古典概型计算
古典概型
思考1： 年按365天计算，求： (1) n个人生日各不相同的概率； (2) n个人中至少有两个人生日相同的概率； (3) *n个人中恰有两个人生日相同的概率
一
思考2：
• 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故中， 该市有两家出租车公司——红色出租车公司 和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和 红色出租车公司分别占整个城市出租车的85 ％和15％。据现场目击证人说，事故现场的 出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测 试，测得他辨认的正确率为80％，于是警察 就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑。请 问警察的认定对红色出租车公平吗？
摸球问题
• 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标 上1，2，3……10这10个数字，今随机抽取两 个小球，如果 （1）分两次抽，小球是不放回的； （2）分两次抽，小球是放回的； （3）一次抽两个.求两个小球上的数字为相邻 整数的概率.
区分：1、是否放回；2、是否有顺序 技巧：不放回的摸取问题，常常变成排列 模型处理
（3）12/125
3、古典概型计算提高：建立概率模型
例4:口袋里装有2个白球和2个黑球,这4 个球除了颜色外完全相同, 4个人按顺序 每次从中摸出一球,试计算第二个人摸到 白球的概率.
抽奖(抽签)问题
• 在5张票中有1张中奖票，5个人按顺序从中各 抽1张以决定谁得奖。那么，先抽还是后抽 （后抽人不知道先抽人抽出的结果），对各人 来说公平吗？也就是说，各人抽到奖票的概率 相等吗？ • 袋中有9只黑球，1只白球，它们除颜色不同外， 其它方面没有差别，现随机地将球一只只摸出 来，求Ak={第k次摸出白球}的概率 （k=1,2,…,10）．
古典概型的特征和概率
求一个事件的概率的基本方法：进行大量的重复试 验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率。
3.2古典概型
）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） （1，2）、（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ 7
第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数
6 5 4 3 2 1
7 6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3
10 9 8 7 6 5 4
11 10 9 8 7 6 5
12 11 10 9 8 7 6
变式1：两数之和不 变式1 低于10 10的结果有多少 低于10的结果有多少 种？两数之和不低于 10的的概率是多少 的的概率是多少？ 10的的概率是多少？
设“摸出两个球都是红球”为事件A 摸出两个球都是红球”为事件A 中包含的基本事件有10个 则A中包含的基本事件有 个， 因此 P ( A) = 中包含的基本事件有
m 10 5（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） ， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ） （2，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ） （3，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ） （4，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（5， ）、（ ）、（5， ） （5，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（6， ） （6，7）、（ ，8） ， ）、（ （7，8） ， ）
1-4古典概型
解：以分钟为单位, 则上一次报时时刻为下一次报时时刻长为60，
10 P ( A) 60
例9：(会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定 的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率. 记7点为计算时刻的0时, 以分钟为单位, 用 x , y 分别记表 解： 示甲、乙两人到达指定地点的时刻, 显然
A 表示“n 个人的生日均不相同”, 这相当于每间房子至
多做一个人，
于是由例4有： P( A)
Cn 365 n ! 365n
Cn 365 n ! 365
50
n
P( A) 1 P( A) 1
经计算可得下述结果： N 20 23 30 40
.
64
100
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
0 x 60,0 y 60
则样本空间为：
S {( x, y) | 0 x 60,0 y 60}
用字母A表示事件“两人能会面”, 则
A {( x, y ) | ( x, y) S , | x y | 20}
P(A) = 阴影部分的面积/正方形的面积
( A) 602 402 5 . 2 (S ) 60 9
1 Cm (n 1)! m n! n
练习: 一个八位数的电话号码，记住了前5位，而后三位只记 的是0、5、6三个数，而具体排列记不住，问试拨一次就拨 对的可能性有多大？
解：用A来表示“试拨一次就拨对”，
3 总的基本事件总数： P 3
3! 6
A所包含的基本事件数： 1
古典概型c上下标计算公式
古典概型c上下标计算公式在概率论中，古典概型是一种基本的概率模型，也是最简单的概率模型之一。
它可以用来描述一种实验或事件具有两个互不排斥的可能结果的情况。
古典概型的计算方法中，常常会涉及到上下标计算公式。
上下标计算公式，又称排列组合公式，是古典概型中一个重要的计算工具。
它用来计算由n个元素中任意地取出m个元素（不考虑元素的顺序）得到的可能性的数量。
根据计算公式的不同形式，又可以分为排列公式和组合公式两种。
首先，我们先来了解一下排列公式。
排列公式用来计算从n个元素中任意地取出m个元素（考虑元素的顺序）得到的可能性的数量。
排列公式的计算公式为An,m=n!/(n-m)！。
其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)...*3*2*1。
在排列公式中，考虑到元素的顺序，所以当元素个数一样时，不同的排列结果即为不同的可能性数量。
接下来，我们再来了解一下组合公式。
组合公式用来计算从n个元素中任意地取出m个元素（不考虑元素的顺序）得到的可能性的数量。
组合公式的计算公式为Cn,m=n!/((n-m)!*m!)。
在组合公式中，由于不考虑元素的顺序，所以当元素个数一样时，不同的排列结果会得到相同的数量。
在实际应用中，上下标计算公式经常用于解决“选取”问题。
例如，在一副扑克牌中随机抽取5张牌，我们可以使用组合公式C52,5计算可能的结果数量。
同样地，如果我们希望从20个人中选出5个人组队，我们可以使用组合公式C20,5计算可能的组队数量。
古典概型中的上下标计算公式为我们提供了一种有力的工具，可以帮助我们计算不同实验或事件的可能性数量。
通过灵活运用上下标计算公式，我们可以更好地理解和分析古典概型中的问题，并得出合理的结论。
因此，在学习和应用概率论中的古典概型时，我们应该熟练掌握上下标计算公式，以便在实际问题中进行准确的计算和推理。
数学古典概型公式p(A B)
数学古典概型公式p(A B)
古典概型也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
古典概型计算公式：P（A）=m/n=A包含的基本事件的个数m/基本事件的总数n
注意：计算时间A概率的关键
（1）计算试验的所有可能结构数n。
（2）计算事件A包含的可能结果数m。
如果一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/n；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m/n=A包含的基本事件的个数m/基本事件的总数n
古典概型的概率计算公式是 P(B)=事件B包含的基本事件数n/样本空
间的基本事件总数m=n/m. 样本空间满足两个条件:
1、样本空间的基本事件总数是有限多个;
2、每个基本事件发生的概率都是等可能的,即为1/m.。
古典概型与几何概型
法的总数为
C r1 n1
Cr2 n2
…… Crk nk
．
3.一些常用等式
选排列和组合式可推广到 r 是正整数而 n 是任意实数 x 的场合，即有
Axr xx 1x r 1,
Cxr
Axr r!
xx 1
x r 1
r!
n
此外由 11 n Cnr1r1nr 得 Cn0 Cn1 Cnn 2n . r0
概率论与数 理 统 计
§1.3古典概型与几何概型
主要内容
一、古典概型的概念及计算
二、古典概型的计算 三、几何概型
一、古典概型的概念
定义：一个随机试验如果有如下特征：
有限性 样本空间的元素（即基本事件）只有有限个，
, ,
1 , 2
n
等可能性 每个基本事件出现的可能性是相等的，即
P P P
2
n
则称此试验为古典型随机试验，简称为古典概型。
二、概率的古典定义
定义：设古典概型的所有基本事件为：为：
，事
件A含有其,中, 的,k个基本事件 ，则定义事件A的概率为
12
n
P(A)
k n
A包含的基本事件数 基本事件的总数
例：投骰子A=“出现1点”，B=“出现2点” , ,F
“出现6 点”
G=“出现奇数 点” ．
40
（4）设D=“3件全是正品”， 则P(D)C33 0.7864
C3
（5）设E=“3件中至少1件次品”，
40
则 P ( E ) 1 P E 1 P D 0 .2136
（2）分房问题
例1.3.5 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的 任意一间去住（n≤N），求下列事件的概率：
古典概型的特征和概率计算公式
古典概型的特征和概率计算公式古典概型是概率论中最简单的概型之一，它是基于等可能性假设的。
古典概型的特征和概率计算公式如下所示。
1.特征：-等可能性假设：古典概型假设所有可能的结果具有相同的发生概率。
-有限个数的可能结果：古典概型假设实验的所有可能结果可数且是有限的。
-互斥性：古典概型假设每个实验结果都是唯一的，任意两个不同结果之间是互斥的，即同一次试验只能出现一种结果。
2.概率计算公式：在古典概型下，我们可以使用以下公式来计算事件的概率。
-样本空间:古典概型中，样本空间的大小等于实验的所有可能结果数的总和。
假设样本空间为S，大小为n，即S={A1,A2,A3,...,An}。
- 事件的概率: 假设事件A是样本空间S的子集，包含m个可能结果，即A = {Ai1, Ai2, Ai3, ..., Aim}。
则事件A的概率P(A)等于事件A中所有可能结果的概率之和。
P(A) = P(Ai1) + P(Ai2) + P(Ai3) + ... + P(Aim) = m/n。
3.举例说明：为了更好地理解古典概型的特征和概率计算公式，我们来举一个简单的例子。
假设有一个标准的六面骰子，每个面上的数字是等可能的。
（1）样本空间：这个例子中，样本空间S包含了所有可能的结果，即S={1,2,3,4,5,6}。
（2）事件A：假设我们关注的事件是掷出的数字是奇数。
事件A是样本空间S的子集，A={1,3,5}。
（3）概率计算：根据公式，我们可以计算事件A的概率：P(A)=P(1)+P(3)+P(5)=1/6+1/6+1/6=3/6=1/2从这个例子中，我们可以看到事件A的概率是1/2，即掷出的数字是奇数的可能性为1/2总结起来，古典概型是概率论中最基本的概型之一、它的特征包括等可能性假设、有限个数的可能结果和互斥性。
在古典概型下，我们可以使用简单的公式来计算事件的概率，即事件中所有可能结果的概率之和。
这个概率计算公式是P(A)=m/n，其中m是事件A包含的可能结果数，n是样本空间S的大小。
古典概型的概率公式
古典概型的概率公式
概率公式是统计学中十分重要的概念，它可以给我们提供一种对客观事实的度量和估计。
古典概型是一种古老而又常用的概率模型，它是最初被发现的单一概率模型之一。
古典概型的概率公式具有简洁而有效的特点，其计算结果可以更好地反映实际情况，以便进一步的数据分析。
古典概型的概率公式可以表示为：p(x)=n/N，其中n表示特定结果出现的次数，N表示总次数。
这句概率公式意思是，在某一实验或观察中，特定结果出现的概率等于某一结果出现的次数除以总次数。
由此可以发现，古典概型的概率公式又叫做比例概型，它是以假设抽样是一个完全随机抽样（元抽样）为基础，而不考虑任何额外条件的情况下所得到的概率估计。
古典概型的概率公式由一些古典概念组成，如独立假设和同分布假设。
独立假设是指在抽样过程中，每个样本的结果和其他样本的结果无关，而同分布假设指的是，抽样样本结果和总体样本结果具有相同的分布。
这两种假设共同决定了古典概型的概率公式的形式。
此外，古典概型的概率估计还可以用来评估抽样的有效性。
通过计算抽样误差，可以知道抽样的有效性。
另外，古典概型的概率公式也可以用来检验模型的准确性。
如果观察的实验结果和古典概型的概率估计结果不符，就可以断定模型不准确，并可以进行改进。
古典概型的概率公式有很多应用，它不仅可以用来估计概率，还可以用来检验模型准确性，以及评估抽样的有效性。
古典概型的概率
估计模型已经被用于众多研究领域，如经济学、金融学、管理学、社会科学等，从而大大推动了科学技术的发展。
总之，古典概型的概率估计模型是一种十分重要的概念，它的应用范围非常广泛，可以满足科学技术领域的各种需求和要求。
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7 32 答： （1 ） ， （2） 33 55
作业
1、在房间里有10个人,分别佩带从1到10号 的纪念章,先任选3个人记录纪念章号码.(1) 求最小号码为5的概率.(2)最大号码为5的 概率. 2、某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶, 黑漆4桶,红漆3桶,在搬运的过程中所有标 签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客. 问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红 漆的顾客。能按所订颜色如数得到订货的 概率是多少？
组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有
n A n! C k k! k!(n k )!
k n k n
种取法.
1、抽球问题
例1 设合中有3个白球，2个红球，现从合中 任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白
N(S) C
50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中 有3个铆钉强度太弱.每个部件用3个铆钉; 若将3只强度太弱的铆钉装在同一个部件上, 则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强 度太弱的概率是多少?
1 答： 1960
某人共买了11只水果,其中3只是二级品,8 只是一级品,随机地将水果分给A,B,C三人, 各人分别得到4只,6只,1只. (1)求A未拿到二级品的概率 (2)求A,B均拿到二级品而C未拿到二级品的 概率
概率论与数理统计
第二讲 古典概型的计算
古典概型
古典概型中事件的概率
概率的性质
二、古典概型的几类基本问题 复习：排列与组合的基本概念 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法
加法公式：设完成一件事可有两种途径，第 一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方 法，则完成这件事共有n1+n2种方法。
2 5
1 1 N ( A) C3 C2
CC 3 P ( A) 2 C5 5
1 3
1 2
答:取到一红一白的概率为3/5
课堂练习
袋中有a个白球和b个黑球，每次从袋中取一个球， 取出的球不放回，连续取K个球，求第k次取到白 球的概率。
在一批产品中（100个）有20个次品，从这批产 品中任意取5个产品，求其中恰有1个次品的概率。 合中有10个球，其中4个白球，4个黑球，2个红 球。现从合中随机取3个球，求：1）恰好有两个 白球的概率，2）至少含有一个白球的概率
n! n1!.... nm !
4 随机取数问题 例4 从1到200这200个自然数中任取一个,
(1)求取到的数能被6整除的概率
(2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率 解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33,
N(2)=[200/8]=25
N(3)=[200/24]=8
有重复排列：从含有n个元素的集合中随机
抽取k 次，每次取一个，记录其结果
后放回，将记录结果排成一列，
n n n
n
共有nk种排列方式.
无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，
每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，
n n-1 n-2
n-k+1
共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.
(1),(2),(的定义及性质
随机取球 问题
随机分球 问题
随机取数 问题
52张扑克分发给甲、乙、丙、丁4个人，求 (1)甲拿到4个A的概率 (2)4个A在一个人手上的概率。 (3)每人手上都有A的概率。
11 44 2197 答： (1) , (2) (3) 0.105 4165 4165 20825
一般地，设合中有N个球，其中有M个白 球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有 k个白球的概率是
C C p C
k M
n k N M n N
在实际中，产品的检验、疾病的抽查 、农作物的选种等问题均可化为随机 抽球问题。我们选择抽球模型的目的 在于是问题的数学意义更加突出，而 不必过多的交代实际背景。
30! N(S) C C C 10! 10! 10!
10 30 10 20 10 10
27! 3! 9! 9! 9! 50 P ( A) N (S) 203
3 C C C P ( B) N(S)
7 27 10 20
10 10
一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),
要求第 i 组恰 有ni个球(i=1,…m)，共有分法：
一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN)， 则每盒至多有一球的概率是：
A p N
n N n
某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天
的概率有多大？
3.分组问题
例3 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分 成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
2、分球入盒问题
例2 将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？
（2）空一盒的概率是多少？ 解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒 2 3 N ( S ) 3 N ( A) 3! P ( A) 9
P( B) 1 P{空两合} P{全有球}
3 2 2 1 3 3 9 3