高中数学必修五：2.4《等比数列(1)》ppt课件
－1
.
注意：(1)等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到 一般的思想． (2)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意 一项． (3)在等比数列中，若已知 a1，q，n，an 四个量中的三个， 就可以求出另一个量． a1 n (4)等比数列的通项公式可以变形为 an＝( q )q ， 因此等比数 列{an}中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四 a1 x 象限，即这些点在曲线 y＝( q )q 上，因此可以利用函数思想求 解等比数列的通项公式．
已知等比数列{an}中， a1＝－2， a3＝－8， 则 an＝________.
[ 答案]
[ 解析]
－2n 或(－2)n
－8 设公比为 q， 则 a3＝a1q ， ∴q ＝ ＝4， ∴q＝± 2. －2
2 2
∴an＝(－2)×2n－1 ＝－2n 或 an＝(－2)×(－2)n－1 ＝(－2)n.
2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，则等比数列 {an}的通项公式为 an＝a1· qn－1(n∈N*)． 等比数列的通项公式的推导方法如下： (1)归纳法：由定义很容易知道 a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4 ＝a3q＝a1q3，„. 归纳得等比数列的通项公式为 an＝a1· qn－1.
1.还记得等差数列的定义吗？从________起，每一项与其前 一项的差________的数列，称为等差数列． 2．等差数列的通项公式：______，是关于n的________． 3．还记得指数型函数吗？________. [ 答案 ] 1. 第 2 项 等于同一个常数 一次函数式 3.y＝c·ax(a>0且a≠1) 2. a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d
列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (2)当 a，b 同号时，a，b 的等比中项有两个，异号时，没 有等比中项．所以“a，G，b 成等比数列”与“G＝ ab”是不 等价的．
方程 x2－5x＋4＝0 的两根的等比中项是( 5 A．2 C．± 5 B．± 2 D．2
)
[ 答案]
B
[ 解析]
3．等比中项 (1)定义：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成 等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项． G b (2)公式：若 G 是 a 与 b 的等比中项，则 a ＝G，所以 G2＝ ab，G＝± ab. 注意：(1)在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项(有穷数
an (2)累乘法：设等比数列{an}中， ＝q(n≥2)， an－1 an－1 a2 a3 an 那么a ＝q，a ＝q，„， ＝q， ＝q. an－2 an－1 1 2 an－1 an a2 a3 将以上这(n－1)个式子相乘，得 a × a ×„× × ＝ a a － － 1 2 n 2 n 1 qn－1， an ∴a ＝qn－1，∴an＝a1· qn－1. 1 (3)迭代法：∵数列{an}是等比数列， ∴an＝an－1q＝an－2q· q＝an－2q2＝an－3q· q2＝an－3q3＝„＝a1qn
(2) 如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 n(n>3， n∈N*)项起， 每一项与它的前一项的比都是同一个常数， 此数列不是等比数列，但是可以说此数列从第 2 项起或第(n－ 1)项起是一个等比数列． (3)常数列都是等差数列，却不一定都是等比数列．例如， 各项都为 0 的常数列，它就不是等比数列；各项都不为 0 的常 数列就是等比数列．
(2)不一定是等比数列， 当数列只有三项时， 它是等比数列； a4 当数列多于 3 项时， 故它不一定是等比数列． a3不一定也等于 2， a (3)不一定是等比数列．当 a＝0 时，a无意义，它不是等比 a 数列；当 a≠0 时，a＝1，数列是等比数列． an＋1 (4)是等比数列．等比数列的定义用符号表示就是 a ＝q(n n ∈N*)．
1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 an 数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 即： an－1 ＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．
an＋1 注意： (1) 等比数列的定义可简述为 a ＝ q(q 为常数， n q≠0)． ①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能 为 0，因此 q 也不能为 0. an＋1 ② a 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意 n 义，同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项之比， 不能前后颠倒次序．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
数 列
第பைடு நூலகம்章
2.4
第1课时
等比数列
等比数列的概念与通项公式
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
课前自主预习
我们古代数学名著《孙子算经》 中有一个有趣的问题叫“出门望 九堤”：“今有出门望九堤，堤有 九木，木有九枝，枝有九巢，巢有 九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有 九色，问各有几何？”上述问题中的各种东西的数量构成了怎 样的数列？
观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？ (1)数列 1,2,6,18,54，„； a2 a3 (2)数列{an}中，已知a ＝2，a ＝2； 1 2 (3)常数列 a，a，„，a，„； an＋1 (4)数列{an}中， a ＝q，其中 n∈N*. n
[ 解析]
(1)不符合等比数列的定义，故不是等比数列．
设方程的两根为 x1、x2，由韦达定理，得 x1x2＝4，
∴两根的等比中项为± x1x2＝± 2.
课堂典例探究
等比数列通项公式
已知等比数列{an}， 若 a1＋a2＋a3＝7， a1a2a3＝8， 求 an.
[ 分析]
(1)在等比数列的通项公式中含有两个待定系数 a1
和 q，故需建立 a1 与 q 的两个方程，组成方程组求解，因此只 需将已知条件改写成 a1 与 q 的关系式即可． (2)由等比中项的定义知，a2 是 a1 与 a3 的等比中项，故可 先由 a1a2a3＝8 求得 a2， 再解关于 a1 与 a3 的方程组， 即可获解．
.
注意：(1)等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到 一般的思想． (2)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意 一项． (3)在等比数列中，若已知 a1，q，n，an 四个量中的三个， 就可以求出另一个量． a1 n (4)等比数列的通项公式可以变形为 an＝( q )q ， 因此等比数 列{an}中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四 a1 x 象限，即这些点在曲线 y＝( q )q 上，因此可以利用函数思想求 解等比数列的通项公式．
已知等比数列{an}中， a1＝－2， a3＝－8， 则 an＝________.
[ 答案]
[ 解析]
－2n 或(－2)n
－8 设公比为 q， 则 a3＝a1q ， ∴q ＝ ＝4， ∴q＝± 2. －2
2 2
∴an＝(－2)×2n－1 ＝－2n 或 an＝(－2)×(－2)n－1 ＝(－2)n.
2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，则等比数列 {an}的通项公式为 an＝a1· qn－1(n∈N*)． 等比数列的通项公式的推导方法如下： (1)归纳法：由定义很容易知道 a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4 ＝a3q＝a1q3，„. 归纳得等比数列的通项公式为 an＝a1· qn－1.
1.还记得等差数列的定义吗？从________起，每一项与其前 一项的差________的数列，称为等差数列． 2．等差数列的通项公式：______，是关于n的________． 3．还记得指数型函数吗？________. [ 答案 ] 1. 第 2 项 等于同一个常数 一次函数式 3.y＝c·ax(a>0且a≠1) 2. a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d
列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (2)当 a，b 同号时，a，b 的等比中项有两个，异号时，没 有等比中项．所以“a，G，b 成等比数列”与“G＝ ab”是不 等价的．
方程 x2－5x＋4＝0 的两根的等比中项是( 5 A．2 C．± 5 B．± 2 D．2
)
[ 答案]
B
[ 解析]
3．等比中项 (1)定义：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成 等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项． G b (2)公式：若 G 是 a 与 b 的等比中项，则 a ＝G，所以 G2＝ ab，G＝± ab. 注意：(1)在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项(有穷数
an (2)累乘法：设等比数列{an}中， ＝q(n≥2)， an－1 an－1 a2 a3 an 那么a ＝q，a ＝q，„， ＝q， ＝q. an－2 an－1 1 2 an－1 an a2 a3 将以上这(n－1)个式子相乘，得 a × a ×„× × ＝ a a － － 1 2 n 2 n 1 qn－1， an ∴a ＝qn－1，∴an＝a1· qn－1. 1 (3)迭代法：∵数列{an}是等比数列， ∴an＝an－1q＝an－2q· q＝an－2q2＝an－3q· q2＝an－3q3＝„＝a1qn
(2) 如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 n(n>3， n∈N*)项起， 每一项与它的前一项的比都是同一个常数， 此数列不是等比数列，但是可以说此数列从第 2 项起或第(n－ 1)项起是一个等比数列． (3)常数列都是等差数列，却不一定都是等比数列．例如， 各项都为 0 的常数列，它就不是等比数列；各项都不为 0 的常 数列就是等比数列．
(2)不一定是等比数列， 当数列只有三项时， 它是等比数列； a4 当数列多于 3 项时， 故它不一定是等比数列． a3不一定也等于 2， a (3)不一定是等比数列．当 a＝0 时，a无意义，它不是等比 a 数列；当 a≠0 时，a＝1，数列是等比数列． an＋1 (4)是等比数列．等比数列的定义用符号表示就是 a ＝q(n n ∈N*)．
1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 an 数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 即： an－1 ＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．
an＋1 注意： (1) 等比数列的定义可简述为 a ＝ q(q 为常数， n q≠0)． ①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能 为 0，因此 q 也不能为 0. an＋1 ② a 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意 n 义，同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项之比， 不能前后颠倒次序．
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第二章
数 列
第பைடு நூலகம்章
2.4
第1课时
等比数列
等比数列的概念与通项公式
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
课前自主预习
我们古代数学名著《孙子算经》 中有一个有趣的问题叫“出门望 九堤”：“今有出门望九堤，堤有 九木，木有九枝，枝有九巢，巢有 九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有 九色，问各有几何？”上述问题中的各种东西的数量构成了怎 样的数列？
观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？ (1)数列 1,2,6,18,54，„； a2 a3 (2)数列{an}中，已知a ＝2，a ＝2； 1 2 (3)常数列 a，a，„，a，„； an＋1 (4)数列{an}中， a ＝q，其中 n∈N*. n
[ 解析]
(1)不符合等比数列的定义，故不是等比数列．
设方程的两根为 x1、x2，由韦达定理，得 x1x2＝4，
∴两根的等比中项为± x1x2＝± 2.
课堂典例探究
等比数列通项公式
已知等比数列{an}， 若 a1＋a2＋a3＝7， a1a2a3＝8， 求 an.
[ 分析]
(1)在等比数列的通项公式中含有两个待定系数 a1
和 q，故需建立 a1 与 q 的两个方程，组成方程组求解，因此只 需将已知条件改写成 a1 与 q 的关系式即可． (2)由等比中项的定义知，a2 是 a1 与 a3 的等比中项，故可 先由 a1a2a3＝8 求得 a2， 再解关于 a1 与 a3 的方程组， 即可获解．
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高中数学等比数列优质课ppt课件
1 n－1 答案：an＝ . 3
1n－1 an＝3 .
4．若等比数列的通项公式为 列的第 5 项为________．
1 5－ 1 1 解析：a5＝2× ＝ . 8 2
1 n－1 an＝2× .则数 2
1 答案： 8
要点阐释
1．等比数列的定义 关于定义理解的几点注意： (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一 项均不为0，因此q也不能是0. an＋1 (2) 均为同一常数，即比值相等，由此体现了 an
a1＝27， a1＝－27， 解得 2 或 2 q＝3， q＝－3. 4 a1q －a1＝15， q2＋1 5 (2)由 3 得 q ＝ ， 2 a q － a q ＝ 6 ， 1 1
1 得 q＝ 或 q＝2. 2 1 当 q＝ ，a1＝－16，此时 a3＝a1q2＝－4； 2 当 q＝2 时，a1＝1，此时 a3＝a1q2＝4.
1n－1 － an＝－8· . 2
像等差数列的计算一样，等比数列中基本量的计算是最 重要、最基本的问题．
1．在等比数列 an 中．
(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q； (2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
a1q＝ 18， 解：(1)由 3 a1q ＝ 8，
证明：设等差数列 an 的公差为 d，
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4. 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d. ∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0. 当a1＝d≠0时，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d， ∴a62＝a4a9＝36d2， ∴a4，a6，a9成等比数列． 当a1≠0且d＝0时，是非零常数列，满足题意． 综上可知a4，a6，a9成等比数列．
1n－1 an＝3 .
4．若等比数列的通项公式为 列的第 5 项为________．
1 5－ 1 1 解析：a5＝2× ＝ . 8 2
1 n－1 an＝2× .则数 2
1 答案： 8
要点阐释
1．等比数列的定义 关于定义理解的几点注意： (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一 项均不为0，因此q也不能是0. an＋1 (2) 均为同一常数，即比值相等，由此体现了 an
a1＝27， a1＝－27， 解得 2 或 2 q＝3， q＝－3. 4 a1q －a1＝15， q2＋1 5 (2)由 3 得 q ＝ ， 2 a q － a q ＝ 6 ， 1 1
1 得 q＝ 或 q＝2. 2 1 当 q＝ ，a1＝－16，此时 a3＝a1q2＝－4； 2 当 q＝2 时，a1＝1，此时 a3＝a1q2＝4.
1n－1 － an＝－8· . 2
像等差数列的计算一样，等比数列中基本量的计算是最 重要、最基本的问题．
1．在等比数列 an 中．
(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q； (2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
a1q＝ 18， 解：(1)由 3 a1q ＝ 8，
证明：设等差数列 an 的公差为 d，
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4. 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d. ∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0. 当a1＝d≠0时，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d， ∴a62＝a4a9＝36d2， ∴a4，a6，a9成等比数列． 当a1≠0且d＝0时，是非零常数列，满足题意． 综上可知a4，a6，a9成等比数列．
2.4等比数列(必修5优秀课件)
字母q
表示(q. ≠0)
第7页，共42页。
2.等比数列定义的符号语言:
(q为常数，且q≠0 ；n∈N*)
[或
(q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*) ]
第8页，共42页。
练习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些
不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如果不
是，说明理由。
(1) 1，3，9，27，… 是 a1=1, q=3
1.等差数列：银行利息按单利计算（利息没有利息） 本利和=本金×（1+利率×存期）
例如：存入10000元，利率为0.72%
存期 第一年 第二年 第三年 第四年
年初本金 10000 10000 10000 10000
年末本利和（元） 10000×（1+0.725×1） 10000×（1+0.725×2） 10000×（1+0.725×3） 10000×（1+0.725×4）
第15页，共42页。
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的通项公式：叠乘法
a2 a3 a4 a5 ...... an an qn1
a1 a2 a3 a4
an1 a1
an a1q n1
等比数列注： （1）等比数列的首项不为0；
（2）等比数列的每一项都不为0，即 an 0
（3） q=1时，{an}为常数列；
第16页，共42页。
湖南省长沙市一中卫星远程学校
4.等比数列的通项公式：
以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项
公式为： 5.等比数列通项公式的推广：
6.等比数列的公比公式：
7.等比数列通项公式的应用：知三求一
第17页，共42页。
等比数列PPT课件
第6章 第三节
高考数学总复习
[解析] (1)a2＝a1＋14＝a＋14，
a3＝12a2＝12a＋
1 8.
北
师
大
(2)∵a4＝a3＋14＝12a＋38，
版
∴a5＝12a4＝14a＋136，
第6章 第三节
高考数学总复习
∴b1＝a1－14＝a－14，b2＝a3－14＝12(a－14)，
b3＝a5－14＝14(a－14)，
6．(2012·安徽怀宁一模)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若
a1＝1，S6＝4S3，则 a4＝________.
北 师
大
[答案] 3
版
第6章 第三节
高考数学总复习
[解析] 本题考查等比数列的通项公式及前 n 项和公式．
若 q＝1 时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然 S6≠4S3，故 q≠1，
等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，
当 q＝1 时，Sn＝_n_a_1_；当 q≠1 时，Sn＝a_1_11_－－ __q_q_n__＝a1qq－n－1 1
北 师 大 版
＝qa－1qn1－q－a1 1.
第6章 第三节
高考数学总复习
6．等比数列前 n 项和的性质
公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和 Sn，则 Sn，S2n－Sn，
北
∴a111－－qq6＝4·a111－－q∴a4＝a1q3＝q3＝3.
第6章 第三节
高考数学总复习
[点评] 解有关等比数列的前 n 项和问题时，一定要注意对
北
公比 q 进行分类讨论，否则会出现漏解现象．
师
大
版
第6章 第三节
高考数学总复习
高考数学总复习
[解析] (1)a2＝a1＋14＝a＋14，
a3＝12a2＝12a＋
1 8.
北
师
大
(2)∵a4＝a3＋14＝12a＋38，
版
∴a5＝12a4＝14a＋136，
第6章 第三节
高考数学总复习
∴b1＝a1－14＝a－14，b2＝a3－14＝12(a－14)，
b3＝a5－14＝14(a－14)，
6．(2012·安徽怀宁一模)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若
a1＝1，S6＝4S3，则 a4＝________.
北 师
大
[答案] 3
版
第6章 第三节
高考数学总复习
[解析] 本题考查等比数列的通项公式及前 n 项和公式．
若 q＝1 时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然 S6≠4S3，故 q≠1，
等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，
当 q＝1 时，Sn＝_n_a_1_；当 q≠1 时，Sn＝a_1_11_－－ __q_q_n__＝a1qq－n－1 1
北 师 大 版
＝qa－1qn1－q－a1 1.
第6章 第三节
高考数学总复习
6．等比数列前 n 项和的性质
公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和 Sn，则 Sn，S2n－Sn，
北
∴a111－－qq6＝4·a111－－q∴a4＝a1q3＝q3＝3.
第6章 第三节
高考数学总复习
[点评] 解有关等比数列的前 n 项和问题时，一定要注意对
北
公比 q 进行分类讨论，否则会出现漏解现象．
师
大
版
第6章 第三节
高考数学总复习
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
2021_2022学年高中数学第二章数列第4节等比数列第1课时等比数列课件新人教A版必修5
练一练
3．(1)若等比数列的前三项分别为 5，－15，45，则第
5 项是( )
A．405
B．－405
C．135
D．－135
解析：选 A ∴a5＝405.
∵a5＝a1q4，而 a1＝5，q＝aa21＝－3，
(2) 已知数列{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝230，则数列{an} 的通项公式为________________． 解析：设等比数列的公比为 q，则 q≠0，a2＝aq3＝2q，a4＝a3q ＝2q.∴2q＋2q＝230，解得 q＝13或 q＝3. 当 q＝13时，a1＝18，∴an＝18×13n－1＝2×33－n； 当 q＝3 时，a1＝29，∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.
于 同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比 数列的 公比，公比通常用字母 q 表示(q≠0)．
(2)等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成 等比数列，
那么 G 叫做 a，b 的等比中项，这三个数满足关系式 G＝± ab. (3)等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，则通项公式
第1课时 等比数列
[核心必知]
1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P48～P49，回答下列问题： (1)观察下面的各组数据 ①由细胞分裂问题，得到数列：1，2，4，8，…； ②由“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，得到数列：1，12，14，18，…； ③由计算机病毒的传播，得到数列：1，20，202，203，…； ④由银行的一种计息方式“复利”，得到数列：10 000×1.019 8， 10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000× 1.019 85.这些数列有什么共同特点？ 提示：从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于一个常数．
人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件
的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
人教版高中数学必修五-等比数列课件
【变式训练】在等比数列{an}中，已知a1= 9，an= 1，q= 2，
则n为( )
8 33
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.等比数列{an}中，a1= an= q= 所以
an=a1qn-1=
所以
即n-981，=3，13n，=4.
2， 3
9 (2)n1 1， ( 2)n1 ( 2)3，
83 3
公比分别为p，q，因为 an b1 n1 an=1pbqn≠1 0，所以{an·bn}
一定是等比数列.
anbn an bn
2.令an+1+λ=2(an+λ)，与已知an+1=2an+3比较知λ=3，
所以an+1+3=2(an+3)，即 =2，
所以数列{an+3}是首项为aan11+33，公比为q=2的等比数列. an 3
A. 27
B. 45
C. 25
D. 47
2
4
2
4
2.一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三 项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32， 那么所得的三项又成等比数列.求原来的等比数列.
【解题指南】1.根据前3个数成等比数列，设出这两个数，再 由后三个数成等差数列列方程求解. 2.根据三个数成等比数列，设出这三个数，再根据条件建立方 程组求解.
注意什么？
提示：根据等比数列的定义，要判断一个数列为等比数列需 要注意：(1) =q(n∈N*)为常数.
((23))比数值列中a的n为1 每同aan一n一1 项个都常不数能. 为0. an
探究3：由等比数列的定义，要判断一个数列是否为等比数列，
高中数学必修5《等比数列》PPT
在等差数列中有
− = − = − = ⋯
= + − =
则+ = +
在等比数列中有
+
=
=
=⋯=
= q
则 + = .q
等差数列
=
= +
= + = +
通项公式 = + = +
的推导过
= + = +
程
……
= + ( − )
三数 , , 成等差数列
+
则A-a=b-A，
=
中项推导
过程
通常用
2A=a+b
等比数列
a1 = a1
2 = 1 . q
= . q = . q2
按照复利(即前一期的利息和本金加在一起算作本金，再
计算下一期的利息)，5年内各年末的本利和依次为（用
算式表示）
0000（1 + 5%)2
0000
0000（1 + 5%)4
0000（1 + 5%） 0000（1 + 5%)3
类比等差数列,你能找出这几个数列的共同特
征并加以定义吗？
4 = 3 . q = . q3
5 = 4 . q = . q4
……
n = . q−
三数 , , 成等比数列
则
= , = ±
通常用 G2 =ab
思考：(1) 3与27的等比中项是多少？-3和27呢？
− = − = − = ⋯
= + − =
则+ = +
在等比数列中有
+
=
=
=⋯=
= q
则 + = .q
等差数列
=
= +
= + = +
通项公式 = + = +
的推导过
= + = +
程
……
= + ( − )
三数 , , 成等差数列
+
则A-a=b-A，
=
中项推导
过程
通常用
2A=a+b
等比数列
a1 = a1
2 = 1 . q
= . q = . q2
按照复利(即前一期的利息和本金加在一起算作本金，再
计算下一期的利息)，5年内各年末的本利和依次为（用
算式表示）
0000（1 + 5%)2
0000
0000（1 + 5%)4
0000（1 + 5%） 0000（1 + 5%)3
类比等差数列,你能找出这几个数列的共同特
征并加以定义吗？
4 = 3 . q = . q3
5 = 4 . q = . q4
……
n = . q−
三数 , , 成等比数列
则
= , = ±
通常用 G2 =ab
思考：(1) 3与27的等比中项是多少？-3和27呢？
人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
例 3、等比数列 an 中， a4 , a12 是方程 x 20 x 16 0 的两个根，
2
则 a4 与 a12 的等比中项为( C ) （A） 4 （B） 4 （C） 4 （D） 16
例 4、在各项都为正数的等比数列 {an } 中， a6 a10 a3 a5 41 ，
an （5）欲证等比数列，只需证 q (n 2) ， an1
还需说明 a1 0 ， q 0 ．
二、等比数列的通项公式
an q an 1
叠乘法
a2 q a1 a3 q a2 a4 q a3
不完全归纳法
a2 a1 q
a3 a2 q a1 q2
a4 a3 q a1 q3
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
a4 a8 4 ，则 a4 a8 （ B ）
（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列 的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项， 即 an an1 an1 (n 2) ．
高中数学人教版必修5课件：2.4.1等比数列(共21张PPT)
• G=＿＿＿。
自主学习(2min)
• 仿照“等差数列通项公式的推导”，完成任务：
已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
你能写出这个等比数列的第n项吗？
a1=a1 a2=a1 q a3=a2 q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
不完全归纳法
an=
.
3、等比数列的通项公式：
• 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公
请说出公比q。
√(1)2，8，32，128，…
q=4
(√2)-1，-0.5，-0.25，-0.125，… q=0.5
(√3)2，2，2，2，…
q=1
(√4)1，-3，9，-27，…
q=-3
×(5)1，2，4，16，64，…
×(6)1, 0, 1, 0, 1
先抢为快
抢答1:公比q的取值范围是什么呢？ 正数、负数，但是不能为零。
抢答2:当公比q=1时的等比数列是什么样的数列？
常数列 抢答3:常数列一定是等差数列吗？一定是等比数
列吗？为什么？
常数列都是等差数列，但却不一定都是等比列。 如数列0，0，0，0，…是等差不是等比数列。
抢答4：既是等差数列，又是等比数列的数列存 在吗？举例说明。
2、等比数列中项：
• 与等差中项类似，如果在a与b中间插入一 个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫 做a与b的等比中项。
3、等比数列的通项公式：an= a1qn-1
4、学习的思想方法：类比思想方法
课后作业
• 1.P53 A组第1(1)~(3)题
1、等比数列的定义：
• 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项
与它的前一项的比等于同一个常数，这个
自主学习(2min)
• 仿照“等差数列通项公式的推导”，完成任务：
已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
你能写出这个等比数列的第n项吗？
a1=a1 a2=a1 q a3=a2 q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
不完全归纳法
an=
.
3、等比数列的通项公式：
• 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公
请说出公比q。
√(1)2，8，32，128，…
q=4
(√2)-1，-0.5，-0.25，-0.125，… q=0.5
(√3)2，2，2，2，…
q=1
(√4)1，-3，9，-27，…
q=-3
×(5)1，2，4，16，64，…
×(6)1, 0, 1, 0, 1
先抢为快
抢答1:公比q的取值范围是什么呢？ 正数、负数，但是不能为零。
抢答2:当公比q=1时的等比数列是什么样的数列？
常数列 抢答3:常数列一定是等差数列吗？一定是等比数
列吗？为什么？
常数列都是等差数列，但却不一定都是等比列。 如数列0，0，0，0，…是等差不是等比数列。
抢答4：既是等差数列，又是等比数列的数列存 在吗？举例说明。
2、等比数列中项：
• 与等差中项类似，如果在a与b中间插入一 个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫 做a与b的等比中项。
3、等比数列的通项公式：an= a1qn-1
4、学习的思想方法：类比思想方法
课后作业
• 1.P53 A组第1(1)~(3)题
1、等比数列的定义：
• 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项
与它的前一项的比等于同一个常数，这个