平面向量专题练习
平面向量、复数 专题训练一、选择题1． i 是虚数单位，复数z ＝2＋3i－3＋2i的虚部是( )A ．0B ．－1C ．1D ．22．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π23．已知i 为虚数单位，则复数z ＝2－3i1＋i对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A.7B.10C.13D ．45．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2等于( )A ．－1－iB ．－1＋IC ．1－ID ．1＋i6．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1等于( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－27． 设O 为△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，且|AB →|＝3，|AC →|＝1，则AD →·(AB →－AC →)的值是( ) A ．1B ．2 C. 2D. 38．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )9．已知两点M (－1,0)，N (1,0)，若直线3x －4y ＋m ＝0上存在点P 满足PM →·PN →＝0，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－5)∪[5，＋∞)B ．(－∞，－25)∪[25，＋∞)C ．[－25,25]D ．[－5,5]10．已知点P 为△ABC 所在平面上的一点，且AP →＝13AB →＋tAC →，其中t 为实数．若点P 落在△ABC 的内部，则t 的取值范围是( )A ．0<t <14B ．0<t <13C ．0<t <12D ．0<t <2311．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈⎣⎡⎦⎤32，332，则AB→与BC →夹角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π4，π3 B.⎣⎡⎦⎤π6，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π3 D.⎣⎡⎦⎤π6，π4 12.设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋ta |的最小值为1( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定 二、填空题13．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．14．已知向量a 、b 的夹角为60°，且|a |＝4，(a ＋b )·(2a －3b )＝16，则b 在a 方向上的投影等于________．15．如图1-3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．图1-3 16．如上右图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2π3，P 是△ABC 外接圆上一动点，则AP →·BC→的最大值为________．三、解答题17．在中，角的对边分别为（1）求；（2）若CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =52，且，求．18．已知向量()1,sin a θ=，()θ=cos ,1b ，22π<θ<π-。
（1）若a ⊥b ，求θ；（2）求|b a |+的最大值。
19．已知向量a ＝(cos 2x ，sin 2x )，b ＝(3，1)，函数f (x )＝a ·b ＋m .(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为5，求m 的值．20．已知向量m ＝(2cos x,1)，向量n ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R, f (x )＝m·n(1)求f (x )的最小正周期与单调递减区间；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A )＝2，b ＝1，△ABC 的面`积为32，求b ＋c sin B ＋sin C的值．ABC △AB C ，，tan a b c C =，，，cos C 9a b +=c21．已知平面向量a ＝⎝⎛⎭⎫32，－12，向量b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.(1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－k )b ，y ＝－sa ＋tb ，且x ⊥y ，试求s ＝f (t )的函数关系式；(3)若s ＝f (t )在[1，＋∞)上是增函数，试求k 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (k sin θ，t )，(0≤θ≤π2，t∈R)．(1)若AB →⊥a ，且|OA →|＝|AB →|，求向量OB →；(2)若AB →∥a ，当k >4，且t sin θ取最大值为4时，求OA →·OB →.平面向量、复数 专题训练参考答案1 B2 C3 C4 C5 D6 A7解析：由已知，D 为BC 的中点，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝1，故选A.8解析：OC →＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，3λ＋μ≤λ＋3μ，在平行四边形对角线OD (包括OD )上方的点都符合要求，故选A.9解析：设P (x ，y )，则PM →＝(－1－x ，－y )， PN →＝(1－x ，－y )， PM →·PN →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝x 2＋y 2－1＝0.∴x 2＋y 2＝1，因此P 的轨迹为单位圆，又P 点在直线3x －4y ＋m ＝0上． ∴原点到直线的距离d ＝|m |5≤1，∴|m |≤5. ∴－5≤m ≤5，∴实数m 的取值范围是[－5,5]． 答案：D10解析：如图，E 、F 分别为AB 、BC 的三等分点，由AP →＝13AB →＋tAC →可知，P 点落在EF 上，而EF →＝23AC →，∴点P 在E 点时，t ＝0，点P 在F 点时，t ＝23.而P 在△ABC 的内部，∴0<t <23.答案：D11解析：由AB →·BC →＝3得ac cos(π－B )＝3，即ac ＝－3cos B .由面积S ＝12ac sin B ＝－32×sin B cos B ＝－32 tan B ，又S ∈⎣⎡⎦⎤32，332，则32≤－32 tan B ≤332，得－3≤tan B ≤－1，所以2π3≤B ≤3π4，所以AB →与BC →夹角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.故选A. 12．B [解析] |b ＋t a |≥1，则a 2t 2＋2|a ||b |t cos θ＋b 2的最小值为1，这是关于t 的二次函数，故最小值为4a 2b 2－4（|a ||b |cos θ）24a 2＝1，得到4a 2b 2sin 2θ＝4a 2，故|b |sin θ＝1.若|b |确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b |唯一确定．故选B.13．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c|a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，得m ＝2. 14解析：|a |＝4，(a ＋b )·(2a －3b )＝2×42－3b 2－4·|b |·cos 60°＝16⇒|b |＝2，b 在a 方向上的投影为|b |cos 60°＝1.15．22 [解析] 因为CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC ＋CP＝AD －34AB ，所以AP ·BP ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB ·⎝⎛⎭⎫AD －34AB ＝AD 2－12AD ·AB －316AB 2＝2.又因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝25－316×64－12AB ·AD ，故AB ·AD ＝22 .16解析：设圆心为O ，∵AP →＝AO →＋OP →，∴AP →·BC →＝(AO →＋OP →)·BC →＝OP →·BC →＝|OP →|·|BC →|·cos θ(θ为OP →与BC →的夹角)＝3cos θ≤3， 当且仅当θ＝0时，AP →·BC →＝ 3.17解：（1）又解得．，是锐角．．（2）， ， ．又．．． ．18解：（1）若a ⊥b ，则0cos sin =θ+θ。
∴⎪⎭⎫ ⎝⎛π<θ<π--=θ221tan ，得4π-=θ。
（2）由()1,sin a θ=，()θ=cos ,1b ，得()θ++θ=+cos 1,1sin b a 。
sin tan cos CC C =∴=22sin cos 1C C +=1cos 8C =±tan 0C >C ∴1cos 8C ∴=52CB CA =5cos 2ab C ∴=20ab ∴=9a b +=22281a ab b ∴++=2241a b ∴+=2222cos 36c a b ab C ∴=+-=6c ∴=所以()()()θ+θ+=θ+++θ=+cos sin 23cos 11sin |b a |22⎪⎭⎫ ⎝⎛π+θ+=4sin 223，当14sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛π+θ时，|b a |+取得最大值，即当4π=θ时，|b a |+的最大值为12+。
19解(1)由题意知，f (x )＝(cos 2x ，sin 2x )·(3，1)＋m ＝3cos 2x ＋sin 2x ＋m ＝2sin(2x ＋π3)＋m ， 所以f (x )的最小正周期为T ＝π.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋m ， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3. 所以当2x ＋π3＝4π3，f (x )的最小值为－3＋m .又因为f (x )的最小值为5，所以－3＋m ＝5，即m ＝5＋ 3.20解：(1)f (x )＝m·n ＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)．∴函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z. (2)由f (A )＝2，得2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝2，sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12， 在△ABC 中，∵π6<2A ＋π6<π6＋2π，∴2A ＋π6＝5π6，解得A ＝π3.S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝32，解得c ＝2.在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋4－2×1×2×12＝3，∴a ＝ 3.根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∴b ＋c sin B ＋sin C＝2. 21解析：(1)证明：由题知|a |＝|b |＝1，且a·b ＝32×12－12×32＝0，所以a ⊥b . (2)由于x ⊥y ，则x·y ＝0，－s |a |2＋(t ＋sk －st 2)a·b ＋t (t 2－k )|b |2＝0，故s ＝f (t )＝t 3－kt . (3)∵s ＝t 3－kt 在[1，＋∞)上是增函数，∴s ′＝3t 2－k ≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即k ≤3t 2在[1，＋∞)上恒成立，而3t 2≥3，∴只需k ≤3， ∴k 的取值范围是(－∞，3]． 22解析：(1)AB →＝(k sin θ－8，t )，由AB →⊥a ，得：－k sin θ＋8＋2t ＝0，即k sin θ＝2t ＋8， 又|OA →|＝|AB →|，∴64＝(k sin θ－8)2＋t 2＝(2t ＋8－8)2＋t 2＝5t 2，∴t ＝±855.∴OB →＝(8＋1655，855)或OB →＝(8－1655，－855)．(2)∵a ∥AB →，∴t ＝－2k sin θ＋16，∴t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k . ∵k >4，∴0<4k<1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取最大值为32k . 由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OB →＝(4,8)． ∴OA →·OB →＝(8,0)·(4,8)＝32.。
平面向量习题及答案
平面向量习题及答案【篇一：平面向量练习题集答案】>典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba；④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2；其中正确的个数为( )a.1b.2c.3d.4【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，mn=++且mn=++，两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1313.【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222＝2＝2(＋)＝2(a＋b).11又＝，＝， 331所以＝ad＋＝b＋ 31115＝b(a－b)＝a， 3266111＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.所以? (＋)＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线.又因为它们有公共点b，所以a，b，d三点共线.(2)因为ka＋b和a＋kb共线，因为a与b是不共线的两个非零向量，【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△oac的面积与△oab的面积之比是（3a. 2c.2 2b. 31d. 3 ）【解析】如图，在三角形abc中， oa＋2ob＋3oc＝0，整理可得oa＋oc＋2(ob＋oc)＝0.1令三角形abc中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的处，即oe＝2of. 32由于ab＝2ef，oe＝，所以ab＝3oe， 31s△oacoe?h2＝＝.故选b. 3s△oabab?h4总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图?abcd中,m,n分别是dc，bc中点.已知am=a,=b,试用a，b表示，ad与ac【解析】易知am＝ad＋dm 1＝＋， 21an＝ab＋bn＝ab2ad， 1???a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b). 332所以＝＋＝a＋b). 3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知pb＋pc＝2pd，因此结合pa＋bp＋cp＝0即得pa＝2pd，因此易得p，a，d三点共线且d是pa＝1，即选c.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1)?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.?2x?1??(2?x),?? 3????(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.＋|a141＋b|2的最大值为.值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin b，sin a)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin a＝bsin b.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△abc为等腰三角形.a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).113所以s△abc＝absin c3. 222【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m＝(2cosc－1，－2)，n＝(cos c，cos c＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )a.10－3c.10－23b.10＋53d.10＋231【解析】由m⊥n得2cos2c－3cos c－2＝0，解得cos c＝－cos c＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos 2【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】选择题：1。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
高中数学平面向量经典练习题(附答案)
D、m= -2+2 3，n= 2 +2 3
12、已知向量a与b， 3a + b = 6，a − 3b = 8，若则a ⊥ b，则 + 的值是（ ）
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中，AC=CD，AB=2BC，点 E 在 PA 上，H 在 PD 上，F 是 EH 的中
点，G 是 PC 与 EH 的交点，则 =（
3 23
2
解得：a=2b
已知 C 是 AD 的中点，设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得：
= 2tb
+（1-t） b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等，2tb = 2 （1 − t） b = 2
（ + ）·（ + ）=0 ------------------------⑨
由⑦，⑧，⑨，得：
cos（ + ， + ）= （ + ）·（3 + ）
+ ∙3 +
=0 所以：向量 + ， + 的夹角为 90°
故答案为：C
第 18 题 解： 已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方，得： 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2， · =3 代入上式， 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得： = 3
则
=
。
=（3，2）
8、已知向量 ， 满足 = 3 ， ⊥（2 + 3 ），则向量 与 的夹角
平面向量练习题
平面向量练习题一、选择题1．若向量(1,1),(1,1),(1,2),a b c c ==-=-=则（ ）A ．b a 2321+-B ．b a 2321-C ．b a 2123-D ．b a 2123+-2．设,,a b c是任意的非零平面向量，且相互不共线，有以下结论① 0)()(=⋅⋅-⋅⋅b a c c b a ；② ||||||a b a b -<-；③ ()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅不与c 垂直； ④ 22(32)(32)9||4||a b a b a b +-=-其中正确的是（ ） A ．① ② B ．② ③C ．③ ④D ．② ④3．若a 、b 、c 为任意向量，R m ∈，则下列等式不一定成立的是（ ）A ．)()(c b a c b a ++=++ B ．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅C ．()m a b m a m b +=+D ．)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅4．设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA （ ）A ．43 B ．43-C ．3D ．－35．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足O C O A O B αβ=+，其中α、1,=+∈βαβ且R ，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．01123=-+y xB ．5)2()1(22=-++y xC ．02=-y xD ．052=-+y x6．若||2sin 15,||4cos15,a b a ==与b 的夹角为30 ，则a b ⋅的值为（ ）（A ）23 （B ）3 （C ）32 （D ）217．已知(3,4),,a b a =⊥ 且b 的起点为(1,2),终点为(,3)x x ，则b =（ ）（A ）)51,1511(- （B ）)1511,51(-（C ）)51,154(-（D ）)51,154(8．已知(1,2),(,1)a b x == ，且2a b + 与2a b -平行，则x =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）31 （D ）219．已知||2,||1,a b a == 与b 的夹角为60，又，3,2,c m a b d a m b =+=- 且c b ⊥，则实数m 的值为（ ） （A ）0 （B ）6或－6 （C ）1或－6 （D ）－1或610．若||||1,,a b a b ==⊥ 且23a b +与向量b a k 4-也互相垂，则实数k 的值为（ ）（A ）－6 （B ）6 （C ）3 （D ）（－3） 11．已知两点M 1（4，3）和M 2（2，-1），点M 分有向线段M 1M 2的比为2-=λ，则M 点的坐标为（ ） （A ）)350(-（B ）（6，7） （C ）)37,2(-- （D ）)5,0(-二、填空题1．已知向量a 和b 的夹角为120,||2,||5a b ==且，则=⋅-a b a )2( .2．已知向量(1,2),(3,),O A O B m =-= 若,O A AB ⊥则m = .3．已知||4,||1,a b a ==与b 的夹角为θ，且|2|4,a b -= 则cos θ的值为 。
2023年高考数学微专题练习专练26平面向量基本定理及坐标表示含解析理
专练26 平面向量基本定理及坐标表示命题范围：平面向量基本定理及坐标表示，用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，用坐标表示的平面向量共线的条件．[基础强化]一、选择题1．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 12．已知平面向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2，1)C ．(－1，0)D ．(－1，2)3．已知a ＝(2，1)，b ＝(1，x )，c ＝(－1，1).若(a ＋b )∥(b －c )，且c ＝m a ＋n b ，则m ＋n 等于( )A ．14B ．1 C ．－13D ．－124．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是( )A.2B ．4 C ．6D ．85．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A.(2，0) B ．(－3，6) C ．(6，2) D ．(－2，0)6．已知向量m ＝(sin A ，12)与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( )64C ．π3D ．π27．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，3y －5)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则xy 的最大值是( )A ．26B ．2512C ．2524D ．2568．设向量a ＝(－3，4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( ) A ．(－65，85) B ．(－6，8)C ．(65，－85)D ．(6，－8)9．[2022·安徽省蚌埠市质检]如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB ＝2DC ，点E 为线段BC 靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD 的中点，AE 与BF 交于点O ，且AO →＝xAB →＋yBC →，则x ＋y 的值为( )A ．1B ．57C ．1417D ．56 二、填空题10．[2021·全国甲卷]已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________． 11．[2022·安徽省滁州市质检]已知a ＝(1，3)，a ＋b ＝(－1，2)，则|a －b |＋a ·b ＝________．12．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．[能力提升]13．已知在Rt△ABC 中，A ＝π2，AB ＝3，AC ＝4，P 为BC 上任意一点(含B ，C )，以P为圆心，1为半径作圆，Q 为圆上任意一点，设AQ →＝aAB →＋bAC →，则a ＋b 的最大值为( )124C ．1712D ．191214．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A ．65B ．85C ．2D ．8315．[2022·东北三省三校模拟]在正六边形ABCDEF 中，点G 为线段DF (含端点)上的动点，若CG →＝λCB →＋μCD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．16．如图，已知平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．专练26 平面向量基本定理及坐标表示1．D 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．2．D 12a －32b ＝(12，12)－(32，－32)＝(－1，2).3．C ∵a ＋b ＝(3，1＋x )，b －c ＝(2，x －1)， ∵(a ＋b )∥(b －c )，∴3(x －1)＝2(x ＋1)， 得x ＝5，∴b ＝(1，5)，又c ＝m a ＋n b ， ∴(－1，1)＝m (2，1)＋n (1，5)∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－1，m ＋5n ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－23，n ＝13，∴m ＋n ＝－23＋13＝－13.4．D ∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，CB →＝(a ＋b ，－1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴(a －1)×(－1)＝1×(a ＋b )，∴2a ＋b ＝1， 又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b ＝8(当且仅当b a ＝4a b 即a ＝14，b ＝12时等号成立)5．A 设点N 的坐标为(x ，y )，则MN →＝(x －5，y ＋6) 又MN →＝－3a ＝(－3，6)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.6．C ∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3. 可化为1－cos2A ＋3sin2A ＝3， ∴sin (2A －π6)＝1.∵A ∈(0，π)，∴(2A －π6)∈(－π6，11π6).因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3.故选C.7．C ∵a ∥b ，∴3y －5＝－2x ，∴2x ＋3y ＝5，又x ，y 均为正数，∴5＝2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，(当且仅当2x ＝3y ，即：x ＝54，y ＝56时等号成立)，∴xy ≤2524，故选C.8．D 由题意不妨设b ＝(－3m ，4m )(m <0)，则|b |＝（－3m ）2＋（4m ）2＝10，解得m ＝－2或m ＝2(舍去)，所以b ＝(6，－8)，故选D.9．C 根据向量的线性运算法则，可得AO →＝xAB →＋yBC →＝xAB →＋y (BA →＋AC →) ＝xAB →－yAB →＋yAC →＝(x －y )AB →＋y ·(AD →＋DC →)＝(x －y )AB →＋y ·(2AF →＋12AB →)＝(x －y )AB →＋2yAF →＋12yAB →＝(x －y 2)AB →＋2yAF →，因为B ，O ，F 三点共线，可得x －y2＋2y ＝1，即2x ＋3y －2＝0；又由BO →＝BA →＋AO →＝BA →＋xAB →＋yBC →＝BA →－xBA →＋y ·43BE →＝(1－x )BA →＋4y 3BE →，因为A ，O ，E 三点共线，可得1－x ＋4y3＝1，即3x －4y ＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －2＝03x －4y ＝0，解得x ＝817，y ＝617，所以x ＋y ＝1417.10．－103解析：c ＝(3，1)＋(k ，0)＝(3＋k ，1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103. 11．0解析：a ＝(1，3)，a ＋b ＝(－1，2)，b ＝(－1，2)－(1，3)＝(－2，－1)，a －b ＝(3，4)，|a －b |＋a ·b ＝9＋16＋(－2－3)＝0. 12．3解析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心，则AM →＝12(AB →＋AC →)×23＝13(AB →＋AC →)，∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 13．C根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0，4)，B (3，0)，易知点Q 运动的区域为图中的两条线段DE ，GF 与两个半圆围成的区域(含边界)，由AQ →＝aAB →＋bAC →＝(3a ，4b )，设z ＝a ＋b ，则b ＝z －a ，所以AQ →＝(3a ，4z －4a ).设Q (x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3a ，y ＝4z －4a ，消去a ，得y ＝－43x ＋4z ，则当点P 运动时，直线y ＝－43x ＋4z 与圆相切时，直线的纵截距最大，即z 取得最大值，不妨作AQ ⊥BC 于Q ，并延长交每个圆的公切线于点R ，则|AQ |＝125，|AR |＝175，所以点A 到直线y ＝－43x ＋4z ，即4x ＋3y －12z ＝0的距离为175，所以|－12z |32＋42＝175，解得z ＝1712，即a ＋b 的最大值为1712. 14．B建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，∴CA →＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.故选B.15．[1，4]解析：根据题意，不妨设正六边形ABCDEF 的边长为23，以中心O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则可得F (－23，0)，D (3，3)，C (23，0)，B (3，－3)， 设点G 的坐标为(m ，n )，则CG →＝(m －23，n )， CB →＝(－3，－3)，CD →＝(－3，3)，由CG →＝λCB →＋μCD →可得：m －23＝－3λ－3μ， 即λ＋μ＝－33m ＋2， 数形结合可知：m ∈[－23，3]，则－33m ＋2∈[1，4]，即λ＋μ的取值范围为[1，4].16．6解析：解法一：如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1＋OA 1，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt△OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC |＝23， 所以|OB 1|＝2，|B 1C |＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 解法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1，0)，B (－12，32)，C (3，3). 由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.。
平面向量练习合集(一)【含答案】【可打印编辑】
平面向量练习合集（一）【10题】1．(2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期末)如图，已知3AB BP =，用OA ，OB 表示OP ，则OP 等于（ ）A ．1433OA OB - B ．1433OA OB + C ．1433OA OB -+D ．1433OA OB -- 【答案】C 【详解】解：3AB BP =，()11413333OP OB BP OB AB OB OB OA OB OA ∴=+=+=+-=-， 2．(2021·云南·高一期末)已知 a =6， b =2，且向量 a 与向量 b 的夹角为600，则 a · b 的值为（ ）A ．B ．12C ．6D ．【答案】C【详解】由 a =6， b =2，且向量 a 与向量 b 的夹角为600， a ·1cos ,62 26a b a b b ==⨯⨯=. 3．(2021·浙江台州·高一期末)已知向量,a b 满足：3,2a b a b -==.设a b -与a b +的夹角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A ．45B ．35C ．12D 【答案】A【详解】解：设b x =，则2a x =，因为3a b -=，所以22222529a b a a b b x a b -=-⋅+=-⋅=， 所以2592x a b -⋅=，则2222210a b a b a ab b x +=+=+⋅+= ()()22cos 310a b a b a b a b θ-⋅+===-+[]0,θπ∈，所以sinθ=令21tx=，则224109910t tx x-=-+，当59t=时，2910t t-+取得最大值259，即24109x x-取得最大值259，的最大值为45，即sinθ的最大值为45.4．（2021·江西赣州·高一期末）在边长为1的正方形ABCD中，M为AB上靠近B的三等分点，N为BC的中点.若MN AB ADλμ=+(,λμ∈R)，则32λμ+=（）A．0B．56C．2D．136【答案】C【详解】1132MN MB BN AB AD=+=+，所以3211211,,32λμλμ==+=+=. 5．（2021·辽宁抚顺·高一期末）在Rt ABC中，90,4C AC=︒=，则AB CA⋅=（）A．25-B．25C．16-D．16【答案】C【详解】解：2||||cos()|||||cos||16AB CA AB CA A CA AB A CAπ⋅=⋅-=-⋅⋅=-=-．6．（2020·重庆·高一期末）已知点()2,1A-，()3,11B-.（1）求AB的值；（2）若点C满足30AB BC+=，求点C坐标.【答案】（1）13AB=；（2）4,73⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】解：（1）∵()5,12AB=-，∵(13AB=-=；（2）设点C的坐标为(),x y，则()3,11BC x y=+-.由()334,3210AB BC x y +=+-=，得340,3210,x y +=⎧⎨-=⎩解得43x =-，7y =， 所以点C 的坐标为4,73⎛⎫- ⎪⎝⎭. 7．【多选】（2020·江西九江·高一期末）已知梯形ABCD 中，//DC AB ，且2AB DC =，E 为BC 的中点，则下列各式中不正确的是（ ）A ．12AC AD AB →→→=+B ．1324AE AD AB →→→=+C ．12BC AB AD →→→=+ D ．BD AD AB →→→=+ 【答案】CD【详解】由题知，12AC AD DC AD AB →→→→→=+=+，故A 正确； 11113()()22224AE AC AB AD AB AB AD AB →→→→→→→→=+=++=+，故B 正确； 1122BC AC AB AD AB AB AD AB →→→→→→→→=-=+-=-，故C 错误； BD AD AB →→→=-，故D 错误； 8．（2021·湖南张家界·高一期末）已知向量a 与b 的夹角120θ，3a =，4b =，则a b ⋅=（ ）A ．-B ．6-C ．6D ．【答案】B 【详解】根据平面向量数量积的定义可得1cos1203462a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 9．（2021·甘肃张掖·高一期末（理））设1e ，2e 为两个不共线的向量，若12a e e λ=+，122b e e =-. （∵）若()//a b b +，求实数λ的值； （∵）若1e ，2e 是夹角为23π的单位向量，且a b ⊥，求实数λ的值. 【答案】（1）12-；（2）54.【详解】解：（1）因为12a e e λ=+，122b e e =-，所以123(1)a e b e λ+=+-， 因为()//a b b +，则a b b μ+=，0μ=，则12123(1)2e e e e λμμ+-=- 所以321μλμ=⎧⎨-=-⎩，解得12λ=-， （2）因为1e ，2e 是夹角为23π的单位向量，所以121221cos 32e e e e π⋅=⋅⋅=- ()()212122112212(0221)22b e e e e e e e a e λλλλλ=-=-⋅=--+=⋅++-，解得：54λ= 10．（2021·陕西·榆林市第十中学高一期末）如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若,AB a AD b ==，用,a b 表示AG =________.【答案】3344a b + 【详解】1122AG AB BE EG a b EF =++=++ ()111133242444a b BD a b b a a b =++=++-=+.。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
平面向量专题复习练习(含解析)【最新】
14．已知 与 垂直，则实数 的值为（）
A．1B． C．2D．
15．已知平面向量 ， 满足 ， ，且 ，则 （）
A．3B． C． D．5
16．已知向量 ，则向量 在向量 方向上的投影为（）
A． B． C． D．
17．已知 ， ， =1，则向量 在 方向上的投影是（）
A． B． C． D．1
2．下列命题正确的是（）
A．单位向量都相等B．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线
C．若 ，则 D．若 与 都是单位向量，则
3．在 中，点O满足 ，则 与 的面积比为（）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，且 ，则 （）
A． B． C． D．
5．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
6、如图， ， ， ， ，若m= ，那么n=（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ，故C为线段AB的中点，
故 = =2 ，∴ = ，
由 ， ，
∴ ， ，
∴ = ，
∵M，P，N三点共线，故 =1，当m= 时，n= ，故选：C
7、若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c等于()
平面向量专题复习
一、基本概念与定理
1、定义：既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的长度(或称模)
2、单位向量：长度等于1个单位的向量（与 同方向的单位向量为 ）
3、零向量：长度为零的向量；其方向是任意的
4、平行、共线向量：同向或反向
5、相等向量：长度相等且方向相同的向量
6、相反向量：长度相等且方向相反的向量
平面向量复习综合练习题及答案
10、（全国2 理5）在?ABC中，已知D是AB边上一点，若 =2 ， = ,则?=
(A) (B) (C) - (D) -
11、（北京理4）已知 是 所在平面内一点， 为 边中点，且 ，那么
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12、（福建理4文8）对于向量，a、b、c和实数 ，下列命题中真命题是
A.(2,14)B.(2,- )C.(-2, )D.(2,8)
答案：选B
16．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b= mq-np,下面说法错误的是（ ）
A．若a与b共线,则a⊙b =0B．a⊙b =b⊙a
C．对任意的 R,有( a)⊙b = (a⊙b)D．(a⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|2
求 。
31、已知A（2，0），B（0，2），C（cos ，sin ），且0< <
（1）若|OA+OC|= ，求OB与OC的夹角；
（2）若AC⊥BC，求tan 的值。
32、
求证：（1）A、B、D三点共线．
33、已知 之间有关系 ，其中k＞0,
（1）k表示 ；（2）求 的最小值，并求此时 夹角的大小。
20．P是圆C: 上的一个动点,A( ,1),则 的最小值为______2( -1)
21．已知 =(3,2), =(-1,0),向量 + 与 -2 垂直,则实数 的值为_________1
22．在直角三角形 中, ,点 是斜边 上的一个三等分点,则
23、（江西理15）如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ，若 ， ，则 的值为．
(1)求角 的大小；