理想磁流体力学方程组
磁流体力学
（1）粒子数守恒方程（或连续性方程） 令 1 得 连续性方程 n (nu) 0 t
因为只发生弹性碰撞，碰撞过程粒子数守恒，所 以碰撞项 f / t c d v 0
令粒子质量m，则质量密度 mn
质量守恒方程
t
( u) 0
w v u(r , t )
w 0
表明w是无规热运动速度。
（iii）二阶矩
(v ) nmv v
2阶张量，9个分量
P nm vv nm (u w)(u w) nmuu nm ww nmuu p
式中热压强张量
p nm ww m wwf (r , v , t )d v 对角项 2 pkk nm wk
有27个分量，但有明确物理意义的只有其中3个 分量：
1 1 2 Q nm v v nm v 2 (u w ) 2 2
1 1 2 Ku nm v w ku nmu ww nm w2 w 2 2 1 定义： q nm w2 w 2 1 Q nm v 2 v Ku u p q 2
（2）流体元运动方程 令 mv ，一阶矩方程
(nmu) nm v v t
nF = R
注意：流体元以平均速度u 运动所受的洛仑兹力 F q( E u B) nm vv nmuu pI 碰撞项 R为摩擦阻力
f f f R m v d v m (u w ) d v m w d v t c t c t c
q nq f (v B) dv (v B ) m v m v
磁流体力学方程组
磁流体力学方程组磁流体力学方程组是以磁流体流体力学研究的基础，它由几个基本的方程式组成。
它表达了流体内磁场、电场、热场、压强以及流速等信息。
磁流体力学方程组是由马斯特罗夫（Maxwell）、特鲁拉（Truesdell）和伊里希（Erickson）于1952年提出的。
磁流体力学方程组由以下几项组成：磁压力方程（Magnetic Pressure Equation）、磁场方程（Magnetic Field Equation）、电流密度方程（Current Density Equation）、热力学方程（Thermodynamic Equation）、电容方程（Capacity Equation）、压力方程（Pressure Equation）和速度方程（Velocity Equation）。
这几项方程组合在一起，描述了流体内部磁场和电场的变化，以及热场、压强和流速等物理量之间的联系。
磁压力方程式用于描述流体中磁场的强度，它表明，当磁感应强度发生变化时，流体中的压力也会发生变化。
磁场方程则用于描述磁场的强度的变化。
它表明，当流体中的电流密度发生变化时，磁场的强度也会发生变化。
电流密度方程用于描述流体中电流密度的变化，它表明，当流体中的电压发生变化时，电流密度也会发生变化。
热力学方程式是一个微分方程，用于描述流体中热能的变化，它表明，当流体中的电场发生变化时，热能也会发生变化。
电容方程中又包括了电位方程和电势方程，它们用于描述无穷小电荷的电位和电势之间的关系。
压力方程描述了流体中不同位置上的压力之间的关系，它表明，当流体中的速度发生变化时，压力也会发生变化。
速度方程是一个微分方程，用于描述流体中的流速，它表明，当流体中的压力发生变化时，流速也会发生变化。
磁流体力学方程组用于描述流体内磁场、电场、热场、压强和流速等物理量之间的变化关系。
它是用来研究物理及工程学中复杂磁流体系统的基本方法。
磁流体力学方程组可用于研究电机、发电机、风机、离心泵和热交换器等各种磁流体机械系统的动力学特性，也可用于研究磁性材料的物理特性，还可以用于研究磁流体流体动力学方面的问题，如磁流体流变湍流、磁流体热传导等。
流体力学基本方程组总结参考资料
根据假设（2），有
（48）
显然 是一四阶张量，它是表征流体粘性的常数，共 个。根据假设（3）， 是各向同性张量且对 ， 对称，故
（49）
观察上式可知， 对 也是对称的，物性常数减少至只有2个即第二粘度 和粘度 ，证明见下。将上式代入偏应力表达式（反对称项为零）得
（2）
（3）
代入式（1）得
（4）
运用奥高定理
（5）
得
（6）
上式即是连续性方程的积分形式。
假定被积函数连续，而且体积 是任意选取的，由此可知被积函数必须等于零，即：
（7）
或
（8）
在直角坐标系中连续性方程为：
（9）
或
（10）
连续性方程（10）表明，密度变化（随时间和位置）等于密度和体积变形的乘积[2]。
（88）
其中 代表单位体积内组分 的质量变化率， 是组分 的对流流量密度。 代表扩散流量密度，它由Fick定律给出。 是单位体积内组分 的生成率。费克定律：
（89）
其中 为扩散系数。将扩散定律代入守恒方程，得
（90）
7控制方程的通用形式
前面在牛顿流体的基础上，即在采用牛顿流体本构方程的基础上推导分析了运动方程和能量守恒方程，获得了较全面的流体力学方程组，同时也采用了张量不变性记法、张量分量记法及直角坐标记法三种不同方式来表示这些基本方程组，可以说各方程之间达到了初步的融合。下面给出这些方程的通用形式
（20）
及
（21）
动量变化率为
（22）
上述动量变化率的表达式可有两种处理方法[1]，如下
（1）求解上式右边第二项内对体积元的随体导数，则
磁流体力学方程
第三章 磁流体力学方程（MHD ）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。
由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。
实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。
这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演 化的。
建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。
与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD 理论来描述。
但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却无能力描述。
下面我们从动力学方程出发，建立MHD 方程。
§3.2二份量MHD 方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。
首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。
这样，第α类成份流体的密度(,) n r t α、流速火(,)ru t α及温度(,)r T t α的定义为：(,)(,,)r v r v n t d f t αα=⎰ （3-1）(,)(,)(,,)r r vv r v n t u t d f t ααα=⎰ （3-2） 231(,)(,)()(,,)22r r v v r v B k n t T t d m u f t αααα=-⎰ 下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD 方程。
动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r v q E B f t I t t m αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3) 首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()()v v v v f g d g fd g t t t∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰ （2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3） ()()()[]()v v v v v v v v v v vq f qE f g E d g d m m qE g f d m qE g m ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰ 其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。
物理学中各种效应
磁阻效应霍尔效应霍尔效应是电磁效应的一种，这一现象是美国物理学家霍尔（A.H.Hall，1855—1938）于1879年在研究金属的导电机制时发现的。
当电流垂直于外磁场通过导体时，在导体的垂直于磁场和电流方向的两个端面之间会出现电势差，这一现象就是霍尔效应。
这个电势差也被称为霍尔电势差。
霍尔效应应使用左手定则判断。
磁冻结效应磁冻结效应是磁场的变化如同磁感线粘附在流体质元上，随流体一起运动，如同磁感线被“冻结”在了导电流体中一样。
在磁流体力学的磁感应方程中：如果磁雷诺数，或者流体的电导率，则磁感应方程退化为冻结方程：磁冻结效应同时也意味着在理想导电流体中，在某一初始时刻位于磁感线上的流体质元，此后也一直位于这条磁感线上。
对于宇宙中的天体，往往具有很大的尺度，容易满足磁雷诺数远远大于1的条件，因此经常表现出磁冻结效应。
磁感应方程[编辑]维基百科，自由的百科全书磁感应方程是描述磁场与导电的流体发生相互作用时，磁场随时间变化的方程，是磁流体动力学中的一个重要方程。
在磁流体动力学中，等离子体可以看作是良导体，由于存在洛伦兹力，欧姆定律的数学形式为：代入麦克斯韦方程组，可以得到磁感应方程：其中，与流体力学中的粘滞系数具有相同的量纲，叫做磁粘滞系数或者磁扩散系数。
磁扩散效应磁扩散效应是由于电阻引起的感应电流的衰减，磁场从强度大的区域向强度小的区域发生扩散的效应，本质是电磁感应。
在磁流体力学的磁感应方程中：如果磁雷诺数，则磁感应方程退化为扩散方程的形式磁场渗透所需要的特征时间为：称为趋肤时间。
该式表明，流体的电导率越大，磁场扩散得越慢。
对于理想导体，，没有磁扩散效应。
磁流体力学[编辑]磁流体力学(英文：Magnetohydrodynamics (MHD)或magnetofluiddynamics、hydromagnetics)是研究等离子体和磁场的相互作用的物理学分支，其基本思想是在运动的导电流体中，磁场能够感应出电流。
第3章-磁流体--力学方程
第三章 磁流体力学方程（MHD ）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。
由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。
实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。
这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演 化的。
建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。
与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD 理论来描述。
但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却无能力描述。
下面我们从动力学方程出发，建立MHD 方程。
§3.2二份量MHD 方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。
首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。
这样，第α类成份流体的密度(,)n r t α、流速火(,)ru t α及温度(,)r T t α的定义为：(,)(,,)r v r v n t d f t αα=⎰ （3-1） (,)(,)(,,)r r vv r vn t u t d f t ααα=⎰ （3-2）231(,)(,)()(,,)22r r vv r v B k n t T t d m u f t αααα=-⎰下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD 方程。
动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r vq E B f t I t tm αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3)首先定义等离子体矩方程： 将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分， （1） ()()v v v v f g d g fd g t tt∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰（2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3）()()()[]()v v v vv vv v v v vq f qE f g E d g d mm qE g f d m qE g m ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰ 其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。
磁流体力学方程组
磁流体力学方程组磁流体力学，一般简写作MHD，是由20世纪50年代初叶的物理学家罗伯特古德曼（Robert H.Goldman）和沃尔特辛格（WalterE.Singer）创立的一门物理学，它混合了流体力学和磁力学，以阐述电磁流体的动力学行为。
MHD假设电磁流体满足一组由磁流体力学方程组（MHD equations）定义的量子关系和构成形式，以实现电磁流体的研究过程。
磁流体力学方程组，也称为古德曼-辛格方程，是实现MHD的基本计算工具。
它由8个基本方程组组成，分别是：质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程、Ohm定律、实动粒子守恒方程、法线磁场方程、法线电场方程以及法线电流方程。
磁流体力学方程组对电磁流体行为的描述源于电流加热，即由电流导致的热加热，它体现了电磁流体中能量传递的全部规律。
它将电磁流体中的热量运动和气动运动编织成一体，表征了流体的非均质性。
MHD方程组的正确理解和求解可以有效提高电磁流体的表现和预测。
MHD方程组的应用非常广泛，主要用于描述磁场的开关行为、磁场的传播特性以及电磁波的稳定性。
它也可以用于模拟星系抛射、孪曲线和类太阳风等过程。
它还可以用于研究高温等离子体中的电子和离子，以及太阳、月球等太空环境中的电磁流体。
MHD方程组也已被应用于地球物理学，用于研究对地球磁场的影响。
在宇宙物理学方面，它被广泛应用于星系形成过程、黑洞磁场和宇宙背景辐射等研究中。
MHD方程组在火箭技术和航天推进技术中也被广泛应用，用于研究火箭发动机的效率、气体动力学以及火箭推进。
综上所述，磁流体力学方程组是实现MHD研究过程的基本工具，其应用领域涵盖广泛，具有重要的科学意义和工程意义。
未来，MHD 方程组将继续在磁流体力学研究中起到重要的作用，为探索电磁流体的规律和行为提供基础。
第七章磁流体力学方程
（7-40）
2. 与等离子体中的电流有关的粒子加热， 这种加热的功率密度是电流密度 （ j = qnu ） 与电场强度（ E ）的乘积； 3. 碰撞时的能量变化。 利用动能表示成定向运动能量和无规运动能量之和 K = mu / 2 + 3T / 2 ，以及能量
2
通量密度矢量表达式（7-18）式，得
∂u 3 mu 2 ∂n 3 ∂T + mnu ⋅ + ( T + n ) ∂t 2 ∂t 2 2 ∂t J G ∂ (n K ) mu 2 +divq + div( π ⋅ u) + div(nu ) + Zenu ⋅ E = ∂t 2
δn =( ν i − ν r )n δt
这里 ν i 和 ν r 分别是平均电离和复合频率。
（7-28）
求一级矩方程，设 g = vk , 则平均值为 g = vk = uk ，引入通量密度张量，量 g υl 为
g υl = υk υl =
方程（7-25）式第二项成为
Pkl π p = uk ul + δkl + kl nm mn nm
其中 (7-8)
plk = nm wk wl = nm ∫ wk wl f (υ)d 3υ
（7-9）
2 ，当麦克斯韦分布时，有 称为压强张量，因为其对角项（k=l）为 pkk = nm wk
pkk = nT = p
由此可以定义粒子系的总动能
（7-10）
n K =
1 3 1 3 Pkk = nmu 2 + p ∑ 2 k =1 2 2
（7-29）
86
div(n gυ ) = ∑
l
∂ (n g υl ) ∂xl
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（ ρ ：等离子体质量密度）
重力场中电子、离子的运动轨道：
vgi
vge
j
带电粒子在磁场B及 外力F作用下的漂移
电漂移
F qE
VE
EB
B2
重力漂移 F m g
m gB Vg q B 2
§2.2 带电粒子在变化的磁场中的运动
一、漂移近似 (广泛用于描述强磁场中的等离子体)
将变化磁场中带电粒子的运动看成在均匀稳恒磁场中围绕引导中心 做回旋运动，而引导中心做磁场不均匀所引起的漂移运动。
电场改变方向，离子减速向右运动，不过由于离子处于较强的
电场区，受到的阻力较大，所以离子不能到达右边更远的地方。
第三个1/4周期内： 离子到达极大位移处后，开始加速向左运动，并进入弱场区
第四个1/4周期内： 电场再次改变方向，离子减速向左运动，由于处于弱场区，阻力没有第二个1/4周 期内受到的阻力大，所以离子可以深入到左边更远的地方。
磁场和电场空间均匀，磁场稳恒，电场随时间缓变，这时的粒子 漂移速度为：
电漂移
VDE
极化漂移
vDP
c
qB m
m1
第一项不产生漂移电流，极化漂移速度与回旋频率（电荷符号和质量）有关， 电子和离子的极化漂移速度大小和方向不同，产生极化电流的大小为：
实际上，由于E随时间变化，所以电漂移速度也随
时间改变，带电粒子在 VDE 的方向就有一个加速度，
经过一个周期后，离子沿x轴震荡一次，没有回到初始位置，而是向左发生了位移。
带电粒子在振幅变化的高频电场中运动时，一方面做高频震荡 ，另 一方面还要向电场减弱的方向运动。定义一个等效的力，其作用就 是使得粒子沿电场减弱的方向运动，这个等效力称为有质动力。
Fp
q2
4m 2
§2.3带电粒子在均匀恒定磁场和变化的电场中的运动 非均匀电场影响 随时间缓变的电场的影响
非均匀电场引起的漂移运动
磁场均匀恒定，电场在空间不均 匀，粒子的电漂移速度为：
VE
(1
1 4
rL22 )
EB B2
电漂移速度的第二项来自于带电粒子绕回旋 中心运动时，轨道上的电场不同引起的修正。
带电粒子在随时间缓变电场中的漂移
于是在 VDE 的反方向上受到一个惯性力的作用
F m dvDE dt
代入速度漂移的一般公式
VD
FB qB2
就可得到
VDP
m qB2
dE dt
⊙B
由于这个漂移是有惯性引起的，所以有时极化漂移也称为惯性漂移。
§2.4有质动力与绝热不变量 带电粒子在高频电场中的运动－有质动力 磁矩不变量
带电粒子在高频电场中的运动
漂移运动的轨道（导向中心漂移的回旋运动）：
电场作用引起拉摩半径的变化是产生漂移运动的原因
正交电场磁场中，不同回旋速度、漂移速度比值时粒子的空间轨道
漂移运动的特点：
电子、离子的漂移方向速度相同，无电荷分离，不产生漂移电流
重力漂移速度：
特点：1) 与 m 成正比
v gi v ge
2) 与 q 有关，vge与vgi反向，出现漂移电流
经过一个周期后，离子沿x轴震荡一次，没有回到初始位置，而是向左发生了位移。
现假定电场的振幅沿x轴缓慢增强
E( x, t) E0 ( x) cost
设一个正离子初始时刻位于原点左边最大位移处
第一个1/4周期内：
·T/4 · 3T/4
离子在电场作用下向右做加速运动并逐渐进入强场区；
第二个1/4周期内：
第一章 绪论
等离子体的定义 等离子体是由大量的带电粒子所组成的准中性体系，带电粒子的运动 主要由长程电磁作用所决定，显示出振荡与波、不稳定性等集体行为。
等离子体的判据：
1）D L
德拜长度
； 2） 1 ； 3） en p
D
0T n0e2
准中性成立的空间尺度
等离子体参数
4n03D T 3 n0 1/ 2
电子振荡频率
pe
n0e2
0me
准中性成立的时间尺度
第二章 单粒子轨道理论
定性描述无碰撞等离子体; (零级)近似描述有碰撞等离子体
§2.1 带电粒子在均匀稳恒力场中的运动 §2.2 带电粒子在变化的磁场中的运动 §2.3 带电粒子在均匀恒定磁场和变化的电场中的运动 §2.4 有质动力与绝热不变量
曲率漂移：
Rc是曲率半径（矢量）
真空中弯曲磁场的漂移速度
曲率漂移：
VRc
mV 2
//
qB 2
Rc B Rc2
梯度漂移：
VB
1 2
mv2
qB2
Rc B Rc2
定义
W
1 2
mv2 ,
W//
1 2
mv/2/
VD
VRc
VB
(2W// W )
qB 2 Rc2
R
B
§2.1 带电粒子在均匀稳恒力场中的运动 均匀恒定磁场中回旋运动
c
q m
B
在均匀磁场和电场中的电漂移运动
B = 常数，E = 常数 Ey 0
平行B方向匀加速运动：
vz
q m
Ezt
vz0
垂直B方向：
y
B
Ez
z
x Ex
回旋运动
电漂移速度
VE
EB
B2
漂移运动 垂直B的电场Ex引起y方 向的漂移运动的速度
rc
v
c
mv qB
，在粒子回旋速度 V⊥
大小保持不变时，回旋半径大小与磁场称反比，磁场强的地方回旋半
径小，磁场弱的地方回旋半径大。
近似定量计算
大于粒子的回旋半径rL ，
并满足磁场缓变条件。带电粒子以速度V//沿力线运动，同时以速度V⊥ 绕力线做回旋运动。 粒子绕弯曲的力线走，将感受到一个惯性离心力，方向沿曲率半径向外， 离心力大小为：
V VC VD
vc：快运动
B取回旋中心处的值
vD：慢运动一个回旋周期内的平均速度
漂移近似的条件（缓变条件）：
1）回旋半径、螺旋轨道的螺距远小于非均匀性的特征长度，即小梯度场 2）带电粒子的回旋周期远小于场变化的特征时间，即慢变场
梯度漂移（空间缓变稳恒磁场）
定性分析 由于带电粒子的回旋半径
第一个1/4周期内：离子向右加速运动并逐渐进入强场区； 第二个1/4周期内：离子减速向右运动，不过由于离子处于较 强的电场区，受到的阻力较大，离子不能到达右边更远的地方。
第三个1/4周期内：离子加速向左运动，并进入弱场区 第四个1/4周期内：离子减速向左运动，由于处于弱场区，阻 力没有第二个1/4周期内受到的阻力大，所以离子可以深入到 左边更远的地方。