第六章不等式

第六章不等式考纲要求：1. 理解不等式的性质，掌握代数式大小的比较方法.2. 掌握比较法，综合法证明简单的不等式，掌握两个正数的自述平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单地运用.3. 掌握一些简单的不等式解法.第一节不等式的性质1. 实数的大小顺序与运算性质之间的关系（1）a bu a -b 0;⑵ a ：： b = a - b ：： 0;（3. a b a b = 0.2. 不等式的性质.（1）（对称性）a b= b ：： a;（2）（传递性）a b, b c= a c;（3）（同加性）a b= a c b c; a ：： b二 a c ：： b c .十a > b（同向不等式的相加法则）丿二a+c>b+d.c > d严a > b（异向不等式的相减法则）丿na-CAb-dc < d「二- a >b a >b（4）（同乘性）丿n ac^bc；丿n acvbcc >0 c c 0（同向不等式的相乘法则）产> >n ac>bca d > 0（乘方法则）a b 0= a n b n（倒数法则）妙>0=> b a b（5）（开方法则）a b 0=.n a n b11 ba例1若一：：：一：::0,则下列不等式①a ab;②| a | | b |;③a ：：： b;④一•一2中，正a b a b确的不等式有（）A. 1个B. 2个C. 3个D.4个例2如果a1,a2/ ,a8为各项均大于零的等差数列，且公差d =0,则（）A. ao a4a5B. ao ::: a4a sC. a1 a8 a4 a s 例3若实数x,y满足/ -y+1兰0,则卫的取值范围是x > 0 xA. (0,1)B. (0,1]C.(1/: = )D. a〔a8 = a4a5( )D.[1,2 2例4已知二次函数y 二f(x)的图象过原点,且1 < f(-1)乞2, 3乞f (1)乞4,求f (―2) 的范围•【解】法一：二次函数y = f (x)的图象过原点，可设f(x) =ax 2 - bx由1空f (—1)乞2,3乞f (1)乞4得1空a — b 空2,3乞a b 乞4 f(-2) =4a -2b =m(a -b)n(a -b)m n = 4,m=3,n= 1 八 f (—2) =3(a —b)+(a —b)-m n = -2又 1 _ a -b _ 2,3 _a b _4所以 6 乞3(a -b) (a -b)乞10 ,即6 乞 f(-2)叮0法二：由题意可设 f (x)二 ax 2 bx , f ⑴=a b, f (-1) = a -b1 1 a [f(1) f(-1)],b [f ⑴ - f(-1)]2 2 .f(-2) =4a -2b =3f (-1) f(1)而 1 < f (一1)乞 2,3 乞 f (1)乞 4 .6 乞 3(a -b) (a —b) <10例5设x 1, x 2是区间D 上的任 f (X 1 X 2 .. f (X 1) f (X 2)f(2八 成立,则称函数f (x) =x—在区间(0,：：)上下凸. X【证明】f(X i )f (X 2)-f(x 1 x 2 2X i意两点，若 二f (x)在区间函数y = f (x)满足 D 上下凸.证明函数1 1 x2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 22 、-(一1 2 )2 x 1x 22 2(X i -X 2)2 0x x 2 2x-! x 2 (x-! x 2)2(丄丄)22 x 1 x 2课后练习二十六1.若 x y 0 , a :: 0, ay • 0 ,则 x - y 的值为 （）A.大于0B.等于0C.小于0D.符号不能确定2.下列命题正确的是1 1 C.a ■. ba b() — 2 2 —A. ac bc= a bB. a b = a bD.、a ：：：、.:::b 3.若 a ：： 0,「1 ：： b ::: 0,则()2 2A. a ab abB. ab ab a 2C. ab b abD. 2ab ab a4.已知x y - z ，且x ，y ，z_ 0 ,则下列不等式中成立的是() A. xy yz B. xz yz C. xy xzD .x|yL z|y |5.已知a ::: b . 0，则下列不等式一疋成立的是()21 1 A. a :: abB. 0b aC.|a|：：：|b|D 1 a1 b .()；:：()2 26.已知a,b 满足0 ：：： a ：：： b ：：： 1，则下列不等式中不成立的是()A. a a::: b b B. a a ::: b a b b C. b :: a D .b b :：: b a7.已知c 1, x =1 - c , y f 'c -€c -1，则x, y 之间的大小关系是 ()A. x yB. x = yC. x yD.不能确定8. 下列四个不等式 ：①a < 0 ： b ;②b - a ： 0 ;③b ：：： 0 ：：： a ;④0 ：：： b ：：： a ,其中能使1 1-c-成立的充分条件有 ______________ .a b9. 已知 -1 ：：：2a ：：： 0, A =1 • a 2, B =1 - a 2, C — , D —,则代 B,C, D 按从小到1 + a 1 — a大的顺序排列起来是 __________________ . 10. 已知a 2, b 2,试比较a b 与ab 的大小.第二节不等式的证明1. 常用的重要不等式⑴ a,b R,贝U a2 b2 _ 2ab2 2…、a b ,a b、2, ,(2) ( ) (a,b R)2 2a b a2b2⑶〒-2(a,b R)2(4) (a b) _4ab(a,b R)b a(5) 若ab 0,则 2a b⑹若0 :::a ::: b,m 0,则a:::王』(糖水原理,糖水不等式)b b + m(7) |a|-|b同|a|-|b| 勻a士b国a|+|b|2. 均值不等式(1) 若a 0, b 0 ,则-一_ ab 二a • b _ 2 ab ,当且仅当a = b 时“=”成立；2⑵最值定理：设x 0,y 0.①若xy =P(定值),则和x y有最小值2、、PS2②若x • y = S(定值),则和xy有最大值—43. 条件对称式取最值的条件象式子a2 b2 c2 =1和旦——，把其中的任意两个字母对调，而式子本身bc ac ab不变，我们就说这样的式子叫做对称式•如果一个式子是含某些字母的对称式，且所涉条件也是这些字母的对称等式，那么当且仅当各字母相等时，该式子取得最值。

比如，若a,b,c・R ■且 a b 1，则1 1ab bc ac的最大值就是当且仅当a = b = c二-时，ab bc ac 为其最大值.3 34. 不等式的证明方法(1) 差值(商值)比较法.(2) 综合法:从已知条件或一些重要公式出发得出所证明的不等式.(3) 分析法:从结论出发进行推理，得出与条件相同的结果或者是一个已知的不等式，并且推理的每一步可逆，这种证明方法叫做分析法.通常情况下，分析法只作证明的分析思路,一般都反过来以综合法的方式进行书写比较具有逻辑性.⑷反证法.(5)三角代换元法：通常把类似于条件x2■ y2 = a2中的x, y换成acos",bsin^的形式.5. 证明不等式要注意的几点(1)不等式的证明过程中，从不等式的一边出发到不等式的另一边的过程中 ，只能 始终用同一个方向的不等号连结•(2) 只有含等号的同向不等式相加，当且仅当两个不等式中取“=”的条件相同时, 所得不等式方可取“=”，一个强不等式与一个弱不等式相加，所得不等式为强不等式.(3) 在用放缩法证明不等式时，只有过程中的不等式全有“=”，并且所有“二”的 取值条件全都相同时，所得结果才可取“ =” •例1证明下列不等式.2 2 2(1) a b c _ ab bc ac .(2) 若 a . 0,b . 0,c . 0 ,则 a 3 • b 3 c 3 _ 3abc . 【证明】(1)法一(减值比较法):(a 2 -2ab b 2) (a 2 - 2ac c 2) (b 2 - 2bc c 2)21 2 2 2[(a -b) (a -c) (b - c)]丄0 22 2 2.a b c _ ab bc ac法二(综合法)〕a 2 b 2 _2ab,a 2 • c 2 _2ac,b 2 • c 2 _2bc ,当 a = b = c 时,三个等号 同时成立•.(a 2 b 2) (a 2 c 2) (b 2 c 2) _ 2ab 2ac 2bc .a 2 b 2 c 2 - ab ac bc(2) ' a 3 b 3 c 3 -3abc=(a +b)3 +c 3 _3abc _3a 2b _3ab 2 =(a b c)[(a b)2 -(a b)c c 2] -3ab(a b c)=(a b c)[(a b)2 -(a b)c c 2 -3ab] =(a b c)(a 2 b 2 c 2 - ab - be - ac) =扣 b 5—…)2 (—03 丄i 3 丄3.a b c - 3abc例2若a ,b,c€R*，且ab+bc + ac = 1，则下列不等式成立的是( )(A )a 2 b 2 c 2 — 2 (B ) (a+b+c 『启 3(C )丄丄丄_2.、3, 1(D ) abc a b c -a b c2f —【解】因为每个不等式和条件都是对称式 ,所以不式中，等号只有在a = b = c 33时取得,故只有(B)符合条件. b 2 2例 3 (1)已知 a >0,b >0，求证—+— >^b .ab1 1 (2)如果 a 0,b -0,且 a ，b =1,求证 4 a b2 2b c -(ab be ac) 口(3)如果 a 〉0,b:>0,且a + b =1，求证 a + 丄 + J b +丄兰2 V 2b 2 2【证明】⑴；a • 0,b .0,. — • a _2b,当 a = b 时取“二”，—2a ，当 a = ba b,2 2 ,2 2ba , ,b aab _ 2a 2b , a b .aba b=2ba _22=4a b例4若实数m,n,x, y 满足【解】令m 二cos ： , n 则 mx n y = .. 3(所以mx ■ ny 的最大值是、、3 a b< +1+a 1+b 【证明】 a b c,. a b=c m, m 0,且 m = a b-c,又 c 0,1 c 0,且，丄 cc+ma+ba 丄 ba 丄bc < 1 c,1+c 1+c+m 1+a+b 1+a+b 1 + a+b 1+a 1+b时取“=”2 2 —»y -3,求mx • ny 的最大值. =■, 3 sin :* , x =sin ： , x = . 3 cos :, y cos ： cos 』亠 sin : sin !：■) = 3 cos(： - -)【错解】m 2 x 2 _ 2mx , n 2 y 2 _ 2ny ,.2mx 2ny _ m 2 n 2 x 2 y 2 = 4 .mx ny 三 2例5已知a,b,c ・R ,且a b c,求证c22m n课后练习二十七1. 已知- 3 ：：： x ：：： 0，则y = x . 9 - x 2的最小值为 A. 9B. 一3C.12 2 22.设a,b,c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是A. I a -b |_| a -c | | b - c | 1 C.|a -b |2a —b3. 若a,b 是正实数,则下列不等式成立的是a ■b 2ab A. . ab -2 a +bc 2ab , a b C. ab - a b 2 c 2 11 B. a2 a ■ aaD. . a 3 - . a 1 _ a 2 - a B卜2 +b,2 2 a b a 2 b 2D. ab -2^2a 亠b -b,则P,Q,R 的大小丿顺序是()2 C. R _ P _ Q2 3 9. 已知a 0,b0，且a ^2，则-3的最小值是a b10. 若 x 2 + y 2 =4 ,则x - y 的最大值是 _______________6.关于函数y x 2 3 x 2 ，其下列说法正确的是 2B.最小值为＞2 27.已知函数y —.1 - x •、x 3的最大值为 A.最小值为2 C.最大值为2M ，最小值为A. 1 42 38.已知 2 (x 0,y0)，贝U xy 的最小值是x y B.1 2C.d23J2D.最大值为3二2m ，则—的值为MD.—2a 2b 2 < J ---------\ 2 一」a 2+b 22---------- 14. 若a b 1, P = lg a lg b , Q (lg a lg b), R = lg2A. P EQ 空 RB. P 乞 R5. 已知 a _0,b _0,且 a= 2,则 1B. ab -- A. ab 乞 12C. a 2 b 2 _ 2 (a b 2ab _ . ab _ a + b 2ab< ----a bD. R _ Q _ P ( )D. a 2 b 2 乞 316211. 已知a a b a 0,则a + ---------- 的最小值是 ________b(a -b)12. 证明不等式上山凶吐1 + |x + y| 1 + |x| + |y|。