2014届高考数学(理)一轮复习热点针对训练：第33讲《等差、等比数列的综合应用》 Word版含解析
高考数学理一轮复习 33等比数列课件
例4 已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30, S3m ＝________(m∈N*)．
[分析] a1和q是等比数列的两个基本量．由Sm＝10，S2m ＝30，原则上可以求a1和q，从而求得S3m，但要考虑技巧．
[解析] 解法一：∵Sm＝10，S2m＝30，
∴1－a1q＝－10把1－a1 q整体作为未知元很关键. ∴S3m＝a1(11－－qq3m)＝(－10)×(1－23)＝70. 解法二：∵{an}是等比数列， ∴Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，即 10,20，S3m－30(公比 q≠ －1)仍成等比数列， ∴10·(S3m－30)＝202，S3m－30＝40，∴S3m＝70.
[答案] 70
[规律总结] 运用等比数列性质：Sm，S2m－Sm，S3m－ S2m仍成等比数列，效果显著.
备选例题4 在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和 S99＝56，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．
题型四 思维提示
等差、等比数列的综合问题 等比数列、等差数列的定义及性质
例5 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数 成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数 与第三个数的和是12，求这四个数．
解：(1)证明：由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1) ＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，∴数列{an－n}是首项为1，且公比为4的 等比数列．
题型二 思维提示
等比数列基本量的有关计算 灵活利用定义、公式及其变形
例2 已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8， 求an.
如
果 从第一二项起，后个项与相邻数前项的比 列
是一个确定的常数(不为零)
第33讲 数列模型及应用
第33讲 数列模型及应用【考点解读】1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、解析几何、算法等知识解决一些数列问题.2.掌握与等差数列、等比数列有关的实际应用问题的解法.【知识扫描】1．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2) 建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4) 还原——将所求结果还原到原实际问题中．2、数列实际应用题常见的数学模型(1)复利公式:按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ,存期为x 期，则本利和y = .(2)单利公式:利用按单利计算,本金为a 元,每期利率为r ,存期为x ,则本利和y = . (3)分期付款模型：设贷款总额为a ，年利率为r,等额还款数为b,分n 期还完，则b=【考计点拨】牛刀小试：1．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为14028，则出齐这套书的年份是( D )A ．2007B ．2008C ．2009D ．20102．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟5.在一个凸多边形中，最小内角为120°，各内角度数成等差数列，公差为5°，则这一凸多边形的边数为( A )A.9B.16C.9或16D.9或104．已知三个数a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴公共点的个数为________．答案：05．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率(1).(1)1nn r r a r ++-为________．答案：25%典例分析： 题型一：产值模型，原来产值的基数为N ，平均增长率为P ，对于时间的总产值(1)x y N P =+ 例1．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材的存量，（1）求n a 的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79a ，如果1972a b =，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg 20.3=）解：（1）设第一年的森林的木材存量为1a ，第n 年后的森林的木材存量为n a ，则115(144a ab a b =+-=-， 221555()(1)444a ab a b =-=-+， 32325555()[(1]4444a ab a b =-=-++， ………12*55555()[((1](4[()1]()44444n n n n n n a a a b n N --=-+++=--∈ ． （2）当1972b a =时，有79n a a <得55197(4[()1]44729n n a a a --⨯<即5()54n >， 所以，lg51lg 27.2lg52lg 213lg 2n ->=≈--． 答：经过8年后该地区就开始水土流失．例2．轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的10%，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为5%，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？解：第一个月月底余1(120%)10000(120%)1000010%30010500a =+⨯-+⨯⨯-=元，设第n 个月月底余n a ，第1n +个月月底余1n a +，则1(120%)(120%)10%300 1.08300(1)n n n n a a a a n +=+-+⨯-=-≥，从而有13750 1.08(3750)n n a a +-=-，设13750,6750n n b a b =-=，∴{}n b 是等比数列11 1.08n n b b -=⨯， ∴16750 1.083750n n a -=⨯+，11126750 1.0837*******.6a =⨯+≈，还贷后纯收入为1210000(15%)8988.60a -+=元．题型二：复利公式，按复利计算利息的一种储蓄，本金为a ，每期利率为r,存期为x ，则本利和为(1)xy a r =+例3．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润； 乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． 两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：10101.1 2.594,1.313.796==） 解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和： 10291.311(130%)(130%)(130%)42.621.31-+++++++==- （万元） 到期时银行的本息和为1010(110%)10 2.59425.94⨯+=⨯=（万元）∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.6225.9416.7-≈（万元）乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利： 10(1 5.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502+++++⨯+++⨯== （万元） 贷款的本利和为：109 1.111.1[1(110%)(110%)] 1.117.531.11-+++++=⨯=- （万元） ∴乙方案扣除本息后的净获利为：32.5017.5315.0-=（万元）所以，甲方案的获利较多．例4．(湖南省重点中学2012届高三第一次月考理) (本小题满分13分)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．（1）求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；（2）若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．归纳小结1．解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答；2．在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确；3．在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；4．在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求．。
2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 5.1等差数列与等比数列
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：5.1等差数列与等比数列一、数列的概念与简单表示法（一）由数列的前几项求数列的通项公式 ※相关链接※ 数列的通项公式（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；④各项符特征等，并对此进行归纳、联想。
（2）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决。
（3）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符变化，可用(1)n-或1(1)n +-来调整。
※例题解析※〖例〗写出下列各数列的一个通项公式：1371531(1)4,6,8,10,(2),,,,,2481632210172637(3),1,,,,,3791113(4)3,33,333,3333,---思路解析：由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一。
解答：（1）各项是从4开始的偶数，所以22n a n =+；（2）每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，……，故所求数列的一个通项公式可定为212n n na -=； （3）带有正负，故每项中必须含有一个1(1)n +-这个因式，而后去掉负，观察可得。
将第二项-1写成55-。
分母可化为3，5，7，9，11，13，……为正奇数，而分子可化为12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1，……故其一个通项公式可写为：211(1)21n n n a n ++=-+； （4）将数列各项写为9999999999,,,,3333分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，……，所以1(101)3nn a =- （二）由递推公式求数列通项公式 ※相关链接※1、由1a 和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。
2014届高考一轮复习数学基础知识数列(新人教A版)Word版
高中数学第三章数列考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．§03. 数列知识要点1. ⑴等差、等比数列：⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)①注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.⑷数列{}的前项和与通项的关系：[注]：①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{}前n项和→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；②若等差数列的项数为2，则；③若等差数列的项数为，则，且，.3. 常用公式：①1+2+3 …+n =②③[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…；5，55，555，….4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款： =.⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；为年利率. ()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m mm mm m mr r ar x r r x r a x r x r x r x r a 5. 数列常见的几种形式：⑴（p 、q 为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程（对应，x 对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定. ⑵（P 、r 为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定. ①转化等差，等比：. ②选代法： .③用特征方程求解：. ④由选代法推导结果：. 6. 几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法： 一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证为同一常数。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义6.3等比数列及其前n项和
第3讲 等比数列及其前n 项和【2014年高考会这样考】考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、等比中项的性质与证明．对应学生85考点梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式为a na n －1＝q (n ≥2)，q 为常数．2．等比数列的通项公式(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项公式为a n ＝a 1·q n －1. (2)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m ，(n ，m ∈N *)． 3．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，其前n 项和为 S n ＝⎩⎨⎧na 1(q ＝1)；a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q (q ≠1).4．等比数列及前n 项和的性质 (1)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列． (4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 【助学·微博】 一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n 项和： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ，两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 1(1－q n)1－q(q ≠1)．两个防范(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. (2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误． 四种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列；(2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．注 前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．考点自测1．(2011·辽宁)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )． A ．2 B ．4 C ．8 D ．16解析 由a n a n ＋1＝a 2n q ＝16n＞0知q ＞0，又a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2＝16n ＋116n ＝16，∴q ＝4. 答案 B2．(2012·新课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )．A ．7B ．5C ．－5D ．－7解析 设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎨⎧a 1＝－8，q 3＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，a 10＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.答案 D3．(2013·兰州模拟)在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11＝( )． A ．10 B ．25 C ．50 D ．75解析 因为a 7·a 12＝a 8·a 11＝a 9·a 10＝5，∴a 8a 9a 10a 11＝52＝25. 答案 B4．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( )． A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．1解析 当n ＝1时，a 1＝4＋a ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3·4n －1.当n ＝1时，4＋a ＝3，∴a ＝－1. 答案 B5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．解析 显然公比q ≠1，由题意可知9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和T 5＝3116. 答案 3116对应学生86考向一 等比数列的判定与证明【例1】►(2013·宁波十校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －2n (n ∈N *)．(1)求证：数列{1＋a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设b n ＝a n a n ＋1＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[审题视点] (1)由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为a n 与a n －1的递推关系，再构造数列{1＋a n }；(2)分组后用公式求和．(1)证明 当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3a n －2n －3a n －1＋2(n －1)， 即n ≥2时，a n ＝3a n －1＋2，从而有n ≥2时，a n ＋1＝3(a n －1＋1)．又2a 1＝2S 1＝3a 1－2，得a 1＝2，故a 1＋1＝3≠0， 故数列{1＋a n }是首项为3，公比为3的等比数列， 则a n ＋1＝3×3n －1＝3n ，故a n ＝3n －1. (2)解 b n ＝a n a n ＋1＋1＝3n－13n ＋1＝13－13n ＋1，则T n ＝n 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋133＋134＋…＋13n ＋1＝n 3－132×1－13n1－13＝n 3＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1. 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．【训练1】 (2012·长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． (1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1.当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2 ＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1，∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．考向二 等比数列基本量的求解【例2】►(1)已知{a n }是各项都为正数的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1＝1,5S 2＝S 4，则a 5＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝1，S 8＝17，则数列{a n }的通项公式为________．[审题视点] 建立首项a 1和公比q 的方程组求解． 解析 (1)由题意易得公比q ≠1.由5S 2＝S 4，得5×1－q 21－q ＝1－q 41－q ，解得q ＝2.∴a n ＝2n －1，∴a 5＝24＝16.(2)在等比数列{a n }中，由S 4＝1，S 8＝17，则q ≠1，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1(q 4－1)q －1＝1，a 1(q 8－1)q －1＝17，①②②÷①得q 4＋1＝17，则q 4＝16，∴q ＝2，或q ＝－2.由q ＝2代入①得a 1＝115，由q ＝－2代入①得a 1＝－15，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝115·2n －1或a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15·(－2)n －1. 答案 (1)16 (2)a n ＝115·2n －1或a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15·(－2)n －1对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．(2)在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公比q 是否等于1进行判断和讨论．【训练2】 (2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________. 解析 ∵S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3(a 4－a 2)，∴a 2(q ＋q 2)＝3a 2(q 2－1)，∴q ＝－1(舍去)或q ＝32. 答案 32考向三 等比数列的性质及应用【例3】►(1)等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，前n 项和S n ＝126，则公比q ＝________.(2)等比数列{a n }中，q ＝2，S 99＝77，则a 3＋a 6＋…＋a 99＝________. [审题视点] (1)利用等比数列的性质：“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”； (2)把前99项分三组，再转化为a 3＋a 6＋…＋a 99. 解析 (1)由题知a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝64，a n ＝2.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，n ＝6或⎩⎨⎧q ＝12，n ＝6.(2)∵S 99＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋(a 2＋a 5＋…＋a 98)＋(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 2＋1q ＋1(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝77， ∴a 3＋a 6＋…＋a 99＝44. 答案 (1)2或12 (2)44在解决有关等比数列的计算问题时，要注意挖掘隐含条件，充分利用其性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度．【训练3】(2012·北京东城区一模)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为()．A．－3 B．±3 C．－3 3 D．±3 3解析由等比中项知y2＝3，∴y＝±3，又∵y与－1，－3符号相同，∴y＝－3，y2＝xz，所以xyz＝y3＝－3 3.答案 C对应学生87热点突破13——运用等差(比)数列的性质巧解题【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对等差(比)数列的性质考查每年必考，有的以选择题、填空题出现，难度中等偏下，有的在解答题中出现，常与求通项a n及前n项和S n结合命题，题目难度中等．【真题探究】►(2012·安徽)公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()．A．4 B．5 C．6 D．7[教你审题] 由等比数列的性质可求a7，再由a10＝a7·23求a10.[解法] 由题意可知a3a11＝a27＝16，因为{a n}为正项等比数列，所以a7＝4，所以log2a10＝log2(a7·23)＝log225＝5.[答案] B[反思] 在解答等差(比)数列的基本计算，可利用列方程组解决，但是运算量较大，若利用等差(比)数列的性质解决，大大减少了运算量，同时也降低了出错的概率．【试一试】 在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前87项和S 87＝140，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87等于________． 解析 法一 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝a 3(1＋q 3＋q 6＋…＋q 84)＝a 1q 2·1－(q 3)291－q 3＝q 21＋q ＋q 2·a 1(1－q 87)1－q＝47×140＝80. 法二 设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 85，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 86，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87.因为b 1q ＝b 2，b 1q 2＝b 3，且b 1＋b 2＋b 3＝140， 所以b 1(1＋q ＋q 2)＝140.而1＋q ＋q 2＝7， 所以b 1＝20，b 3＝q 2b 1＝4×20＝80， 即a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝80. 答案 80对应学生277A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝( )． A.116B.18C.14D.12解析 在等比数列{a n }中a 24＝a 3a 5，又a 4＝a 3a 5， 所以a 4＝1，故q ＝12，所以a 7＝18.答案 B2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝ ( )． A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 解析 (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，a 1＝4，q ＝32， ∴a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. 答案 C3．(2013·泰安模拟)已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n＋1，则数列{a n }的公比q ＝( )． A ．2B.12C ．2或12D ．3解析 ∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ， 化简得，2q 2－5q ＋2＝0，由题意知，q >1.∴q ＝2. 答案 A4．(2013·江西盟校二模)在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和．若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝( )． A ．8B ．15(2＋1)C ．15(2－1)D ．15(1－2)解析 ∵a 2a 6＝a 24＝8，∴a 21q 6＝8，∴q ＝2，∴S 8＝1－q 81－q＝15(2＋1)． 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·广州综合测试)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2，若a n ＝64，则n的值为________．解析 因为a n ＝a 1q n －1且a 1＝1，q ＝2，所以64＝26＝1×2n －1，所以n ＝7. 答案 76．(2012·辽宁)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 根据条件求出首项a 1和公比q ，再求通项公式．由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9＞0⇒a 1＞0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10＞0⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .答案 2n三、解答题(共25分)7．(12分)(2013·长春调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列，并写出数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足4b 1－1·4b 2－1·4b 3－1·…·4b n －1＝(a n ＋1)n ，求数列{b n }的前n 项和S n .(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2， ∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＋1＝2n ，可得a n ＝2n －1.(2)解 ∵4b 1－1·4b 2－1·4b 3－1·…·4b n －1＝(a n ＋1)n ，∴4b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －n ＝2n 2，∴2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )－2n ＝n 2，即2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )＝n 2＋2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12n 2＋n .8．(13分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．(1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，①∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12.∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1.∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12.∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·全国)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )．A ．2n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1 解析 当n ＝1时，a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，解得3a n ＝2a n ＋1，∴a n ＋1a n＝32. 又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12，∴a 2a 1＝12， ∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列，∴a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2.∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. 答案 B 2．(2013·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )． A.12 B.32 C ．1 D ．－32解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3. log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．解析 由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝[f (1)]3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴S n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∵n ∈N *，∴12≤S n <1.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 4．(2012·苏州二模)等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 为等比数列；②若a 2＋a 12＝2，则S 13＝13；③S n ＝na n －n (n －1)2d ；④若d >0，则S n 一定有最大值．[来源:学§科§网] 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析 对于①，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d 是一个非零常数，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 是等比数列，①正确．对于②，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 2＋a 12)2＝13，因此②正确．对于③，注意到S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n [a n －(n －1)d ]＋n (n －1)2d＝na n －n (n －1)2d ，因此③正确．对于④，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，d >0时，S n 不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③. 答案 ①②③三、解答题(共25分)5．(12分)(2011·江西)已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{a n}唯一，求a的值．解(1)设数列{a n}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－ 2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝(2＋2)n－1或a n＝(2－2)n－1.(2)设数列{a n}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．由数列{a n}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝1 3.6．(13分)(2012·合肥模拟)数列{a n}的前n项和记为S n，a1＝t，点(S n，a n＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.(1)当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列．(2)在(1)的结论下，设b n＝log4a n＋1，c n＝a n＋b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n.解(1)∵点(S n，a n＋1)在直线y＝3x＋1上，∴a n＋1＝3S n＋1，a n＝3S n－1＋1(n>1，且n∈N*)．∴a n＋1－a n＝3(S n－S n－1)＝3a n，∴a n＋1＝4a n(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{a n}是等比数列．(2)在(1)的结论下，a n＋1＝4a n，a n＋1＝4n，b n＝log4a n＋1＝n，c n＝a n＋b n＝4n－1＋n，∴T n＝c1＋c2＋…＋c n＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝4n－13＋(1＋n)n2.。
【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)等比数列及其前n项和教学案
等比数列及其前n 项和[知识能否忆起]1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r .特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)；a n ＝a m q n －m .[小题能否全取]1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2， 故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.4．(2011·高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝121－2n1－2＝2n －1－12.答案：2 2n －1－125．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－2 1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 2．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．等比数列的判定与证明典题导入[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设＝a n －1，求证：{}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又＝a n －1，故{}是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴a n ＝＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．以题试法1． (2012·某某模拟)已知函数f (x )＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }( )A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列 解析：选A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2，得log aa n ＋1a n ＝2＝log a a 2，故a n ＋1a n＝a 2.又a >0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列．等比数列的基本运算典题导入[例2] (2011·全国高考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .[自主解答] 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n－1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．(2012·某某适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)． 因为a 2，a 4，a 8成等比数列， 所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )， 解得d ＝2.所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝32＋34＋…＋32n ＝91－9n1－9＝98(9n－1)．等比数列的性质典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32 C ．1 D ．－32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4 D ．1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3.log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74 ＝7log 33π3＝7π3，故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.[答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·某某模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n) 解析：(1)选D 法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.则⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)选C ∵a2＝2，a5＝14，∴a1＝4，q＝12，a n a n＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫122n－5.故a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝8⎝⎛⎭⎪⎫1－14n1－14＝323(1－4－n)．1．设数列{a n}是等比数列，前n项和为S n，若S3＝3a3，则公比q为( )A．－12B．1C．－12或1 D.14解析：选C 当q＝1时，满足S3＝3a1＝3a3.当q≠1时，S3＝a11－q31－q＝a1(1＋q＋q2)＝3a1q2，解得q＝－12，综上q＝－12或q＝1.2．(2012·东城模拟)设数列{a n}满足：2a n＝a n＋1(a n≠0)(n∈N*)，且前n项和为S n，则S4a2的值为( )A.152B.154C．4 D．2解析：选A 由题意知，数列{a n}是以2为公比的等比数列，故S4a2＝a11－241－2a1×2＝152.3．(2012·某某高考)公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝( )A．4 B．5C．6 D．7解析：选B ∵a3·a11＝16，∴a27＝16.又∵等比数列{a n}的各项都是正数，∴a7＝4.又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5.4．已知数列{a n}，则“a n，a n＋1，a n＋2(n∈N*)成等比数列”是“a2n＋1＝a n a n＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…5．(2013·某某模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)， 同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n ＝( )A.32B.32或23 C.23D ．以上都不对 解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23. 7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16. 答案：168．(2012·某某高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q ＝1－－253＝11.答案：119．(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________.解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，故a n ＝a 12n －1＝2n ，∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 答案：2 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n1－4＝24n－13.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n－13＝22n ＋1＋13. 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1.当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 11－3n1－3＝12a 1·3n－12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．12． (2012·某某高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 由T 5＝105，a 10＝2a 5， 得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 11－q m 1－q ＝7×1－49m 1－49＝7×72m －148＝72m ＋1－748.1．若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n＝p (p 为正常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为“等方比数列”．甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若a 2n ＋1a 2n ＝p ，则a n ＋1a n ＝±p ，不是定值；若a n ＋1a n ＝q ，则a 2n ＋1a 2n＝q 2，且q 2为正常数，故甲是乙的必要不充分条件．2．(2012·某某高考)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析：法一：S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2，将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得， 3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去)．法二：设等比数列{a n }的首项为a 1，由S 2＝3a 2＋2，得 a 1(1＋q )＝3a 1q ＋2.①由S 4＝3a 4＋2，得a 1(1＋q )(1＋q 2)＝3a 1q 3＋2.② 由②－①得a 1q 2(1＋q )＝3a 1q (q 2－1)．∵q >0，∴q ＝32.答案：323．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)，n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1. 可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.1．(2012·大纲全国卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝()A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1 解析：选B ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴3a n ＝2a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝32. 又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12，∴a 2a 1＝12， ∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. ( 也可以先求出n ≥2时，a n ＝3n －22n －1，再利用S n ＝2a n ＋1，求得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 ) 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12. (2)由(1)可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3. 故a 1＝4，从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . 3．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{}对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋b n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013. 解：(1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．∵d >0， 故解得d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1. 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋b n＝a n ＋1得 当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋－1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝2. ∴＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)． 又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.。
2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 5.2数列综合应用
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：5.2数列综合应用一、数列求和 （一）分组转化求和 ※相关链接※1、数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之；2、常见类型及方法(1)a n ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解； (2)a n ＝a ·q n －1，利用等比数列前n 项和公式直接求解；(3)a n ＝b n ±c n 或⎧=⎨⎩n n n b n a c n 为奇数，为偶数数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{a n }的前n 项和.注：应用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值。
※ 例题解析※ ※【例】(1)已知数列: ,(),(),,(),,-+++⋯+++⋯+⋯n 11111111111224242则其前n 项和S n =__________ (2)已知+⎧⎪=⎨⎪⎩n n 25n 1n a 2n 为奇数为偶数①求数列{a n }的前10项和S 10; ②求数列{a n }的前2k 项和S 2k .【方法诠释】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组求和.(2)把奇数项和偶数项分开求和.解析：(1)∵(),---=+++⋯+==--nn n 1n 11111112a 121242212().---∴=-+++⋯+=-=-+-n n 2n 1n 11111112S 2n 12n 2n 21222212答案: --+n 112n 22(2)①S 10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)()().+-=+=-55646212192212②由题意知,数列{a n }的前2k 项中,k 个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k 个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列.∴S 2k =［6+16+…+(10k-4)］+(2+22+…+2k )()().++--=+=++--k 2k 1k 610k 42125k k 22212［］（二）错位相减法求和 ※相关链接※1、一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法；2、用错位相减法求和时，应注意（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出的n S -nqS 的表达式。
【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件：6.2 等差数列
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【解】 ( 方法一: 1) 设首项为 a1, 公差为 d, 由条件得 33 = ������1 + 14d, 解方程组得 ������1 = -23, 153 = ������1 + 44d, ������ = 4. 故 a61=-23+( 61-1) ×4=217. 方法二: d= 由
������������ -������������ , 得 ������-������
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3.已知{an}为等差数列, 2+a8=12, a5 等于( a 则 A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】 C 【解析】 ∵ 2+a8=2a5=12, a5=6. a ∴
)
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4.等差数列{an}的前 m 项和为 30, 2m 项和为 100, 前 则它的前 3m 项 和为( ) A.130 B.170 C.210 D.260 【答案】 C 【解析】 方法一: 依据题设和前 n 项和公式有
������(3������-1) + d 2
①
=210.
方法二: 在等差数列中, m, 2m-Sm, 3m-S2m 成等差数列, ∵ S S S ∴ 70, 3m-100 成等差数列. 30, S 故 2×70=30+S3m-100, S3m=210. 即
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5.在数列{an}中, 1=15, n+1=3an-2( a 3a n∈N*)则该数列中乘积是负值的 , 相邻两项为 . 【答案】 第 23 项与第 24 项 【解析】 ∵ 由已知可得 an+1-an=-3, 1=15, a
������+������ . 2
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【高考四元聚焦】高三数学一轮复习 第33讲 等差、等比数列的综合应用对点训练 理
第33讲 等差、等比数列的综合应用1.(2012·三明市上学期联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2、a 4是方程x 2－x－2＝0的两个根，S 5＝( A )A.52B ．5C ．－52D ．－5 解析：a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个根，a 2＋a 4＝1，S 5＝a 1＋a 52＝52，故选A. 2.(2013·石家庄市质检)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值( D )A ．16B ．32C ．48D ．64解析：等比数列{a n }，a 1·a 9＝a 2·a 8＝a 25＝16，各项均为正数，所以a 5＝4，所以a 2·a 3·a 8＝a 35＝43＝64，即a 2·a 5·a 8的值为64，故选D.3.(2012·山西省大同市高三学情调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( D )A ．9B ．16C ．36D ．45解析：由等差数列的性质可知a 7＋a 8＋a 9＝2(S 6－S 3)－S 3＝2×27－9＝45，故选D.4.(2013·长春市调研测试)等差数列{a n }的公差为3，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 4＝( C )A ．8B ．10C ．12D ．16解析：令首项为a ，根据条件有(a ＋9)2＝(a ＋3)(a ＋21)⇒a ＝3，a 4＝3＋3×3＝12，故选C.5.(2013·湖南省长沙市第二次模拟)在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝ 240 .解析：由等比数列性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，由已知条件知公比为2，所以a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)·q 3＝30×23＝240.6.(2012·温州十校联合体期末联考)已知1，a 1，a 2,9成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，且a 1，a 2，b 1，b 2，b 3都是实数，则(a 2－a 1)b 2＝ 8 .解析：由1，a 1，a 2,9成等差数列，可得a 2－a 1＝83， 由1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，可得b 2＞0，且b 2＝3，所以(a 2－a 1)b 2＝8.7.(2012·浙江杭州市七校联考)已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11＝ 12. 解析：由等差数列的性质知1a 3＋1，1a 7＋1，1a 11＋1成等差数列， 则2a 7＋1＝1a 3＋1＋1a 11＋1， 即21＋1＝12＋1＋1a 11＋1，解得a 11＝12.8.(2012·金华十校期末联考)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前三项．(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；(2)记为数列{a n b n }的前n 项和为K n ，设c n ＝S n T n K n ，求证：c n ＋1＞c n (n ∈N *)． 解析：(1)设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝14a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a 1＝2，所以a n ＝n ＋1，S n ＝n n ＋2，b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2. (2)因为K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ，①故2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，②①－②，得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1，所以K n ＝n ·2n ＋1，则c n ＝S n T n K n ＝n ＋n －2n ＋1， c n ＋1－c n ＝n ＋n ＋1－2n ＋2－n ＋n －2n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2＞0， 所以c n ＋1＞c n (n ∈N *)．9.等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝n 2＋n ＋1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前99项的和． 解析：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)．因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 23＝a 1a 9，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，所以d 2＝a 1d .因为d >0，所以a 1＝d .①因为S 5＝a 25，所以5a 1＋5×42·d ＝(a 1＋4d )2.② 由①②解得a 1＝d ＝35. 所以a n ＝35＋(n －1)×35＝35n (n ∈N *)． (2)b n ＝n 2＋n ＋135n ·35n ＋＝259·n 2＋n ＋1n n ＋ ＝259(1＋1n －1n ＋1)． 所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 99＝259(1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋199－1100) ＝259(99＋1－1100) ＝275＋2.75＝277.75.。
2014届高三一轮数学(理)复习第33讲等差、等比数列的综合应用
【拓展演练 3】 已知数列{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1、a3、a2 成等 差数列． (1)求公比 q 的值； (2)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，其前 n 项 和为 Sn.当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的大小，并说明理由．
解析：(1)由题设 2a3＝a1＋a2，即 2a1q2＝a1＋a1q. 1 2 因为 a1≠0，所以 2q －q－1＝0，所以 q＝1 或－ . 2 nn－1 n2＋3n (2)若 q＝1，则 Sn＝2n＋ · 1＝ . 2 2 n－1n＋2 当 n≥2 时，Sn－bn＝Sn－1＝ >0，故 Sn>bn. 2 nn－1 －n2＋9n 1 1 若 q＝－ ，则 Sn＝2n＋ ×(－ )＝ . 2 2 2 4 n－1n－10 当 n≥2 时，Sn－bn＝Sn－1＝－ . 4 故对于 n∈N＋， 当 2≤n≤9 时，Sn>bn； n＝10 时， n＝bn； n≥11 时， 当 S 当 Sn<bn.
解析：(1)由 S4＝4S2，a2n＝2an＋1，{an}为等差数列， 可得 a1＝1，d＝2. 所以 an＝2n－1. an＋1 (2)由 Tn＋ n ＝λ，可得 b1＝λ－1. 2 2n－1 2n Tn＋ n ＝λ，Tn－1＋ n－1 ＝λ(n≥2)， 2 2 n－2 两式相减可得，当 n≥2 时，bn＝ n－1 ， 2 n－1 所以当 λ＝0 时，cn＝b2n＝ n－1 (n∈N*)， 4
【拓展演练 1】 (1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27， 则数列{an}的前 9 项之和 S9＝( A．66 C．144 ) B．99 D．297
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差 d<0，满足 S12>0，S13<0，求 Sn 达到最大值时对应的项数 n 的值．
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第33讲 等差、等比数列的综合应用
1.(2013·三明市上学期联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个根，S 5＝( A )
A.52
B ．5
C ．－52
D ．－5 解析：a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个根，a 2＋a 4＝1，S 5＝(a 1＋a 5)×52＝52
，故选A. 2.(2013·石家庄市质检)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值( D )
A ．16
B ．32
C ．48
D ．64
解析：等比数列{a n }，a 1·a 9＝a 2·a 8＝a 25＝16，各项均为正数，所以a 5＝4，所以a 2·a 3·a 8＝a 35＝43＝64，即a 2·a 5·a 8的值为64，故选D.
3.(2012·山西省大同市高三学情调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( D )
A ．9
B ．16
C ．36
D ．45
解析：由等差数列的性质可知a 7＋a 8＋a 9＝2(S 6－S 3)－S 3＝2×27－9＝45，故选D.
4.(2013·长春市调研测试)等差数列{a n }的公差为3，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 4＝( C )
A ．8
B ．10
C ．12
D ．16
解析：令首项为a ，
根据条件有(a ＋9)2＝(a ＋3)(a ＋21)⇒a ＝3，
a 4＝3＋3×3＝12，故选C.
5.(2013·湖南省长沙市第二次模拟)在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝ 240 .
解析：由等比数列性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，由已知条件知公比为2，
所以a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)·q 3＝30×23＝240.
6.(2012·温州十校联合体期末联考)已知1，a 1，a 2,9成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，且a 1，a 2，b 1，b 2，b 3都是实数，则(a 2－a 1)b 2＝ 8 .
解析：由1，a 1，a 2,9成等差数列，可得a 2－a 1＝83
， 由1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，
可得b 2＞0，且b 2＝3，所以(a 2－a 1)b 2＝8.
7.(2012·浙江杭州市七校联考)已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1
}为等差数列，则a 11＝ 12
. 解析：由等差数列的性质知1a 3＋1，1a 7＋1，1a 11＋1
成等差数列， 则2a 7＋1＝1a 3＋1＋1a 11＋1
， 即21＋1＝12＋1＋1a 11＋1
，解得a 11＝12. 8.(2012·金华十校期末联考)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前三项．
(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；
(2)记为数列{a n b n }的前n 项和为K n ，设c n ＝S n T n K n
，求证：c n ＋1＞c n (n ∈N *)．
解析：(1)设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧
4a 1＋6d ＝14(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a 1＝2，
所以a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2
，b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2. (2)因为K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ，①
故2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，②
①－②，得
－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1，
所以K n ＝n ·2n ＋1，则c n ＝S n T n K n ＝(n ＋3)(2n －1)2n ＋1
， c n ＋1－c n ＝(n ＋4)(2n ＋1－1)2n ＋2－(n ＋3)(2n －1)2n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2
＞0， 所以c n ＋1＞c n (n ∈N *)．
9.等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＝n 2＋n ＋1a n ·a n ＋1
，求数列{b n }的前99项的和． 解析：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)．
因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 23＝a 1a 9，
所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，所以d 2＝a 1d .
因为d >0，所以a 1＝d .①
因为S 5＝a 25，所以5a 1＋5×42
·d ＝(a 1＋4d )2.② 由①②解得a 1＝d ＝35
. 所以a n ＝35＋(n －1)×35＝35
n (n ∈N *)． (2)b n ＝n 2＋n ＋135n ·35
(n ＋1) ＝259·n 2＋n ＋1n (n ＋1)
＝259(1＋1n －1n ＋1
)． 所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 99
＝259(1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋199－1100
) ＝259(99＋1－1100
) ＝275＋2.75＝277.75.。