混沌时间序列分析

1 时间序列分
ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型，是一 种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本思想是：某 t 些时间序列是依赖于时间 的一族随机变量，构成该时 间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变 化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述. 通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认识时 间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测. ARMA模型有三种基本类型：
Xt
：
如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差项以及 前期值的线性函数，即可表示为
X t 1 Xt 1 2 X t 2 p X t p ut 1ut 1 2ut 2 qut q【5】
( p, q) 阶的自回归移动平均模型，记为ARMA ( p, q) 式【5】称为
Lorenz系统的吸引子(x-y-z）
20
10
0
-10
-20 60 40 20 -20 0 -40 0 40 20
20
20
10
10
0
0
-10
-10
10 0 -10 -20 -20 -10 10 0 20
-20 20
-20 60 40 20 -20 0 0 -40 20
重构后的相图(x-y-z)
原始系统相图(x-y-z)
相空间重构例

Henon 映射
xn 1 1 1.4 x yn yn 1 0.3xn
2 n
该系统虽然有两个状态变量，但如果观测到状态变量 Xn的信息，我们可以从Xn建立原系统的模型
对状态变量Xn进行相空间重构:Zn=(Xn,Xn-1)
由Zn 可以重构原来的系统
延迟时间间隔τ的选取
若时间序列 X t 满足 1）对任意时间 t ，其均值恒为常数； 2）对任意时间 t和 s ，其自相关系数只与时间间隔 t s 有关，而与t 和 s 的起始点无关。 那么，这个时间序列就称为平稳时间序列 。
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
序列的平稳性也可以利用置信区间理论进行判定.需要 注意的是，在B-J方法中，只有平稳时间序列才能直接建立 ARMA模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要 求 在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序 列通过差分可以平稳
X t 1 X t 1 2 X t 2
p X t p ut
【1】
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1 , 2 , , p 称为自回归系数，是待估参数. 随机项 u t 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、 方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。 注2：一般假定 X t 均值为0，否则令 X t X t
（2）偏自相关
偏自相关是指对于时间序列 X t ，在给定 X t 1 , X t 2 , , X t k 1 的条件下，X t与 X t k 之间的条件相关关系。 其相关程度用
偏自相关系数 kk 度量，有 1 kk 1
1 k 1 k k 1, j k j kk j 1 k 1 1 k 1, j j j 1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
k 记 B k 为 k 步滞后算子，即 B X t X t k ，则 模型【1】可表示为
X t 1BX t 2 B X t
2
2 ( B ) 1 B B 令 1 2
p B X t ut
p
p B p ，模型可简写为

k
注1：
(X
t 1
nk
t n
X )( X t k X )
2 ( X X ) t t 1
n 是样本量， k 为滞后期， X 代表样本数据的算术平均值 注2：自相关系数 k 的取值范围是 [1,1] 且 | | 越接近1，自相关程度越高
k
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 三、模型的识别与建立
在需要对一个时间序列运用B-J方法建模时，应运用序列的 自相关与偏自相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适 宜的阶数 d , D, p, q 以及 P, Q（消除季节趋势性后的平稳序列） 1、自相关函数与偏自相关函数 （1）MA（ q ）的自相关与偏自相关函数 自协方差函数
【2】
( B) X t ut
AR（
的根均在单位圆外，即
p ）过程平稳的条件是滞后多项式 ( B)
( B) 0 的根大于1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、移动平均【MA】模型
移动平均序列 X t ： 如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差 项的线性函数，即可表示为
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 二、随机时间序列的特性分析
1、时序特性的研究工具 （1）自相关 构成时间序列的每个序列值 X t , X t 1, X t 2 , , X t k 之间的简单 相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数 k 度量， 表示时间序列中相隔 k 期的观测值之间的相关程度。
注3：【2】满足平稳条件时， AR过程等价于无穷阶的MA 过程，即
X t 1 v1B v2 B
2
j ut v j B ut j 0
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
3、自回归移动平均【ARMA】模型 【B-J方法建模】
自回归移动平均序列
注1：实参数 1 , 2 , , p 称为自回归系数， 都是模型的待估参数 注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3：引入滞后算子，模型【5】可简记为
1,2 , ,q
为移动平均系数，
( B) X t (B)ut
【6】
注4：ARMA过程的平稳条件是滞后多项式 ( B ) 的根均在单位圆外 可逆条件是滞后多项式 ( B ) 的根都在单位圆外
嵌入维数m的选取
主要方法（课后查阅）
虚假邻点法 关联积分法 奇异值分解法
Lorenz系统
dx dt ( y x) dy x(r z ) y dt dz dt xy bz
8 取 10，r 28, b 3 初值x0 15.34, y0 13.68, z0 37.91
q Bq
X t ( B)ut
注1：移动平均过程无条件平稳
【4】
注2：滞后多项式 ( B ) 的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程 能相互表出，即过程可逆， 2 i 1 w B w B X w B 1 2 t i X t ut i 0 即为MA过程的逆转形式，也就是MA过程等价于无穷阶的AR过程
自回归（AR：Auto-regressive）模型 移动平均（MA：Moving Average）模型 自回归移动平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X t：
如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性 函数，即可表示为
科学的目的就是要挖掘出事物的因果关系。 一个理论能否被接受，很重要的一个条件在于它 能否对事物的客观规律作出一定的预测。 根据混沌系统提取的非线性时间序列对系 统的未来进行预测，是一个十分重要的方向。 从时间序列研究混沌，始于Packard等1980 提出的重构相空间理论。
对于决定系统长期演化的任一变量的时间演 化，均包含了系统所有变量长期演化的信息。因 此，我们可以通过决定系统长期演化的任意单变 量时间序列来研究系统的混沌行为。 由时间序列恢复原系统最常用的方法利用Takens 的延迟嵌入定理： 对于一个非线性系统,通过观测,可以得到一组测量值 x ( n)，n=1,2,…N 利用此测量值可以构造一组m 维向量 X( n) = ( x ( n) , x ( n +τ) , ⋯,x ( n +( m - 1)τ) ) n= 1,…N- ( m - 1)τ 如果参数τ, m 选择恰当,则X( n) 可描述原系统。 τ称为延迟时间，m称为嵌入维数。由x(n)构造X(n) 称为 相空间重构。
式【3】称为 q 阶移动平均模型，记为MA（ q ）
注：实参数 1 ,2 ,
X t ut 1ut 1 2ut 2
qut q
【3】
,q 为移动平均系数，是待估参数
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
引入滞后算子，并令 (B) 1 1B 2 B2 则模型【3】可简写为
1 12 q2 2 , k 0 k k 1 k 1 q k q 2 , 1 k q 0, k q Dut 2 是白噪声序列的方差
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
判断时间序列季节性的标准为： 月度数据，考察 k 12, 24,36, 时的自相关系数是否 与0有显著差异； 季度数据，考察 k 4,8,12, 时的自相关 系数是否与0有显著差异。 若自相关系数与0无显著不同， 说明各年中同一月（季）不相关，序列不存在季节性，否则 存在季节性. 实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况， 这时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性， 否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误. 包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型，需 进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一 致.
主要方法 线性自相关函数法 平均互信息法（课后自行查阅）
线性自相关函数法
定义自相关函数为
C ( )
1 N
N n 1