2019年高考新课标Ⅰ理科数学试题(精校版-解析版-word版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）
理 科 数 学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M
N = A ．{}43x x -<<
B ．{}42x x -<<-
C ．{}22x x -<<
D ．{}23x x <<
2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则
A ．()2211x y ++=
B ．()2211x y -+=
C ．()2211x y +-=
D ．()2211x y ++= 3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51
2
-（510.6182
-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
512-。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是
A ．165cm
B ．175cm
C ．185cm
D ．190cm 5．函数()2
sin cos x x f x x x +=+在[],ππ-的图象大致为
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组
成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A ．516
B ．1132
C ．2132
D ．1116
7．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．23π
D ．56π
8．右图是求1
1
21
22++的程序框图，图中空白框中应填入
A ．12A A
=+ B ．12A A =+
C ．112A A
=+ D ．112A A =+
9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4=0S ，55a =，则
A ．25n a n =-
B ．310n a n =-
C ．228n S n n =-
D ．2122
n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，
则C 的方程为
A ．2
212x y += B ．22132x y += C ．22
143x y += D ．22
154
x y += 11．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：
①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 的最大值为2
A ．①②④
B ．②④
C ．①④
D ．①③
12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F
分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为
A ．86π
B ．46π
C ．26π
D ．6π
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线()23x y x x e =+在点()0,0处的切线方程为________．
14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113
a =，246a a =，则5=S ________． 15．甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，
甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是________．
16．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为________．
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须
作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，设()2
2sin sin sin sin sin B C A B C -=-.
（1）求A ；
（2）若22a b c +=，求sin C .
18．（12分）
如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D
的中
点．
（1）证明：MN ∥平面1C DE ；
（2）求二面角1A MA N --的正弦值．
19．（12分）
已知抛物线C ：23y x =的焦点F ，斜率为
32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4AF BF +=，求l 的方程；
（2）若3AP PB =，求AB ．
20．（12分）
已知函数()()sin ln 1f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：
（1）()f x '在区间1,2π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．
21．（12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验，试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X .
（1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药试验开始时都赋予4分，i p （0,1,,8i =）表示“甲药的累计得分为i 时 ，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则00p =， 81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++（1,2,
,7i =）其中()1a P X ==-，()0b P X ==，()1c P X ==.假设0.5α=，0.8β=.
（ⅰ）证明：{}1i i p p +-（0,1,,7i =）为等比数列；
（ⅱ）求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
221,141t x t t
y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若C 上的点到l 距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =，证明：
（1）2221
1
1
a b c a b c ++≤++；
（2）()()()33324a b b c c a +++++≥．。
2019年新课标I高考数学理科试题含答案(Word版)
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x=-+<，{|230}B x x=->，则A B =（A）3(3,)2--（B）3(3,)2-（C）3(1,)2（D）3(,3)2（2）设(1i)1ix y+=+，其中x，y是实数，则i=x y+（A）1（B ）2（C ）3（D）2（3）已知等差数列{}na前9项的和为27，10=8a，则100=a（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）（B）（C）（D）（5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则（A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为 (A)32(B )22 (C)33 (D)1312.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =. (14)5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为。
[高考真题]2019年高考真题——理科数学(全国卷Ⅰ) Word版含答案
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绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上.2．作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，,则M N I = A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，,则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐．若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图,图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，,则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点．若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是P A ,PB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为A ．B ．C ．D二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，,则S 5=____________．15．甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束）．根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是____________．16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ,120FB F B ⋅=u u ur u u u u r ,则C 的离心率为____________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．(12分)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=,求sin C ． 18．（12分）如图,直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°,E ,M ,N 分别是BC,BB 1,A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值． 19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4,求l 的方程；（2）若3AP PB =u u u r u u u r,求|AB |．20．（12分）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．21．（12分）为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题,约定：对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,81p =,11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ,其中(1)a P X ==-,(0)b P X ==,(1)c P X ==．假设0.5α=,0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列；(ii)求4p ,并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学•参考答案一、选择题1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题13．y =3x 14．121315．0.18 16．2三、解答题17．解：（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=,故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==． 因为0180A ︒︒<<,所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-,()sin 1202sin A C C ︒+-=,1sin 2sin 2C C C +=,可得()cos 60C ︒+=．由于0120C ︒︒<<,所以()sin 602C ︒+=,故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=． 18．解：（1）连结B 1C ,ME ．因为M ,E 分别为BB 1,BC 的中点,所以ME ∥B 1C ,且ME =12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点,所以ND =12A 1D ． 由题设知A 1B 1=P DC ,可得B 1C =P A 1D ,故ME =P ND , 因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ∥ED ． 又MN ⊄平面EDC 1,所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点,DA uuu r的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ,则(2,0,0)A ,A 1(2,0,4),2)M ,(1,0,2)N ,1(0,0,4)A A =-u u u r,1(12)A M =--u u u u r ,1(1,0,2)A N =--u u u u r,(0,MN =u u u u r．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量,则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r m m ,所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量,则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u ur ，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||⋅〈〉===‖m n m n m n , 所以二面角1A MA N --19．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,故123||||2AF BF x x +=++,由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,可得22912(1)40x t x t +-+=,则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=,得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=,故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． 20．解：（1）设()()g x f 'x =,则1()cos 1g x x x=-+,21sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()g'x 单调递减,而(0)0,()02g'g'π><,可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点,设为α.则当(1,)x α∈-时,()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增,在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点,即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时,由（1）知,()f 'x 在(1,0)-单调递增,而(0)0f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,而(0)=0f ',02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭,所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()0f 'β=,且当(0,)x β∈时,()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增,在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ,1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0f x >.从而,()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点.（iii ）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时,()0f 'x <,所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭,()0f π<,所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.（iv ）当(,)x ∈π+∞时,ln(1)1x +>,所以()f x <0,从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上,()f x 有且仅有2个零点.21．解：X 的所有可能取值为1,0,1-.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-，，，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===.因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+,故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-,即()114i i i i p p p p +--=-.又因为1010p p p -=≠,所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=L 为公比为4,首项为1p 的等比数列． （ii ）由（i ）可得()()()888776100877610134 1 p p p p p p p p p p p p p p p -=-+-++-+=-+-++-=L L .由于8=1p ,故18341p =-,所以 ()()()()44433221101411.325 7p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=4p 表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.22．解：（1）因为221111t t --<≤+,且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+,所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.l的直角坐标方程为2110x ++=.（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数,ππα-<<）.C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=.当2π3α=-时,π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7,故C 上的点到l.23．解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥,又1abc =,故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =,故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)-含详细答案
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）含详细答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=()A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}2.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则()A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm5.函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. 516B. 1132C. 2132D.11167.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2|b⃗ |，且(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.下图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入()A. A=12+AB. A=2+1AC. A=11+2AD. A=1+12A9.记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4=0，a5=5，则()A. a n=2n−5B. a n=3n−10C. S n=2n2−8nD. S n=12n2−2n 10.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为()A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=111.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间(π2,π)单调递增③f(x)在[−π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③12.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________．14. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1=13，a 42=a 6，则S 5=________．15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ． (1)求A ；(2)若√2a +b =2c ，求sin C ．18. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点． (1)证明：MN//平面C 1DE ；(2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值．19. 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x轴的交点为P ．(1)若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；(2)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|AB|．20.已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：)存在唯一极大值点；(1)f′(x)在区间(−1,π2(2)f(x)有且仅有2个零点．21.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得−1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得−1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i=0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2，…，7)，其中a=P(X=−1)，b=P(X=0)，c= P(X=1).假设α=0.5，β=0.8．(i)证明：{p i+1−p i}(i=0,1，2，…，7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1−t21+t2y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1.证明：(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2；(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．【解答】解：∵M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3}，∴M∩N={x|−2<x<2}．故选C．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的模、复数的几何意义，属基础题．由z在复平面内对应的点为(x,y)，可得z=x+yi，然后根据|z−i|=1即可得解．【解答】解：∵z在复平面内对应的点为(x,y)，∴z=x+yi，∴z−i=x+(y−1)i，∴|z−i|=√x2+(y−1)2=1，∴x2+(y−1)2=1，故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性运用，属基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0，20.2>1，0<0.20.3<1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a=log20.2<log21=0，b=20.2>20=1，∵0<0.20.3<0.20=1，∴c=0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b，故选B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．充分运用黄金分割比例，计算可估计身高．【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是√5−12可得咽喉至肚脐的长度小于√5−12=√5−1≈42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12，可得肚脐至足底的长度小于26+52√5−1√5−12≈110，即有该人的身高小于110+68=178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×√5−12≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm，故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的作法及函数的奇偶性，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A，然后计算f(π)，判断正负即可排除B，C，从而可得结果．【解答】解：∵f(x)=sinx+xcosx+x2，x∈[−π,π]，∴f(−x)=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f(x)，∴f(x)为[−π,π]上的奇函数，因此排除A；又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2>0，因此排除B，C，故选D．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20，则该重卦恰有3个阳爻的概率p=mn =2064=516．故选A．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．由(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，可得(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，进一步得到|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >−b⃗ 2=0，然后求出夹角即可． 【解答】 解：∵(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，∴(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >−b ⃗ 2=0， ∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b⃗ |2|a ⃗ ||b⃗ |=12，∵<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π]，∴<a ⃗ ,b ⃗ >=π3，故选B ． 8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A 的值，观察规律即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得： A =12，k =1；满足条件k ≤2，执行循环体，A =12+12，k =2；满足条件k ≤2，执行循环体，A =12+12+12，k =3；此时，不满足条件k ≤2，退出循环，输出A 的值为12+12+12，观察A 的取值规律可知图中空白框中应填入A =12+A ． 故选A ． 9.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则有{4a 1+6d =0a 1+4d =5，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n 项和即可． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 4=0，a 5=5，得 {4a 1+6d =0a 1+4d =5，∴{a 1=−3d =2， ∴a n =2n −5，S n =n (−3+2n−5)2=n 2−4n ，故选：A ．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义以及方程、余弦定理，属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=√3，b=√2，可得椭圆的方程．【解答】解：∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|，又|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=a2，∴|AF2|=a，|BF1|=32a，则|AF2|=|AF1|=a，所以A为椭圆短轴端点，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=1a，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=4+(a2)2−(32a)22×2×a2=4−2a22a，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得1a +4−2a22a=0，解得a2=3，∴a=√3，b2=a2−c2=3−1=2．所以椭圆C的方程为：x23+y22=1，故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据绝对值的应用，结合三角函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，且f(x)的定义域为R，则函数f(x)是偶函数，故①正确；当x∈(π2,π)时，sin|x|=sinx，|sinx|=sinx，则f(x)=sinx+sinx=2sinx为减函数，故②错误；当0≤x≤π时，f(x)=sin|x|+|sinx|=sinx+sinx=2sinx，由f(x)=0，得2sinx=0，即x=0或x=π，由f(x)是偶函数，得在[−π,0)上还有一个零点x=−π，即函数f(x)在[−π,π]有3个零点，故③错误；当sin|x|=1，|sinx|=1时，f(x)取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选C．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，是中档题．设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x，EC=y，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求外接球O的体积．【解答】解：设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x，EC=y，因为E，F分别是PA，AB的中点，所以EF=12PB=x，AE=x，在△PAC中，cosθ=4x2+4−4x22×2x×2=12x，在△EAC中，cosθ=x2+4−y22×2x，整理得x2−y2=−2，①因为△ABC是边长为2的正三角形，所以CF=√3，又∠CEF=90°，则x2+y2=3，②，由①②得x=√22，所以PA=PB=PC=√2，所以PA2+PB2=4=AB2，即PA⊥PB，同理可得PA⊥PC，PB⊥PC，则PA、PB、PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为√2+2+2=√6，所以球O的体积为．故选D．13.【答案】y=3x【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，属基础题．对y=3(x2+x)e x求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．【解答】解：∵y=3(x2+x)e x，∴y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3e x(x2+3x+1)，∴当x=0时，y′=3，∴y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线斜率k=3，∴切线方程为：y=3x．故答案为y=3x．14.【答案】1213【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算，属于基础题．根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a42=a6，得(a1q3)2=a1q5，即q6a12=q5a1，解得q=3，则S5=13(1−35)1−3=1213，故答案为1213．15.【答案】0.18【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，第六场一定是甲胜，甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p 1=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p 2=0.6×0.4×0.5×0.5×0.6=0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p 3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p 4=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054，则甲队以4：1获胜的概率为：p =p 1+p 2+p 3+p 4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18． 故答案为：0.18． 16.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，是中档题．由题意画出图形，结合已知可得F 1B ⊥OA ，可得一条渐近线方程的倾斜角为，从而可得，进而求出离心率．【解答】 解：如图，∵F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴F 1B ⊥F 2B,F 1A =AB ， ∴OA ⊥F 1B ，则△AOF 1≌△AOB ， 则，所以一条渐近线的斜率为，所以e =c a =√1+b 2a 2=2，故答案为：2．17.【答案】解：(1)∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ．则sin 2B +sin 2C −2sinBsinC =sin 2A −sinBsinC ， ∴由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ， ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3．(2)∵√2a +b =2c ，A =π3，∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC ， ∴√62+sin(2π3−C)=2sinC ，即√62+√32cosC +12sinC =2sinC ，即√62+√32cosC −32sinC =0， 即sin(C −π6)=√22，，则，∴C −π6=π4，C =π4+π6， ∴sinC =sin(π4+π6)=sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理，属于中档题． (1)由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ，再由余弦定理求出A ．(2)由已知及正弦定理可得：sin(C −π6)=√22，可解得C 的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．18.【答案】(1)证明：如图，过N 作NH ⊥AD ，连接BH ，则NH//AA 1，H 是AD 中点，且NH =12AA 1， 又MB//AA 1，MB =12AA 1，∴四边形NMBH 为平行四边形，则NM//BH ，由H 为AD 中点，而E 为BC 中点，∴BE//DH ，BE =DH ，则四边形BEDH 为平行四边形，则BH//DE ， ∴NM//DE ，∵NM ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ， ∴MN//平面C 1DE ；(2)解：以D 为坐标原点，以平面ABCD 内垂直于DC 的直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则N(√32,−12,2)，M(√3,1，2)，A 1(√3,−1,4)，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)，NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,2)， 设平面A 1MN 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y =0m⃗⃗⃗ ⋅NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −12y +2z =0，取x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,−1)， 又平面MAA 1的一个法向量为n ⃗ =(1,0,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√5=√155． ∴二面角A −MA 1−N 的正弦值为√105．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．(1)过N 作NH ⊥AD ，证明NM//BH ，再证明BH//DE ，可得NM//DE ，再由线面平行的判定可得MN//平面C 1DE ；(2)以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面A 1MN 与平面MAA 1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −MA 1−N 的正弦值．19.【答案】解：(1)设直线l ：y =32x +t ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由题意可得F (34,0)，故|AF |+|BF |=x 1+x 2+32， 因为|AF|+|BF|=4， 所以x 1+x 2=52， 联立{y =32x +t y 2=3x，整理得9x 2+12(t −1)x +4t 2=0，由韦达定理可知，x 1+x 2=−12(t−1)9，从而−12(t−1)9=52，解得t =−78，所以直线l 的方程为y =32x −78．(2)设直线l ：y =32x +m ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 1=−3y 2， 联立{y =32x +m y 2=3x，整理得y 2−2y +2m =0，由韦达定理可知，y 1+y 2=2，又y 1=−3y 2，解得y 1=3,y 2=−1， 代入抛物线C 方程得，x 1=3,x 2=13， 即A (3,3)，B (13,−1)，故|AB |=√(3−13)2+(3+1)2=4√133．【解析】本题考查了抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)根据韦达定理以及抛物线的定义可得．(2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 1=−3y 2，由韦达定理可得y 1+y 2=2，从而解出A 、B 两点坐标，使用弦长公式计算即可．20.【答案】证明：(1)f(x)的定义域为(−1,+∞)， 令f′(x )=ℎ(x)=cosx −11+x ， ℎ′(x )=−sinx +1(1+x)2，令g(x)=−sinx +1(1+x)2，则g′(x)=−cosx −2(1+x)3<0在(−1,π2)恒成立， ∴ℎ′(x )在(−1,π2)上为减函数，又ℎ′(0)=1，ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0，由零点存在定理可知，函数ℎ′(x )在(−1,π2)上存在唯一的零点x 0，结合单调性可得，f′(x )在(−1,x 0)上单调递增，在(x 0,π2)上单调递减， 可得f′(x )在区间(−1,π2)存在唯一极大值点； (2)由(1)知，当x ∈(−1,0)时，f′(x )单调递增， 则f′(x )<f′(0)=0，则f(x)单调递减； 当x ∈(0,x 0)时，f′(x )单调递增， 则f′(x )>f′(0)=0，f(x)单调递增； 由于f′(x )在(x 0,π2)上单调递减， 且f′(x 0)>0，，由零点存在定理可知，函数f′(x )在(x 0,π2)上存在唯一零点x 1，结合单调性可知， 当x ∈(x 0,x 1)时，f′(x )单调递减，则f′(x )>f′(x 1)=0，故f(x)单调递增； 当x ∈(x 1,π2)时，f′(x )单调递减， 则f′(x )<f′(x 1)=0，f(x)单调递减． 当x ∈(π2,π)时，cosx <0，−11+x <0， 于是f′(x )=cosx −11+x <0，f(x)单调递减， 其中f(π2)=1−ln(1+π2)>1−ln(1+3.22)=1−ln2.6>1−lne =0，f(π)=−ln(1+π)<−ln3<0． 于是可得下表：结合单调性可知，函数f(x)在(−1,π2]上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，f(x)在(π2,π)上有且只有一个零点x2，当x∈[π,+∞)时，f(x)=sinx−ln(1+x)<1−ln(1+π)<1−ln3<0，因此函数f(x)在[π,+∞)上无零点．综上，f(x)有且仅有2个零点．【解析】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力，难度较大．(1)f(x)的定义域为(−1,+∞)，求出原函数的导函数，令f′(x)=ℎ(x)=cosx−11+x，进一步求导，得到ℎ′(x)在(−1,π2)上为减函数，结合ℎ′(0)=1，ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0，由零点存在定理可知，函数ℎ′(x)在(−1,π2)上存在唯一得零点x0，结合单调性可得，f′(x)在(−1,x0)上单调递增，在(x0,π2)上单调递减，可得f′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点；(2)由(1)知，当x∈(−1,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0,x0)时，f′(x)> 0，f(x)单调递增；由于f′(x)在(x0,π2)上单调递减，且f′(x0)>0，，可得函数f′(x)在(x0,π2)上存在唯一零点x1，结合单调性可知，当x∈(x0,x1)时，f(x)单调递增；当x∈(x1,π2)时，f(x)单调递减．当x∈(π2,π)时，f(x)单调递减，再由f(π2)>0，f(π)<0.然后列x、f′(x)与f(x)的变化情况表得答案．21.【答案】(1)解：X的所有可能取值为−1，0，1．P(X=−1)=(1−α)β，P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β)，P(X=1)=α(1−β)，(2)(i)证明：∵α=0.5，β=0.8，∴由(1)得，a=0.4，b=0.5，c=0.1．因此p i=0.4p i−1+0.5p i+0.1p i+1(i=1,2，…，7)，故0.1(p i+1−p i)=0.4(p i−p i−1)，即p i+1−p i=4(p i−p i−1)，又∵p1−p0=p1≠0，∴{p i+1−p i}(i=0,1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列；(ii)解：由(i)可得，p8=(p8−p7)+(p7−p6)+⋯+(p1−p0)+p0=p1(1−48)1−4=48−13p1，∵p 8=1，∴p 1=348−1，∴p 4=(p 4−p 3)+(p 3−p 2)+(p 2−p 1)+(p 1−p 0)+p 0=44−13p 1=1257．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p 4=1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．【解析】本题主要考查数列的应用，考查离散型随机变量的分布列，属于难题． (1)由题意可得X 的所有可能取值为−1，0，1，再由相互独立试验的概率求P(X =−1)，P(X =0)，P(X =1)的值，则X 的分布列可求；(2)(i)由α=0.5，β=0.8结合(1)求得a ，b ，c 的值，代入p i =ap i−1+bp i +cp i+1，得到(p i+1−p i )=4(p i −p i−1)，由p 1−p 0=p 1≠0，可得{p i+1−p i }(i =0,1，2，…，7)为公比为4，首项为p 1的等比数列；(ii)由(i)可得，p 8=(p 8−p 7)+(p 7−p 6)+⋯+(p 1−p 0)+p 0，利用等比数列的前n 项和与p 8=1，得p 1=348−1，进一步求得p 4=1257，即可求解． 22.【答案】解：(1)由{x =1−t 21+t 2y =4t 1+t 2(t 为参数)，得{x =1−t 21+t 2y 2=2t1+t2, 两式平方相加，得x 2+y 24=1(x ≠−1)，∴C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x ≠−1)，由2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0，得2x +√3y +11=0，即直线l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0．(2)设与直线2x +√3y +11=0平行的直线方程为2x +√3y +m =0，联立{2x +√3y +m =04x 2+y 2−4=0,得16x 2+4mx +m 2−12=0． 由Δ=16m 2−64(m 2−12)=0， 得m =±4，∴当m =4时，直线2x +√3y +4=0与曲线C 的切点到直线2x +√3y +11=0的距离最小， 即为直线2x +√3y +4=0与直线2x +√3y +11=0之间的距离√22+3=√7．【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化为普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．(1)把曲线C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0，可得直线l 的直角坐标方程．(2)写出与直线l 平行的直线方程为2x +√3y +m =0，与曲线C 联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式等于0求得m ，转化为两平行线间的距离求C 上的点到l 距离的最小值．23.【答案】证明：(1)分析法：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．要证1a +1b+1c≤a2+b2+c2；因为abc=1．即证：abca +abcb+abcc≤a2+b2+c2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即证：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；即证：2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab≥0，即证(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc=1．∴(a−b)2≥0；(a−c)2≥0；(b−c)2≥0恒成立；当且仅当：a=b=c=1时取等号．即(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0得证．故1a +1b+1c≤a2+b2+c2得证．(2)已知a，b，c为正数，且满足abc=1．(a+b)为正数；(b+c)为正数；(c+a)为正数；(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a)；当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号；即：a=b=c=1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc=1．a+b≥2√ab；b+c≥2√bc；c+a≥2√ac；当且仅当a=b，b=c，c=a时取等号；即：a=b=c=1时取等号；∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a)≥3×8√ab⋅√bc⋅√ac=24abc=24；当且仅当a=b=c=1时取等号；故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证．故得证．【解析】本题考查基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法，属于中档题．(1)利用基本不等式和“1”的运用可证；(2)利用综合法可证．。
2019年高考理科全国1卷数学(含答案解析)
22019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 4 页，23 小题，满分 150分，考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前， 考生务必将自己的姓名、 考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型（ B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答 在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分，共 60分。
在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。
21.已知集合 M x 4 x 2 ，N {x x 2 x 6 0 ，则 M N =（ ） A. {x 4 x 3 B. {x 4 x 2 C. {x 2 x 2 D. {x 2 x 32.设复数 z 满足 z i =1， z 在复平面内对应的点为 （x ， y ），则（ ）2 2 2 2 2 2 2 2A. （x+1） y 1B. （x 1） y 1C. x （y 1） 1D. x （y+1） 10.2 0.33.已知 a log 2 0.2,b 20.2,c 0.20.3 ，则（）A. a b cB. a c bC. c a bD. b c a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51 25 1 ≈ 0.618，称为黄金分割比例 ），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体2的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1．若某人满足上述两个黄金分割11 212A.πB.32πC.38. 如图是求 2的程序框图，图中空白框中应填入（ 5π D.6)比例，且腿长为 105cm ，头顶至脖子下端的长度为 26 cm ，则其身高可能是（A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cmsin x x5.函数 f(x)= 2 在 [—π， π的]图像大致为(A.C.6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每组成，爻分为阳爻和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是（16B. 11 32C. 2132D.11167. 已知非零向量 a ，b 满足 a =2b ，且（a –b ） b ，则 a 与 b 的夹角为（ A.AF │2 2│F 2B │，│ AB │ │ BF │1 ，则 C 的方程为(其中所有正确结论的编号是12.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA=PB=PC ，△ABC 是边长为 2的正三角形， E ，F 分别是 PA ， PB 的中点，∠ CEF=90°，则球 O 的体积为( )1 A. A= 2A 1B. A=2 1AC. A=1 2AD.A=12A9.记 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和．已知 S 4 0， a 5 5 ，则( A. a n 2n 5 B. a n 3n 10 C. S n2 2n 28n D.S n2n10.已知椭圆 C 的焦点为 F 1( 1,0) ， F 2( 1,0) ，过 F 2的直线与C 交于 A ， B 两点 .若A.22 x2 y22xy 1 B. 13222xy C.43D.511.关于函数 f (x)sin | x| |sin x |有下述四个结论： (① f(x)是偶函数 ②f(x)在区间( 2 , )单调递增③f(x)在［］有 4 个零点④ f(x)的最大值为 2A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③A. 8 6B. 4 6C. 2 6D. 6、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共20分13. 曲线y 3（x2 x）e x在点（0,0）处的切线方程为 ___________ ．_1214. 记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1 ，a42a6，则S5= ．_315. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1 获胜的概率是___________ ．_2216. 已知双曲线C：x2y21（a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F 1的直线与C 的a2b2uuur uuur uuur uuur两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A AB ，F1B F2B 0，则C 的离心率为___________________ ．_三、解答题：共70 分。
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)
P 20 5 64 16
PS：其实可以对题目进行抽象：即有 A、B 两种字母，填 6 个位置，求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
第 2 页 共 18 页
7．（平面向量）已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm，所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5．（函数）函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A． (x+1)2 y 2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1 D． x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ，∵ z i =1 ，∴ x2 ( y 1)2 1 ，即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A．
16
11
B．
32
21
C．
32
11
D．
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ，恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ，因此恰有 3 个阳爻的概率为
2019年高考新课标(全国卷1)理数 真题(word版,含解析)
2019年高考新课标全国1卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A + B ．A =12A +C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A．B．C．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整word版)2019全国统一高考数学试卷(课标1)
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若 ，则S4=___________．
15．函数 的最小值为___________．
16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么P到平面ABC的距离为___________．
A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190cm
5．函数f(x)= 在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1） ；
（2先由复数的除法运算（分母实数化），求得 ，再求 ．
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，故选C．
【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．
2．C
【解析】
【分析】
先求 ，再求 ．
【详解】
由已知得 ，所以 ，故选C．
【点睛】
本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．
3．B
【解析】
【分析】
运用中间量 比较 ，运用中间量 比较
【详解】
则 ．故选B．
【点睛】
本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
2019年高考全国Ⅰ卷理科数学真题(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I = A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国统一高考数学试卷(理)(新课标Ⅰ)【后附：极详细的解析、分析、考点、答案解释等】
【后附：极详细的解析、分析、考点、答案解释等】 2019年全国统一高考数学试卷（理）（新课标Ⅰ）一、选择题1. 已知集合M ={x|−4<x <2}，N ={x|x 2−x −6<0}，则M ∩N =( ) A.{x|−4<x <3} B.{x|−4<x <−2} C.{x|−2<x <2} D.{x|2<x <3}2. 设复数z 满足|z −i|=1，z 在复平面内对应的点为(x,y)，则( ) A.(x +1)2+y 2=1 B.(x −1)2+y 2=1 C.x 2+(y −1)2=1 D.x 2+(y +1)2=13. 已知a =log 20.2，b =20.2，c =0.20.3，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是√5−12（√5−12=0.618，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。
此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚挤的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm5. 函数f(x)=sinx+x cosx+x 2的[−π,π]图像大致为( )A.B.C.D.6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132 C.2132 D.11167. 已知非零向量a→,b→满足|a→|=2|b→|，且(a→−b→)⊥b→，则a→与b→的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 下图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入( )A.A=12+A B.A=2+1AC.A=11+2A D.A=1+12A9. 记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S4=0，a5=5，则( )A.a n=2n−5B.a n=3n−10C.S n=2n2−8nD.Sn =12n2−2n10. 已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A,B两点，若|AF2|= 2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为( )A.x22+y2=1 B.x23+y22=1C.x24+y23=1 D.x25+y24=111.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π2,π)单调递增；其中所有正确结论的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③12. 已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，EF分别是PAAB的中点，∠CEF=90∘，则球O的体积为( )A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6π二、填空题曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________.记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=12，a42=a6，则S5=________.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4:1获胜的概率是________.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点. 若F1A→=AB→，F1B→⋅F2B→=0，则C的离心率为________.三、解答题△ABC的内角A, B, C的对边分别为a,b,c，设(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC.(1)求A；(2)若√2a+b=2c，求sinC.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2,∠BAD=60∘，E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明：MN//平面C 1DE ;(2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值.已知抛物线C:y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A,B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；(2)若AP →=3PB →，求|AB|.已知函数f(x)=sinx −ln(1+x)，f ′(x)为f(x)的导数.证明： (1)f ′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得−1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得−1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X . (1)求X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i (i =0,1,⋯,8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效“的概率，则p 0=0,p 8=1,p i =ap i−1+bp i +cp i+1(i =1,2,⋯,7),其中a =P(X =−1),b =P(X =0), c =P(X =1).假设α=0.5, β=0.8.(i)证明：{p i+1−p i }(i =0,1,2,⋯,7)为等比数列; (ii)求p 4，并根据p 4的值解释这种试方案的合理性.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2,y =4t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 距离的最小值.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1.证明： (1)1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2;(2)(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥24.参考答案与试题解析2019年全国统一高考数学试卷（理）（新课标Ⅰ）一、选择题1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵M={x|−4<x<2}；N={x|x2−x−6<0}={x|(x−3)(x+2)<0}={x|−2<x<3}，∴ M∩N={x|−4<x<2}∩{x|−2<x<3}={x|−2<x<2}.故选C.2.【答案】C【考点】复数的模复数代数形式的加减运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：设z=x+yi,x,y∈R，∴z−i=x+(y−1)i,∴|z−i|=√x2+(y−1)2=1，∴x2+(y−1)2=1.故选C.3.【答案】【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知得：a=log20.2<log21=0；b=20.2>20=1；c=0.20.3<0.20=1且0<c<1；∴a<c<b，故选B.4.【答案】B【考点】黄金分割法—0.618法【解析】此题暂无解析【解答】解：记其咽喉至肚挤的长度为xcm，依题，有：26x=√5−12，则：x=√5−1≈42.07，记其身高为y，则y=26+x+105=131+x≈173.08，故选B.5.【答案】D【考点】函数图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ f(−x)=sin(−x)+(−x)cos(−x)+(−x)2=−sinx+xcosx+x2=−f(x)，∴ f(x)为奇函数，可排除A，而f(π)=π>0，∴ 可排除B 和C . 故选D . 6.【答案】 A【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：对六个位置放置“阴爻”和“阳爻”，共有26=64种方法；然后从六个位置中选出三个放置“阳爻”，共有C 63=20种方法； 因而，满足条件的概率为：C 6326=2064=516.故选A . 7.【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ (a →−b →)⊥b →，|a →|=2|b →|，∴ (a →−b →)⋅b →=a →⋅b →−b →2 =|a →||b →|cos <a →,b →>−|b →|2=(2cos <a →,b →>−1)|b →|2=0， 而：|b →|≠0，∴ 2cos <a →,b →>−1=0，由：<a →,b →>∈[0,π]知：<a →,b →>=π3.8.【答案】A【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：空白框填12+A 时， 当k =1, A =12+12,当k =2,A =12+12+12,满足题意. 故选A . 9.【答案】A【考点】等差数列的前n 项和等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得： {4a 1+6d =0a 1+4d =5得a 1=−3,d =2，得a n =2n −5，S n =n 2−4n . 故选A . 10.【答案】 B【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的定义和性质 余弦定理此题暂无解析【解答】解：由定义|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，|BF2|+|BF1|=2a，|AF2|=2|F2B|及|AB|=|BF1|，得|AF1|=|AF2|=a，|BF1|=3a2，|BF2|=a2，由∠AF2F1+∠BF2F1=π，得cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0，(2c)2+(a2)2−(32a)22×2c×a2+(2c)2+a2−a22×2c×a=0，解得a2=3, b2=2.故选B.11.【答案】C【考点】三角函数的最值复合三角函数的单调性函数的零点函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，∴f(x)是偶函数，故①正确；当x∈(π2,π)时，f(x)=sinx+sinx=2sinx，此时f(x)在(π2,π)递减，故②错误；当x∈[0,π]时，f(x)=2sinx，此时有2个零点，根据偶函数可知，在x∈[−π,π]时只有3个零点，故③错误；当x>0时，f(x)=sinx+|sinx|≤|sinx|+|sinx|≤2，当x=π2+2kπ(k≥0,k∈Z)等号成立，故④正确.故选C.12.【答案】D 球内接多面体球的体积和表面积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接EFEC，取AC的中点N，连接PNBN，取△ABC的内心O1,连接PO1，O1C,在PO1上取点O，使PO=OC，则点O即为三棱锥的外接球的球心. ∵∠CEF=90∘，∴CE⊥EF.∵EF分别是PA,AB的中点,∴EF//PB.∴CE⊥PB.∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AC⊥BN.∵PA=PB=PC,∴AC⊥PN.∵PN∩BN=N,∴AC⊥面PBN.∴AC⊥PB.又CE⊥PB，AC∩CE=C,∴BP⊥面PAC,∴BP⊥PC∴△PBC是等腰直角三角形，∴PB=PC=√2在Rt△O1NC中，O1C=NCcos30∘=√32=2√33在Rt△O1CP中，O1P=√PC2−O1C2=√2−43=√63.∴在Rt△OO1C中，(√6 3−R)2+(2√33)2=R2,解得R=√62故球的体积为43πR3=√6π.故选D.二、填空题【答案】y=3x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵点(0,0)在曲线上，∴(0,0)是切点.对y=3(x2+x)e x求导得：y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x =3e x(x2+3x+1),∴切线斜率k=y′|x=0=3.又∵切线过切点(0,0)，∴切线方程为y=3x.故答案为：y=3x.【答案】312【考点】等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析解：∵{a n}是等比数列，且a42=a6，∴(a1q3)2=a1q5，∵a1=12，故解出q=2，∴S5=a1(1−q5)1−q=12(1−25)1−2=312.故答案为：312.【答案】0.18【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，比赛共进行了5场，且前4场中甲胜出3场，乙胜出1场；记甲在主场胜出为事件A1，甲在客场胜出为事件A2;则乙在主场胜出为事件A1，乙在客场胜出为事件A2;由于各场比赛结果相互独立，则根据独立事件的概率甲以4:1胜出的概率P为：P=P(A1A1A2A2A1)+P(A1A1A2A2A1)+P(A1A1A2A2A1) +P(A1A1A2A2A1)=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6+0.6×0.4×0.5×0.5×0.6+ 0.6×0.6×0.5×0.5×0.6+0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.6×0.5×0.5×0.6×(0.4+0.4+0.6+0.6)=0.18.故答案为：0.18.【答案】2【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：设点B在第二象限，∵ BF 1→⋅BF 2→=0，∴ BF 1⊥BF 2，在Rt △F 1BF 2中，|OB|=|OF 1|=|OF 2|=c ， 又因为点B 在直线y =ba x 上，则B(a,b)； ∵ F 1A →=AB →，∴ 点A 为线段BF 1的中点，且有OA//BF 2，渐近线OA 的斜率为k OA =−|F 1A ||OA|=−ba ，并且|OA|2+|F 1A |2=|OF 1|2=c 2，得到|F 1A |=b ，|OA|=a ，|F 1B |=2b ,|F 2B |=2a ； 在Rt △F 1BF 2中，由等面积法12⋅|F 1F 2|⋅|y B |=12⋅|F 1B |⋅|F 2B |， 得到y B =2ab c ,∴ b =2abc ，解得e =ca =2,故答案为：2. 三、解答题【答案】解：(1)由题意得：(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ， ∴ sin 2B −2sinBsinC +sin 2C =sin 2A −sinBsinC ， 由正弦定理可得：asinA =bsinB =csinC =2R ， ∴ b 2−2bc +c 2=a 2−bc ， ∴ cosA =12(A 为三角形内角)， ∴ A =π3；(2)∵ √2a +b =2c ，∴ √2sinA +sinB =2sinC ，∴ √2sinA +sin(A +C)=2sinC ，∴ √2sinA +sinAcosC +cosAsinC =2sinC ， ∴ √62+√32cosC −32sinC =0，√3cos (C +π3)=−√62, ∴ cos (C +π3)=−√22，∴ C =3π4−π3=5π12，∴ sinC =sin (π6+π4) =sin π6cos π4+cos π6sin π4=√2+√64. 【考点】两角和与差的正弦公式 两角和与差的余弦公式 余弦定理的应用 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意得：(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ， ∴ sin 2B −2sinBsinC +sin 2C =sin 2A −sinBsinC ， 由正弦定理可得：asinA =bsinB =csinC =2R ， ∴ b 2−2bc +c 2=a 2−bc ， ∴ cosA =12(A 为三角形内角)， ∴ A =π3；(2)∵ √2a +b =2c ，∴ √2sinA +sinB =2sinC ，∴ √2sinA +sin(A +C)=2sinC ，∴ √2sinA +sinAcosC +cosAsinC =2sinC ， ∴ √62+√32cosC −32sinC =0，√3cos (C +π3)=−√62, ∴ cos (C +π3)=−√22，∴ C =3π4−π3=5π12，∴sinC=sin(π6+π4)=sin πcosπ+cosπsinπ=√2+√64.【答案】(1)证明：连接ME,B1C，在△B1BC中，M,E为BB1和BC中点，∴ME//B1C，且ME=12B1C,∵A1D//B1C且N为A1D的中点，∴ND//ME且ND=ME，∴四边形NDEM是平行四边形，∴NM//DE.∵NM平面C1DE且DE⊂平面C1DE，∴MN//平面C1DE.(2)解：取AC与BD的交点O，四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，以OA为x轴，OB为y轴，过原点O平行于BB1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴A(√3,0,0) M(0,1,2)，A(√3,0,4), N(√3,−1,2), ∴MA1→=(√3,−1,2)，MA→=(√3,−1,−2)，MN→=(√32,−32,0)，设m→,n→分别为平面AMA1和平面MA1N的一个法向量，∴设m→=(x1,y1,z1)，n→=(x2,y2,z2)，∴{m→⋅MA1→=0m→⋅MA→=0当x1=1时，m→=(1,√3,0)，∴{n→⋅MA1→=0n→⋅MN→=0当x2=√3时，n→=(√3,1,−1)，∴cos⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=√3+√3+0√1+(√3)2+0⋅√(√3)2+1+1=√155，∴sin⟨m→,n→⟩=√1−(√155)2=√105,∴二面角A−MA1−N的正弦值为√105.【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：连接ME,B1C，在△B1BC中，M,E为BB1和BC中点，∴ ME//B 1C ，且ME =12B 1C ,∵ A 1D//B 1C 且N 为A 1D 的中点， ∴ ND//ME 且ND =ME ，∴ 四边形NDEM 是平行四边形， ∴ NM//DE .∵ NM 平面C 1DE 且DE ⊂平面C 1DE ， ∴ MN//平面C 1DE .(2)解：取AC 与BD 的交点O ，四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，过原点O 平行于BB 1的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴A(√3,0,0) M(0,1,2)，A 1(√3,0,4), N (√32,−12,2),∴ MA 1→=(√3,−1,2)，MA →=(√3,−1,−2)，MN →=(√32,−32,0)，设m →,n →分别为平面AMA 1和平面MA 1N 的一个法向量，∴ 设m →=(x 1,y 1,z 1)，n →=(x 2,y 2,z 2)， ∴ {m →⋅MA 1→=0m →⋅MA →=0当x 1=1时，m →=(1,√3,0)，∴ {n →⋅MA 1→=0n →⋅MN →=0当x 2=√3时，n →=(√3,1,−1)， ∴ cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√3+√3+0√1+(√3)2+0⋅√(√3)2+1+1=√155， ∴ sin ⟨m →,n →⟩=√1−(√155)2=√105, ∴ 二面角A −MA 1−N 的正弦值为√105.【答案】解：(1)设直线l 的方程：y =32x +n,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) 联立方程组{y =32x +ny 2=3x，整理化简得9x 2+(12n −12)x +4n 2=0， 由题意，Δ=(12n −12)2−4×9×4n 2=−288n +144>0， 则n <12.由韦达定理得，x 1+x 2=−4n−43，由抛物线的性质得，|AF|+|BF|=x 1+x 2+p =−4n−43+32=4，解得n =−78， 经检验，满足Δ>0. 故直线l 的方程：y =32x −78. (2)设P(m,0)，则AP →=(m −x 1,−y 1)，PB →=(x 2−m,y 2)， 由于AP →=3PB →， 易知y 1=−3y 2.由题意可设直线AB ：x =23y +m . 联立方程组{x =23y +my 2=3x 整理化简得：有韦达定理可得：y 1+y 2=2,y 1y 2=−3m . ∵ y 1=−3y 2，∴ y 1=3,y 2=−1， ∴ y 1y 2=−3m =−3， ∴ m =1.计算可得：A(3,3), B (13,−1)， 故|AB|=√(3−13)2+(3+1)2=4√133.【考点】圆锥曲线的综合问题向量数乘的运算及其几何意义 两点间的距离公式 直线的一般式方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设直线l 的方程：y =32x +n,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) 联立方程组{y =32x +ny 2=3x， 整理化简得9x 2+(12n −12)x +4n 2=0， 由题意，Δ=(12n −12)2−4×9×4n 2=−288n +144>0， 则n <12.由韦达定理得，x 1+x 2=−4n−43，由抛物线的性质得，|AF|+|BF|=x 1+x 2+p =−4n−43+32=4，解得n =−78， 经检验，满足Δ>0. 故直线l 的方程：y =32x −78. (2)设P(m,0)，则AP →=(m −x 1,−y 1)，PB →=(x 2−m,y 2)， 由于AP →=3PB →， 易知y 1=−3y 2.由题意可设直线AB ：x =23y +m . 联立方程组{x =23y +my 2=3x 整理化简得：y 2−2y −3m =0. 有韦达定理可得：y 1+y 2=2,y 1y 2=−3m . ∵ y 1=−3y 2，∴ y 1=3,y 2=−1， ∴ y 1y 2=−3m =−3， ∴ m =1.计算可得：A(3,3), B (13,−1)， 故|AB|=√(3−13)2+(3+1)2=4√133.【答案】证明：(1)易知f(x)的定义域为(−1,+∞)， 设g(x)=f ′(x)=cosx −1x+1， 则g ′(x)=−sinx +1(x+1)2，设g ′(x)的导函数为g ′′(x)， g ′′(x)=−cosx −2(x+1)3,当x ∈(−1,π2)时，cosx >0，2(x+1)3>0, 则g ′′(x)<0在(−1,π2)上恒成立. 所以g ′(x)在(−1,π2)上单调递减， 当x →−1时，g ′(x)→+∞，当x →π2时，g ′(x)→−1+1(π2+1)2<0，由零点存在定理，在区间(−1,π2)内，g′(x)存在唯一零点，记为x0，当x∈(−1,x0)时，g′(x)>0，当x∈(x0,π2)时，g′(x)<0，从而x0为f′(x)的极大值点，故f′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点.(2)由f(x)解析式易知f(0)=0，故0为f(x)的一个零点，由(1)知f′(x)=cosx−1x+1，以下分四种情况进行讨论：i)当x∈(−1,0)时，cos1<cosx<1，1x+1>1，∴f′(x)<0在(−1,0)上恒成立，∴ f(x)>f(0)=0,即在(−1,0)上，f(x)>0恒成立，不存在零点；ii)当x∈(0,π2)时，由(1)的证明可知，f′(x)在(0,x0)单调递增，在(x0,π2)单调递减，∵f′(0)=0, ∴f′(x0)>0,∵f′(π2)=−1π2+1<0,由零点存在定理，f′(x)在区间(x0,π2)存在唯一零点，记为m，当x∈(x0,m)时，f′(x)>0,∴ f(x)在(x0,m)内单调递增；当x∈(m,π2)时，f′(x)<0,∴ f(x)在(m,π2)内单调递减.∵f′(x)在(0,x0)单调递增，∴f′(x)>f′(0)=0,即f(x)在(0,x0)单调递增，从而f(x)在(0,m)单调递增，(m,π2)单调递减，∵ f(0)=0,f(π2)=1−ln(1+π2)>0,∴ f(x)>0在(0,π2)内恒成立，没有零点；iii)当x∈(π2,π)时，f′(x)<0恒成立，f(π2)=1−ln(1+π2)>0,f(π)=−ln(π+1)<0,由零点存在定理，f(x)在(π2,π)内存在唯一零点.iv)当x∈(π,+∞)时，由于sinx≤1,ln(x+1)>1，f(x)<0恒成立，故f(x)在(π,+∞)内无零点.综上所述，f(x)在(−1,+∞)内有且仅有两个零点.【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的极值函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)易知f(x)的定义域为(−1,+∞)，设g(x)=f′(x)=cosx−1x+1，则g′(x)=−sinx+1(x+1)2，设g′(x)的导函数为g′′(x)，g′′(x)=−cosx−2(x+1)3,当x∈(−1,π2)时，cosx>0，2(x+1)3>0,则g′′(x)<0在(−1,π2)上恒成立.所以g′(x)在(−1,π2)上单调递减，当x→−1时，g′(x)→+∞，当x→π2时，g′(x)→−1+1(π2+1)2<0，由零点存在定理，在区间(−1,π2)内，g′(x)存在唯一零点，记为x0，当x∈(−1,x0)时，g′(x)>0，当x∈(x0,π2)时，g′(x)<0，从而x0为f′(x)的极大值点，故f′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点.(2)由f(x)解析式易知f(0)=0，故0为f(x)的一个零点，由(1)知f′(x)=cosx−1x+1，以下分四种情况进行讨论：i)当x∈(−1,0)时，cos1<cosx<1，1x+1>1，∴f′(x)<0在(−1,0)上恒成立，∴ f(x)>f(0)=0,即在(−1,0)上，f(x)>0恒成立，不存在零点；ii)当x∈(0,π2)时，由(1)的证明可知，f′(x)在(0,x0)单调递增，在(x0,π2)单调递减，∵f′(0)=0, ∴f′(x0)>0,∵f′(π2)=−1π2+1<0,由零点存在定理，f′(x)在区间(x0,π2)存在唯一零点，记为m，当x∈(x0,m)时，f′(x)>0,∴ f(x)在(x0,m)内单调递增；当x∈(m,π2)时，f′(x)<0,∴ f(x)在(m,π2)内单调递减.∵f′(x)在(0,x0)单调递增，∴f′(x)>f′(0)=0,即f(x)在(0,x0)单调递增，从而f(x)在(0,m)单调递增，(m,π2)单调递减，∵ f(0)=0,f(π2)=1−ln(1+π2)>0,∴ f(x)>0在(0,π2)内恒成立，没有零点；iii)当x∈(π2,π)时，f′(x)<0恒成立，f(π2)=1−ln(1+π2)>0,f(π)=−ln(π+1)<0,由零点存在定理，f(x)在(π2,π)内存在唯一零点.iv)当x∈(π,+∞)时，由于sinx≤1,ln(x+1)>1，f(x)<0恒成立，故f(x)在(π,+∞)内无零点.综上所述，f(x)在(−1,+∞)内有且仅有两个零点.【答案】解：(1)设一轮试验中甲药治愈了白鼠为事件A；乙药治愈了白鼠为事件B.P(x=0)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+[1−P(A)][1−P(B)]=αβ+(1−α)(1−β),P(x=−1)=P(AB)=P(A)P(B)=[1−P(A)]P(B)=(1−α)β,P(x=1)=P(AB)=P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=α(1−β),故可列X的分布列如下:(2)(i)由(1)知a=P(X=−1)=(1−α)β=0.4；b=P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β)=0.5；c=P(X=1)=α(1−β)=0.1，由P i=aP i−1+bP i+cP i+1可得P i+1−5P i+4P i−1=0，即P i+1−P i=4(P i−P i−1)，故P i+1−P iP i−P i−1=4；所以{P i+1−P i}是以(P1−P0)为首项,4为公比的等比数列；(ii)由(i)知P i−P i−1=(P1−P0)4i−1；∴P i−P1=(P1−P0)(4+42+⋯+4i−1) =(P1−P0)4i−43,∵P0=0,∴P i=4i−13P1,∵P8=1,∴P8=48−13P1,∴P1=348−1,∴P4=44−13P1=44−148−1=144+1=1257,∴P4≈0.039.由于P4的值很小，说明这种试验方案可以将更有效的乙药分辨出来，所以此方案合理. 【考点】离散型随机变量及其分布列等比数列的前n项和等比关系的确定等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设一轮试验中甲药治愈了白鼠为事件A；乙药治愈了白鼠为事件B.P(x=0)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+[1−P(A)][1−P(B)]=αβ+(1−α)(1−β),P(x=−1)=P(AB)=P(A)P(B)=[1−P(A)]P(B)=(1−α)β,P(x=1)=P(AB)=P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=α(1−β),故可列X的分布列如下: (2)(i)由(1)知a=P(X=−1)=(1−α)β=0.4；b=P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β)=0.5；c=P(X=1)=α(1−β)=0.1，由P i=aP i−1+bP i+cP i+1可得P i+1−5P i+4P i−1=0，即P i+1−P i=4(P i−P i−1)，故P i+1−P iP i−P i−1=4；所以{P i+1−P i}是以(P1−P0)为首项,4为公比的等比数列；(ii)由(i)知P i−P i−1=(P1−P0)4i−1；∴P i−P1=(P1−P0)(4+42+⋯+4i−1)=(P1−P0)4i−43,∵P0=0,∴P i=4i−13P1,∵P8=1,∴P8=48−13P1,∴P1=348−1,∴P4=44−13P1=44−14−1=14+1=1257,∴P4≈0.039.由于P4的值很小，说明这种试验方案可以将更有效的乙药分辨出来，所以此方案合理. 【答案】解：(1)∵直线l的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0由{x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得直线l的直角坐标方程为2x+√3y+11=0,∵曲线C的参数方程为{x=1−t21+t2,y=4t1+t2,(t为参数)∴x2=(1−t2)2(1+t2)2, y2=16t2(1+t2)2，∴x2+y24=(1−t2)2(1+t2)2+4t2(1+t2)2=(1+t2)2(1+t2)2=1,∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1.(2)∵ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1∴ 可设曲线C 上任意一点P(cosα, 2sinα)(0≤α<2π), ∴ 点P 到直线l 的距离 d =|2cosα+2√3sinα+11|√4+3 =|4sin(α+π6)+11|√7.∵ 0≤α<2π,∴ 当sin(α+π6)=−1时， d 取得最小值.∴ 曲线C 上的点到l 距离的最小值 d min =√7=√7.【考点】两角和与差的正弦公式 椭圆的参数方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 点到直线的距离公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0 由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,可得直线l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0, ∵ 曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2,y =4t 1+t 2,(t 为参数) ∴ x 2=(1−t 2)2(1+t 2)2, y 2=16t 2(1+t 2)2， ∴ x 2+y 24=(1−t 2)2(1+t 2)2+4t 2(1+t 2)2=(1+t 2)2(1+t 2)2=1,∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1.(2)∵ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1∴ 可设曲线C 上任意一点P(cosα, 2sinα)(0≤α<2π), ∴ 点P 到直线l 的距离 d =|2cosα+2√3sinα+11|√4+3=|4sin(α+π6)+11|√7.∵ 0≤α<2π,∴ 当sin(α+π6)=−1时， d 取得最小值.∴ 曲线C 上的点到l 距离的最小值 d min =√7=√7.【答案】解:(1)∵ a,b,c 为正数，且满足abc =1， ∴ 1a +1b +1c =(1a +1b +1c )⋅abc =bc +ac +ab =12(2bc +2ac +2ab) ≤12(b 2+c 2+a 2+c 2+a 2+b 2) =12(2a 2+2b 2+2c 2) =a 2+b 2+c 2.当且仅当a =b =c =1时，等号成立. (2)由基本不等式得：(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥(2√ab)3+(2√bc)3+(2√ca)3 ≥3√(2√ab)3⋅(2√bc)3⋅(2√ca)33=24. 当且仅当a =b =c =1时，等号成立. 【考点】 不等式的证明 基本不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解:(1)∵ a,b,c 为正数，且满足abc =1，∴ 1a +1b +1c =(1a +1b +1c )⋅abc =bc +ac +ab =1(2bc +2ac +2ab) ≤12(b 2+c 2+a 2+c 2+a 2+b 2) =12(2a 2+2b 2+2c 2) =a 2+b 2+c 2.当且仅当a =b =c =1时，等号成立. (2)由基本不等式得：(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥(2√ab)3+(2√bc)3+(2√ca)3 ≥3√(2√ab)3⋅(2√bc)3⋅(2√ca)33=24. 当且仅当a =b =c =1时，等号成立.。
2019年全国1卷理科数学高考真题与答案解析,详细答案
要求的。
1．已知集合 M = {x −4 x 2}，N = {x x2 − x − 6 0，则 M N =
A．{x −4 x 3 B．{x −4 x −2 C．{x −2 x 2 D．{x 2 x 3
况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有 3 个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
3
2 C2 156 【详解】由题知，每一爻有 2 中情况，一重卦的 6 爻有
6 情况，其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情况有 C36 ，所以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为
6= 6
，
故选 A． 【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以 基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
2．设复数 z 满足 z − i =1 ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． (x+1)2 + y2 = 1 B． (x −1)2 + y2 = 1 C． x2 + ( y −1)2 = 1 D． x2 + ( y+1)2 = 1
3．已知 a = log2 0.2，b = 20.2，c = 0.20.3 ，则
26 = 【详解】设人体脖子下端至腿根的长为 x cm，肚脐至腿根的长为 y cm，则 26 + x = 5 −1 ，得 x 42.07cm, y 5.15cm ．又 x y +105 2
其腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，所以其身高约为 42.07+5.15+105+26=178.22，接近 175cm．故选 B． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．