二项式定理专题复习

二项式定理知识点、题型与方法归纳

一．知识梳理

1．二项式定理：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+-- ．其中)

,,2,1,0(n r C r

n =叫二项式系数．式中的r r

n r n b a

C -叫二项展开式的通项，用1+r T 表示，即通项r

r n r n r b a C T -+=1.

2．二项展开式形式上的特点: (1)项数为n ＋1；

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .

(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .

(4)二项式的系数从C 0

n ，C 1

n ，一直到C n －1n ，C n

n . 3．二项式系数的性质：

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n r

n n C C -=

(2)增减性与最大值：二项式系数C k

n ，当k ＜

n ＋1

2

时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减

小的；当n 是偶数时，中间一项2n n

C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122n n n

n

C C

-+=取得最大值．

(3)各二项式系数和：C 0

n ＋C 1

n ＋C 2

n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n

；

C 0

n ＋C 2

n ＋C 4

n ＋…＝C 1

n ＋C 3

n ＋C 5

n ＋…＝2n －1

.

一个防范

运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a

n －r b r

，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一

项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r

n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 两种应用

(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．

(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质

(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和； 二．题型示例

【题型一】求()n

x y +展开特定项

例1：(1＋3x )n

(其中n ∈N *

且n ≥6)的展开式中x 5

与x 6

的系数相等，则n ＝( ) B

A.6

B.7

C.8

D.9 例2：⎝ ⎛⎭

⎪⎫x y －y x 8的展开式中x 2y 2

的系数为________.(用数字作答) 70

【题型二】求()()m n

a b x y +++展开特定项

例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3

的项的系数是( ) D A ．74

B ．121

C ．－74

D ．－121

【题型三】求()()m

n

a b x y +⋅+展开特定项

例1：已知(1＋ax )(1＋x )5

的展开式中x 2

的系数为5，则a ＝( ) D

A.－4

B.－3

C.－2

D.－1

例2：在(1＋x )6

(1＋y )4

的展开式中,记x m y n

项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) C

A ．45

B ．60

C ．120

D ．210

例3：若数列{}n a 是等差数列,且6710a a +=,则在1212()()()x a x a x a ---的展开式中,11x 的系数为

___.60-

【题型四】求()n

x y z ++展开特定项

例1：求⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2＋1x ＋25

(x >0)的展开式经整理后的常数项.

解：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25在x ＞0时可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2

＋1x 10，

因而T r ＋1＝C r

10⎝ ⎛⎭⎪⎫1210－r ()x 10－2r ，则r ＝5时为常数项，即C 5

10·⎝ ⎛⎭

⎪⎫125＝6322.

例2：若将10

)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）．D

A ．11

B ．33

C ．55

D ．66

解：展开后，每一项都形如a b c

x y z ，其中10a b c ++=，该方程非负整数解的对数为210266C +=。

例3：(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2

的系数为( )

A ．10

B ．20

C ．30

D ．60

解析 易知T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t x t

＝C t 3x

6－t

，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 1

3＝30.

【题型五】二项式展开逆向问题

例1：(2013·广州毕业班综合测试)若C 1

n ＋3C 2

n ＋32C 3

n ＋…＋3n －2C n －1n ＋3n －1

＝85，则n 的值为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

解：由C 1n ＋3C 2n ＋…＋3n －2C n －1n ＋3n －1＝13

[(1＋3)n

－1]＝85，解得n ＝4.故选B.

【题型六】赋值法求系数（和）问题

例1：已知(1－2x )7

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2

＋…＋a 7x 7

.

求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；

(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7. 解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①

令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37

.②

(1)∵a 0＝C 0

7＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.

(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－3

7

2

＝－1094.③