贵州省贵阳市第六中学2016届高三5月高考模拟考试数学(理)试题word版含答案.doc

数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{2|5,|A y y x B x y ==-+==，则A B = （ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．[]3,5D ．(]3,5 2.已知复数112m i z i -=+-（i 是虚数单位）的实部与虚部的和为1，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．()0,,sin tan x x x π∃∈=B ．“对任意的2,10x R x x ∈++>”的否定是“存在2000,10x R x x ∈++<” C ．R θ∀∈，函数()()sin 2f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“s i ns i n c o s c o s A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件4.若62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5.已知()1212,x x x x <是函数()1ln 1f x x x =--的两个零点，若()()12,1,1,a x b x ∈∈，则（ ）A ．()()0,0f a f b <<B ．()()0,0f a f b >>C ．()()0,0f a f b ><D ．()()0,0f a f b <>6.执行下面的程序框图，如果输入的[]1,1t ∈-，则输出的S 属于（ ）A ．(],2e -∞-B ．[]0，e-2C ．[]0,5D ．[]3,5e -7.如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．15B ．14C ．14+D ．15+ 8.已知函数()()2cos 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭图象的一个对称中心为()2,0，直线12,x x x x ==是图象的任意两条对称轴，且12x x -的最小值3，且()()13f f >，要得到函数()f x 的图象可将函数2cos y x ω=的图象（ ）A ．向右平移12个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度9.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%10.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11A C 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为36π，则正方体棱长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511.过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PMPN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．1912.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数()'f x ，满足()()'f x f x <，且()2f x +为偶函数，()41f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ）A ．()2,-+∞B ．()4,+∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 .14.如果点(),P x y 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，则()221x y ++的最小值是 .15.在正方形ABCD 中，2,,AB AD M N ==分别是边,BC CD 上的动点，当4AM AN ⋅=时，则MN 的取值范围为 .16.数列{}n a 满足11112,1n n n a a a a +--==+，其前n 项积为n T ，则2018=T .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 是递减数列，253432,12a a a a =+=，数列{}n b 满足11b =，且()122n n n b b a n N ++=+∈.（1）证明：数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若对任意n N +∈，不等式()12n n n b b λ++≥总成立，求实数λ的最大值.18. （本小题满分12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响.（Ⅰ）求未来三年，至多有1年河流水位[)27,31X ∈的概率（结果用分数表示）； （Ⅱ）该河流对沿河A 企业影响如下：当[)23,27X ∈时，不会造成影响；当[)27,31X ∈时，损失10000元；当[)31,35X ∈时，损失60000元，为减少损失，现有三种应对方案： 方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元； 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三：不采用措施：试比较哪种方案较好，并说明理由.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，,DM DC SM AD =⊥.（Ⅰ）证明：BM ⊥平面SMC ； （Ⅱ）若SB 与平面ABCD 所成角为4π，N 为棱SC 上的动点当二面角S BM N --为4π时，求SNNC的值.20. （本小题满分12分）已知12,F F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点，P ⎛ ⎝⎭1122,F F 成等差数列. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=- 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数()()ln ln ,xf x ax xg x x=-=都定义在[]1，e 上，其中e 是自然常数.（Ⅰ）当a e =时，求()f x 的单调性；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，()()f x e g x ≥-恒成立；（Ⅲ）若()()21,1h x x g x a ⎡⎤=+>⎣⎦时，对于[][]101,,1,e x e x ∀∈∃∈，使()()10f x h x =，求a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x a a C y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，实数0a >），曲线2cos :y b bsin x b C ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数，实数0b >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:0,02l πθαρα⎛⎫=≥≤≤⎪⎝⎭与1C 交于、O A 两点与2C 交于、O B 两点，当0=α时，1OA =，当2=πα时，2OB =. (1)求,a b 的值；(2)求22+OA OA OB ⋅的最大值.参考答案1-12 C B D B C A A A B C B D 13.16 14. 9515. ⎤⎦ 16. 6- 17.解：（1）因为25343432,12a a a a a a ==+=，且{}n a 是递减数列，所以344,8a a ==，所以12,1q a ==，所以12n n a -=.因为122n n n b b a -=+，所以111n nn nb b a a ++=+，所以数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. (2)由（1）12n n b n -=⨯，所以()()()1122122232nn n nn b n n n b n n λ+-+++⎛⎫≤==++ ⎪⋅⎝⎭最小值总成立，因为3201333312744432P C C ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………3分 所以，在未来3年，至多有1年河流水位[)27,31X ∈的概率为2732.…………4分 （Ⅱ）由题意知()23270.74P X ≤<=.……………………5分 ()27310.25P X ≤<=.……………………6分 ()31350.01P X ≤≤=.……………………7分即123、、X X X 分别表示采取方案1,2,3的损失，由题知13800X =，2X 分布列如下：所以，()2620000.0120000.992600E X =⨯+⨯=.……………………9分3X 分布列如下：所以，()3600000.01100000.253100E X =⨯+⨯=.………………11分 因为采取方案2的损失最小，所以选择方案2最好.19.（1）∵平面SAD ⊥平面ABCD ，,SM AD SM ⊥⊥平面ABCD ，又BM ⊂平面ABCD ，∴SM BM ⊥.又,AM AB DM DC ==，∴4BMA CMD π∠=∠=,∴2BMC π∠=,即CM BM ⊥，又，SM CM 为平面SMC 内两相交直线，∴BM ⊥平面SMC .(2)由（1）可如图建系.设1AB =，则1,3AM MD DC ===，∵SB 与平面ABCD 所成角为4π，∴4SBM π∠=，∴SM =[],0,1SN SC λλ=∈ ，得()3,3N λλ，∵MC ⊥平面SMB .平面SMB 的一个法向量为()1,1,0m =，设[],0,1SN SC λλ=∈，得()3,3N λλ，可得平面BMN 的一个法向量为n ⎛⎫= ⎝ （或()1,n λλ=-- ），c o s 4m nm n π⋅=⋅，解得[]10,14λ=∈，∴13SN NC =.20．【解析】（11122 ,F F成等差数列，所以)12122F F PF PF=+，将12122,2PF PF a F F c+==，代入化简，得a=，所以，由22222111aa ba b c⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，解得1,1a c b===，所以椭圆的标准方程为2212xy+=. (2)假设在x轴上存在点(),0Q m，使得716QA QB⋅=-恒成立.①当直线l的斜率不存在时，,1,A B⎛⎛⎝⎭⎝⎭，由于711,16m m⎛⎛-⋅--=-⎝⎭⎝⎭，解得54m=或34m=；②当直线l的斜率为0时，)(),A B，则)()7,0,016m m⋅-=-，解得54m=±，由①②可得54m=.下面证明54m=时，716QA QB⋅=-恒成立，当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y=+，由1x ty=+及2212xy+=，得()222210t y ty++-=，所以0∆>，∴12122221,22ty y y yt t+=-=-++.∵11221,1x ty x ty=+=+，∴()()2112212121212 551111,,14444416 x y x y ty ty y y t y y t y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-=--+=+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22222211212217141616162222t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++. 综上所述，在x 轴上存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭使得716QA QB ⋅=- 恒成立.21.解：（1）()()[]1,ln ,',1,a e f x ex x f x e x e x==-=-∈时，()0f x >恒成立，∴()ln f x ex x =-在[]1，e 上是单调递增函数.(2)由（1）知()()min 1f x f e ==，令()()ln xH x e g x e x=-=-，则()[]2ln 1',1,x H x x e x -=∈时，()()'0,H x H x ≤在[]1，e 上单调递减，∴()()()()max 1,H x H e f x H x ==∴≥,即()()f x e g x ≥-.解（3）; ()1',1f x a a x=->时，由[]1，x e ∈得()()'0,ln f x f x ax x >=-在[]1，e 上单调递增， ()()()()min max 1,1f x f a f x f e ae ====-，即()f x 的值域是[]()()()[]221,1,11ln ,'2,1,a ae h x x g x x x h x x x e x⎡⎤-=+=+-=-∈⎣⎦时，()()'0.h x h x >在[]1，e 上单调递增，∴()()()()2min max 12,h x h h x h e e ====，即()h x 的值域是22，e ⎡⎤⎣⎦，∵[][]()()10101,,1,,x e x e f x h x ∀∈∃∈=，∴()f x 的值域是()h x 的值域的子集.∴22121a a e e e ae ≥⎧⇒∴≤≤+⎨≥-⎩. 22．【解析】（1）将1C 化为普通方程为()222x a y a -+=，其极坐标方程为2cos a ρθ=，由题可得当0=θ时，1OA ρ==，∴12a =.(2分) 将2C 化为普通方程为()222x y b b +-=，其极坐标方程为2sin b ρθ=，由题可得当2=πθ时，2,1OB b ρ==∴=.(5分)（2）由,a b 的值可得1C ，2C 的方程分别为cos ρθ=，2sin ρθ=，∴22+OA OA OB⋅22cos 2sin cos sin 2cos 21214πθθθθθθ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，∵52444+，πππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦214πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭1，当2,428+πππθθ==时取到.(10分)。