理想磁流体力学方程组共94页文档

流体力学第四章_理想流体运动基本方程

8
欧拉法
欧拉法：在固定的座标系中，研究空间某个点的流动参数（速度、压力、密度等），并给出这些参数与空间点和时间的分布：
速度：u=u (x, y, z, t)， v=v (x, y, z, t)，
w=w (x, y, z, t) 压力：p=p (x, y, z, t) 密度：ρ =ρ (x, y, z, t)
28
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‹#›
例4-1：已知u=-(y+t2)，v=x+t, w=0
求t=2，经过点（0，0）的流线
解: t=2时，u=－(y+4)，v=x+2，w=0
流线方程 d z =0
dx dy ( y 4) x 2
z c， 1 (x 2)2 1 ( y 4)2 c
26
图示为t 时刻经过点0的流线,以及t 时刻经过点 0的迹线.
对定常流动，迹线和流线重合。
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迹线和流线的区别：
• 迹线是流体质点在t0—t时间段的运动轨迹，是实在的；流线是某一时刻流场中连续质点运动的方向和速度大小的假象线。 • 迹线随质点而变，一个质点对应一条迹线；流线随时间而变与质点无关。 • 迹线可以相交，而流线不能相交。对于定常流迹线与流线重合。
9
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当地加速度是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的
迁移加速度是某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而产生的。
当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。
两个加速度的物理意义：
如图4-1所示，不可压流体流过一个有收缩的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的速度大。当流体质点从1点流到2点时，由于截面收缩引起速度增加，从而产生迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。

磁流体力学方程

第三章磁流体力学方程（MHD ）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。

由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。

实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。

这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演化的。

建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。

与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD 理论来描述。

但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却无能力描述。

下面我们从动力学方程出发，建立MHD 方程。

§3.2二份量MHD 方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。

首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。

这样，第α类成份流体的密度(,) n r t α、流速火(,)ru t α及温度(,)r T t α的定义为：(,)(,,)r v r v n t d f t αα=⎰ （3-1）(,)(,)(,,)r r vv r v n t u t d f t ααα=⎰ （3-2） 231(,)(,)()(,,)22r r v v r v B k n t T t d m u f t αααα=-⎰ 下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD 方程。

动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r v q E B f t I t t m αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3) 首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()()v v v v f g d g fd g t t t∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰ （2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3） ()()()[]()v v v v v v v v v v vq f qE f g E d g d m m qE g f d m qE g m ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰ 其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。

第4章-磁流体力学

流体力学方程组可以从体系的动理学方程的矩方程得到；也可以从物理上比较直观的、唯象的方法导出。现在应用前一种方法推导磁流体力学方程组。
4.1 速度矩及矩方程
1. 速度矩
建立宏观与微观的联系
等离子体中包含有一种以上正电荷离子和电子，
设α类粒子的分布函数为
f (r, v,t)
它满足动理学方程
ftv frm F fv ft c,
2
Q1nmv2v Kuupq 2
K u 为流体宏观流动带走的总动能；
u p 为流体宏观流动时压强张量做的功率
当u=0时，以上两项都为0；
q 称热流矢量，即使u=0，也存在，它是由碰撞
产生的热量从高温流体元到低温流体元的流动。
2. 速度矩方程
在动理学方程中的各项乘以 ( ，v ) 并对积d v 分，即可
Enskog展开方法截断, 方程组就可封闭。
封闭的双流体方程组
n
t
(n u )
0
n
m
du dt
p
n F
R
3 2
n
d T dt
p u
Q
0
q 0
上共面10方个程，组中含有独不p立是未独n知立T函的数，：正n好α、方u程α、数T目α(α也=i1,e0)
个。
pkl mnwkwl plk
如果体系处于局域热平衡状态，其分布函数为局域性麦克斯韦分布
f(r,v,t)n(r,t) 2T m (r,t) 3/2exp 2 m (w r,2t)
用局域性麦克斯韦分布得
p k k n (r,t)T (r,t)p (r,t)
3
nmw2 pkk 3nT3p k1 p的对角项就是热压强。

第七章磁流体力学方程

（7-40）
2. 与等离子体中的电流有关的粒子加热，这种加热的功率密度是电流密度（ j = qnu ）与电场强度（ E ）的乘积； 3. 碰撞时的能量变化。利用动能表示成定向运动能量和无规运动能量之和 K = mu / 2 + 3T / 2 ，以及能量
2
通量密度矢量表达式（7-18）式，得
∂u 3 mu 2 ∂n 3 ∂T + mnu ⋅ + ( T + n ) ∂t 2 ∂t 2 2 ∂t J G ∂ (n K ) mu 2 +divq + div( π ⋅ u) + div(nu ) + Zenu ⋅ E = ∂t 2
δn =( ν i − ν r )n δt
这里 ν i 和 ν r 分别是平均电离和复合频率。
（7-28）
求一级矩方程，设 g = vk , 则平均值为 g = vk = uk ，引入通量密度张量，量 g υl 为
g υl = υk υl =
方程（7-25）式第二项成为
Pkl π p = uk ul + δkl + kl nm mn nm
其中 (7-8)
plk = nm wk wl = nm ∫ wk wl f (υ)d 3υ
（7-9）
2 ，当麦克斯韦分布时，有称为压强张量，因为其对角项（k=l）为 pkk = nm wk
pkk = nT = p
由此可以定义粒子系的总动能
（7-10）
n K =
1 3 1 3 Pkk = nmu 2 + p ∑ 2 k =1 2 2
（7-29）
86
div(n gυ ) = ∑
l
∂ (n g υl ) ∂xl

第四章理想流体动力学基本方程(Y)

( v ) d v vn dA F fd p ndA t A A
在恒定流动时，动量方程为：
v v dA fd p ndA
n A A

单位时间内流出控制体的动量等于作用于控制体上的外力之和。
f x dxdydz
x 轴方向受到的表面压力：
p dx p dx p p dydz p dydz dxdydz x 2 x 2 x
流体微团受到 x 轴方向的质量力：
f x dxdydz
根据牛顿第二定理：
max Fx
( v ) d v vn dA F t A

F 作用于控制体上的外力：
粘性剪应力为零。

质量力表面力
表面力：对于理想流体表面力只有压力，
p ndA —— n 指外法线方向，负号表示压力
A
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
Q v2 A2 v1 A1
——总流的流量
dK Q( 2v2 1v1 ) F 两边同除 dt： dt
d K Qdt ( 2 v2 1 v1 )
——不可压缩流体恒定总流的动量方程
不可压缩流体定常流动总流的动量方程是矢量形式的动量方程，为了计算方便，将它投影在三个坐标轴方向。
流速：与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。
（1）总流动量方程讨论
①β— 动量修正系数
dK dt[
2 2 A A 2
A2
dA2u2u2 dA u1u1 ] 1

A1

理想流体动力学基本方程

8 9.5 2 3.5m
叶轮机械内相对运动的伯努利方程
叶轮
S
微元体
叶片

R2
R1 r
0
叶轮
S
微元体
叶片

R2
R1 r
dvr
dt p p ds
s
s
Байду номын сангаас

dA
p

0
S方向的力平衡方程为(座标固结叶轮上)
o
pd ( p
p s
ds)d ddsVr
Vr s
解: 1-1与2-2两截面间流动, 由伯努利方程有
1
8m
1.5m 1
0
A
0
c 3.5m
2 2B
V2
H 01

z2

p2
g
V22 2g
8m
列1-1与c断面间能量方程有
V22 2m Vc2
2g
2g
H 01

zc

pc
g
cVc2
2g
pc
g

H 01 zc
Vc2 2g
称为动能修正系数, 一般为1
(C )
hw' gVdA hw gQ
A
由则有
z1
p1
g
1V12
2g

z2

p2
g
2V22
2g
hw
H0

z

p
g

V 2
2g
H 01 H 02 hw
总流能量方程的应用
应用条件:

磁流体力学MHD

F

fd

Tdτ

T
S
nds

S
B2
0
cos
Hale Waihona Puke bdsS
B2 (n)ds
20
侧面受压力：
dS T
B2
dS
20
上端面受拉力：
dS T
B2
dS
20
下端面受拉力：
dS T
B2
dS
20
2 20
单磁流体力学方程组（流体力学方程+电磁场方程）
导电流体的流体力学方程组
( u) 0
t
重力项电场力

du dt

P
j
B

g

qE
重力做功
d ( u2 ) (P u) E j q g u
dt 2
p p(,T )
固定a,b,c 改变t 改变a,b,c 固定t
某一流体质点的运动规律某一时刻流体质点的位置分布
流体质点的速度为： u r r(t;a,b, c)
t
t
流体质点的加速度为： u

2r t 2

2r(t;a, b, c) t 2
2. 欧拉法（当地法）与拉格朗日法不同，欧拉法不考虑具体的流体质点的运动，而是采用场的观点研究流体运动，关注的是空间给定点的流动情况，用流场中的各点的流速当作时间函数进行研究。
B
B2
20
B2
20
B2
20
T

第3章磁流体力学方程

第三章磁流体力学方程（MHD）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。

由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。

实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。

这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演化的。

建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD）。

与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD理论来描述。

但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD理论却无能力描述。

下面我们从动力学方程出发，建立MHD方程。

§3.2二份量MHD方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。

首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。

这样，第α类成份流体的密度(,)n r tα、流速火(,)ru tα及温度(,)rT tα的定义为：(,)(,,)r v r vn t d f tαα=⎰（3-1）(,)(,)(,,)r r vv r vn t u t d f tααα=⎰（3-2）231(,)(,)()(,,)22r r v v r vBk n t T t d m u f tαααα=-⎰下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD方程。

动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r v q E B f t I t t m αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3) 首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()()v v v v fg d g fd g t t t ∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰（2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3） ()()()[]()v v v v v v v v v v v qfqEfg E d g d m m qEg f d m qE gm ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。

理想流体动力学基本方程共133页文档

61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。 ——刘向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。 ——海贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
理想流体动力学基本方程
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本身就是讲道理 ……法律，也 ----即明—爱·科克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一定颓败。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律面前人人是平等的。 ——波洛克