重庆市2020年高考理科数学模拟试题及答案
重庆市2020年高考理科数学模拟试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知全集UR ，集合|24,{|(1)(3)0}xAx B x x x，则U ABe （）A. (1,2)B.1,2 C. (1,3)D. (,2]2. 已知复数(i)(1i)z a （i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2yx 上，则实数a 的值为（）A. 0B.1C.1D.133．ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若26cb，，60B,则C 等于（）A ．30 B．60 C．150 D．30或1504.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p 为（）A. 6B. 24C. 120D. 7205. 已知等差数列的前项和为，且，则（）A. B.C.D.6. 已知直线和抛物线C ：，P 为C 上的一点，且P 到直线l 的距离与P 到C的焦点距离相等，那么这样的点P 有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C.D.8. 从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球中任取两个，放入颜色分别为红、黄、蓝的三个袋子中，每个袋子中至多放入1个球，且球的颜色与袋子的颜色不同，那么不同的放法有（）A ．46种B ．36种 C．72种 D ．42种9. 已知双曲线2222:1x y C ab（0,0a b）的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且||OM a ，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y xB ．2y xC ．3yx D．4yx10.已知数列的通项公式是，其前项和，则项数A. 13B. 10C. 9D. 611.已知f x 是定义域为R 的偶函数,且在(0,+∞)单调递增,设21log 3mf ,0.17n f ,4log 25pf ,则,,m n p 的大小关系为( ) A.mpn B.p n m C.p m n D.n p m12.已知函数1xf xeax 在区间(-1,1)内存在极值点,且0f x恰好有唯一整数解,则a的取值范围是(其中e 为自然对数的底数, 2.71828e)A.221,2ee eB.22211,11,22eee eC.2211,1,e 2ee e ee D.1,e e二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
）13.5212x x展开式中的6x 的系数为_______14. 若向量(2,),(2,1)a x b 不共线，且()()ab ab ，则a b______15. 设等比数列的前项和是，若，则__________．16. 已知点，抛物线的焦点为，连接，与抛物线相交于点，延长，与抛物线的准线相交于点，若，则实数的值为__________．三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。
）（一）必考题（共60分）17. （本题满分12分）的内角，，的对边分别为，，，已知，，.（1）求角；（2）若点满足，求的长.18.（本题满分12分）如图，在三棱锥中，底面，为的中点（1）求证：（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积.19.（本题满分12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出（不足时按计算）需再收元．公司从承揽过的包裹中，随机抽取件，其重量统计如下：公司又随机抽取了天的揽件数，得到频数分布表如下：以记录的天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率（1）计算该公司天中恰有天揽件数在的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员人，每人每天揽件不超过件，每人每天工资元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）20. （本题满分12分）已知椭圆C ：的离心率为，左、右顶点分别为A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B的一点，直线AM 与y 轴交于点P ．（1）若点P 在椭圆C 的内部，求直线AM 的斜率的取值范围；（2）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且AQ ∥BM ，求证：∠PFQ 为定值．21．（本题满分12分）已知函数ln 1f x x x ax a R .（1）讨论f x 在1,上的零点个数；（2）当1a时，若存在1,x ，使13f x e a ，求实数a 的取值范围.（e 为自然对数的底数，其值为 2.71828……）（二）选考题（共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
）22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)，已知过点P (－2，－ 4)的直线l 的参数方程为x＝－2＋2 2 ty＝－4＋22t，直线l与曲线C分别交于M，N两点.(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设不等式的解集为M．(1)求集合M；(2)已知，求证：．参考答案一、选择题1.B2.D3.A4.B5.C6.C7.B8.D9.A 10.D 11.C 12.C二、填空题13.30 14.3 15. 16.三、解答题17.（1）由题设及正弦定理得，又，所以.由于，则.又因为，所以.（2）由正弦定理易知，解得.又因为，所以，即.在中，因为，，所以，所以在中，，，由余弦定理得，所以.18.（1）在中，由余弦定理得，则．因为为的中点，则．因为，则，所以．因为，则．因为底面，则，所以平面，从而．（2）分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．设，则点，，，所以，．设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以．因为为平面的法向量，则，即．所以，解得，所以．所以．19.样本中包裹件数在内的天数为，频率为，可估计概率为，未来天中，包裹件数在间的天数X服从二项分布，即，故所求概率为；样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元．（3）根据题意及，揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）因故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利．20.（Ⅰ）由题意可得c2＝a2﹣2，∵ｅ，∴a＝2，c，∴椭圆的方程为1，设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得m，又∵A（﹣2，0），∴直线AM的斜率k AM∈（，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，∴ｋAM∈（，0）（0，），（Ⅱ）由题意F （，0），M （x 0，y 0），其中x 0≠±2，则1，直线AM 的方程为y （x+2），令x ＝0，得点P 的坐标为（0，），∵ｋBM=k AQ，∴直线AQ 的方程为y（x+2），令x ＝0，得点Q 的坐标为（0，），由（，），（，），∴?20，∴⊥，即∠PFQ ＝90°，故∠PFQ 为定值21.（1）由ln 10f x x x ax 得1ln axx，令1ln g xxx，因此讨论f x 在1,上的零点个数，即是讨论直线ya 与曲线yg x 的交点个数，∵22111x gxx xx，0g x在1,上恒成立，故1ln g x xx在1,上单调递增，1,g x ，又g x 连续不断，所以当1a 时，f x 在1,上无零点；当1a 时，f x 在1,上存在一个零点.（2）当1a 时，由（1）得f x 在1,上存在一个零点，由ln 10f x x a得1a xe，由（1）可得f x 在11,a e上单调递减，在1,a e上单调递增；所以11min1a a f xf ee，又存在1,x ，使13f x e a 成立，所以，只需1113a e e a 成立，即11310a ee a 不等式成立，令1131x h x ee x ，则11x h x ee ，易知110x h xe e 在1,x 上恒成立，故1131x h xee x 在1,x上单调递增又20h ，所以02h x x.故实数a 的取值范围为2,.22 (1)由C ：ρsin 2θ＝2a cos θ，得(ρsin θ)2＝2a ρcos θ，所以曲线的普通方程为y 2＝2ax .由直线l 的参数方程x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t消去参数t ，得x －y －2＝0. ……５分(2)直线l 的参数方程为x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，代入y 2＝2ax, 得到t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0，则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a ). 因为|MN |2＝|PM |·｜PN |，所以(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2. 解得a ＝1. ………10分23.（1）原不等式等价于或或解得：或所以原不等式的解集为（2）由（1）知，当时，，所以，从而可得。
2020年重庆市直属校高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
2020年重庆市直属校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合2{|9}A x x =<，{3B =-，2-，1-，0，1，2}，则(A B =I ) A ．{0，1，2}B ．{1-，0，1，2}C ．{2-，1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0}2．（5分）设(1)()2i a bi ++=，其中a ，b 是实数，i 为虚数单位，则|3|(a bi += ) A ．2B ．7C ．22D ．103．（5分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，则29log (a =)A ．15B ．16C ．17D ．184．（5分）若实数x ，y 满足约束条件2020240x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，则z x y =+的最小值为( )A ．8-B ．6-C ．1D ．35．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．9106．（5分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1(CGCC = )A ．12B ．13C ．23D ．147．（5分）在直角坐标系xOy 中，半径为1m 的C e 在0t =时圆心C 与原点O 重合，C e 沿x 轴以1/m s 的速度匀速向右移动，C e 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令cos y x =，则y 关于时间t (01,)t s 剟的函数的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）()()n mx x n N ++∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中3x 的系数为( ) A ．40B ．30C ．20D ．109．（5分）设函数()cos()()(0f x x x R ωϕω=+∈>，0)πϕ-<<的部分图象如图所示，如果127,(,)1212x x ππ∈，12x x ≠，且12()()f x f x =，则12()(f x x += )A ．3B ．12-C 3D ．1210．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，ABC ∆是边长为6的等边三角形，记ABC ∆的外心为1O ．若三棱锥P ABC -的体积为3则1(PO =)A ．23B ．25C ．26D ．2711．（5分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为(,0)F c ，若圆222:()A x a y a ++=与直线0bx ay -=交于坐标原点O 及另一点E ，且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切，切点为EF 的中点，则双曲线的离心率为( ) ABCD ．312．（5分）函数1()(0)()(0)x ln x x f x xe x --<⎧=⎨⎩…，若关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．4(,1]5B ．(,1)[1-∞-U ，)+∞C ．(,1){1}-∞-UD ．(1,0){1}-U二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量a r 与b r 的夹角为120︒，且(1,3),||a b =-=r r a b =r r g ．14．（5分）已知函数||()3()x a f x a R -=∈满足()(4)f x f x =-，则实数a 的值为 ．15．（5分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足222(2)2()0nn S n n S n n -+--+=，*n N ∈，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T = ．16．（5分）设抛物线22y x =的焦点为F ，准线为1，弦AB 过点F 且中点为M ，过点F ，M 分别作AB 的垂线交l 于点P ，Q ，若||3||AF BF =，则||||FP MQ =g． 三、解答题：（共70分）17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(cos )c b A A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4a =，且BCABC ∆的周长．18．（12分）如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 在AB 上，22AE EB ==，且DE AB ⊥．以DE 为折痕把ADE ∆折起，使点A 到达点F 的位置，且60FEB ∠=︒．（Ⅰ）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若直线DF 与平面BCDE，求二面角E DF C --的正弦值．19．（12分）为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：)mg ．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布2(,)N μσ．在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查．（Ⅰ）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量： 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.22 10.13 9.91 9.95 9.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12经计算得20119.9620i i x x ===∑，20202221111()(20)0.192020i i i i s x x x x ===-=-∑∑ 其中i x 为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，1i =，2，⋯，20．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（Ⅱ）假设生产状态正常，记X 表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品件数，求(1)P X =及X 的数学期望．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+≈，190.99740.95≈．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与C 交于A ，B 两点．2ABF ∆的周长为22． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程：（Ⅱ）设点P 为椭圆C 的下顶点，直线PA ，PB 与2y =分别交于点M ，N ，当||MN 最小时，求直线AB 的方程．21．（12分）已知函数()1ax f x e x =--，且()0f x …． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）在函数()f x 的图象上取定两点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在01(x x ∈，2)x ，使0()f x k '=成立？若存在，求出0x 的值（用1x ，2x 表示）；若不存在，请说明理由．请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222(cos 3sin )12ρθθ+=，直线l 的参数方程为2(x tt y t =-+⎧⎨=⎩为参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）若点P 的极坐标为(2,)π，求||||PM PN g 的值； （Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()||f x x x a =-，a R ∈．（Ⅰ）当f （2）(2)4f +->时，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，x ∀，(y ∈-∞，]a ，不等式()|3|||f x y y a ++-„恒成立，求a 的取值范围．2020年重庆市直属校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合2{|9}A x x =<，{3B =-，2-，1-，0，1，2}，则(A B =I ) A ．{0，1，2}B ．{1-，0，1，2}C ．{2-，1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0}【解答】解：{|33}A x x =-<<Q ，{3B =-，2-，1-，0，1，2}， {2A B ∴=-I ，1-，0，1，2}．故选：C ．2．（5分）设(1)()2i a bi ++=，其中a ，b 是实数，i 为虚数单位，则|3|(a bi += ) A ．2BC．D【解答】解：由题意可知：211a bi i i+==-+， 1a ∴=，1b =-， 33a bi i ∴+=-，|3||3|a bi i ∴+=-=，故选：D ．3．（5分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，则29log (a =)A ．15B ．16C ．17D ．18【解答】解：Q 数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，222216q q ∴=⨯+，且0q >， 解得4q =，8292log 2417a log ∴=⨯=． 故选：C ．4．（5分）若实数x ，y 满足约束条件2020240x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，则z x y =+的最小值为( )A ．8-B ．6-C ．1D ．3【解答】解：由题意作平面区域如下，由2020x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得，(4,2)A --，z x y =+经过可行域的A 时，目标函数取得最小值．故z x y =+的最小值是6-， 故选：B ．5．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．910【解答】解：我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目， 基本事件总数2510n C ==，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数2112237m C C C =+=，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为710m p n ==． 故选：B ．6．（5分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1(CGCC = )A ．12B ．13C ．23D ．14【解答】解：Q 四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==， 1//EF BD ∴，平面11//ADD A 平面11BCC B ，G Q 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，//AF BG ∴， ∴1113CG DE CC DD ==． 故选：B ．7．（5分）在直角坐标系xOy 中，半径为1m 的C e 在0t =时圆心C 与原点O 重合，C e 沿x 轴以1/m s 的速度匀速向右移动，C e 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令cos y x =，则y 关于时间t (01,)t s 剟的函数的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，C e 的半径为1，则其周长2l π=，当0t =时，C e 被y 轴所截的左方圆弧长记为x π=，此时cos 1y π==-； 当12t =时，C e 被y 轴所截的左方圆弧长记为43x π=，此时41cos 032y π==-<；当1t =时，C e 被y 轴所截的左方圆弧长记为2x π=，此时cos21y π==； 据此排除BCD ； 故选：A ．8．（5分）()()n mx x n N ++∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中3x 的系数为( ) A ．40B ．30C ．20D ．10【解答】解：Q ()n mx x + 的展开式中，各二项式系数和为232n =，5n ∴=． 再令1x =，可得各项系数和为55(1)2433m +==，2m ∴=， 则展开式中的通项公式为55215r rrr T C m x--+=g g ，令532r-=，可得4r =， 故展开式中3x 的系数为45210C =g ， 故选：D ．9．（5分）设函数()cos()()(0f x x x R ωϕω=+∈>，0)πϕ-<<的部分图象如图所示，如果127,(,)1212x x ππ∈，12x x ≠，且12()()f x f x =，则12()(f x x += )A ．3B ．12-C 3D ．12【解答】解：根据函数()cos()()(0f x x x R ωϕω=+∈>，0)πϕ-<<的部分图象， 可得12721212πππω=-g ，2ω∴=．再根据五点法作图可得2122ππϕ+=-g ，23πϕ∴=-，2()cos(2)3f x x π∴=-．如果127,(,)1212x x ππ∈，12x x ≠，则122(32x ππ-∈-，)2π，222(32x ππ-∈-，)2π， 12()()f x f x =Q ，122(3x π∴-+222)03x π-=，1223x x π∴+=， 则124221()cos()cos cos 33332f x x ππππ+=-==-=-， 故选：B ．10．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，ABC ∆是边长为6的等边三角形，记ABC ∆的外心为1O ．若三棱锥P ABC -的体积为123则1(PO =)A ．23B ．25C ．26D ．27【解答】解：由题意可得：23693ABC S ∆=⨯=，123O A =，12O O =． 设点P 到平面BAC 的高为h ，由1123933h =⨯⨯，解得4h =．∴点P 所在小圆21(O O e e 与2O e 所在平面平行）上运动，22OO =．223O P ∴=．22112227PO O O O P ∴=+=．故选：D ．11．（5分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为(,0)F c ，若圆222:()A x a y a ++=与直线0bx ay -=交于坐标原点O 及另一点E ，且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切，切点为EF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A 6B 2C 3D ．3【解答】解：联立222()bx ay x a y a -=⎧⎨++=⎩． 322(a E c ⇒-，222)a bc-，OE OF =Q ，∴32222222()()a a b c c c -+-=，4442a c e ∴=⇒=．故选：B ．12．（5分）函数1()(0)()(0)x ln x x f x xe x --<⎧=⎨⎩…，若关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．4(,1]5B ．(,1)[1-∞-U ，)+∞C ．(,1){1}-∞-UD ．(1,0){1}-U【解答】解：当0x …时，1()(1)x f x e x -'-，所以当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 且(0)0f =，当x →+∞时，()0f x →，当0x <时，()f x 单调递减，所以()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则由上图可知当0t =或1时，方程()t f x =有两个实根； 当(0,1)t ∈时，方程()t f x =有3个实数根；当(t ∈-∞，0)(1⋃，)+∞时，方程()t f x =有一个实数根， 所以关于x 的方程程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等的实数根等价于关于t 的方程220t at a a -+-=有两个实数根10t =，21t =或1(0,1)t ∈，2(t ∈-∞，0)(1⋃，)+∞，当10t =，21t =时，1a =，当1(0,1)t ∈，2(t ∈-∞，0)(1⋃，)+∞时，2222(00)(11)0a a a a a a -⨯+--⨯+-<，解得10a -<<，综上所述，(1,0){1}a ∈-U ．故选：D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量a r 与b r 的夹角为120︒，且(1,3),||a b =-=r r a b =r r g 5- ． 【解答】解：因为向量a r与b r 的夹角为120︒，且(1,3),||a b =-=r r ，所以：||a =r；则1cos12010()52a b =︒=⨯-=-rr g ；故答案为：5-．14．（5分）已知函数||()3()x a f x a R -=∈满足()(4)f x f x =-，则实数a 的值为 2 ． 【解答】解：()(4)f x f x =-Q ， ∴函数关于2x =对称，即f （a ）(4)f a =-， 即|||4|33a a a a ---=， 即0|42|33a -=即|42|0a -=，得240a -=， 得2a =， 故答案为：215．（5分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足222(2)2()0nn S n n S n n -+--+=，*n N ∈，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T =5052021 ． 【解答】解：依题意，由222(2)2()0nn S n n S n n -+--+=，*n N ∈，可得 2[()](2)0n n S n n S -++=．Q 数列{}n a 的各项均为正数，0n S ∴>．2n S n n ∴=+，*n N ∈． 当1n =时，211112a S ==+=，当2n …时，221[(1)(1)]2n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=．2n a n ∴=，*n N ∈． ∴111111()22(1)41n n a a n n n n +==-++g ． 2020122320202021111T a a a a a a ∴=++⋯+11111111(1)()()42423420202021=-+-+⋯+- 111111(1)422320202021=-+-+⋯+- 11(1)42021=- 5052021=． 故答案为：5052021． 16．（5分）设抛物线22y x =的焦点为F ，准线为1，弦AB 过点F 且中点为M ，过点F ，M 分别作AB 的垂线交l 于点P ，Q ，若||3||AF BF =，则||||FP MQ =g169． 【解答】解：如图，作BF l ⊥于F ，作AE l ⊥于E ，令准线于x 轴交点为S ，AB 交准线于K ．设BH m =，则3AF m =，Q13HB KB AE AK ==，2BK m ∴= 则1sin 22m HKB n ∠==，30HKB ∴∠=︒． Q23HB m SF m =，∴213m =，∴23m =， 2FK ∴=．∴0tan30PF FK =gtan304tan30QM MK m =︒=⨯︒g．83==则16||||9FP MQ ==g． 故答案为：169．三、解答题：（共70分）17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(cos 3sin )c b A A =+． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4a =，且BC 边上的高为3，求ABC ∆的周长． 【解答】解：（Ⅰ）Q (cos 3sin )c b A A =+． ∴由正弦定理可得：sin sin (cos 3sin )C B A A =+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+Q ，∴可得：sin cos 3sin sin A B B A =，(0,)A π∈Q ，sin 0A >，cos 3sin B B ∴=，(0,)B π∈Q ，3tan B ∴=，6B π=． （Ⅱ）如图，3AD =，6B π=，则23sin ADc AB B===， 又4a =，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos 4b a c ac B =+-=，可得2b =， 可得ABC ∆的周长为623a b c ++=+．18．（12分）如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 在AB 上，22AE EB ==，且DE AB ⊥．以DE 为折痕把ADE ∆折起，使点A 到达点F 的位置，且60FEB ∠=︒．（Ⅰ）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若直线DF 与平面BCDE所成角的正切值为15，求二面角E DF C --的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：DE AB ⊥Q ，DE EB ∴⊥，DE EF ⊥，DE ∴⊥平面BEF ，DE BF ∴⊥， 22AE EB ==Q ，2EF ∴=，1EB =，60FEB ∠=︒Q ，∴由余弦定理得222cos 3BF EF EB EF EB FEB =+-⨯⨯∠222EF EB BF ∴=+，FB EB ∴⊥，由①②得BF ⊥平面BCDE ， ∴平面BFC ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）解：以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABCD 中过点B 作AB 的垂线为y 轴，BF 为z 轴，建立空间直角坐标系，设DE a =，则(1D ，a ，0)，(0F ，03)，(1DF =-u u u r，a -3)，Q 直线DF 与平面BCDE 15， ∴直线DF 与平面BCDE 6 平面BCDE 的法向量(0n =r，0，1)，2||36|cos ,|||||4n DF n DF n DF a∴<>===+u u u r r u u u r g ru u u r r g ，解得2a =，(1D ∴，2，0)，(2C -，2，0)，∴(0ED =u u u r ，2，0)，(1DF =-u u u r，2-，3)，设平面EDF 的法向量(m x =r，y ，)z ，则20230ED m y DF m x y z ⎧==⎪⎨=--=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1z =，得(3,0,1)m =r ，同理得平面DFC 的一个法向量(0p =r，3，2)，7cos ,||||27m p m p m p ∴<>===r r g r rr r g ，∴二面角E DF C --的正弦值为142sin ,17m p <>=-=r r．19．（12分）为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：)mg ．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布2(,)N μσ．在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查．（Ⅰ）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量： 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.22 10.13 9.91 9.95 9.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12经计算得20119.9620i i x x ===∑，20202221111()(20)0.192020i i i i s x x x x ===-=-∑∑ 其中i x 为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，1i =，2，⋯，20．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（Ⅱ）假设生产状态正常，记X 表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品件数，求(1)P X =及X 的数学期望．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+≈，190.99740.95≈．【解答】解：()I 由9.96x =，0.19s =．可得：ˆ9.96μ=，ˆ0.19σ=， 由样品数据看出有一样药品的主要药理成分(9.22)含量在(3μσ-，3)(9.39μσ+=，10.53)之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查．()II 抽取的一件药品中其主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.0026，故~(20,0.0026)X B ，120(1)0.9974P X ∴==ð190.00260.0494⨯≈． X 的数学期望()200.00260.052E X =⨯≈．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与C 交于A ，B 两点．2ABF ∆的周长为． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程：（Ⅱ）设点P 为椭圆C 的下顶点，直线PA ，PB 与2y =分别交于点M ，N ，当||MN 最小时，求直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：4a =c a =a ∴，1c =，2221b ac ∴=-=，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；（Ⅱ）点(0,1)P -，1(1,0)F -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，显然直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为：1x my =-，则可知1m ≠-， 联立方程22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得：22(2)210m y my +--=， ∴12222m y y m +=+，12212y y m =-+， 直线PA 的方程为：111(1)0y x x y x +--=，可得1131M x x y =+， 同理2231N x x y =+，121221121212121233(1)(1)(1)(1)|1|||||||3||311(1)(1)|1|x x my y my y m y y MN y y y y y y y y -+--++-=-===+++++++，当0m =时，||MN =当0m ≠时，||MN == 由于1(,2)[2m m +∈-∞-U ，)+∞，则11[,1)(1,)2211m m∈+∞++U ，此时||MN的最小值为6<，在1m =处取得，综上所述，当||MN 最小时，直线AB 的方程为：1x y =-，即10x y -+=． 21．（12分）已知函数()1ax f x e x =--，且()0f x …． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）在函数()f x 的图象上取定两点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在01(x x ∈，2)x ，使0()f x k '=成立？若存在，求出0x 的值（用1x ，2x 表示）；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若0a „，则对一切0x >，())10ax f x e x ==--<，不符合题意， 若0a >，()1ax f x ae '=-，令()10ax f x ae '=-=可得lnax a-=， 当lna x a -<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当lnax a->时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 故当lna x a =-时，函数取得最小值1()1lna lnaf a a a-=+-， 由题意可得，有110lnaa a+-…①， 令()1g t t tlnt =--，则()g t lnt '=-，当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增，当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减， 故当1t =时，()g t 取得最大值g （1）0=，当且仅当11a=即1a =时①成立， 综上1a =；()II 由题意可知，21212121()()1x x f x f x e e k x x x x --==---， 令2121()()x x xe e t xf x k e x x -='-=--，则可知()y t x =在1[x ，2]x 上单调递增，且12112121()[()1]x x x e t x e x x x x -=-----，21221221()[()1]x x x e t x e x x x x -=----， 由()I 可知()10x f x e x =--…，0x =时取等号， ∴2121()10x x e x x ----…，1212()10x x e x x ----…， 1()0t x ∴<，2()0t x >，由零点判定定理可得，存在01(x x ∈，2)x ，使得0()0t x =且21021x x e e x ln x x -=-，综上可得，存在01(x x ∈，2)x ，使0()f x k '=成立请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222(cos 3sin )12ρθθ+=，直线l 的参数方程为2(x tt y t =-+⎧⎨=⎩为参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）若点P 的极坐标为(2,)π，求||||PM PN g的值； （Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程为222(cos 3sin )12ρθθ+=，转换为直角坐标方程为221124x y +=． 点P 的极坐标为(2,)π，转换为直角坐标为(2,0)-由于点(2,0)P -在直线l 上， 所以直线l 的参数方程为2(x t t y t =-+⎧⎨=⎩为参数），转化为2(2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），所以代入曲线的方程为22(2))12-+=，整理得240t --=， 所以12||||||4PM PN t t ==g ．（Ⅱ）不妨设,2sin )Q θθ，(0)2πθ剟，所以该矩形的周长为2sin )16sin()3πθθθ+=+．当6πθ=时，矩形的周长的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()||f x x x a =-，a R ∈．（Ⅰ）当f （2）(2)4f +->时，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，x ∀，(y ∈-∞，]a ，不等式()|3|||f x y y a ++-„恒成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）f （2）(2)4f +->，可得2|2|2|2|4a a --+>，即|2||2|2a a --+>， 则2222a a a -⎧⎨-++>⎩„或22222a a a -<<⎧⎨--->⎩或2222a a a ⎧⎨--->⎩…，解得2a -„或21a -<<-或a ∈∅，则a 的范围是(,1)-∞-；（2）()|3|||f x y y a ++-„恒成立，等价为()(|3|||)max min f x y y a ++-„，其中当x ，(y ∈-∞，]a ，|3||||3||3|3y y a y a y a a ++-++-=+=+…，当且仅当3y a -剟取得等号，而222()()()244a a a f x x x a x =--=--+„，当且仅当12x a =时取得等号．所以234a a +„，解得06a <„．。
2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷(理科)(三)(有答案解析)
2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（三）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合，集合，则A. B. 2， C. D.2.命题“，”的否定为A. ，B. ，C. ，D. ，3.已知复数，则A. B. C. D.4.已知向量，，，且，则实数A. B. 0 C. 1 D. 任意实数5.已知，且，三个数、、的大小关系是A. B.C. D.6.不等式的解集为，则的展开式中常数项为A. B. C. D.7.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 38.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A. B. C. D.9.山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，以为直径的圆O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P、Q，点B为圆O与y轴正半轴的交点，若，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.11.已知定义域为R的函数，对任意有是函数的导函数，若为奇函数，则满足不等式的x的取值范围是A. B. C. D.12.已知a，，，则当取最小值时，的值为A. 2B.C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.不等式组所表示的平面区域的面积为______．14.设数列的前n项和为，若，则______．15.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，，则a的值为．16.已知直线：，：及圆M：，设直线，分别与圆M交于点A，B和点C，D，现随机向圆M内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形ACBD内的概率为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，在四边形ABCD中，，，，．Ⅰ当的面积最大时，求的面积；Ⅱ若，求AB．18.李华同学将参加英语考试，英语听力考试与笔试分开进行．英语听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为，而后又进行了笔试，李华同学在做阅读共4题时，没有看懂文章，李华同学十分纠结，决定用丢色子的方法选出答案，若丢出1，2，5选A，丢出3选B，丢出6选D已知4道题的正确答案依次为A，C，D，求李华同学听力的6分的概率；记随机变量李华做阅读E时做对的题数为，求的分布列与期望．19.设数列的前n项和，已知，，．求数列的通项公式；是否对一切正整数n，有？说明理由．20.已知椭圆的离心率为，且过点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点P作两直线与分别交椭圆C于A，B两点，若直线与的斜率互为相反数，求的最大值．21.已知定义域为的函数满足其中是的导函数，，．Ⅰ求函数的最大值；Ⅱ若对于任意正实数a，b都有成立，求x的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．Ⅰ求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；Ⅱ若直线l被曲线C所截得的弦长为，求a的值；23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ若不等式对恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：1，，，．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的值域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：命题“，”是特称命题，命题的否定为：，．故选：A．根据命题“，”是全称命题，其否定为特称命题，将“”改为“”，““改为“”即可得答案．本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．3.答案：B解析：解：，，，，故选：B．先求出共轭复数，再求出，再代入所求式子，利用复数代数形式的乘除运算化简即可．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4.答案：B解析：解：向量，，，且，，则实数，故选：B．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．5.答案：A解析：解：设函数，，，在上是增函数，，；令，，且，则；同理，设，，，在上是增函数，，；令，，且，，即；综上，．故选：A．构造函数，，利用导数判断的单调性，得出，令得；同理，设，，得出，即得．本题考查了构造函数的应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性以及利用函数的单调性比较大小的应用问题，是综合性题目．6.答案：D解析：解：不等式的解集为，和2是的两个实数根，，，即，，故，即，它的展开式的通项公式为，令，求得不合题意，故展开式中常数项为，故选：D．由题意求得a的值，再利用二项展开式的通项公式，求得的展开式中常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．7.答案：C解析：解：抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，可得：，可得，所以，因为，所以双曲线的离心率为，故选：C．求出抛物线的焦点坐标，渐近线方程，利用已知条件，列出关系式，求解双曲线的离心率即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力是中档题．8.答案：B解析：解：由循环体的算法功能可知，该程序求的是数列的前10项的和．，所以．故选：B．由循环体的算法功能可知，该程序求的是数列的前10项的和，采用裂项相消法可求解．本题考查了程序框图及裂项法求数列的和的问题，要注意首项和项数不要算错．属于中档题．9.答案：A解析：解：若甲说的是真话，则乙，丙说的也是真话，矛盾；则甲说的是假话，不是丁，则丙说的也是假话，乙丙说的是真话，因为乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”，且不是丁，所以是甲盗的．故选：A．假设甲说的话是真话，推出来矛盾，则甲说的话是假话，然后判断其他人说的话即可．本题考查简单的合情推理，属于基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查双曲线的简单几何性质，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．联立圆与双曲线的方程，求得P的坐标，，化简即可求得双曲线的离心率．【解答】解：，，双曲线的一条渐近线方程为，则，由题意可知：以线段为直径的圆的方程，联立，解得，，，，即，，，解得，故选：D．11.答案：A解析：解：令，又，则，函数在R上单调递增．为奇函数，，．不等式，即的解集为：．故选：A．令，根据，可得，可得函数在R上单调性．利用单调性即可得出不等式的解集．本题考查了利用导数研究函数的单调性、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：由得，，等号成立时，即，此时故选：C．由已知可利用基本不等式进行配凑即可求解．本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．属于基础题．13.答案：8解析：解：不等式组等价于或，画出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示；计算阴影部分的面积为．故答案为：8．不等式组等价于或，画出不等式组表示的平面区域，计算它的面积即可．本题考查了二元一次不等式组表示平面区域的问题，也考查了转化与数形结合思想，是基础题．14.答案：1008解析：解：由题意，可知当n为奇数时，设，，则，数列的奇数项是常数列．．当n为偶数时，设，，则，当，，即时，，当，，即时，，数列的偶数项为，5，，9，，，，，，，．．故答案为：1008．本题根据通项公式中正弦函数的性质可先分奇数项与偶数项分别分析，数列的奇数项是常数列，偶数项经过代入计算后又分为4的倍数项和非4的倍数项进行分析，再分别计算出前2018项中奇数项与偶数项分别的和，最后相加即可得到结果．本题主要考查数列的三角函数的综合问题．考查了正弦函数的性质，分类讨论思想，转化与化归思想的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．15.答案：8解析：【分析】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，，可得利用，化为，又，解得b，由余弦定理可得：即可得出．【解答】解：，，，，化为，又，解得，，由余弦定理可得：．解得．故答案为8．16.答案：解析：解：直线：，：及圆M：，圆M：；，且两直线的交点为恰为圆M的圆心，所以ACBD为正方形，且对角线AB为圆的直径4，即正方形ACBD边长为．现随机向圆M内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形ACBD内的概率为：，故答案为：．由题可得，且两直线的交点为恰为圆M的圆心，把问题转化为正方形的面积与圆的面积之比即可．本题主要考查几何概型，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据求解．17.答案：解：Ⅰ由知当时，最大，此时，，此时为等腰直角三角形；Ⅱ，由余弦定理所以，解析：Ⅰ根据题意选择的面积公式，由于面积最大，可求角，然后求的面积；Ⅱ选择合理的余弦定理，求AC，再求AB．本题考查解三角形，注意公式的合理选择，属于中等题．18.答案：解：根据题意，听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为，则听力得6分的概率为；由题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4；则，，，，；则的分布列为：01234 P的期望值为．解析：每题2分，做对一题的概率为，得6分即做对3道题，利用，计算即可；由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，再写出的分布列，求出期望值值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是难题．19.答案：解：，，当时，，由，得，，，，数列是以首项为1，公差为1的等差数列．，，当时，上式显然成立．，．对一切正整数n，有．证明：当时，，可得，由，可得，即有，则当时，不等式成立；检验，2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n，有．解析：运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；对一切正整数n，有考虑当时，，再由裂项相消求和，即可得证．本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．20.答案：解：Ⅰ由题意有：，解得，椭圆C的方程为：；Ⅱ设直线AP为，则直线BP为，联立方程有：，，则，同理可得：，．所以．解析：Ⅰ根据题意，列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而得到椭圆C的方程；Ⅱ设直线AP为，则直线BP为，联立直线AP与椭圆方程，利用韦达定理求出点A的坐标，同理求出点B的坐标，再利用基本不等式即可求出的最大值．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：Ⅰ，所以在上单调递增，在上单调递减，．Ⅱ，等号成立时即，由题由Ⅰ，得，又得，单调递减，所以式等价于，即．解析：Ⅰ对求导，并且把已知代入可得：，利用其单调性即可得出的最大值．Ⅱ两次利用基本不等式的性质可得，等号成立时即，由题，由Ⅰ，得进而得出函数单调递减，即可得出x的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：Ⅰ，曲线C：，直线l：，Ⅱ圆心为到直线l的距离，圆C：的半径为，直线l被曲线C所截得的弦长，解得．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ即为，，即，，解得或，不等式的解集为；Ⅱ即恒成立，由时等号成立，可知，解得，或，即实数m的取值范围为．解析：Ⅰ由得，两边平方后，化为一元二次不等式，解出即可；Ⅱ问题即为恒成立，利用绝对值不等式的性质可得，解出即可．本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式性质的运用，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量思想，属于基础题．。
2020年重庆市高考数学模拟试卷(理科)(6月份)
2020年重庆市高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选一择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|31}A x x =-<„，2{|()}B x y lg x x ==-，则(A B =I ) A ．(0，1]B ．(0,1)C ．[0，1]D ．[3-，1)2．（5分）在复平面内，复数z 对应点(,)Z x y ，若||||z i z i -=+，则( ) A ．0y =B ．0y =，[0x ∈，1]C ．0x =D ．0x =，[0y ∈，1]3．（5分）命题:p x N ∀∈，|2|3x +…的否定为( ) A ．x N ∀∈，|2|3x +< B ．x N ∀∉，|2|3x +< C ．x N ∃∈，|2|3x +…D ．x N ∃∈，|2|3x +<4．（5分）已知 2.122312log ,(),()225a b c -===，则( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b a c <<5．（5分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若27927a a a ++=，且89S S =，则(d = )A ．3-B ．1-C ．1D ．36．（5分）若随机变量X 服从正态分布(N μ，2)(0)σσ>，则(||)0.6806P X μσ-≈„，(||2)0.9544P X μσ-≈„，(||3)0.9974P X μσ-≈„．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布(10,100)N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为() A ．159B ．46C ．23D ．137．（5分）已知向量(1,2),(3,4)a b =-=r r ，若向量c r 与a r 共线，且c r在b r ，则||(c =r)A ．1B ．2CD ．58．（5分）设α，β是空间中的两个平面，l ，m 是两条直线，则使得//αβ成立的一个充分条件是( )A ．l α⊂，m β⊂，//l mB ．l m ⊥，//l α，m β⊥C ．l α⊂，m α⊂，//l β，//m βD ．//l m ，l α⊥，m β⊥9．（5分）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到1c 便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c ，d ，e ，f ，g ，a ，b ，则多出来的5个音符为#c （读做“升c ” )，#d ，#f ，#g ，#a ；12音阶为：c ，#c ，d ，#d ，e ，f ．#f ，g ，#g ，a ，#a ，b ，相邻音阶的频率之比为121:2．如图，则键盘c 和d 的频率之比为2121:(2)即61:2，键盘e 和f 的频率之比为121:2，键盘c 和1c 的频率之比为1:2，由此可知，图中的键盘1b 和2f 的频率之比为( )A ．32B ．2C 32D 210．（5分）已知函数2()sin 2cos 2cos sin sin f x x x ϕϕϕ=+-，若对任意x R ∈，5()()6f x f x π=-，则实数ϕ中的取值可以是( ) A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 11．（5分）已知点(2,0)Q -与抛物线22(0)y px p =>，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若3AB BP =u u u r u u u r，且直线QA 的斜率为1，则(p = )A ．2B ．4C ．222+D ．4212．（5分）已知2(2,1),(,0),,3A B C D 四点均在函数2()log ax f x x b=+的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD 的面积是( ) A ．265B ．263C ．525D ．523二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）直线2y x =-与圆22450x y x ++-=交于A ，B 两点，则||AB = ． 14．（5分）曲线2()sin (1)f x x a x =+-在点(0，(0))f 处的切线方程为3y x b =-+，则a b += ．15．（5分）已知25()(21)()x x a x a R -+-∈的展开式中各项系数之和为1-，则展开式中x 的系数为 ．16．（5分）已知ABC ∆的三边长a ，b ，c 成等差数列，且222105a b c ++=，则b 的取值范围是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且4n S ，13n S +，22n S +成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足10b =，11n n b b +-=，设,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}nc 的前2n 项和．18．（12分）某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X 的分布列．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB BC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）若直线BE 与平面11AA B B 所成角为30︒，求二面角C BD E --的大小．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为4的正方形． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P ，Q 两点（均不在y 轴上），点(0,)2mA -，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且OPQ ∆6O 为坐标原点），求直线l 的方程．21．（12分）已知函数21(),2x f x x ae lnx a R =+-∈． （1）若12x =是函数()f x 的极值点，求a 的值； （2）当1a …时，证明：13()28f x ln >+． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数），直线l 经过点(2,0)且倾斜角为α，02πα<<，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过原点O 作直线l 的垂线1l ，垂足为P ，1l 交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求ABP ∆的面积的最大值及相应的α的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）。
2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷(理科)(二)(含解析)
2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}，则A∩B＝（）A.{1}B.{1, 2}C.{1, 2, 3}D.{1, 2, 3, 4}2.已知复数z1=1−i2+i ，z2=11−2i，则z1−z2的虚部为（）A.−1B.0C.1D.23.已知函数f(x)＝2x，则函数f（f(x)）的值域是（）A.(0, +∞)B.(1, +∞)C.[1, +∞)D.R4.已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中不一定成立的是（）A.a+c>b+dB.a−d>b−cC.ac >bdD.√ac>√bd5.己知命题p:∀x>0，lgx<lnx，q:∃x>0，x2<√x，则下列命题中真命题是（）A.p∧qB.p∧(￢q)C.p∨qD.p∨(￢q)6.(x−√x)7的展开式中x的系数为（）A.560B.1120C.−35D.2807.历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p−1（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22−1＝3，23−1＝7，25−1＝31，27−1＝127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289−1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）（）A.25B.29C.27D.288.若函数f(x)=sin2x2+2cos2x+ax存在单调递减区间，则实数a的取值范團是（）A.a≥1B.a≥√5C.a<1D.a<√59.若不等式组{x+y≤1x−y≥−1y≥0，所表示的平面区域被直线x+y＝z分成面积相等的两部分；则z＝（）A.12B.√22C.√2−1D.2√2−110.函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈(−π, 0)的部分图象如图所示，要得到函数y＝Asinωx的图象，只需将函数f(x)的图象（）A.向左平移π12B.向左平移π6C.向右平移π12D.向右平移π611.如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（）A.12B.44C.58D.7612.如图，F I ，F 2是双曲线C:x 2a 2−y 23=1(a >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线F 2P 与y 轴的正半轴交于点A ，△APF 1的内切圆与边PF 1切于点Q ，且|PQ|＝4，则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.√72C.2√33D.√194二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.脱贫攻坚是一项历史性工程，精准脱贫是习近平总书记给扶贫工作的一剂良方．重庆市贫困人口分布相对集中，截止目前，渝东北地区贫困户占全市贫困户48%，渝东南地区贫困户占全市贫困户32%，为精准了解重庆市贫困户现状，“脱贫攻坚”课题组拟深入到其中25户贫困户家中调研，若按地区采用分层抽样的方法分配被调研的贫困户，课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是________．在等腰梯形ABCD 中，DC →=2AB →，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA →=a ，DC →=b →，若用a →，b →表示DF →，则DF →=________．若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为________．设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n −2(n ∈N ∗)，若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n+n．（1）证明：{a n−1}为等比数列；（2）设b n=log√2|a n−1|，若不等式1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯+1b n b n+1<t对∀n∈N∗恒成立，求t的最小值．为做好创建国家生态文明单位的需要，某地甲、乙两大型企业决定先从本企业的所有员工中随机抽取8名员工，对自己所在企业的生态文明建设状况进行自我内部的评分调查（满分10，被抽取的员工的评分结果如表：（1）若分别从甲、乙两企业被抽取的8名员工中各抽取1名，在已知两人中至少一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲企业员工评分低于80分的概率；（2）用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲企业的所有员工中，再随机抽取4名员工进行评分细节调查，记抽取的这4名员工中评分不低于90分的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．如图，在四边形ABCD中，A为锐角，2cosAsin(A+C)=√3sin(C−π6)．（1）求A+C；（2）设△ABD、△CBD的外接圆半径分别为r1，r2，若1r1+1r2≤mDB恒成立，求实数m的最小值．已知函数f(x)＝aln(x+1)+x2−ax，a≠0．（1）当a>0时，求f(x)的单调区间（2）若存在x∈(−1, +∞)使得f(x)<a+1成立，求a的取值范围．已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P为抛物线C上一点，|PF|＝4，O为坐标原点，∠OFP＝120∘．（1）求抛物线C的方程；（2）设Q为抛物线C的准线上一点，过点F且垂直于OQ的直线交抛物线C于A，B两点记△QAB，△OAB的面积分别为S1，S2，求1S2−1S1的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−1+ty=2−t（t为参数），以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P(−1, 2)，直线l与曲线C相交于AB两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x+1|+|2x−1|．（1）解不等式f(x)≤2；（2）若f(x)≥3a2+b2对任意x∈R恒成立，求a+b的取值范围．2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}，则A∩B＝（）A.{1}B.{1, 2}C.{1, 2, 3}D.{1, 2, 3, 4}【解答】∵集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}＝{x|−√6<x<√6}，∴A∩B＝{1, 2}．2.已知复数z1=1−i2+i ，z2=11−2i，则z1−z2的虚部为（）A.−1B.0C.1D.2【解答】∵z1=1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−35i，z2=11−2i =1+2i(1−2i)(1+2i)=15+25i，∴z1−z2=15−35i−15−25i=−i，∴z1−z2的虚部为−1．3.已知函数f(x)＝2x，则函数f（f(x)）的值域是（）A.(0, +∞)B.(1, +∞)C.[1, +∞)D.R【解答】由指数函数的性质可知，函数f(x)＝2x的值域为(0, +∞)，令t＝2x，则t>0，∴f（f(x)）＝f(t)＝2t>20＝1，即所求函数的值域为(1, +∞)．4.已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中不一定成立的是（）A.a+c>b+dB.a−d>b−cC.ac >bdD.√ac>√bd【解答】A．∵a>b>0，c>d>0，∴a+c>b+d，故A成立；B ．∵c >d >0，∴−d >−c ，又a >b >0，∴a −d >b −c ，故B 成立；C ．由a >b >0，c >d >0，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，则ac=bd ，故C 不一定成立；D ．∵a >b >0，c >d >0，∴ac >bd >0，∴√ac >√bd ．5.己知命题p:∀x >0，lgx <lnx ，q:∃x >0，x 2<√x ，则下列命题中真命题是（ ） A.p ∧q B.p ∧(￢q) C.p ∨q D.p ∨(￢q)【解答】对于命题p ：当x ＝1时，lgx ＝lnx ＝0， 所以命题p:∀x >0，lgx <lnx ，为假命题， 对于命题q ：当x =12时，x 2=14<√x =√22， 所以命题q:∃x >0，x 2<√x ，为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∧(￢q)为假命题，p ∨q 为真命题，p ∨(￢q)为假命题． 6.(x −√x)7的展开式中x 的系数为（ ） A.560 B.1120 C.−35 D.280【解答】 (x −√x)7的展开式的通项公式为T r+1=C 7r (−2)r x 7−32r ，则令7−3r 2=1，求得r ＝4，可得x 的系数为C 74⋅⋅(−2)4＝560，7.历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p −1（p 是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22−1＝3，23−1＝7，25−1＝31，27−1＝127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289−1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）（ ） A.25 B.29 C.27 D.28【解答】lg(289−1)≈89lg2≈26.789，故289−1≈1026.789，故第10个梅森数的位数为27，8.若函数f(x)=sin2x2+2cos2x+ax存在单调递减区间，则实数a的取值范團是（）A.a≥1B.a≥√5C.a<1D.a<√5【解答】由题意可得，f′(x)＝cos2x−2sin2x+a<0有解，则a<2sin2x−cos2x=√5sin(2x+φ)有解，即a<[√5sin(2x+φ)]max，所以a<√5．9.若不等式组{x+y≤1x−y≥−1y≥0，所表示的平面区域被直线x+y＝z分成面积相等的两部分；则z＝（）A.12B.√22C.√2−1D.2√2−1【解答】由图可知，x+y＝z将可行域划分为两块区域，{x+y=zx−y=−1⇒{x=z−12y=z+12⇒D(z−12, z+12)其中AE＝z−(−1)＝z+1；∴三角形ADE部分的面积等于△ABC的12；即S=12(z+1)⋅z+12=12⇒z=√2−1（负值舍）．10.函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈(−π, 0)的部分图象如图所示，要得到函数y＝Asinωx的图象，只需将函数f(x)的图象（）A.向左平移π12B.向左平移π6C.向右平移π12D.向右平移π6【解答】由函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, −π<φ<0)的部分图象，可得A＝2，由f(0)＝1，f(2π3)＝−2可得，ω＝2，φ=−π3，∴f(x)＝2cos(2x−π3)＝2sin(2x+π6)＝2sin[2(x+π12)]，故可将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到y＝2sin2x的图象．11.如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（）A.12B.44C.58D.76【解答】根据题意，分4种情况讨论：若尾数为1：则前三位的数字可能为027，036，045，共C21⋅A22⋅3=12，还可能为234，有A33=6种；若尾数为3：则前三位的数字可能为016，025，共C21⋅A22⋅2=8，还可能为124，有A33=6种；若尾数为5：则前三位的数字可能为014，023，045，共C21⋅A22⋅2=8；若尾数为7：则前三位的数字可能为012，共C21⋅A22=4．综上所述，共有12+6+8+6+8+4＝44种；12.如图，F I，F2是双曲线C:x 2a −y23=1(a>0)的左、右焦点，点P是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于点A，△APF1的内切圆与边PF1切于点Q，且|PQ|＝4，则双曲线C的离心率为（）A.2B.√72C.2√33D.√194【解答】PQ ＝PF 1−F 1Q ＝PF 1−F 1M ＝PF 1−NF 2＝PF 1−(PF 2+PQ) ⇒PQ =12(PF 1−PF 2)=a ，∴a ＝4，b =√3，∴c =√19， 所以双曲线的离心率为：e =√194． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.脱贫攻坚是一项历史性工程，精准脱贫是习近平总书记给扶贫工作的一剂良方．重庆市贫困人口分布相对集中，截止目前，渝东北地区贫困户占全市贫困户48%，渝东南地区贫困户占全市贫困户32%，为精准了解重庆市贫困户现状，“脱贫攻坚”课题组拟深入到其中25户贫困户家中调研，若按地区采用分层抽样的方法分配被调研的贫困户，课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是________． 【解答】其它地区贫困户占的比例为1−48%−32%＝20%，故课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是25×20%＝5户，在等腰梯形ABCD 中，DC →=2AB →，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA →=a ，DC →=b →，若用a →，b →表示DF →，则DF →=________． 【解答】DF →=12DB →+12DC →=12(DA →+AB →)+12DC →=34DC →+12DA →．若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为________． 【解答】设切点为(x 0, lnx 0+1)，则切线为y =1x 0(x −x 0)+lnx 0+1=1x 0x +lnx 0，所以1x 0=a ，lnx 0＝b ，则ab =lnx 0x 0，令g(x)=lnx x，所以g′(x)=1−lnx x 2，所以g(x)在(0, e)上单调递增，在(e, +∞)上单调递减， 则g(x)max =g(e)=1e ，即ab 的最大值为1e ，设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n −2(n ∈N ∗)，若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是________． 【解答】a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n <−2，则a n+1>a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于−2；若a n ＝−2，则a n+1＝a n ，该数列为常数列，即a n ＝2． 综上所述，λ≥−2． ∴λ的最小值是−2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n +n ． （1）证明：{a n −1}为等比数列； （2）设b n =log √2|a n −1|，若不等式1b 1b 2+1b2b 3+1b3b 4+⋯+1bn b n+1<t 对∀n ∈N ∗恒成立，求t 的最小值． 【解答】a n ＝S n −S n−1＝2a n −2a n−1−1， ⇒a n −1＝2(a n−1−1)(n ≥2)， 所以：{a n −1}为等比数列，公比为2． 令n ＝1，则有S 1＝2a 1+1⇒a 1＝−1，所以a n −1=(a 1−1)⋅2n−1=−2n ，所以a n =1−2n ， 令b n =log √2|a n −1|=log √22n =2n ， 令c n =1bn b n+1=14(1n −1n+1)，所以1b1b 2+1b2b 3+⋯+1bn b n+1=14(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=14(1−1n+1)<14， 所以t ≥14． 所以t 的最小值为14．为做好创建国家生态文明单位的需要，某地甲、乙两大型企业决定先从本企业的所有员工中随机抽取8名员工，对自己所在企业的生态文明建设状况进行自我内部的评分调查（满分10，被抽取的员工的评分结果如表：（1）若分别从甲、乙两企业被抽取的8名员工中各抽取1名，在已知两人中至少一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲企业员工评分低于80分的概率；（2）用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲企业的所有员工中，再随机抽取4名员工进行评分细节调查，记抽取的这4名员工中评分不低于90分的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望． 【解答】设事件A 为两人中至少一人评分不低于80，事件B 为甲企业评分人员低于8； 则P(B|A)=n(AB)n(A)=2×78×8−2×1=731由题意知，ξ∼B(4, 14)，则P(ξ=k)=C 4k(14)k (34)4−k ．所以其分布列如下：E(ξ)=4×14=1．如图，在四边形ABCD中，A为锐角，2cosAsin(A+C)=√3sin(C−π6)．（1）求A+C；（2）设△ABD、△CBD的外接圆半径分别为r1，r2，若1r1+1r2≤mDB恒成立，求实数m的最小值．【解答】因为sin(2A+C)+sinC=32sinC−√32cosC⇒sin(2A+C)=sin(C−π3)，所以2A+C+C−π3=π⇒A+C=2π3．由于m≥BDr1+BDr2=2sinA+2sinC=2sinA+2sin(2π3−A)=3sinA+√3cosA=2√3sin(A+π6)，又A∈(0,π2)，A+π6∈(π6, 2π3)，可得sin(A+π6)∈(12, 1],2√3sin(A+π6)∈(√3, 2√3]，所以m≥2√3．所以实数m的最小值2√3．已知函数f(x)＝aln(x+1)+x2−ax，a≠0．（1）当a>0时，求f(x)的单调区间（2）若存在x∈(−1, +∞)使得f(x)<a+1成立，求a的取值范围．【解答】f′(x)=ax+1+2x−a=x(2x+2−a)x+1，当0<a <2时， 则x ∈(−1,a−22)，f′(x)>0，函数单调递增，当x ∈(a−22, 0)，f′(x)<0，函数单调递减，x ∈(0, +∞)，f′(x)>0，单调递增，当a ＝2时，f′(x)=2x 2x+1≥0恒成立，故f(x)在(−1, +∞)上单调递增； 当a >2时，当x ∈(−1, 0)，f′(x)>0，函数单调递增，x ∈(a−22, +∞)，f′(x)>0，单调递增，x ∈(0, a−22)，f′(x)<0，函数单调递减，当a ≤0时，结合（1）可得f(x)(−1, 0)单调递减，(0, +∞)单调递增； f(x)min ＝f(0)＝0<a +1⇒a >−1；当a ≥0时，当x →−1时f(x)→−∞，所以必然存在． 综上所述a >−1．已知抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一点，|PF|＝4，O 为坐标原点，∠OFP ＝120∘． （1）求抛物线C 的方程；（2）设Q 为抛物线C 的准线上一点，过点F 且垂直于OQ 的直线交抛物线C 于A ，B 两点记△QAB ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，求1S 2−1S 1的取值范围．【解答】（1）由题可知，P(p2+2,2√3)，代入抛物线C:y 2＝2px ， 得：12＝2p(p2+2)，求出p 的值，p =2. 即可得到抛物线C 方程：y 2=4x .（2）设直线AB 的倾斜角为θ(θ>0)，直线AB 与OQ 交于点D ， 则有AB =4sin θ，QD =QO +OD =1sinθ+sinθ， 所以S 1=12AB ⋅QD =2(1+sin 2θ)sin 3θ，S 2=12AB ⋅OD =2sinθ，所以1S 1−1S 2=−sinθ2(1+sin 2θ)=12×−1sinθ+1sinθ∈[−14,0)．根据图象对称性可知，1S 1−1S 2∈[−14,0)．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t（t 为参数），以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P(−1, 2)，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求|PA|+|PB|的值． 【解答】直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y −1＝0．曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．转换为直角坐标方程为x 22+y 2=1． 直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t （t 为参数），转换为标准式为{x =−1−√22t y =2+√22t，（t 为参数），代入C 方程得到：3t 2+6√2t +14=0， 所以：t 1+t 2=−2√2，t 1t 2=143．则|PA|+|PB|=|t 1+t 2|=2√2．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x+1|+|2x−1|．（1）解不等式f(x)≤2；（2）若f(x)≥3a2+b2对任意x∈R恒成立，求a+b的取值范围．【解答】函数f(x)＝|x+1|+|2x−1|，当x≥12时，不等式f(x)≤2可化为x+1+2x−1≤2，解得：12≤x≤23；当−1<x<12时，不等式f(x)≤2可化为x+1+1−2x≤2，解得：0≤x<12；当x≤−1时，不等式f(x)≤2可化为−x−1+1−2x≤2，解得：x≥−23（不合题意，舍去）；所以不等式f(x)≤2的解集是[0, 23]；f(x)＝|x+1|+|2x−1|={3x,x≥12−x+2,−1<x<12−3x,x≤−1，画出y＝f(x)的图象，如图所示；由图象知f(x)的最小值是32，所以不等式f(x)≥3a2+b2对任意x∈R恒成立，化为3a2+b2≤32，即2a2+23b2≤1；它表示焦点在纵轴上的椭圆面，如图所示；设2a2＝cos2θ，23b2＝sin2θ，其中θ∈[0, 2π)；所以a=√22cosθ，b=√62sinθ，a+b=√22cosθ+√62sinθ=√2sin(θ+π6)；当θ+π6=π2，即θ=π3时，a+b取得最大值为√2；当θ+π6=3π2，即θ=4π3时，a+b取得最小值为−√2；所以a+b的取值范围是[−√2, √2]．。
2020年重庆市高考数学(理科)模拟试卷(3)(a卷)
2020年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（3）（A卷）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5} 2．（5分）已知夹角为θ的向量，满足•（+）＝2，且||＝2||＝2，则向量，的关系是（）A．互相垂直B．方向相同C．方向相反D．成120°角3．（5分）观察下列各式：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）＝n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）＝（2n﹣1）24．（5分）已知，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c5．（5分）如图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则x，y的值为（）A．8，2B．3，6C．5，5D．3，56．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）设平面向量＝（﹣2，1），＝（λ，2），若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是（）A．（﹣，2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）8．（5分）若a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充分必要条件9．（5分）如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知P A＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论：①x1+x2＝﹣1，②x3x4＝1，③0＜x1+x2+x3+x4＜，④0＜x1x2x3x4＜1，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知函数f（x）＝m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，则实数m的范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）曲线f（x）＝2x3﹣x﹣1在点（0，f（0））处的切线在x轴上的截距为．14．（5分）已知直线Ax+By+C＝0（其中A2+B2＝C2，C≠0）与圆x2+y2＝6交于点M，N，O是坐标原点，则|MN|＝，＝．15．（5分）三棱锥P﹣ABC，AB＝BC＝，AC＝6，PC垂直于平面ABC，PC＝2，则该三棱锥外接球的表面积．16．（5分）求函数y＝﹣x3+3x﹣5的极大值．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知数列{a n}满足（a1+2a2+…+2n﹣1a n）＝2n+1（n∈N*）．（1）求a1，a2和{a n}的通项公式；（2）记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，求实数k的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PD＝4，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且PF＝3FB．（Ⅰ）求证EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC，求平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．19．（12分）2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元）．这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：年份2010201120122013201420152016201720182019编号x123456789100.98.722.4416594132.5172.5218268销售额y根据以上数据绘制散点图，如图所示（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝cx2+d哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测2020年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）（3）把销售超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率．参考数据：，（t）2≈1483 y i＝1020x i y i＝8088t i＝385t≈25380t i y i≈67770参考公式：对于一组数据（（u1，v1），（u2，v2），…（u n，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，．20．（12分）已知函数f（x）＝x2e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）过点P（1，0）存在几条直线与曲线y＝f（x）相切，并说明理由；（Ⅲ）若f（x）≥k（x﹣1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（2，0）、（﹣2，0）的距离之和等于2，设点P的轨迹为C，斜率为k的直线l过点（2，0），且与轨迹C交于A、B两点．（1）写出轨迹C的方程；（2）如果|AB|＝，求k的值；（3）是否存在直线l，使得在直线x＝3上存在点M，满足△ABM为等边三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（θ为参数，θ∈R）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与y轴的上下两个交点分别为P，Q，M为l上一动点，求|MP|+|MQ|的最小值．23．已知函数的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m ，证明：．2020年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（3）（A卷）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，∴A∩B＝{x∈N|1＜x＜5}＝{2，3，4}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知夹角为θ的向量，满足•（+）＝2，且||＝2||＝2，则向量，的关系是（）A．互相垂直B．方向相同C．方向相反D．成120°角【分析】根据平面向量的数量积与夹角公式，计算即可．【解答】解：由•（+）＝2，可得+•＝2，即+||×||×cosθ＝2，即22+2×1×cosθ＝2，所以cosθ＝﹣1，即θ＝π，所以、方向相反．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题，是基础题．3．（5分）观察下列各式：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）＝n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）＝（2n﹣1）2【分析】观察所给的等式，右边是奇数的平方，左边是连续的整数的和，问题得以解决，【解答】解：∵1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，∴n+（n+1）+（n+2）+…+（n+2n﹣2）＝（2n﹣1）2，故选：B．【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题4．（5分）已知，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵1＝log33＜log35＜log39＝2；0＜3﹣0.2＜1，31.2＞3，∴b＜a＜c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．（5分）如图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则x，y的值为（）A．8，2B．3，6C．5，5D．3，5【分析】根据茎叶图，结合中位数，平均数的定义和公式进行求解即可．【解答】解：甲的中位数为65，则乙的中位数为65，即y＝5，若甲乙的平均数相等，则个位数也相等，乙的个位数之和为9+1+7+5+8＝30，个位数为0，则甲的个位数之和为6+2+5+x+4＝17+x，若个位数为0，则x＝3，即则x，y的值为3，5，故选：D．【点评】本题主要考查茎叶图的应用，结合中位数和平均数的定义是解决本题的关键．在利用平均数相等的条件中，可以使用个数数相等的技巧进行计算．可以避开复杂的公式计算．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】利用三视图，判断几何体是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截去四面体A﹣A1B1D1，利用体积公式求值．【解答】解：由三视图得，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截去四面体A﹣A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为a，则V三棱锥＝×a3＝a3，故正方体的体积为：a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为：．故选：C．【点评】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答．7．（5分）设平面向量＝（﹣2，1），＝（λ，2），若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是（）A．（﹣，2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】根据向量的夹角为锐角即可得出，解出λ的范围即可．【解答】解：∵与的夹角为锐角，∴且不共线，∴，解得λ＜1且λ≠﹣4，∴λ的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，向量夹角的定义，向量数量积的坐标运算，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．8．（5分）若a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充分必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，当若“a＞b＞1”时，由对数函数的性质可得：log2a＞log2b＞0，可得log b2＞log a2成立．当若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知log2a＞log2b＞0，必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，0＞log2a＞log2b，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜0＜log b2，则必有0＜a＜1＜b；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．属于基础题．9．（5分）如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知P A＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC，AD所成角的余弦值．【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，D是棱PB的中点，P A＝BC＝2，AB ＝4，CB⊥AB，∴以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，4，2），C（2，0，0），A（0，4，0），B（0，0，0），D（0，2，1），＝（2，﹣4，﹣2），＝（0，﹣2，1），设异面直线PC，AD所成角为θ，则cosθ＝||＝||＝＝．所以异面直线PC，AD所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，解题时要注意向量法的合理运用，是中档题．10．（5分）从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（）A．B．C．D．【分析】记儿童体型合格的概率为事件A，身体关节构造合格的概率为事件B．则P（A）＝，P（B）＝，且A，B相互独立，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率P＝1﹣P（），代入公式即可求解．【解答】解：记儿童体型合格的概率为事件A，身体关节构造合格的概率为事件B．则P（A）＝，P（B）＝，且A，B相互独立，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率P＝1﹣P（）＝1﹣＝．故选：B．【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，属于基础试题．11．（5分）已知函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论：①x1+x2＝﹣1，②x3x4＝1，③0＜x1+x2+x3+x4＜，④0＜x1x2x3x4＜1，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知画出图形，求得x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，再把x1+x2+x3+x4与x1x2x3x4分别转化为x3与x1的函数求解，则答案可求．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象如图，则x1+x2＝﹣2，故①错误；由f（x3）＝f（x4），得|log2x3|＝|log2x4|，∴﹣log2x3＝log2x4，则log2（x3x4）＝0，即x3x4＝1，故②正确；x1+x2+x3+x4＝﹣2+x3+x4＝﹣2，由log2x＝﹣1，得x＝，则＜x3＜1，∴﹣2∈（0，），即0＜x1+x2+x3+x4＜，故③正确；x1x2x3x4＝x1x2＝x1（﹣2﹣x1）＝﹣，∵﹣2＜x1＜1，∴﹣∈（0，1），即0＜x1x2x3x4＜1，故④正确．∴正确命题的个数是3个．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，则实数m的范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）【分析】由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，即＜在[1，e]上有解，令h（x）＝，则h′（x）＝，然后求出h（x）的最大值，利用＜h（x）max能求出m的取值范围．【解答】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，∴mx＜2lnx，即＜在[1，e]上有解，令h（x）＝，则h′（x）＝，∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，∴h（x）max＝h（e）＝，∴＜h（e）＝，∴m＜．∴m的取值范围是（﹣∞，）．故选：B．【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）曲线f（x）＝2x3﹣x﹣1在点（0，f（0））处的切线在x轴上的截距为﹣1．【分析】先求导数，然后求出切点处的导数即切线斜率，然后写出切线的点斜式方程，最后令y＝0可得截距．【解答】解：f′（x）＝6x2﹣1，∴k＝f′（0）＝﹣1，而f（0）＝﹣1，∴切线方程为y+1＝﹣x，令y＝0得x＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要是考查了利用导数求切线方程的基本思路，属于基础题．14．（5分）已知直线Ax+By+C＝0（其中A2+B2＝C2，C≠0）与圆x2+y2＝6交于点M，N，O是坐标原点，则|MN|＝2，＝﹣10．【分析】由已知结合直线与圆相交的性质可|MN|，然后结合锐角三角函数的定义可求cosθ，再由向量数量积的定义即可求解．【解答】解：由中A2+B2＝C2，C≠0可知，圆心到直线Ax+By+C＝0的距离d＝＝1，|MN|＝2＝2，设与的夹角为θ，则cos（π﹣θ）＝＝，所以cosθ＝，所以，＝＝﹣10．故答案为：2；﹣10．【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质的应用及向量数量积的定义的应用，属于基础试题．15．（5分）三棱锥P﹣ABC，AB＝BC＝，AC＝6，PC垂直于平面ABC，PC＝2，则该三棱锥外接球的表面积π．【分析】根据已知条件得出△ABC的外接圆的半径，利用勾股定理得出外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB＝BC＝，AC＝6，∴cos C＝，∴sin C＝，∴△ABC的外接圆的半径＝＝，设三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为d，则R2＝d2+（）2＝（2﹣d）2+（）2，∴该三棱锥的外接球半径为R2＝，表面积为：4πR2＝4π×＝π，故答案为：π．【点评】本题综合考查了空间几何体的性质，考查三棱锥的外接球表面积，正确求出三棱锥的外接球半径是关键，属于中档题．16．（5分）求函数y＝﹣x3+3x﹣5的极大值﹣3．【分析】根据题意对函数y＝f（x）求导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值．【解答】解：函数y＝f（x）＝﹣x3+3x﹣5，x∈R；则f′（x）＝﹣3x2+3＝﹣3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或x＝1；列表讨论：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴当x＝﹣1时，函数取得极小值为f（﹣1）；当x＝1时，函数取得极大值为f（1）＝﹣1+3﹣5＝﹣6．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求极值的应用问题，是基础题．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知数列{a n}满足（a1+2a2+…+2n﹣1a n）＝2n+1（n∈N*）．（1）求a1，a2和{a n}的通项公式；（2）记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用已知条件建立不等式组求出参数的范围【解答】解：（1）由题意得，所以：，．解得：a2＝6．由，所以，相减得﹣（n﹣1）•2n，得a n＝2n+2，n＝1也满足上式．所以{a n}的通项公式为a n＝2n+2．（2）数列{a n﹣kn}的通项公式为：a n﹣kn＝2n+2﹣kn＝（2﹣k）n+2说以：该数列是以4﹣k为首项，公差为2﹣k的等差数列，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，等价于当n＝4时，S n取得最大值，所以解得．所以实数k的取值范围是[]．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PD＝4，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且PF＝3FB．（Ⅰ）求证EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC，求平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）取MD的中点N，连结EN，FN，推导出EN∥AD，FN∥BD，从而平面ENF∥平面ABCD，由此能证明EF∥平面ABCD．（Ⅱ）设AB的中点为G，以D为坐标原点，DG为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取MD的中点N，连结EN，FN，∵E为AM的中点，∴EN∥AD，又∵M为PD的中点，N为MD的中点，∴PN＝3ND，∵PF＝3FB，∴FN∥BD，∵EN∩FN＝N，AD∩BD＝D，∴平面ENF∥平面ABCD，∵EF⊂平面ENF，∴EF∥平面ABCD．解：（Ⅱ）∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD，设AB的中点为G，以D为坐标原点，DG为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（），C（0，2，0），P（0，0，4），则＝（﹣），＝（0，﹣2，4），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2，），同理得平面P AD的法向量＝（），设平面P AD与平面PBC所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝，∴平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元）．这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：年份2010201120122013201420152016201720182019编号x123456789100.98.722.4416594132.5172.5218268销售额y根据以上数据绘制散点图，如图所示（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝cx2+d哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测2020年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）（3）把销售超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率．参考数据：，（t）2≈1483 y i＝1020x i y i＝8088t i＝385t≈25380t i y i≈67770参考公式：对于一组数据（（u1，v1），（u2，v2），…（u n，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，．【分析】（1）直接由散点图判断函数模型；（2）由已知求得c与d的值，即可求得y关于x的回归方程，取x＝11求得y值，即可预测2020年天猫双十一销售额；（3）直接利用枚举法结合古典概型概率公式求解．【解答】解：（1）由散点图可知，y＝cx2+d适宜作为销售额y关于x的回归方程类型；（2）令t＝x2，则y＝ct+d．t i＝385＝38.5，y i＝1020＝102．c ＝≈≈2.7，d ＝≈﹣2.0．∴y＝2.7t﹣2.0，则y关于x的回归方程为y＝2.7x2﹣2.0，取x＝11，得y＝2.7×121﹣2＝324.7（十亿元）．预测2020年天猫双十一销售额为324.7（十亿元）；（3）2010年到2019年这十年中“畅销年”有4年，其中“狂欢年”有2年．从中任取2个，基本事件总数为（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共6个，至少取到一个“狂欢年”的事件数为（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共5个．则至少取到一个“狂欢年”的概率为．【点评】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，训练了利用古典概型概率公式求概率，考查计算能力，是中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝x2e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）过点P（1，0）存在几条直线与曲线y＝f（x）相切，并说明理由；（Ⅲ）若f（x）≥k（x﹣1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用f′（x）＝x（x+2）e x＞0或＜0即可求得f（x）的单调区间；（Ⅱ）过点P（1，0）过的切线方程为﹣＝（+2x0）（1﹣x0），化简得x0（x0+）（x0﹣）＝0，通过该方程解的个数可判断过点P（1，0）存在几条直线与曲线y＝f（x）相切；（Ⅲ）若f（x）≥k（x﹣1）对任意x∈R恒成立，设g（x）＝x2e x﹣k（x﹣1），方法1：分k＝0、k＜0、k＞0三类讨论后，只需考虑x＞1时情况；转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立，构造函数，令h（x）＝（x＞1），利用导数可求得其最小值，从而可得实数k的取值范围．方法2：不用讨论k，只讨论x，分x＝1，x＞1两类讨论，重点关注后者，可转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立，以下分析方法同方法1．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）f′（x）＝（x2+2x）e x＝x（x+2）e x………………（1分）f′（x）＞0得，x＜﹣2或x＞0；f′（x）＜0得，﹣2＜x＜0；………………（2分）所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；单调减区间为（﹣2，0）………（3分）（Ⅱ）过（1，0）点可做f（x）的三条切线；理由如下：………………（1分）设切点坐标为（x0，），过切点的切线方程为y﹣＝（+2x0）（x﹣x0）………………（2分）切线过（1，0）点，代入得﹣＝（+2x0）（1﹣x0），化简得x0（x0+）（x0﹣）＝0，…………（3分）方程有三个解，x0＝0，x0＝﹣，x0＝，即三个切点横坐标，…………（4分）所以过（1，0）点可做f（x）的三条切线．（Ⅲ）设g（x）＝x2e x﹣k（x﹣1），………………（1分）方法11°k＝0时，x2e x≥k（x﹣1）成立；………………（1分）2°k＜0时，若x，f（0）＝0＞k（0﹣1）不成立，所以k＜0不合题意．………………（2分）3°k＞0时，x≤1时，h（x）＞0显然成立，只需考虑x＞1时情况；转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立．………………（3分）令h（x）＝（x＞1），h′（x）＝＝，………………（3分）当1＜x＜时，h′（x）＜0，h′x）单调减；当x＞时，h′（x）＞0，h（x）单调增；所以h（x）min＝h（）＝＝（2+2）≥k，………………（4分）所以k≤（2+2）．综上，k的取值范围是[0，（2+2）]………………（7分）方法2：不用讨论k，只讨论x．1°x＝1，成立；………………（1分）2°x＞1转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立………………（2分）令h（x ）＝（x＞1），h′（x ）＝＝，………………（3分）当1＜x ＜时，h′（x）＜0，h（x）单调减；当x ＞时，h′（x）＞0，h（x）单调增；所以h（x）min＝h （）＝＝（2+2）≥k，………………（4分）所以k≤（2+2）．3°当x＜1时转化为≤k对任意x∈（﹣∞，1）恒成立………………（5分）同2°，令h（x ）＝（x＜1），h′（x ）＝，列下表x （﹣∞，﹣﹣（﹣，0）0 （0，1））h′（x）﹣0+0﹣h（x）减极小值增极大值减当x＜1时，易得h（x ）＝≤0，h（0）＝0，所以h max＝h（0）＝0≤k；即k≥0，………………（6分）综上，k的取值范围是[0，（2+2）]．………………（7分）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值及利用导数研究曲线上某点切线方程，考查等价转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想的综合运用，要求逻辑思维能力强，运算量大，属于难题．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（2，0）、（﹣2，0）的距离之和等于2，设点P的轨迹为C，斜率为k的直线l过点（2，0），且与轨迹C交于A、B两点．（1）写出轨迹C的方程；（2）如果|AB|＝，求k的值；（3）是否存在直线l，使得在直线x＝3上存在点M，满足△ABM为等边三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据点P到两点（2，0）、（﹣2，0）的距离之和等于2，且2＞4，可知轨迹为椭圆，从而求出轨迹C的方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出弦长与已知弦长相等，可求出直线斜率；（3）将△ABM为等边三角形转化为MN⊥AB，且|MN|＝|AB|，利用第（2）的弦长以及两点间距离公式可求得答案．【解答】解：（1）∵点P到两点（2，0）、（﹣2，0）的距离之和等于2，且2＞4，∴点P的轨迹是以（2，0）、（﹣2，0）为焦点的椭圆，且c＝2，a＝，∴b2＝a2﹣c2＝2，∴点P的轨迹为C的方程为：；（2）直线l的方程为：y＝k（x﹣2），将其代入到，整理得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，，∴|AB|＝＝＝＝＝∴＝，即k2＝1，∴k＝±1；（3）假设存在点M（3，y0）满足题意，设AB的中点为N（），由（2）知：，y1+y2＝k（x1+x2）﹣4k＝，∴N（，），∵△ABM为等边三角形，∴MN⊥AB，且|MN|＝|AB|，∴，|MN|＝＝＝，∴＝•，化简得：k2＝1，∴k＝±1，∴存在直线l：y＝±（x﹣2），使得在直线x＝3上存在点M，满足△ABM为等边三角形．【点评】本题主要考查了椭圆的定义以及标准方程、弦长公式、韦达定理、两直线垂直的斜率关系，是中档题．四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与y轴的上下两个交点分别为P，Q，M为l上一动点，求|MP|+|MQ|的最小值．【分析】（1）利用参数方程化为普通方程，极坐标化为直角坐标方程即可．（2）画出图形，求出对称点的坐标，利用距离公式求解表达式的最小值即可．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R）．可得直角坐标方程为：，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．可得x﹣y＝3．（2）曲线C与y轴的上下两个交点分别为P（0，2），Q（0，﹣2），M为l上一动点，|MP|+|MQ|的最小值就是Q关于直线x﹣y＝3对称点Q′到P的距离．所以Q′（1，﹣3），|MP|+|MQ|的最小值：＝．【点评】本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．23．已知函数的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m，证明：．【分析】（1）去掉绝对值符号，利用分段函数求解函数的最值，通过m即可．（2）利用重要不等式a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，利用综合法证明即可．【解答】（1）解：根据题意，函数，所以f（x）为在单调递减，在单调递增，所以．（2）证明：由（1）知，m＝1，所以a+b+c＝1，又因为a，b，c为正实数，a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，所以2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），即a2+b2+c2≥ab+bc+ac，所以1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），即．【点评】本题考查含有绝对值的函数的最值，基本不等式的应用等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算，是中档题．。
2020年重庆市高考数学(理科)模拟试卷(6)
∴ ?RA＝ { x|x＜ 3} ，
∵ B＝ { x|1＜x≤9} ，
∴（ ?RA）∩ B＝ { x|1＜ x＜ 3} ，
故选： A．
1
2．（ 5 分）设 z＝ 4﹣ 3i，则在复平面内 对应的点位于（
）
??
A ．第一象限
B ．第二象限
C．第三象限
D ．第四象限
【解答】 解：由题意得 z＝ 4﹣ 3i ，
2020 年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（ 6）
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）设集合 A＝ { x|y= √??- 3} ， B＝ { x|1＜x≤ 9} ，则（ ?RA）∩ B＝（ ）
A ．（ 1， 3）
B ．（3， 9）
C． [3， 9]
1
2．（ 5 分）设 z＝ 4﹣ 3i，则在复平面内
+
的值．
|????| |????|
23．设函数 f （x）＝ |x﹣ a|+|x﹣ 4|（ a≠ 0）．
（ 1）当 a＝ 1 时，求不等式 f（x）＜ x 的解集；
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（ 2）若 ??(??+) 1 ≥ 4??恒成立，求 a 的取值范围．
第 5页（共 23页）
2020 年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（ 6）
级、中学高级； ⑥ 无论是否把我计算在内，以上条件都成立．由此队员的叙述可以推测
出他的学段及职称分别是
、
．
16．（ 5 分）设函数 f （ x）是偶函数，当
??(3- ??)， 0 ≤ ??≤ 3
x≥0 时， f（ x） =
{ -
3 ??+
2020年重庆市高考理科数学仿真模拟试题一(附答案)
2020年重庆市高考理科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}03A x x =<<，{}2log 1B x x =>则A B ⋂=（ ） A. (2,3)B. (0,3)C. (1,2)D. (0,1)2. 若p ：x R ∀∈，c o s 1x ≤，则（ ） A. p ⌝：0x R ∃∈，0cos 1x > B. p ⌝：x R ∀∈，cos 1x > C. p ⌝：0x R ∃∈，0cos 1x ≥ D. p ⌝：x R ∀∈，cos 1x ≥3. 下列说法中，正确的是（ ）A. 命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B. 命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是：“任意2,0x R x x ∈-≤” C. 命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D. 已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件4. 设函数2,3,()(1),3x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩则()2log 6f 值为（ ） A. 3B. 6C. 8D. 125. 函数21010()x xf x x--=的图像大致为（ ）A. B. C. D.6. 已知向量a ，b 满足1a =，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（ ） A. 4B. 3C. 2D. 17. 某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）正视图 仰视图 俯视图A. B.C.D.8. 一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ） A. 若，则乙有必赢的策略 B. 若，则甲有必赢的策略 C. 若，则甲有必赢的策略D. 若，则乙有必赢的策略9．若函数f （x ）＝a sin x +cos x （a 为常数，x ∈R）的图象关于直线x ＝6π对称，则函数g （x ）＝sin x +a cos x 的图象（ ） A ．关于直线x ＝－3π对称 B ．关于直线x ＝6π对称 C ．关于点（3π，0）对称 D ．关于点（56π，0）对称 10．三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥底面ABC ，若SA ＝AB ＝BC ＝AC ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．18πB ．212πC ．21πD ．42π11．直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A 、B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最小值为( ) A 0 B. 2 C.12- D. 12+12．抛物线2y 2px =p>0（）的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且120AFB ∠=，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为1M ，则1MM AB的最大值为（ ）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届 重庆市 高三高考模拟调研(三)(康德卷)数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市高三高考模拟调研（三）（康德卷）数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2230,N A x x x x =--<∈，集合{}2xB y y ==，则A B =I ( )A ．{}1,2B ．{}1,2,8C ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．∅【答案】A【解析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可得出集合A B I .【详解】{}{}{}2230,N 13,N 0,1,2A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=Q ，{}{}20x B y y y y ===>，因此，{}1,2A B =I .故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解以及指数函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.2．命题“0x ∀>，tan sin x x >”的否定为（ ）A ．0x ∃>，tan sin x x ≤B ．0x ∃≤，tan sin x x >C ．0x ∀>，tan sin x x ≤D ．0x ∀≤，tan sin x x ≤【答案】A【解析】利用全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.【详解】命题“0x ∀>，tan sin x x >”为全称命题，其否定为“0x ∃>，tan sin x x ≤”，故选：A.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.3．已知复数12z i =+，则55zz iz-+=（ ） A ．12i + B ．2i +C ．12i -D ．2i -【答案】B【解析】利用复数的乘法和除法法则可计算出结果.【详解】12z i =+Q ，则2125z z ⋅=+=，因此，()()()5125552121212i i zz i ii z i i i --+===+++-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的计算，涉及复数的乘法和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.4．已知向量()1,2a =r，()11b =-r ,，(),2c m =r ，且()2-⊥r r r a b c ，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．任意实数【答案】B【解析】计算出向量2a b -r r的坐标，由()2-⊥r r r a b c 得()20a b c -⋅=r r r ，结合向量数量积的坐标运算可求得实数m 的值.【详解】()1,2a =rQ ，()11b =-r ,，()23,0a b ∴-=r r ，(),2c m =rQ ，()2-⊥r r r a b c ，则()230a b c m -⋅==r r r ，解得0m =.故选：B.【点睛】本题考查利用向量垂直的坐标表示求参数，考查计算能力，属于基础题.5．已知n *∈N ，且1n >，三个数1lnn n +、11n +、1n的大小关系是（ ） A ．111ln 1n n n n +>>+ B ．111ln1n n n n +>>+C ．111ln1n n n n+>>+ D ．111ln1n n n n+>>+ 【答案】A【解析】试题分析：令()ln(1)f x x x =+-，则1()111xf x x x'=-=-++，当0x >时，()0f x '<，所以()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，所以当0x >时，()ln(1)(0)0f x x x f =+-<=恒成立，即ln(1)x x +<恒成立，令1x n=得，11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即11ln n n n+⎛⎫< ⎪⎝⎭；令()ln(1)1x g x x x =+-+，则()()2211()0111x x x g x x x x +-'=-=>+++，所以()g x 在区间[0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()ln(1)(0)01x g x x g x =+->=+，即ln(1)1x x x +>+，令1x n=得11ln 111n n n⎛⎫+> ⎪⎝⎭+，即11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭.综上所述有111ln 1n n n n +>>+，故选A. 【考点】1.导数与函数单调性；2.函数与数列不等式.6．不等式20x ax b -+<的解集为{}12x x <<，则6x a x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为( )A ．64-B ．16027-C ．2027D ．803【答案】D【解析】利用一元二次不等式的解可求得实数a 的值，进而写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解.【详解】由题意可知，1、2是二次方程20x ax b -+=的两根，由韦达定理得123a =+=，所以63x x ⎫-⎪⎭的展开式通项为633621661233rrrr r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=，得2r =，因此，二项展开式中常数项为22436180233T C ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了二项展开式中常数项的求解，考查计算能力，属于中等题.7．抛物线24y x =的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线的距离是32，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．3【答案】C【解析】求出抛物线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求出ba的值，再利用离心率公式可求得双曲线的离心率的值.【详解】抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，双曲线的渐近线方程为by x a=±，由题意得2231b a d b a ==+，解得3ba=， 因此，该双曲线的离心率为222212c a b b e a a a +⎛⎫===+= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查抛物线和双曲线几何性质的应用，在涉及利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算较为方便，考查计算能力，属于中等题. 8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．919B ．1021C ．1819D ．2021【答案】B【解析】根据程序框图得出2221114114214101S =+++⨯-⨯-⨯-L ，利用裂项相消法可求得输出的S 的值.【详解】()()21111141212122121i i i i i ⎛⎫==- ⎪--+-+⎝⎭Q，由程序框图可知，输出的S 的值为2221114114214101S =+++⨯-⨯-⨯-L 1111111012335192121⎛⎫=-+-++-= ⎪⎝⎭L . 故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.9．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【解析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．【详解】①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意；②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意.综上所述，盗窃者是甲.故选：A.【点睛】本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若2POF QOB ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．35B 35+C ．15+ D 15+ 【答案】D【解析】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为b y x a=，以12F F 为直径的圆O 的方程为222x y c +=．由222b y x a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故点P 的坐标为(,)a b ； 由22222221x y a b x y c ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得22x b c by c ⎧=+⎪⎨=⎪⎩Q 的坐标为22)a b c bc +． ∵2POF QOB ∠=∠，∴2sin sin POF QOB ∠=∠，∴222b b c c c+=，整理得2b ac =， ∴22c a ac -=，故得210e e --=，解得152e +=．选D ． 点睛：求双曲线的离心率时，可将条件中所给的几何关系转化为关于,,a b c 等式或不等式，再由222c a b =+及ce a=可得到关于e 的方程或不等式，然后解方程（或不等式）可得离心率（或其范围）．解题时要注意平面几何知识的运用，如何把几何图形中的位置关系化为数量关系是解题的关键．11．已知定义域为R 的函数()f x ，对任意x ∈R 有()()f x f x '>（()f x '是函数()f x 的导函数），若()1y f x =-为奇函数，则满足不等式()x f x e >的x 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()0,∞+D ．()1,+∞【答案】C【解析】根据函数()1y f x =-为奇函数推导出()01f =，构造函数()()xf xg x e =，利用导数可判断出函数()y g x =的单调性，将所求不等式变形为()()0g x g >，再利用函数()y g x =的单调性即可得解.【详解】由于函数()1y f x =-为奇函数，则()010f -=，可得()01f =，构造函数()()xf xg x e=，则()()0001f g e==，且()()()0xf x f xg x e-''=>，所以，函数()y g x =在R 上单调递增，由()x f x e >得()1xf x e>，即()()0g x g >，解得0x >.因此，满足不等式()xf x e >的x 的取值范围是()0,+∞.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.12．已知a 、0b >，21b a b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则当1a b +取最小值时，221a b +的值为( )A ．2B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由21b a b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得出2212a b a b b a +=+，进而可得出214a b a b b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出21a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用等号成立的条件求得2b a =，进而可得出221a b +的值. 【详解】由222112a b a a b b b a ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭得，2212a b a b b a +=+， 2221122244a a b a a b a a b b b b a b b a ⎛⎫+=++=++=+≥ ⎪⎝⎭，等号成立时4a b b a =，即2b a =，此时22123a ba b b a+=+=. 故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．不等式组222y x y ⎧≤⎨-≤⎩所表示的平面区域的面积为______.【答案】8【解析】作出不等式组所表示的平面区域，进而可求得区域的面积.【详解】不等式组2220y x y ⎧≤⎨-≤⎩即为()()220y x y x y -≤≤⎧⎨-+≤⎩，则不等式组2220y x y ⎧≤⎨-≤⎩所表示的平面区域由不等式组2200y x y x y -≤≤⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩和2200y x y x y -≤≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域合并而成，如下图所示：平面区域为两个全等的等腰直角三角形，且腰长为22因此，所求平面区域的面积为(2122282S =⨯⨯=.故答案为：8.【点睛】本题考查可行域面积的计算，解答的关键就是根据不等式组画出可行域，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+⎪⎝⎭，则2018S =______. 【答案】1008【解析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N*∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=， 201845042=⨯+Q ，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008.【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．【答案】8【解析】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.【考点】余弦定理及三角形面积公式的运用．【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.16．已知直线1:222l x y a -=-，2:24l x y a +=+及圆222:420M x y x ay a +--+=，设直线1l 、2l 分别与圆M 交于点A 、B 和点C 、D ，现随机向圆M 内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形ACBD 内的概率为______.【答案】2π【解析】求出直线1l 、2l 的交点，恰为圆M 的圆心，且12l l ⊥，进而可得知AB 、CD 是圆M 两条相互垂直的直径，由此计算出四边形ACBD 的面积以及圆M 的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】直线1l 的斜率为112k =，直线2l 的斜率为22k =-，则121k k =-，12l l ∴⊥， 将圆M 的方程化为标准方程得()()2224x y a -+-=，圆心为()2,M a ，半径为2.联立直线1l 、2l 的方程22224x y a x y a -=-⎧⎨+=+⎩，解得2x y a =⎧⎨=⎩，两直线的交点为圆心M ，所以，AB 、CD 是圆M 两条相互垂直的直径，四边形ACBD 的面积为2114822S AB CD =⋅=⨯=， 因此，所求的概率为2822P ππ==⨯. 故答案为：2π. 【点睛】本题考查几何概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，AC BC =，2AD =，6CD =.（Ⅰ）当ACD ∆的面积最大时，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若3cos B =，求AB . 【答案】（Ⅰ）20；（Ⅱ）8. 【解析】（Ⅰ）由ACD ∆的面积最大可知2ADC π∠=，利用勾股定理求出AC ，可判断出ABC ∆的形状，进而可求得ABC ∆的面积；（Ⅱ）利用二倍角余弦公式求出cos D ，在ACD ∆中利用余弦定理求出AC ，然后在ABC ∆中利用余弦定理求出AB .【详解】（Ⅰ）由1sin 2ACD S AD CD ADC ∆=⋅⋅∠知当2ADC π∠=时，ACD ∆的面积ACD S ∆最大，此时22210AC AD CD +=，4B π=，此时，ABC ∆为等腰直角三角形，其面积为1202ACD S AC BC ∆=⋅=；（Ⅱ）21cos cos 22cos 13D B B ==-=-， 在ACD ∆中，由余弦定理2222cos 48AC AD CD AD CD D =+-⋅=，43AC ∴=，AC BC =Q ，2ACB B π∴∠=-，则()1cos cos 2cos 23ACB B B π∠=-=-=，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos 64AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，因此，8AB =.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.18．李华同学将参加英语考试，英语听力考试与笔试分开进行.英语听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为34，而后又进行了笔试，李华同学在做阅读E （共4题）时，没有看懂文章，李华同学十分纠结，决定用丢色子的方法选出答案，若丢出1、2、5选A ，丢出3选B ，丢出4选C ，丢出6选D （已知4道题的正确答案依次为A 、C 、D 、D ）（I ）求李华同学听力的6分的概率；（II ）记随机变量李华做阅读E 时做对的题数为ξ，求ξ的分布列与期望.【答案】（I ）135512；（II ）分布列见解析，随机变量ξ的期望值为1. 【解析】（I ）由题意可知，李华同学做对3道听力题，利用独立重复试验的概率公式可求出所求事件的概率；（II ）由题意可知随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3、4，分别计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可得出其分布列，并利用期望公式计算出()E ξ.【详解】（I ）根据题意，听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为34， 则听力得6分的概率为323533135144512P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （II ）由题意，随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3、4，则李华做对4道阅读题的概率分别为12、16、16、16， 则()31112501126432P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()321311111200111126266432P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-+⋅-⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()221233111111902111266266432P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅-+⋅-⋅⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2323111111631126626432P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅-+-⋅=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()3111426432P ξ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭. 所以，随机变量ξ的分布列为：ξ1 234P125432 200432 90432 16432 1432因此，随机变量ξ的期望值为()12520090161012341432432432432432E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立重复试验的概率问题，同时也考查了随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查计算能力，属于中等题.19．设数列{}n a 的前n 项和n S .已知2*112121,,33n n S a a n n n N n +==---∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+？说明理由. 【答案】（1）2n a n =；（2）对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+. 【解析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+， 考虑当3n ≥时，22111111(1211n a n n n n =<=---+），再由裂项相消求和，即可得证。
2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科数学试卷(一)-学生用卷
2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科数学试卷（一）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第1题5分已知复数z满足3−z(1−i)=i，则z在复平面内对应的点位于（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第2题5分已知集合M={y|y=2x}，N={x∈N|x<3}，则集合M∩N的子集个数为（）．A. 3B. 4C. 7D. 83、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第3题5分设a=log32，b=0.3−0.7，c=log343，则（）．A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c4、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第4题5分焦点在x轴上的双曲线C1与双曲线C2:y24−x29=1共渐近线，若C1的实轴长为12，则C1的焦距为（）．A. 2√13B. 4√13C. 16D. 205、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第5题5分如图是2006−2019年这14年我国乘用车销量及增长率统计图，则下列说法错误的是（）．A. 2009年乘用车销量增长率最高B. 这14年中乘用车销量的极差超过1900万辆C. 2016年乘用车年销量的增量最大D. 后5年乘用车总销量超过前9年乘用车总销量6、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第6题5分在平行四边形ABCD中，CE→+DE→=0→，FC→=2BF→，若EF→=λAB→+μAD→，则λ−μ=（）．A. −16B. 16C. 56D. 767、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第7题5分执行如图所示的程序框图．若输入的x∈[0,6]，则输出的y的值不可能为（）．A. 8B. 20C. 21D. 228、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第8题5分已知函数f (x )=Asin(ωx +φ)（其中A >0,ω>0,|φ|<π）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）．①φ=−2π3； ②函数f (x )的图象的对称轴为直线x =kπ+7π12(k ∈Z )； ③将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )=2sin(2x −π3)的图象； ④若f (x )在区间[2π3,a]上的值域为[−A,√3]，则实数a 的取值范围为[13π12,3π2]． A. ①②④B. ①③④C. ②③D. ①④9、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第9题5分 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，1a 1+1a 2+⋯+1a 6=2，且a 1a 2⋯a 6=64，则S 6为（ ）．A. 4B. 8C. 16D. 3210、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第10题5分 如图．直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，AA 1=AC ，E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点．设过点A ，E ，F 的平面与平面BCC 1B 1的交线为l ，则直线AA 1与直线l 所成角的余弦值为（ ）．A. 211B. 913C. 3√1111D. 2√113311、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第11题5分已知椭圆C:x 25+y24=1的左、右顶点分别为A1，A2，过点A1的直线与圆O:x2+y2=1相切，且与椭圆C相交于点P，则tan∠A1PA2=（）．A. −212B. 212C. −10D. −1212、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第12题5分已知函数f(x)={12x2−2x,x⩾02x,x<0，若函数y=f(f(x)−m)+32有3个零点，则实数m的取值范围是（）．A. [−2,0]B. [−2,0)C. {−3}∪[−2,0)D. (−∞,−3]∪[−2,0)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第13题5分曲线f(x)=e x cosx在点(0,f(0))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为．14、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第14题5分中国古代有“九重天”之说，建筑构造“九”数的重复出现，意在暗合寰宇之“九重”．北京天坛的圜丘为祭天的场所，其几何尺寸更是严格采用“九”数．圜丘中央砌一圆形石板，称“太极石”，此石四周砌九块扇形石板，构成第一重，第二重砌十八块，第三重砌二十七块，⋯⋯直到第九重均为九的倍数，则从外数到内的五重扇形石板的总块数为．15、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第15题5分2020CES消费电子展于2020年1月在美国拉斯维加斯举办．CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会．在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款5G个人电脑，惊艳了全场．若该企业从包括甲、乙在内的6名员工中选出2名员工分别在上午、下午讲解该款电脑性能，再选出2名员工一起负责全天的接待工作，且甲与乙至多只能安排1人担任讲解工作，则不同的安排方案共有种（用数字作答）．16、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第16题5分如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠D=90°，AC=BC=AB=3．将△ACD沿AC折起，连接BD，得到四面体DABC，若二面角D−AC−B的大小为120°，则四面体DABC的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第17题12分在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3(b−ccosA)sin C=√3a．(1) 求C．(2) 若△ABC的面积为10√3，D为AC的中点，求BD的最小值．18、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第18题12分已知四棱锥P−ABCD的底面是直角梯形，AD⊥CD，AB//CD，AD=CD=3AB=3，△PAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且平面PAC⊥平面ABCD，点E在棱PC上，且PE=13PC，动点Q 在线段CD上运动．(1) 求证：BE//平面PAD．(2) 试确定点Q的位置，使得直线AQ与平面PBC所成角的正弦值为√1515．19、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第19题12分已知点M(0,−1)，点P在曲线y=116x2+1上运动，动点Q满足MQ→=12MP→，记点Q的轨迹为曲线C．(1) 求曲线C的方程．(2) 过点F(0,2)作互相垂直的直线l1与l2，且l1，l2分别交曲线C于点A，B和点D，E，问|AB|⋅|DE||AB|+|DE|是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．20、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第20题12分−x，其中a<2．已知函数f(x)=alnx+a−1x(1) 讨论f(x)的极值．(2) 设m∈Z，当a=1时，若关于x的不等式f(x)<m−(x−2)e x在区间(0,1]上恒成立，求m的最小值．21、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第21题12分为做好2020年的采购、销售计划，某商城从近三年的销售记录中随机抽取了50天的日纯利润数据，并制成如下频率分布直方图：(1) 由频率分布直方图可以认为，该商城近三年的日纯利润Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值），σ2近似为样本方差s2，经计算得s≈2.63．现从近三年的销售记录中任取6天，记其中日纯利润恰好在14.77万元至22.66万元之间的天数为X，求X的数学期望．(2) 为提升2020年“五一”假期期间的销售业绩，该商城决定在“五一”期间推出一档“你购物，我送福”的有奖闯关活动，凡一次性购物满100元的顾客均可参加一次该活动．活动规则如下：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、⋯、第80格，共81个方格．顾客可根据抛硬币的结果，在方格图上移动一枚棋子．若这枚棋子最终停在第79格．则认为“闯关成功”，并获得100元现金红包作为奖励；若这枚棋子最终停在第80格，则认为“闯关失败”，只赠送价值5元的小礼品．已，棋子开始在第0格，顾客每掷一次硬币，便将棋子向前移动一知硬币出现正、反面的概率都是12次．若掷出正面．则将棋子向前移动一格：若掷出反面，则将棋子向前移动两格，直到棋子移到第79格（闯关成功）或第80格（闯关失败）时，游戏结束．①设棋子移动到第n格的概率为P n，求证：当1⩽n⩽79时，{P n−P n−1}是等比数列．②试比较顾客闯关成功与失败的概率的大小．附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ⩽μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ⩽μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ⩽μ+3σ)≈0.9973．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第22题10分在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为{x=3cosαy=2sinα（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρcos(θ−π4)=5．(1) 求椭圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程．(2) 直线l上的两动点M，N满足|MN|=√2，点P在椭圆C上，以M，N，P为顶点构造平行四边形PQMN，求平行四边形PQMN面积的最大值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年重庆九龙坡区重庆市育才中学高三下学期高考模拟理科（一）第23题10分已知a，b，c均为正实数，且a2+4b2+4c2=1．(1) 证明：1a2+14b2+14c2⩾9．(2) 比较12−a2与−1128bc的大小．1 、【答案】 A;2 、【答案】 B;3 、【答案】 C;4 、【答案】 B;5 、【答案】 C;6 、【答案】 D;7 、【答案】 D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 A;12 、【答案】 C;;13 、【答案】1214 、【答案】135;15 、【答案】168;16 、【答案】13π;17 、【答案】 (1) π．3;(2) 2√5．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) Q(0,1,0)，即点Q在线段CD靠近点D的三等分点时，直线AQ与平面PBC所成角的正弦值为√15．15;19 、【答案】 (1) x2=8y．;(2) 是；8；证明见解析．;20 、【答案】 (1) a⩽1时，f(x)有唯一极大值，无极小值；a∈(1,2)时，f(x)有极小值、极大值各一个．;(2) −3．;21 、【答案】 (1) 4.9086．;(2)①证明见解析．②失败概率大于成功的概率．;22 、【答案】 (1) 椭圆C的普通方程为x29+y24=1，直线l的直角坐标方程为x+y−5=0．;(2) √26+5√2．;23 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 12−a2⩾−1128bc．;。
2020年重庆市高考数学(理科)模拟试卷(4)(a卷)
2020年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（4）（A卷）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）已知平面向量、的夹角为135°，且为单位向量，，则＝（）A．B．C．1D．3．（5分）把数列{a n}的各项按顺序排列成如下的三角形状，记A（i，j）表示第i行的第j个数，例如A（3，3）＝a7，若A（i，j）＝a2018，则j﹣i ＝（）A．36B．37C．38D．454．（5分）已知a＝log52，b＝log72，c＝0.5a﹣2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．（5分）如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩．其中乙中的两个数字被污损，且已知甲、乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．16B．20C．D．7．（5分）已知平面向量＝（2，1），＝（2，4），则向量，夹角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）设a，G，b∈R，则“G2＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）如图两个同心球，球心均为点O，其中大球与小球的表面积之比为3：1，线段AB与CD是夹在两个球体之间的内弦，其中A、C两点在小球上，B、D两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部．当四面体ABCD的体积达到最大值时，此时异面直线AD与BC的夹角为θ，则＝（）A．B．C．D．10．（5分）2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．今欲随机安排甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲恰好辅导2次的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）下列命题中，是假命题的是（）A．B．∀x∈R，sin x+cos x≠2C．函数f（x）＝|sin x+cos x|的最小正周期为2πD．＝312．（5分）已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）函数f（x）＝在点P（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣3＝0垂直，则a ＝．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y﹣1）2＝4，若等腰直角三角形P AB 的斜边AB为圆C的一条弦，则PC的最大值为．15．（5分）已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，AB＝1，若将△DEF沿直线FD翻折，使得点E落在边BC上（即点P），则当AD取最小值时，边AF的长是；此时四面体F﹣ADP的外接球的半径是．16．（5分）设函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）的两个极值点分别为x1，x2，若≤﹣2恒成立，则实数a的取值范围是．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a3＝5，S7＝49．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：T n＜3．18．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．19．（12分）2020年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时艰，为疫区助力．福建省漳州市东山县共101个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力，募捐价值百万的海鲜输送武汉．东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省漳州市东山县，是福建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处，因地理位置发展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率；（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入x i（千元）与年收益增量y i（千元）．（i ＝1，2，3，…，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，＝289.8，＝1.6，，，其中t i＝，．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．20．（12分）已知函数f（x）＝2ln（x+1）+sin x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明：x≥1+lnx；（3）证明：f（x）≤（x+1）2e sin x．21．（12分）已知F（1，0），点P在第一象限，以PF为直径的圆与y轴相切，动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C在点P处的切线的斜率为k1，直线PF的斜率为k2，求满足k1+k2＝3的点P的个数．四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系Ox，极坐标系中A（），B（），C（），D（），弧所在圆的圆心分别为（），（1，π），（），（1，0），曲线C1是弧，曲线C2是弧，曲线C3是弧，曲线C4是弧．（1）分别写出C1，C2，C3，C4的极坐标方程；（2）直线l的参数方程为（t为参数），点P的直角坐标为（2，2），若直线l与曲线C1有两个不同交点M，N，求实数λ的取值范围，并求出|PM|+|PN|的取值范围．23．已知a＞0，b＞0，a+b＝2．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）证明：+≥．2020年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（4）（A卷）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x＜3}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x≥0}，∴A∩B＝{x|0＜x≤3}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知平面向量、的夹角为135°，且为单位向量，，则＝（）A．B．C．1D．【分析】根据平面向量的数量积计算模长即可．【解答】解：由题意知，平面向量、的夹角为135°，且||＝1，，所以||＝＝，•＝1××cos135°＝﹣1，＝+2+＝1+2×（﹣1）+2＝1，所以＝1．故选：C．【点评】本题考查了根据平面向量的数量积计算模长的应用问题，是基础题．3．（5分）把数列{a n}的各项按顺序排列成如下的三角形状，记A（i，j）表示第i行的第j个数，例如A（3，3）＝a7，若A（i，j）＝a2018，则j﹣i ＝（）A．36B．37C．38D．45【分析】由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，②每一行种的数字都是逐渐递增的，根据规律求得．【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，②每一行种的数字都是逐渐递增的所以第44行的最后一个项的项数为442＝1936，即为a1936；所以第45行的最后一个项的项数为452＝2025，即为a2025；所以若A（m，n）＝a2018，一定在45行，即i＝45，所以a1937是第第45行的第一个数，2018﹣1937+1＝82，故j＝82．所以j﹣i＝82﹣45＝37．故选：B．【点评】本题考查归纳推理，考查利用数列的递推式解决数学问题的能力，要求会根据图形归纳总计得到一组数的规律，是中档题．4．（5分）已知a＝log52，b＝log72，c＝0.5a﹣2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵1＜log25＜log27，∴1＞log52＞log72，又0.5a﹣2＞0.5﹣1＝2，则c＞a＞b，故选：A．【点评】本题考查了对数函数的单调性、对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩．其中乙中的两个数字被污损，且已知甲、乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据茎叶图分别求出甲、乙的中位数，平均数进行比较；【解答】解：由题意可得：甲的成绩为：84、86、91、98、98；中位数为91，平均数为；乙的成绩为：86，88，90+x，90+y，99 （x≤y）；∵甲，乙中位数相同；∴90+x＝91⇒x＝1；乙的平均数为；∵乙的平均成绩低于甲；∴1≤y＜3；⇒y＝1或2．∴乙的平均成绩低于甲的概率p＝；故选：A．【点评】本题考查了茎叶图，以及中位数、平均数的性质；考查了学生的计算能力，属于基础题．6．（5分）某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．16B．20C．D．【分析】三视图复原的几何体是长方体的一部分，依据三视图的数据，得出长方体长、宽、高，然后求解几何体的表面积．【解答】解：三视图复原的几何体是长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的表面积为：＝20+2．故选：D．【点评】此题考查了由三视图判断几何体，考查三视图的读图能力，计算能力，空间想象能力，本题是基础题，常考题型．7．（5分）已知平面向量＝（2，1），＝（2，4），则向量，夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据向量的坐标，以及向量夹角的余弦公式即可求出的值．【解答】解：∵＝（2，1），＝（2，4），∴．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．8．（5分）设a，G，b∈R，则“G2＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】结合等比中项的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：若G是a，b的等比中项，则G2＝ab．当a＝b＝G＝0时，满足G2＝ab，但a，G，b不能构成等比数列，所以“G2＝ab”是“G是a，b的等比中项”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质和定义进行判断是解决本题的关键．属于基础题．9．（5分）如图两个同心球，球心均为点O，其中大球与小球的表面积之比为3：1，线段AB与CD是夹在两个球体之间的内弦，其中A、C两点在小球上，B、D两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部．当四面体ABCD的体积达到最大值时，此时异面直线AD与BC的夹角为θ，则＝（）A．B．C．D．【分析】首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为，内切球和外接球的表面积之比为1：3，符合题意中的小球和大球的比例．判断当四面体ABCD体积最大时，AB，CD的位置关系，作出异面直线AD，BC所成的角θ，解直角三角形求得．【解答】解：设正方体的边长为2，则其内切球半径为1，外接球的半径为，∴内切球和外接球的表面积之比为1：3，符合题意中的小球和大球的比例，依题意CD，AB最长为，AC最长为小球的直径2．∵三角形的面积，若a，b为定值，则时面积取得最大值．画出图象如下图所示，其中A，C分别是所在正方形的中心，O是正方体内切球与外接球的球心，CD∥AD1，CD＝AD1，CB1∥AB，CB1＝AB．∵，故此时四面体A﹣BCD的体积最大．∵CE∥AB，CE＝AB，∴四边形ABCE为平行四边形，∴BC∥AC，∴∠ADE是异面直线BC和AD所成角，∴∠ADE＝θ，∵AD＝AE，设G是DE的中点，则AG⊥DE，∴，∴．故选：A．【点评】本题考查了几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属中档题．10．（5分）2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．今欲随机安排甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲恰好辅导2次的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，相当于每天从2人中选一人，且每人至少被选一次的选法，然后求出甲恰好辅导2次的安排方法的结果数，再结合等可能事件的概率公式即可求解．【解答】解：甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，相当于每天从2人中选一人，且每人至少被选一次的选法有24﹣2＝14种选法，则甲恰好辅导2次的时间有甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲甲乙，乙甲乙甲，乙乙甲甲共6种安排法；故概率P＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解，属于基础试题．11．（5分）下列命题中，是假命题的是（）A．B．∀x∈R，sin x+cos x≠2C．函数f（x）＝|sin x+cos x|的最小正周期为2πD．＝3【分析】对每一选项继续分析A、根据三角函数的性质，即可判断；B、sin x+cos x＝sin （x+）≤≠2，即可判断；C、利用周期函数定义即可判断；D、22l0g43＝2l0g23＝3，即可判断．【解答】解：A、根据三角函数的性质，y＝cos x在x∈（0，）单调递减，y＝sin x在x∈（0，）单调递增，当x∈（0，）时y＝cos x的图象在y＝sin x图象上方，在如图所示所以正确；B、∀x∈R，sin x+cos x＝sin（x+）≤≠2，故正确；C、利用周期函数定义即可判断，|sin x+cos x|＝|sin（x+）|的最小正周期为π可知不正确；D、22log43＝2log23＝3，正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的性质，对数的运算，比较基础．12．（5分）已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g （x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，﹣x3+1+a＝﹣3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2﹣＝，又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范围是[0，e3﹣4]；故选：A．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于x轴对称的点转化为方程a﹣x3＝﹣3lnx⇔﹣a＝3lnx﹣x3在上有解．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）函数f（x）＝在点P（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣3＝0垂直，则a ＝．【分析】先对函数求导数，利用切点处导数值为切线斜率求出a的值．【解答】解：由题意得：．又∵切线与直线2x+y﹣3＝0垂直，故切线斜率k＝．∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查导数的几何意义，要注意两直线垂直时斜率的关系，不要将垂线当成切线．属于基础题．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y﹣1）2＝4，若等腰直角三角形P AB 的斜边AB为圆C的一条弦，则PC的最大值为．【分析】根据已知条件得出CP⊥AB且平分AB，设∠ACP＝α，把|PC|的长用α表示出来，再结合三角函数的性质即可求解．【解答】解：连接圆心C与P，则CP⊥AB且平分AB，设交点为D，设∠ACP＝α，则|CD|＝|AC|cosα，|AD|＝|AC|sinα，∵等腰直角△P AB中，D为斜边中点，∴|AD|＝|DP|，∴|PC|＝|CD|+|DP|＝2cosα+2sinα＝2sin（α+），当α+＝，即α＝时|PC|的长达到最大值，∴PC的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用三角函数求最值，是中档题．15．（5分）已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，AB＝1，若将△DEF沿直线FD翻折，使得点E落在边BC上（即点P），则当AD取最小值时，边AF的长是；此时四面体F﹣ADP的外接球的半径是．【分析】由已知中矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E恰与BC上的点P重合．设AB＝1，F A＝x（x＞1），AD＝y，我们利用勾股定理分别求出BP，PC，根据BC＝BP+PC，可以得到x，y的关系式，利用换元法结合二次函数的性质，可得答案．四面体F﹣ADP的外接球的球心为DF的中点，即可求出四面体F﹣ADP的外接球的半径．【解答】解：设F A＝x（x＞1），AD＝y，∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB＝1，F A＝x（x＞1），AD＝y，∴FE＝FP＝AD＝BC＝y，AB＝DC＝1，F A＝DE＝DP＝x在Rt△DCP中，PC＝在Rt△F AP中，AP＝在Rt△ABP中，BP＝∵BC＝BP+PC＝+＝y整理得y2＝，令x2＝则y2＝，则当t＝，即x＝时，y取最小值2．四面体F﹣ADP的外接球的球心为DF的中点，DF＝＝，四面体F﹣ADP的外接球的半径是．故答案为：，．【点评】本题考查的知识点是空间两点之间的距离计算，由于本题是几何与代数知识的综合应用，运算量比较大，而且得到的x，y的关系比较复杂，因此要用换元法，简单表达式．16．（5分）设函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）的两个极值点分别为x1，x2，若≤﹣2恒成立，则实数a的取值范围是a≥e+．【分析】由函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）有两个极值点分别为x1，x2，可知f（x）不单调，利用导数求得a的范围，运用韦达定理可得a＝x1+x2＝x2+＞2，作差f（x1）﹣f（x2），再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数F（x）＝﹣x+•lnx（x＞1），通过求导，判断单调性可得x2≥e，即可得到a的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）有两个极值点分别为x1，x2，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣﹣1+＝﹣，令g（x）＝x2﹣ax+1，其判别式△＝a2﹣4．当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．当a＜﹣2时，△＞0，g（x）＝0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，则f （x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．当a＞2时，△＞0，设g（x）＝0的两个根x1，x2都大于零，令x1＝，x2＝，x1x2＝1，当0＜x＜x1时，f′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，当x＞x2时，f′（x）＜0，故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，∴a的取值范围是（2，+∞）．则a＝x1+x2＝x2+＞2，∵f（x1）﹣f（x2）＝﹣x1+alnx1﹣（﹣x2+alnx2）＝+（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），∴＝﹣﹣1+a•＝﹣2+a•．若≤﹣2恒成立，则﹣2+a•≤﹣2，∴≤，不妨设x1＜x2，则x1﹣x2≤（lnx1﹣lnx2）．又x1＝，∴﹣x2≤（﹣2lnx2），∴﹣x2+lnx2≤0（x2＞1）①恒成立．记F（x）＝﹣x+•lnx（x＞1），F′（x）＝﹣﹣1+•，记x1′＝[﹣]，x2′＝[+]，F（x）在（1，x2′）上单调递增，在（x2′，+∞）上单调递减，且易知0＜x1′＜1＜x2′＜e．又F（1）＝0，F（e）＝0，∴当x∈（1，e）时，F（x）＞0；当x∈[e，+∞）时，F（x）≤0．故由①式可得，x2≥e，代入方程g（x2）＝x22﹣ax2+1＝0，得a＝x2+≥e+（a＝x2+在x2∈[e，+∞）上递增）．又a＞2，∴a的取值范围是a≥e+．故答案为：a≥e+．【点评】本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a3＝5，S7＝49．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：T n＜3．【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出结果．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则：，解得：a1＝1，d＝2，故：．证明：（Ⅱ）由于：a n＝2n﹣1，所以，则：①②①﹣②得：＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【分析】（I）求出CD＝1，证明四边形EFBG是平行四边形得出EG∥BF即可得出EG ∥平面BDF；（II）建立空间坐标系，求出平面BDF的法向量和的坐标，则直线AE与平面BDF 所成角的正弦值为|cos＜＞|；（III）假设存在H点满足条件，求出平面HAD的法向量，令＝0，根据方程是否有解得出结论．【解答】（I）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，∴CD＝AB﹣2AD cos60°＝1，即CD＝AB．∵CD EF，CD AB，又BG＝AB，∴EF BG，∴四边形EFBG是平行四边形，∴EG∥BF，又EG⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴EG∥平面BDF（II）解：∵AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°，∴BD＝＝，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD．∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，DE⊥CD，∴DE⊥平面ABCD．以D为原点，以直线DA，DC，DE为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：则A（1，0，0），E（0，0，1），B（0，，0），D（0，0，0），F（﹣，，1）∴＝（﹣1，0，1），＝（0，，0），＝（﹣，，1），设平面BDF的法向量为＝（x，y，z），则，＝0，∴，令z＝1得＝（2，0，1），∴cos＜＞＝＝＝﹣，设直线AE与平面BDF所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝．（3）解：设H（﹣，，h），（0≤h≤1）当h＝0时，显然平面BDF与平面HAD不垂直，则＝（﹣，，h），＝（1，0，0），设平面HAD的法向量为＝（x，y，z），则，，∴，令y＝得＝（0，，﹣）．假设存在点H，使得平面BDF⊥平面HAD，则，∴＝﹣＝0，方程无解．∴线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD．【点评】本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间角，空间位置的关系，属于中档题．19．（12分）2020年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时艰，为疫区助力．福建省漳州市东山县共101个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力，募捐价值百万的海鲜输送武汉．东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省漳州市东山县，是福建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处，因地理位置发展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率；（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入x i（千元）与年收益增量y i（千元）．（i ＝1，2，3，…，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，＝289.8，＝1.6，，，其中t i＝，．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．【分析】（1）由已知结合正态分布的对称性求得P（ξ＜265），可知随机变量X～B（10，0.0013），由此求得随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率；（2）由已知求得与的值，则线性回归方程可求，取x＝49求得y值即可得答案．【解答】解：（1）由已知，单只海产品质量ξ～N（280，25），则μ＝280，σ＝5，由正态分布的对称性可知，P（ξ＜265）＝[1﹣P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）]＝（1﹣0.9974）＝0.0013，设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g的为X只，故X～B（10，0.0013），故P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣（1﹣0.0013）10≈1﹣0.9871＝0.0129，∴随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率为0.0129；（2）由，＝563，，＝1.6，有，且＝563﹣68×6.8＝100.6，∴y关于x的回归方程为，当x＝49时，年销售量y的预报值＝576.6千元．故预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元．【点评】本题考查正态分布概率的求法，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝2ln（x+1）+sin x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明：x≥1+lnx；（3）证明：f（x）≤（x+1）2e sin x．【分析】（1）求出f（0）和f'（0）的值，利用点斜式可写出所求切线的方程；（2）构造函数g（x）＝x﹣lnx﹣1，利用导数求出函数y＝g（x）的最小值g（x）min，由g（x）min≥0可证明出x≥1+lnx；（3）证明出（x+1）2e sin x＞0，利用（2）中的结论可得出（x+1）2e sin x≥1+ln[（x+1）2e sin x]，化简后可得出结论．【解答】解：（1）∵f（x）＝2ln（x+1）+sin x+1，∴，则f'（0）＝3，f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝3x+1；（2）设函数g（x）＝x﹣（1+lnx）＝x﹣lnx﹣1，则，令g'（x）＜0，得0＜x＜1；令g'（x）＞0，得x＞1．所以，函数y＝g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．则函数y＝g（x）在x＝1处取得极小值，亦即最小值，即g（x）min＝g（1）＝0，即x≥1+lnx；（3）证明：因为函数y＝f（x）的定义域为（﹣1，+∞），所以（x+1）2＞0，（x+1）2e sin x ＞0，由（2）知，（x+1）2e sin x≥1+ln[（x+1）2e sin x]，即（x+1）2e sin x≥2ln（x+1）+sin x+1，又（0+1）2e sin0＝1，所以等号可以成立，从而f（x）≤（x+1）2e sin x．【点评】本题考查利用导数求切线方程，同时也考查函数不等式的证明，考查推理论证能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知F（1，0），点P在第一象限，以PF为直径的圆与y轴相切，动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C在点P处的切线的斜率为k1，直线PF的斜率为k2，求满足k1+k2＝3的点P的个数．【分析】（1）设P（x，y），则PF中点坐标为（，），由以PF为直径的圆与y轴相切得，化简即可得到曲线C的方程；（2）由y2＝4x（y＞0），得，y'＝，利用导数的几何意义得到k1＝，k2＝，由k1+k2＝3，得：①，令f（x）＝3x3﹣6x2﹣12x+8，利用导数得到函数f（x）在（0，+∞）内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，即满足k1+k2＝3的点P的个数为2个．【解答】解：（1）设P（x，y），x＞0，y＞0，又F（1，0），则PF中点坐标为（，），因为以PF为直径的圆与y轴相切，所以，即，整理得C的方程为：y2＝4x（y＞0），（2）由y2＝4x（y＞0），得，y'＝，设P（，y0）（y0＞0），则k1＝＝，k2＝＝，由k1+k2＝3，即+＝3，得：①，令f（x）＝3x3﹣6x2﹣12x+8，由f'（x）＝9x2﹣12x﹣12＝0得，x＝﹣，或x＝2，因为当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，又f（0）＝8＞0，f（2）＝﹣16＜0，f（4）＝56＞0，f（x）的图象连续不断，所以f（x）在（0，+∞）内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足k1+k2＝3的点P的个数为2个．【点评】本题主要考查了动点轨迹方程，以及利用导数研究函数的零点，是中档题．四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系Ox，极坐标系中A（），B（），C（），D（），弧所在圆的圆心分别为（），（1，π），（），（1，0），曲线C1是弧，曲线C2是弧，曲线C3是弧，曲线C4是弧．（1）分别写出C1，C2，C3，C4的极坐标方程；（2）直线l的参数方程为（t为参数），点P的直角坐标为（2，2），若直线l 与曲线C1有两个不同交点M，N，求实数λ的取值范围，并求出|PM|+|PN|的取值范围．【分析】（1）设弧上任意一点M（ρ1，θ），推出，同理可得：C2的极坐标方程为；C3的极坐标方程为；C4的极坐标方程为ρ4＝2cosθ，或．（2）直线l的参数方程为，消去t得y＝2+λ（x﹣2），过定点P（2，2），C1直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1直线l的标准参数方程为，代入C1直角坐标方程x2+（y﹣1）2＝1，求出|PM|+|PN|的表达式，然后求解|PM|+|PN|的取值范围．【解答】解：（1）如图所示：设弧上任意一点M（ρ1，θ）因为ABCD是边长为2的正方形，AB所在的圆与原点相切，其半径为1，所以，所以C1的极坐标方程为；同理可得：C2的极坐标方程为；C3的极坐标方程为；C4的极坐标方程为ρ4＝2cosθ，或，（2）因为直线l的参数方程为，所以消去t得y＝2+λ（x﹣2），过定点P（2，2），C1直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1，如图所示：，因为直线l与曲线C1有两个不同交点M，N，所以，因为直线l的标准参数方程为，代入C1直角坐标方程x2+（y﹣1）2＝1得，＝，令，所以，所以．所以|PM|+|PN|的取值范围是．【点评】本题考查极坐标方程的应用，参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．23．已知a＞0，b＞0，a+b＝2．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）证明：+≥．【分析】（Ⅰ）通过1的代换，利用基本不等式求解表达式的最小值即可．（Ⅱ）利用分析法转化证明即可．【解答】解：（Ⅰ）a＞0，b＞0，a+b＝2．所以+＝（+）（a+（b+1））＝[2+]≥（2+2）＝，当且仅当a＝，b＝时，取等号．+的最小值为：．（Ⅱ）证明：要证明+≥，由a＞0，b＞0，即证明a2+b2≥2，因为，所以当且仅当a＝b时，有，即a2+b2≥2成立，所以：+≥．【点评】本题考查不等式的证明，基本不等式求解表达式的最小值，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．。