最基本的图形--点和线(提高)知识讲解

最基本的图形--点和线（提高）知识讲解【学习目标】1. 理解点和线是最基本的图形；2．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示；3. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验；4. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题；5. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力.【要点梳理】要点一、点、线、面、体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.要点二、线段、射线、直线的概念及表示方法1.概念：一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：（1）把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线.（2）把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线．要点诠释：（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.（4）线段、射线、直线都没有粗细．2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.要点诠释：（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线；图4端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA 、射线OB 、射线OC 都表示同一条射线．（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．要点三、直线、线段的基本性质1. 直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线． 要点诠释：（1）点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O 在直线l 上，也可以说成是直线l 经过点O ；②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P 在直线l 外，也可以说直线l 不经过点P .（2）两条不同的直线相交只有一个交点.2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图7所示，在A ，B 两点所连的线中，线段AB 的长度是最短的．要点诠释：（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点. 要点四、线段的长短比较1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：图7图5法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.2.线段的比较：（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：要点诠释：类似于数，线段也可以相加减．3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点C是线段AB的中点，则12AC CB AB==，或AB＝2AC＝2BC．要点诠释：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．【典型例题】类型一、点、线、面、体1．（浙江宁波）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______ _；(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．【思路点拨】根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式，再用这个关系式解答后面的问题. 【答案与解析】解：(1)6， 6， V+F-E＝2；(2)20；(3)这个多面体的面数为x+y，棱数为243362⨯=条，根据V+F-E＝2可得24+(x+y)-36＝2，∴ x+y＝14．【总结升华】欧拉公式：V（顶点数）+F（面数）-E（棱数）＝2举一反三：【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的几何体是（）A. B. C. D.【答案】B类型二、线段、射线、直线的概念及表示方法2.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．【思路点拨】从图上看，A、D、F分别是线段CB、BC、BE的延长线上的点，也就是说，A、D、F三点的位置并不是完全确定的．此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了．【答案与解析】解：直线有一条：直线AD；射线有六条：射线BA、射线BD、射线CA、射线CD、射线BF、射线EF；线段有三条：线段BC、线段BE、线段CE．【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒．然而，在叙述线段的延长线的时候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了射线(延长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点．举一反三：【高清课堂：直线、射线、线段397363拓展4】【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这是为什么?画图说明.【答案】解：∵过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.）∴两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）；要么没有公共点，如图（2）；不能有两个公共点.类型三、线段、射线、直线有关作图3．如图(1)所示，已知线段a，b(a＞b)，画一条线段，使它等于2a-2b．【答案与解析】解：如图(2)所示：(1)作射线AF；(2)在射线AF上顺次截取AB＝BC＝a；(3)在线段AC上顺次截取AD＝DE＝b，则线段EC就是所要求作的线段．【总结升华】用尺规作图时，要熟悉常用的画图语言，注意保留作图痕迹．举一反三：【变式1】下列说法正确的有()①射线与其反向延长线成一条直线；②直线a、b相交于点m；③两直线相交于两个交点；④直线A与直线B相交于点MA．3个B．2个C．1个D．4个【答案】C【变式2】下列说法中，正确的个数有()①已知线段a，b且a-b＝c，则c的值不是正的就是负的；②已知平面内的任意三点A，B，C则AB+BC≥AC；③延长AB到C，使BC＝AB，则AC＝2AB；④直线上的顺次三点D、E、F，则DE+EF＝DF．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C类型四、有关条（个）数及长度的计算4. 根据题意，完成下列填空．如图所示，1l 与2l 是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线3l ，那么这3条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线4l ，那么这4条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有________个交点，n (n 为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n 的代数式表示)．【答案】3， 6， 15，(1)2n n -. 【解析】本题探索过程要分两步：首先要填好3条直线最多可有2+1＝3个交点，再类推4条直线，5条直线，6条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般性的结论．【总结升华】n (n 为大于1的整数)条直线的交点最多可有：(1)123...(1)2n n n -++++-=个. 举一反三：【变式1】平面上有n 个点，最多可以确定 条直线. 【答案】(1)2n n - 【变式2】一条直线有n 个点，最多可以确定 条线段， 条射线. 【答案】(1)2n n -，2n 【高清课堂：直线、射线、线段397363 拓展 1（4）】 【变式3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点? 【答案】0个，1个，2个，或3个.5. 已知线段AB ＝14cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC ＝4cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长．【思路点拨】题目中只说明了A 、B 、C 三点在同一直线上，无法判定点C 在线段AB 上，还是在线段AB 外(也就是在线段AB 的延长线上)．所以要分两种情况求线段AM 的长． 【答案与解析】解：①当点C 在线段AB 上时，如图所示．因为M 是线段AC 的中点，所以12AM AC =． 又因为AC ＝AB -BC ，AB ＝14cm ，BC ＝4cm ， 所以1()2AM AB BC =-1(144)5(cm)2=-=． ②当点C 在线段AB 的延长线上时，如图所示．因为M 是线段AC 的中点， 所以12AM AC =． 又因为AC ＝AB+BC ，AB ＝14cm ，BC ＝4cm ， 所以1()2AM AB BC =+=9(cm )． 所以线段AM 的长为5cm 或9cm ．【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论． 举一反三：【变式】 (武汉武昌区期末联考)如图所示，数轴上线段AB ＝2(单位长度)，CD ＝4(单位长度)，点A 在数轴上表示的数是-10，点C 在数轴上表示的数是16．若线段AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时，BC ＝8(单位长度)(2)当运动到BC ＝8(单位长度)时，点B 在数轴上表示的数是________ (3)P 是线段AB 上一点，当B 点运动到线段CD 上时，是否存在关系式3BD APPC-=．若存在，求线段PD 的长；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1) 点B 在数轴上表示的数是-8，设运动t 秒时，BC ＝8（单位长度），则： ①当点B 在点C 的左边时， 6t+8+2t ＝24 t ＝2(秒)②当点B 在点C 的右边时， 6t -8+2t ＝24 t ＝4(秒)答：当t 等于2秒或4秒时，BC ＝8(单位长度)(2) 由（1）知：当t＝2(秒)时，B点坐标为：-8+6t=﹣8+6×2=4（单位长度）当t＝4(秒)时，B点坐标为：-8+6t=﹣8+6×4=16（单位长度）所以答案为：4或16(3)存在，若存在，则有：BD＝AP+3PC，设运动时间为t(秒)，则：1°当t＝3时，点B与点C重合，点P在线段AB上，O＜PC≤2且BD＝CD＝4，AP+3PC＝AB+2PC＝2+2PC所以：2+2PC=4，解得：PC＝1∴此时，PD＝52°当1334t<<时，点C在点A与点B之间，O＜PC＜2①点P在线段AC上时．BD＝CD-BC＝4-BCAP+3PC＝AC+2PC＝AB-BC+2PC＝2-BC+2PC由4-BC=2-BC+2PC，可得：PC＝1，此时PD＝5．②点P在线段BC上时BD＝CD-BC＝4-BC，AP+3PC＝AC+4PC＝AB-BC+4PC＝2-BC+4PC由4-BC=2-BC+4PC，可得：12PC=，此时72PD=3°当134t=时，点A与在点C重合，0＜PC≤2BD＝CD-AB＝2，AP+3PC＝4PC由2＝4PC，可得：12PC=，此时72PD=4°当13742t<<时，0＜PC＜4BD＝CD－BC＝4－BC，AP+3PC＝AB-BC+4PC＝2-BC+4PC由4－BC=2-BC+4PC，可得：12PC=，此时72PD=综上可得：存在此关系式，且PD的长为5或72.类型五、路程最短问题6.如图所示，某公司员工分别住A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在同一条直线上，该公司的接送车打算在此间设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在哪个区?【答案与解析】解：所有员工步行到停靠点A区的路程之和为:0×30+100×15+(100+200)×10＝0+1500+3000＝4500(m)；所有员工步行到停靠点B区的路程之和为:100×30+0×15+200×10＝3000+0+2000＝5000(m)；所有员工步行到停靠点C区的路程之和为：(100+200)×30+15×200+10×0＝9000+3000+0＝12000(m)．因为4500＜5000＜12000，所以所有员工步行到停靠点A区的路程之和最小，所以停靠点的位置应设在A.【总结升华】本题是线段的概念在现实中的应用，根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可得解.举一反三：【变式】如图，从A到B最短的路线是（）.A．A-G-E-B B．A-C-E-BC．A-D-G-E-B D．A-F-E-B【答案】D。