2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）

一、选择题

1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ?=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}-

C.{2,1,0,3}--

D.{2,1,0,2,3}--

【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}A

B =-，∴ (){2,3}U

C A B ?=-.

2.若α为第四象限角，则（ ） A.cos20α> B.cos20α<

C.sin 20α>

D.sin 20α<

【答案】D 【解析】∵22()2

k k k Z π

παπ-

+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，

∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.

3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 【答案】B

【解析】因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为16005001200

18

50

+-=名.

4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（ ） A.3699块

B.3474块

C.3402块

D.3339块

【答案】C

【解析】设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，

19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且

2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为

32712726

27934022

n S S a ?==+

?=块. 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）

A.

【答案】B

【解析】设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则2

2

2

(2)(1)a a a -+-=，解得

1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)

，圆心到直线的距离都是5

d =

. 6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】C

【解析】取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以

1

2n n

a a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，

则

2n

n a =，所以

1101111551210

2(12)222212

k k k k k k a a a ++++++-+++==-=--，得4k =.

7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为

M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）

A.E

B.F

C.G

D.H

【答案】A

【解析】该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.

8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x y

C a b

-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别

交于D ，E 两点，若ODE ?的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B

【解析】双曲线22

22:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到

||2DE b =

，则8ODE S ab ?==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.

9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （ ）

A. 是偶函数，且在1

(,)2

+∞单调递增

B.是奇函数，且在11(,)22

-单调递减

C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增

D.是奇函数，且在1(,)2

-∞-单调递减

【答案】D

【解析】函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则

()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11

(,)22

x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函

数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2

x ∈-∞-时，

212

()ln(21)ln(12)ln

ln(1)2121

x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1

(,)2

-∞-上单调递减，故D 正确.

10.已知ABC ?的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）

B.

32

C.1

【答案】C

【解析】设ABC ?的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，

等边三角形ABC ?的边长为a ，则2ABC S ?=

=，可得3a =，于是

r =

=，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222

R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1.

11.若2233x y x y ---<-，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<

【答案】A

【解析】2323x x y y

---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x x

f x -'=+>，所以

函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，

ln(1)0y x -+>，选A.

12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足

{}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为01-周

期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m

的01-序列12......n a a a ，1

1()(1,2,...,1)m

i i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，

下列周期为5的01-序列中，满足1

()(1,2,3,4)5

C k k ≤

=的序列是（ ） A. 11010... B.11011... C. 10001... D.11001... 【答案】C

【解析】对于A 选项：

511111(1)(10000)555

i i i C a a +===++++=

∑，

5211121

(2)(01010)5555

i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；

对于B 选项，5111131

(1)(10011)5555

i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；

对于C 选项，

511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑，52111

(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，

53111

(3)(00000)0

55

i i i C a a +===++++=∑，

541111

(4)(10000)555

i i i C a a +===++++=∑，满足；

对于D 选项，5111121

(1)(10001)5555

i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。

二、填空题

13.已知单位向量a ，b 的夹角为45?，ka b -与a 垂直，则k = .

【答案】

2

【解析】单位向量a ，b 的夹角为45?，因为ka b -与a 垂直， 所以2()0ka b a

k -?=-=，解得k =

14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方式有______种. 【答案】36

【解析】23

4336C A =.

15.设复数1z ，2z 满足12

||||2z z ==，12z z i +=，则12

||z z -=________。 【答案】【解析】方法1：由题设1z a

bi =+(,)a b R ∈，则2)(1)

z a b i

=+-，故

222

122222

2||4

||)(1)244

z a b z a b a b b ?=+=??=+-

=+--

+=??，则 2222212||(2(21)4444

z z a b a b b

-=+-=+--+22222()2(2)424412a b a b b =+

++--+=?+=，故12||z z -=

方法2：在复平面内，用向量思想求解，原问题等价于：平面向量a ，b 满足||||2a b ==，

且(3,1)a b +=，求||a b -，解答如下：考虑到2222

()()2||2||a b a b a b ++-=+，故

24()16a b +-=，故

||23a b -=，故12||

z z -=

方法3：几何法：由于123

z z z i +==，在复平面内考虑P ，由12||||2z z =

=，平行四边形法则可知：OABP 形成边长为2，一条对角线为2的菱形，故另一条对角线长为

12||z z -=

16.设有下列四个命题：

1:p 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

2:p 过空间中任意三点有且仅有一个平面. 3:p 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 4:p 若直线l ?平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.

则下列命题中所有真命题的序号是 . ① 14p p ∧ ② 21p p ∧ ③ 23p p ?∨ ④ 34p p ?∨? 【答案】①③④

【解析】对于1:p 可设1l 与2l 相交，所得平面为α.若3l 与1l 相交，则交点A 必在α

内，同理，3l 与2l 交点B 也在α内，故AB 直线在α内，即3l 在α内，故1p 为真命题.

对于2:p 过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故2p 为假命题. 对于3:p 空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故3p 为假命题.

对于4:p 若m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故m l ⊥，故4p 为真命题.

综上可知：14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ?∨为真命题，34p p ?∨?为真命题，故正确的有：①③④. 三、解答题

17.ABC ?中，222

sin sin sin sin sin A B C B C --=.

（1）求A ；

（2）若3BC =，求ABC ?周长的最大值.

【解析】（1）在ABC ?中，设内角A ，B ，C 的对边分为为a ，b ，c 因为

222sin sin sin sin sin A B C B C --=，由正弦定理得，222a b c bc --=，即

2

2

2

b c a bc +-=-，由余弦定理得，2221

cos 22

b c a A bc +-=

=-，因为0A π<<，所以23

A π

=

； （2）由（1）知23

A π

=

，因为3BC =，即3a =，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，所以2229()b c bc b c bc =++=+-

，由基本不等式

2b c +≤

知2()4b c bc +≤，结合上式得2239()()4

b c bc b c =+-≥+，2

()12b c +≤，

所以b c +≤

，当且仅当b c ==ABC ?

周长的最大值为3+解法2

：由正弦定理得

3

2sin sin sin sin 3

b c a B C A π====

b B =

，

c C =，由A B C π++=知3C B π=-，03B π

<<

，所以

33sin(

)3

a b c B B π

++=++

-1

3sin )2

B B B =++

-33cos 3)3B B B π=++=++，因为03

B π

<<，所以

2333B πππ<+<

，所以当且仅当32B ππ+=，即6B π

=时，ABC ?

的周长最大值为3+18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据,1,2(,...,0)2)(i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第

i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20

1

60i i x ==∑，

20

1

1200i

i y

==∑，202

1

()80i i x x =-=∑，202

1

()9000i i y y =-=∑，20

1

()()800i i i x x y y =--=∑，

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);

(2)求样本,1,2(,...,0)2)(i i x y i =的相关系数(精确到0.01)；

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数：()()

n

i

i

x x y y r --=

∑

1.414≈

【解析】(1) 由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数1200

6020

==，故这种野生动物数量的估计值6020012000=?=；

（2

）由参考公式得()()

0.94n

i

i

x x y

y r --=

=

=≈∑；

(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组,采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计。

19.已知椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合.1C 的中心与

2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点.且

4

||||3

CD AB =

. （1）求1C 的离心率；

（2）设M 是1C 与2C 的公共点.若5MF =，求1C 与2C 的标准方程.

【解析】（1）∵F 为1C 的焦点且AB x ⊥轴，∴(,0)F c ，2

2||b AB a

=.

设2C 的标准方程为22(0)y px p =>，∵F 为2C 的焦点且AB x ⊥轴，

∴(,0)2

p

F ，||2CD p =.

∵4||||3CD AB =，1C 与2C 焦点重合，∴2

2

4223p c b p a ?=????=?

??

. 消去p 得：2

843b c a

=，∴232ac b =，∴22322ac a c =-，设1C 的离心率为e ，则

22320e e +-=，∴12e =

或2e =-（舍），故1C 的离心率为12

. （2）由（1）知2a c =

，b =，2p c =.∴22

122:143x y C c c

+=，22:4C y cx =.

联立两曲线方程，消去y 得22316120x cx c +-=，∴(32)(6)0x c x c -+=， ∴23x c =

或6x c =-（舍），从而25

||5233

p MF x c c c =+=+==.∴3c =. ∴1C 与2C 的标准方程分别为22

13627

x y +=，212y x =.

20.如图，已知三棱柱111

ABC A B C -的底面是正三角形，侧面

11BB C C

是矩形，M ，N

分别为BC ，

11

B C 的中点，P 为AM 上一点，过

11

B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于

F

.

（1）证明：1//AA MN ，且平面

1A AMN ⊥

平面

11EB C F

；

（2）设O 为

111

A B C ?的中心，若//AO 平面

11EB C F

，且AO AB =，求直线

1B E

与平面

1A AMN

所成角的正弦值.

【解析】证明∵M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，底面为正三角形，∴1B N BM =，四边形1BB NM 为矩形，∴1//BB MN ，而11//AA BB ，∴1//AA MN ，可得1,,,A A M N 共面，

由

四边形1BB NM 为矩形，得11MN B C ⊥，由11B N NC =,得111A N B C ⊥，又

1MN A N N ?=，得11B C ⊥平面1A AMN ，

11B C ?平面11EB C F ∴平面1A AMN ⊥平面

11EB C F ；

（2）∵//AO 平面11EB C F ，AO ?平面1AMNA ?平面11EB C F PN =，∴

//AO PN ，四边形APNO 为平行四边形，而O 为正三角形的中心，AO AB =，∴

13A N ON =，3AM AP =，113PN BC B C EF ===，由（1）知直线1B E 在平面1A AMN 内的投影为PN ，直线1B E 与平面1A AMN 所成角即为等腰梯形11EFC B 中1B E

与PN 所成角在等腰梯形11EFC B 中，令1EF =，过E 作11EH B C ⊥于H ，则

113PN B C EH ===，11B H =

，1B E =

111sin 10

B H B EH B E ∠=

=

，所以直线1B E 与平面1A AMN

所成角的正弦值为

10

.

21.已知函数2

()sin sin 2f x x x =。 （1）讨论()f x 在区间(0,)π的单调性；

（2）证明：|()|f x ≤

； （3）设*

n N ∈，证明：2

2

2

2

3sin sin 2sin 4...sin 24

n

n

n x x x x ≤。

【解析】（1）3

()2sin cos f x x x =，

2222'()2sin (3cos sin )8sin sin()sin()33

f x x x x x x x ππ

=-=-+-。

当(0,

)3x π

∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；

当2(

,

)3

3

x ππ

∈时，'()0f x <，()f x 单调递减；

当2(

,)3

x π

π∈时，'()0f x >，()f x 单调递增； （2）由2

()2sin cos f x x x =得，()f x 为R 上的奇函数，

26232()4sin cos 4(1cos )cos f x x x x x

2==-23222434(1cos )3cos 4(33cos 3cos )3()()3344

x x x x -?-+=≤?=，

当2

2

1cos 3cos x x -=，即2

1cos 4

x =

时等号成立，故|()|8f x ≤。

（3）由（2）知：32

23sin sin 2()4x x ≤=；3

2

23sin 2sin 4()4

x x ≤=；

32

2

3

2

3sin 2sin 2()4x x ≤=；…；32123sin 2sin 2()4

n n x x -≤=，

故323331

2

23sin sin 2sin 4...sin 2

sin 2()4

n

n n

x x x x x -≤，

333313sin sin 2sin 4...sin 2sin 2n n x x x x x

-

323331

2

23sin (sin sin 2sin 4...sin 2

sin 2)sin 2()4

n

n n

n

x x x x x x x -=≤，

所以：2

2

2

2

3sin sin 2sin 4...sin 24

n

n

n x x x x ≤。

四、选做题

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知1C ，1C 的参数方程分别为2

12

4cos :4sin x C y θθ?=?=?，（θ为参数），21:1

x t t C y t t ?=+????=-??

，（t 为参数）. （1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为

P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.

【解析】由题：1C 的普通方程为：40x y +-=，(0,0)x y ≥≥；

因为22222221

2:12x t t C y t t ?=++????=+-??

，故2C 的普通方程为：22

4x y -=；

（1） 联立1C ，2C ，22

404x y x y +-=??-=?解得：52

32

x y ?

=????=??，所以点P 坐标为：53(,)22P ， 设所求圆圆心为(,0)Q a ，半径为a ，故圆心(,0)Q a 到53

(,)22

P 的距离

a =，得1710a =，所以圆Q 的圆心为17(,0)10Q ，半径为1710

， 圆Q 的直角坐标方程为：2221717()1010()x y -

+=，即：2217

05

x y x +-=，所以所求圆的极坐标方程为：17

cos 5

ρθ=

. 23.已知函数2

()|||21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；

（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.

【解析】当2a =时，()|4||3|f x x x =-+-，即

()27,3

1,3427,4

x x f x x x x -+

=≤≤??->?

所以()4f x ≥的解集为3{|2x x ≤或11}2x ≥.

（2）222

()|||21||(21)||(1)|f x x a x a x a x a a =-+-+≥---+=-，又()4f x ≥，所

以2

|(1)|4a -≥，则3a ≥或1a ≤-.