0 <
uik < n; v = { v 1, v 2, ,, v c} 为 类中心, Pi I { 1, 2, ,, c} ,
数据 2: 共有 1 402 样本, 分 5 类, 其中以[ 0, 0] 为类中心的有 701 个样本, 以[ 4, 4] 为类中 心的有 350 个样本, 以[ - 4, 4] 为类中心的有 175 个样本, 以[ 4, - 4] 为类中心的有 87 个样本, 以[ 6, 0] 为类中心的有 89 个样本, 每类样本皆由类中心加服从 N ( 0, 1) 分布的白噪声生成。 同理, 以上类中心也称为理想类中心。数据 2 的样本分布图见图 2。
iI I1
i I I2
i I Ic2
v x 0, v i I I 1, 满足 A i ( x 0) > 015。所以
6 6 6 A i ( x 0) > 015, 即 A i ( x 0) =
A i ( x 0) > 015。
iI I1
i I Ic
iI I \ I1
6 6 6 注意到: A i ( x 0) + A i ( x 0) = A i ( x 0) = 1, 故此矛盾。
( 512) 当 Cr ( A ) = 0 时, 称 A 为X 上的绝对模糊集。 定理 2 模糊集合 A 为 X 上的绝对模糊集与 A 为 X 上的 W- empt y set 为等价条件。
证明 显然。
由此可以将 F CM 算法关于 u 的限制改述如下:
n
6 6 u = { ui k} c @ n, Pi I { 1, 2, ,, c} ,
( 北京大学数学科学学院信息科学系, 北京, 100871)
摘 要 提出 了模糊划分的一个 新定义。可 以证明 它蕴含 了 Ruspini 的定义, 并且 具有 与直观 及 其实际应用相符的性质。而且根据此定义, 可以定义模糊 集合的相对清 晰度及模糊 划分的平 均清 晰度。实验证明, 模糊划分的平均清晰度可以衡量 FCM 算法的聚类效果。 关键词 模糊集合; 模糊划分; FCM 算法 中图分类号 T P 1
I
\
I 1,
易见 G iI I
Ai
AG iI I
A i,
但
I1
¤I
2,
故矛盾。因此,
( 1) 成立。同理可证( 2) 。
1
2
引理似乎给出了一个令人惊讶的结果, 但实际应用的模糊划分似乎总是满足这样的划分,