带Hall项的一类磁流体力学方程组解的性态分析
不可压霍尔磁流体力学方程组的全局解与衰减估计
不可压霍尔磁流体力学方程组的全局解与衰减估计吴云顺【摘要】研究三维不可压霍尔磁流体力学(Hall-MHD)方程组的柯西问题.通过纯能量方法得到了全局解的存在性及其最佳收敛率.特别地,还得到了解的高阶导数的最佳衰减率.证明基于纯能量方法和插值方法,没有像半群方法那样使用其线性化方程的衰减分析结果.%We consider the Cauchy problem for incompressible Hall-Magnetohydrodynamics (Hall-MHD) systems in R3.Global solutions and optimal convergence rates are obtained by the pure energy method.In particular,optimal decay rates of the higher-order spatial derivatives of solutions are obtained.Our proof is based on a family of scaled energy estimates and interpolations among them without the linear decay analysis as in a semigroup method.【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(056)002【总页数】4页(P212-215)【关键词】霍尔磁流体力学;最佳衰减率;能量方法;Sobolev插值【作者】吴云顺【作者单位】厦门大学数学科学学院,福建厦门361005【正文语种】中文【中图分类】O175.29考虑如下的三维不可压霍尔磁流体力学(Hall-MHD)方程组:这里u,B,P分别表示3维的速度、磁场强度以及压强.初始数据u0和B0满足且divu0=divB0=0.关于Hall-MHD方程组解的存在性、大时间行为以及奇异性的研究已经有很多的结果[1-4]．在本文中,考虑Hall MHD方程组柯西问题全局解的存在性及其最佳L2 衰减率．受文献 [5-8] 的启发,本文中在证明最佳衰减率时使用空间并多次使用Gagliardo-Nirenberg 不等式[7-8]．本文中的主要结果如下:定理1 若(u0,B0)∈HN,N≥2,且存在常数,使得,则方程组(1) 的柯西问题存在唯一的全局解 (u,B),对任意t≥0,满足).进一步,若则对任意t≥0,有并且对l=0,1,…,N,有如下的衰减结果:注1 将上述结果与文献 [7-8] 比较,可以看到在证明全局存在性时仅需要 (u0,B0) 的 H2 范数足够小,而不需要 H3 范数足够小．而且,在证明结论(5)以及下面的结论(6) 时,我们都不需要 (u,B) 的高阶导数估计．推论1 在定理1的条件之下,若将关于的假设替换为u0,B0∈Lp,其中p∈(1,2],则根据不等式其中可以得到如下的结果:C0(1+t)-σp,l,l=0,1,…,N,其中的σp,l由下式给出在这一节中,我们给出 (u,B)的低阶和高阶的能量估计.表示 f 的 k 阶空间导数,定义如下:定义则有如下的估计:引理1 若(u0,B0)∈HN,N≥2,且 (u,B) 为方程组 (1) 柯西问题的强解,则有证明将方程组(1)的第1式和第2式分别乘以u和B,然后相加并分部积分即得．引理2 若(u0,B0)∈HN,N≥2,且 (u,B) 是方程组 (1) 柯西问题的强解,则有N.证明将作用于方程组(1),而后在等式两边乘以并且在R3 上分部积分,可以得到J1+J2+J3+J4.下面将对上述J1～J4项分别进行估计．对于J1项,由于与具有相同的形式,故仅需估计对于这一项,有当根据Gagliardo-Nirenberg不等式可得这里α,θ 满足:根据式(14)可知,故当l≥[(k+1)/2]+1,使用相似的方法,可以得到估计:所以,由式(13) 和 (15),有再联合式(11)与(16),有类似于式(17),对项,有结合式(18)与(17),可得J1注意到,在式(13)右边的第2行和第3行中,将u替换为B,其结果仍然成立．所以可得J2J3最后估计J4．根据 Gagliardo-Nirenberg 不等式,采用与文献 [9]引理2.2相同的方法,可以得根据式(22),得到J4结合式(19)～(21)以及(23),即得到式(9),则完成了引理2的证明．关于解的全局性，令可以断言,若足够小,则对∀t<+∞,有否则,选取,使得 1-4C(2+)>a>0,根据 T*的定义,有T*>0.再根据引理2以及T*的定义,将式(10)从0到 T* 积分,可以得到这样就得到矛盾．而且,如果,且则对于k∈N+,可以得到如下估计对∀t>0,将式(24)从0到t积分,有在本节中,我们将会多次使用下述不等式,证明细节可以参考文献 [10]．其中引理3 若且,则对∀ t>0,有证明将Λ-s 作用于方程组(1),并且将所得结果乘以(Λ-su,Λ-sB),然后在R3 上积分,可得T1+T2+T3+T4+T5.下面分别估计T1～T5项.对于 T1,可以如下估计类似地,可以得到对于T5,有根据式(29～33),结合式(26),最终得到下面,来估计有联合式(34),就有再结合式(25),得到当由于(u,B)不一定在L2(R+×R3)之中,故首先需要获得一些关于的衰减来闭合不等式．应用不等式联合式(37)与(24),可以得到解此常微分不等式,可得k=0,1,…,N.基于上述估计,对于也可以闭合式(34),首先,回顾下述不等式:注意,若则也能得到 (u0,B0)属于根据式(40),有(1+t)-1/4.将式(42)代入到式(34) 中,则可得对于s∈[1/2,3/2),下述结果成立由于则根据式(34),类似得到证毕.定理1的证明关于解的全局存在性在推导L2先验估计时已经得到．衰减估计的结果主要是由解不等式(39)得到．当s∈[0,1/2)时,证明由式(40) 得到．注意到,根据引理3的证明,当其中1/2≤s<3/2时,式(40) 的衰减结果仍然是成立的．这是由于式(38)和(39)对0≤s<3/2 均是成立的．【相关文献】[1] ARICHETOGARAY M,DEGOND P,FROUVELLE A,et al.Kinetic formulation and global existence for the Hall-Magneto-hydrodynamics system[J].Kinetic & RelatedModels,2011,4(4):901-918.[2] CHAE D,SCHONBEK M.On the temporal decay for the Hall-magnetohydrodynamic equations[J].Journal of Differential Equations,2013,255(11):3971-3982.[3] CHAE D,DEGOND P,LIU J G.Well-posedness for Hall-magnetohydrodynamics[J].Annales de Linstitut Henri Poincare Non LinearAnalysis,2014,31(3):555-565.[4] BALBUS S A,TERQUEM C.Linear analysis of the Hall effect in protostellar disks[J].The Astrophysical Journal,2001,552(1):235-247.[5] MATSUMURA A,NISHIDA T.The initial value problems for the equations of motion ofviscous and heat-conductive gases[J].J Math Kyoto Univ,1980,20:67-104.[6] MATSUMURA A,NISHIDA T.The initial value problem for the equations of motion of compressible viscous and heat-conductive fluids[J].Proc Japan Acad Ser A,1979,55:337-342.[7] GUO Y,WANG Y.Decay of dissipative equations and negative Sobolevspaces[J].Communications in Partial Differential Equations,2012,37(12):2165-2208. [8] WANG Y.Decay of the Navier-Stokes-Poisson equations[J].Journal of Differential Equations,2012,253(1):273-297.[9] TAN Z,ZHANG X.Decay estimates of the coupled chemotaxis-fluid equations inR3[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2014,410(1):27-38.[10] STEIN E M.Singular integrals and differentiability properties offunctions[M].Princeton:Princeton University Press,1970:119.。
磁流体力学magnetohydrodynamics
磁流体力学magnetohydrodynamics磁流体力学magnetohydrodynamics结合流体力学和电动力学的方法研究导电流体和电磁场相互作用的学科。
导电流体在电磁场里运动时，流体中就会产生电流。
此电流与磁场相互作用，产生洛伦兹力，从而改变流体的运动，同时此电流又导致电磁场的改变。
对这类问题进行理论探讨，必须既考虑其力学效应，又考虑其电磁效应。
磁流体力学包括磁流体静力学和磁流体动力学。
磁流体静力学研究导电流体在电磁力作用下的静平衡问题，如太阳黑子理论、受控热核聚变的磁约束机制等。
磁流体动力学研究导电流体与电磁场相互作用时的运动规律，如各种磁流体动力学流动和磁流体动力学波等。
等离子体和液态金属都是导电流体。
前者包括99%以上的宇宙物质，后者包括核动力装置中的携热介质（如钠、钾、钠钾合金）、化学工业中的置换剂（如钠、钾、汞）、冶金铸造工业中的熔融金属等。
地球表面一般不存在自然等离子体，但可因核辐射、气体放电、燃烧、电磁激波、激光等方法产生人工等离子体。
因此，磁流体力学不仅与等离子体物理学有联系，还在天体物理研究（如磁场对日冕、黑子、耀斑的影响）、受控热核聚变和工业新技术（如电磁泵、电弧加热器、磁流体发电、电磁输送、电磁推进等）中得到发展和应用。
基础磁流体力学以流体力学和电动力学为基础﹐把流场方程和电磁场方程联立起来﹐引进了许多新的特徵过程﹐因而内容十分丰富。
宇宙磁流体力学更有其特色。
首先﹐它所研究的对象的特徵长度一般来说是非常大的﹐因而电感的作用远远大于电阻的作用。
其次﹐其有效时间非常久﹐所以由电磁原因引起的某些作用力纵然不大﹐却能产生重大效应。
磁流体力学大体上可以和流体力学平行地进行研究﹐但因磁场的存在也具有自己的特点﹕在磁流体静力学中的平衡方程﹐和流体静力学相比﹐增加了磁应力部分﹐这就是产旁际母荨T硕г诖帕魈辶ρе杏兄煌暮濠o它研究磁场的“运动”﹐即在介质流动下磁场的演变。
与正压流体中的涡旋相似﹐磁场的变化也是由对流和扩散两种作用引起的。
第4章-磁流体力学
4.1 速度矩及矩方程
1. 速度矩
建立宏观与微观的联系
等离子体中包含有一种以上正电荷离子和电子，
设α类粒子的分布函数为
f (r, v,t)
它满足动理学方程
ftv frm F fv ft c,
2
Q1nmv2v Kuupq 2
K u 为流体宏观流动带走的总动能；
u p 为流体宏观流动时压强张量做的功率
当u=0时，以上两项都为0；
q 称热流矢量，即使u=0，也存在，它是由碰撞
产生的热量从高温流体元到低温流体元的流动。
2. 速度矩方程
在动理学方程中的各项乘以 ( ，v ) 并对 积d v 分，即可
Enskog展开方法截断, 方程组就可封闭 。
封闭的双流体方程组
n
t
(n u )
0
n
m
du dt
p
n F
R
3 2
n
d T dt
p u
Q
0
q 0
上共面10方个程，组中含有独不p立是未独n知立T函的数，：正n好α、方u程α、数T目α(α也=i1,e0)
个。
pkl mnwkwl plk
如果体系处于局域热平衡状态，其分布函数为局 域性麦克斯韦分布
f(r,v,t)n(r,t) 2T m (r,t) 3/2exp 2 m (w r,2t)
用局域性麦克斯韦分布得
p k k n (r,t)T (r,t)p (r,t)
3
nmw2 pkk 3nT3p k1 p的对角项就是热压强。
第七章磁流体力学方程
（7-40）
2. 与等离子体中的电流有关的粒子加热， 这种加热的功率密度是电流密度 （ j = qnu ） 与电场强度（ E ）的乘积； 3. 碰撞时的能量变化。 利用动能表示成定向运动能量和无规运动能量之和 K = mu / 2 + 3T / 2 ，以及能量
2
通量密度矢量表达式（7-18）式，得
∂u 3 mu 2 ∂n 3 ∂T + mnu ⋅ + ( T + n ) ∂t 2 ∂t 2 2 ∂t J G ∂ (n K ) mu 2 +divq + div( π ⋅ u) + div(nu ) + Zenu ⋅ E = ∂t 2
δn =( ν i − ν r )n δt
这里 ν i 和 ν r 分别是平均电离和复合频率。
（7-28）
求一级矩方程，设 g = vk , 则平均值为 g = vk = uk ，引入通量密度张量，量 g υl 为
g υl = υk υl =
方程（7-25）式第二项成为
Pkl π p = uk ul + δkl + kl nm mn nm
其中 (7-8)
plk = nm wk wl = nm ∫ wk wl f (υ)d 3υ
（7-9）
2 ，当麦克斯韦分布时，有 称为压强张量，因为其对角项（k=l）为 pkk = nm wk
pkk = nT = p
由此可以定义粒子系的总动能
（7-10）
n K =
1 3 1 3 Pkk = nmu 2 + p ∑ 2 k =1 2 2
（7-29）
86
div(n gυ ) = ∑
l
∂ (n g υl ) ∂xl
三维Hall-magnetohydrodynamic方程的整体小解
三维Hall-magnetohydrodynamic方程的整体小解
于洋海;王慧;吴星
【期刊名称】《数学物理学报（A辑）》
【年(卷),期】2024(44)3
【摘要】该文研究R^(3)上的不可压缩的带霍尔效应的磁流体力学方程的Cauchy 问题.假设初始速度的水平分量或水平分量的和及初始磁场的B˙_(2,1)^(1/2)范数充分小,该文证明了该方程存在整体光滑解,改进了Chae和Lee(J.Differ.Equ.2014)的结果.
【总页数】9页(P586-594)
【作者】于洋海;王慧;吴星
【作者单位】安徽师范大学数学与统计学院;河南农业大学信息与管理科学学院【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.Navier-Stokes方程耦合Smoluchowski方程在三维空间中的整体强解
2.关于同余方程x＋ay≡b（modN）的最小解和绝对最小解
3.2m阶Schrodinger方程组在实指数Sobolev空间中的整体小解
4.三维地核磁流体力学方程组在临界Fourier-Besov 空间中的整体适定性
5.架构三维知识体系构建整体关联教学——以“一元二次方程”复习课为例
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第3章磁流体力学方程
第三章磁流体力学方程（MHD）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。
由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。
实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。
这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演化的。
建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD）。
与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD理论来描述。
但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD理论却无能力描述。
下面我们从动力学方程出发，建立MHD方程。
§3.2二份量MHD方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。
首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。
这样，第α类成份流体的密度(,)n r tα、流速火(,)ru tα及温度(,)rT tα的定义为：(,)(,,)r v r vn t d f tαα=⎰（3-1）(,)(,)(,,)r r vv r vn t u t d f tααα=⎰（3-2）231(,)(,)()(,,)22r r v v r vBk n t T t d m u f tαααα=-⎰下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD方程。
动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r v q E B f t I t t m αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3) 首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()()v v v v fg d g fd g t t t ∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰（2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3） ()()()[]()v v v v v v v v v v v qfqEfg E d g d m m qEg f d m qE gm ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。
磁流体力学PPT课件
1
0
(B •
)B
1
0
B
x1
(Be1)
e1
x1
( B2
20
)
e2
B2
0R
e3
e1
B
e2 R
第17页/共31页
所以洛仑兹力
f
B2
20
B2
0R
e2
(
e2
x2
e3
) x3
洛仑兹力在与磁场垂直的平面内，第一项是为压强力，第二项是磁场应力。 横向压强力的存在说明磁力线在横向上互相排斥。磁场应力则表明磁力线 弯曲会产生一个指向曲率中心的回复力，类似橡皮棒被外力弯曲的情形。
E*
jz
ce ei
1
2 ce
/
2 ei
E*
磁场垂直方向电导率降低 出现垂直于电场、磁场的霍尔电流
第15页/共31页
§3.1 磁流体力学方程组 §3.2 磁压力和磁张力 §3.3 磁冻结和磁扩散 §3.4 均匀定磁场中的漂移
第16页/共31页
磁场 B 中的电流 j 会受到洛仑兹力作用 f ＝ j x B， 而根据麦克斯韦方程有
en
e
me ei
ce B ei
第14页/共31页
令B＝B ex
j
σ
•
E*
等离子体的电导率张量
σ
1
c2e
/
2 ei
1
c2e
0 0
/
2 ei
0 1
ce / ei
0
ce / ei
1
若E＝Eex，有 j＝σE*
磁场平行方向电导率不变
若E＝Eey，有
jx 0
理想磁流体力学方程组
§3.1 磁流体力学方程组
磁流体模型
磁流体模型是将等离子体看成是导电流体，当导电流体在电磁场中运动时会激起感应 电流，感应电流在磁场中受到磁场的洛仑兹力作用，导电流体的运动状态会发生改变， 同时感应电流会对导电流体进行欧姆加热。在磁流体模型里，等离子体的每种成分的 局域性质都由其密度、温度和平均速度所确定，这三个量是时间、空间的函数。 磁流体模型的适用条件 等离子体的空间特征长度远大于粒子的平均自由程 所研究的物理过程的特征时间内粒子的碰撞次数足够多
memi ei
me ei
等离子体电导率
热压力梯度项 ▽рe 出现则说明非均匀加热或密度不均匀的等离子体由于热
电效应或者扩散效应导致电流产生，即电子压强梯度等效于有一附加电场。
பைடு நூலகம்
令
E*
E
u
B
1 en
pe
则 j E* ce j B B ei
等离子体的电导率张量
σ
1
c2e
•B 0
运流电流
j (E u B) qu
只考虑传导电流、感应电流
理想磁流体力学方程组
电导率无穷大、不传热、无粘滞
• ( u) 0
t
du p j B
dt
d ( p ) 0
dt
E B t
B 0 j
而根据麦克斯韦方程有
j 1 B
0
所以 f j B 1 ( B) B 1 B2 1 (B • )B
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
带Hall项的一类磁流体力学方程组解的性态分析本文研究一类带Hall项的磁流体力学方程组,包括带正常扩散的不可压
Hall-MHD方程组、带反常扩散即分数阶耗散的广义Hall-MHD方程组及带分数阶耗散的广义两相流MHD方程组等.Hall项被认为是发生在大型磁剪切中磁重联现象的一个本质特征,能很好地描述地球物理、天体物理、等离子体物理中的物理现象.本文讨论了这类方程的适定性和解的长时间行为,并给出了一些解在有限时间爆破的判别准则.首先,我们研究三维带电阻的粘性不可压Hall-MHD方程组的Cauchy问题:利用Holder不等式,估值空间Hs(R3)(s>3/2)的代数性
质,Young不等式,我们证明了该初值问题在低正则Sobolev空间
Hs(R3)(3/2<s ≤2/5)中强解的局部适定性.在证明方法中,合理有效的交换子估计和Sobolev嵌入关系对处理该方程组中Hall项的强非线性性和降低正则指标起到了关键作用.进一步,我们证明了该Cauchy问题小初值解的全局存在性.针对三维带电阻的粘性不可压广义Hall-MHD方程组的Cauchy问题:首先,在做磁场的高阶正则估计时,通过分部积分转移掉对流项中的一阶导数,然后利用
Kato-Ponce交换子估计和Sobolev嵌入关系,我们证明了小初值解的全局存在性,并将文献中的耗散指标α,β从α = β∈(1,6]扩大到α = β∈(1,3/2).进一步,我们讨论了耗散指标α = β∈[1,5/4)时,相应解的长时间行为.其次,我们考虑三维带电阻的粘性不可压广义Hall-MHD方程组Cauchy问题解的爆破准则.利用Fourier局部化技术,Bony仿积分解,Sobolev嵌入,插值不等式和Young不等式等分析技巧,我们得到了在更一般的函数空间-Besov空间中局部解的爆破
准则.最后,我们考虑三维不可压的广义two-fluid MHD方程组的Cauchy问题:首先通过交换子估计,Sobolev嵌入,插值不等式,Young不等式,我们证明了α =β∈(1,3/2)时,初值在低正则Sobolv空间Hm(R3)× Hm+1(R3),m>7/2-2α中系统解的局部存在性.其次,通过Fourier局部化技术和交换子估计,我们获得了局部解在t = T时刻的正则准则.。