浅谈常微分方程奇解与包络
微分方程中包络的定义及求奇解时必须注意的一个问题
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孔志宏
组求 c—判别曲线之前必须补充定义函数值：x = c 时，y = 0 。 否则 y = 0 与积分曲线族(10) (其中，x > c ， 从而 y > 0 )没有公共点！谈何相切？ 例 4 判断方程
Φ′ − cos ( x − c ) 。 已 知 y = 1 是 方 程 的 解 ， 而 在 通 解 中 当 x − c → c ( x, y , c ) =
π− 时 y →1 ， 补 充 定 义 2
π yc + = 1 ；同理，补充定义 2
π yc − = −1 ，解方程组(c—判别式) 2
Keywords
Envelope, Tangent, Singular Solution, Supplement Function Value
微分方程中包络的定义及求奇解时必须注意的 一个问题
孔志宏
太原师范学院数学系，山西 晋中
收稿日期：2017年6月18日；录用日期：2017年7月3日；发布日期：2017年7月10日
y = 0.
)
(3)
及
= y
1 2 ( x − c) , 4
(4)
272
孔志宏
还有一个特解为 y = 0 。
x 对积分曲线族(3)由于 Φ′ y c = e ≠ 0 ，所以(3)没有包络。对积分曲线族(4)， Φ ( x, y , c ) =−
1 2 ( x − c) ， 4
Φ′ 2 ( x c ) 。c—判别式为 c ( x, y , c ) =−
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常微分方程的奇解的求法
2011届本科毕业论文常微分方程的奇解的求法学院：数学科学学院专业班级：数学07-4（实验）班学生姓名：哈丽古丽.穆塔力菩指导教师：伊里夏提答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务目录1 引言 (1)2 奇解的定义 (1)3 不存在奇解的判别法 (1)4 自然法 (2)5 拾遗法 (2)6 包络线及奇解的求法 (2)6.2 C-判别曲线 (3)6.3 P-判别曲线 (5)6.4 C-P判别法 (7)总结 (8)参考文献 (1)致谢 (2)常微分方程的奇解的求法摘要：该文章我们主要讨论的是常微分方程奇解的求法。
一个常微分方程有没有它的奇解，有了奇解怎么求是该文章的主要目的。
在这里我们讨论不存在奇解的判别法。
如果方程有了它的奇解，一般有五种方法可以求它的奇解，即自然法，拾遗法，C -判别曲线(C-消去法)，P-判别曲线（P-消去法），C-P判别法。
我们最常用的，方便的方法是后面的三个，在这里对这三个方法进行详细的讨论。
关键词：奇解，判别式，包络线。
1 引言我们看到对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族。
但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。
在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。
在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。
若一个微分方程它有奇解，那我们怎么求它的奇解是该文章主要讨论的问题。
2 奇解的定义定义 如果方程存在某一节，在它所对应的积分曲线上每一点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。
奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。
3 不存在奇解的判别法每一个微分方程都有它的奇解吗？答案是：不一定。
那我们怎么知道，微分方程有没有它的奇解呢？下面我们介绍不存在奇解的两种判别法。
方法1 假设方程(,)dyf x y dx= （1） 的右端函数2),(R D y x f ⊆在区域上有定义，如果),(y x f 在D 上连续且),(y x f y '在D 上有界（或连续），那么由解的存在唯一性定理，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。
包络和奇解
曲线族包络的求法： 曲线族包络的求法：
Φ( x , y , c ) = 0 ' Φc ( x, y, c ) = 0
Φ( x, y, c) = 0,
(2.10)
曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程 曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程 (2.10)
( 2.11)
消去参数c而得到的曲线F ( x, y ) = 0之中,
包络和奇解定义对某些常微分方程存在着一条特殊的积分曲线他不属于这方程的积分曲线族但是在这条特殊的曲线上的每一点处都有积分曲线族中的一条曲线和他在此相切在几何学上这条特殊的积分曲线称为积分曲线族的包络
包络和奇解的MATLAB做法 做法 包络和奇解的
10073211 张丽萍
• 1.包络和奇解定义 包络和奇解定义 对某些常微分方程， 对某些常微分方程，存在着一条特殊的积分曲 他不属于这方程的积分曲线族，但是， 线，他不属于这方程的积分曲线族，但是，在这 条特殊的曲线上的每一点处， 条特殊的曲线上的每一点处，都有积分曲线族中 的一条曲线和他在此相切，在几何学上， 的一条曲线和他在此相切，在几何学上，这条特 殊的积分曲线称为积分曲线族的包络。 殊的积分曲线称为积分曲线族的包络。在微分方 程里， 程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为该方 程的奇解。 程的奇解。 一阶微分方程的通解的包络一定是奇解（ 一阶微分方程的通解的包络一定是奇解（如果 存在的话），反之，微分方程的奇解（ ），反之 存在的话），反之，微分方程的奇解（如果存在 的话）一定是微分方程通解的包络。因此， 的话）一定是微分方程通解的包络。因此，为了 求微分方程的奇解，要先求出它的通解， 求微分方程的奇解，要先求出它的通解，然后求 通解的包络。 通解的包络。
具体m文件如下： 具体 文件如下： 文件如下 clear hold on x=-300:0.1:300; for c=-100:17:100 y1=c*(x+1)+c.^2; plot(x,y1, ‘r') end • hold on • y=-1/4*(x+1).^2; • • • •
试论常微分方程的奇解
试论常微分方程的奇解摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法.关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.Discussing Singular Solution about First OrderDifferential EquationZHU Yong-wang(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor LI Jian-minAbstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has specialsolution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method(Whilewhether the two judgments can be applied to get every singularsolution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples(Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-Pelimination method, The supplement method, Natural method.1(引言一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络和欧拉对奇解作了某些讨论,得出了P,判别式求奇解的方法.拉格朗日对奇解和通解的联系作了系统的研究,给出C,判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一几何解释.2(奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出近几年许多学者对常微分方程这方面特别关注,在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表,由此可见,人们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定义:微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在,也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.,包络的定义:设在平面上有一条连续可微的曲线,.在曲线族q,,**,KCKCq中都有一条曲线通过点并在该点与相切,而且在VxyC,,0,，，，，，，,,q点的某一邻域内不同与,则称曲线为曲线族的一支包VxyC,,0,，，络.从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络(如果它存在的话)一定是奇解;反之,微分方程的奇解(若存在的话)也是微分方程的通解的包络.因而,为了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包络.对于一阶微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,则此奇解一定满足两个判别式,即P,判别式和C,判别式.1,,1定理:设函数F(x,y,p)对(x,y,p)G,是连续的,而且对y和p有连续的偏微'''Fxyy(,,)0,商和,若函数y= (x) (xJ),,是微分方程的一个奇解,并且FFyp 'x. (x). (x)G (xJ),,,,,则奇解y=(x)满足一个称之为P-判别式的联立方程，，'Fxyp(,,)0,py, , 其中. Fxyp,,0,，，p1,,'2Fxyy(,,)0,定理:设微分方程有通积分Vxyc(,,)0,又设积分曲线Vxyc(,,)0,y= (x),有包络为则奇解满足C,判别式的联y= (x) xJ,,，，'立方程 ,. Vxyc(,,)0,Vxyc(,,)0,c以上两个定理是奇解的必要条件,也就是说用C,判别式和P,判别式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一阶微分方程的奇解时通常都会采用这两个判别式.由中奇解部分的定理2和定理51,, 知,只要求解是微分方程的解,用P,判别式求出的解满足:',Fxyp(,,)0,y, , ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C-判别式求出的解满足非蜕化条件:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，, , ,''VV,0,0,，，，，,xy,则此解就是奇解,既然C,判别式和P,判别式是求奇解的方法,那么是不是这两个判别式(C,判别式和P,判别式)对所有一阶微分方程求奇解都有效? 3(几个例子利用P,判别式和C,判别式对一些一阶微分方程进行求解的运算,看看会出现什么样的结果?2'yyx，,,0【例1】: 求的奇解，，'yp, 解: 令,利用P,判别式:2,pyx，,,0; ,20p,,yx,yx,消去P得,但不是微分方程的解, 所以原方程无奇解.我们可以发现利用P,判别式求出的解不一定是奇解.那么利用C,判别式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我们接着看下一个例子.2,3'3,yy【例2】: 求的奇解. 535解:原方程的通解为:yxc,，，，C,判别式为:3,5yxc,，,0，，, ; ,23,3,xc，,0，，5,消去C得y=0,但不是方程的解,所以原方程无奇解. y=0以上两个例子充分说明了C,判别式和P,判别式是求奇解的必要条件.2xy'，，yyye,,1【例3】: 求微分方程的奇解. ，，，，解: 原方程的P,判别式为:2xy2,ypye,,,10，，, ; ,2210py,,，，,,消去P得 y=0易知是微分方程的解. y=0而且:',Fxyp(,,)10,,,y, ,''Fxyp(,,)20,,,pp,所以y=0是微分方程的奇解.1,,24'，，【例4】: 求. yyy,,1，，，，9解: 首先我们不难求出微分方程的通积分:22xcyy,,,,30 (),，，，，由C,判别式:22,xcyy,,,,30，，，，,(其中C为任意常数) ,,,,20xc，，,,确定二支连续可微的曲线y,0和y,3,对他们分别作如下形式的参数表示式:,y,0 :xc, ,,,,,c，，1,y,3 : xc, ,,,,,c，，2,容易验证满足相应的非蜕化条件: 1'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,, ,''VV,0,0,，，，，,xy,,因此是积分曲线族的一支包络,从而它是微分方程的奇解. (),1,,而不满足相应的非蜕化条件,所以还不能断言是否为包络,不过我们22(),,可以利用简单的作图得知不是曲线族的包络,因此它不是奇解,虽然它是2 微分方程的解.从例3、例4两题中,可以发现,如果利用P,判别式来求奇解可以直接从方程出发,而如果要用C,判别式需要求出通解,但是无论用哪一判别式要使求得的解为奇解,则此解一定满足:用P,判别式时满足:',Fxyp(,,)0,y,; ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C,判别式时满足:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,. ,''VV,0,0,，，，，,xy,对于一些微分方程既能用P,判别式又能用C,判别式求奇解,我们接着看一道例题.5,,2dydy,,，,,xy0【例5】: 求的奇解( ,,dxdx,,dy解: 法一:令,则P-判别式: ,pdx2,pxpy，,,0 ; ,20px，,,2xy,,消去P得. 42ycxc,，法二:方程的通解为C,判别式:2,ycxc,,,0 ; ,xc，,20,2x消去C得y,,,满足非蜕化条件: 4'',,,CC,2,20,0,,,，，，，，，，，，，, ,''VVc,,10,0,,,，，，，，，,x y,2xy,,所以是奇解. 4由例5知:既然某些一阶微分方程既可用P,判别式来求奇解又可用C,判别式求奇解.那么能否将P,判别式和C,判别式联合起来求奇解呢? 4(新判别法在我们的教材和资料中我们通常采用P,判别式和C,判别式来求一阶微分方程的奇解,然而对于某些问题,P,判别式和C,判别式这两种方法求奇解比较困难.因此还有其他方法来求奇解,这些新方法用起来比较方便,通过查阅资料和文献,人们对新解法研究的比较少,在此介绍三种新的解法,方便对一阶微分方程求奇解.4.1. C,P消去法9,,2348''【例6】: 求的奇解. xyyy,,,，，，，927'yp,解: 令P,判别式:48,23xypp,,,,,927; ,82,pp,,0，，,9,消去P得:4yx,及 yx,,27方程的通解为:23ycxc,,, ，，，，C,判别式:23,ycxc,,,,0，，，，,; ,2230ycxc,,,,，，，，,,44消去C得.则为奇解. yx,,yx,,2727例6中介绍了一种新方法, C,P消去法::联合P-判别式和C-判别式,从P,判别式得到解和从P,判定义,xy,0,，，中寻得公共单因式,令其为零,一般就是奇解. 别式得到解,xy,0,，，4,,yxyx,,，,0在例6中,由P,判别式得到,由C,判别式得到，，,,27,,444,它们的公共单因式为,令其为零,即. yx,,yx,，,0yx,，,02727272xpxpy，,,20【例7】: 求的奇解.2xpxpy，,,20解: 从和中消去P得:y=-x 220xpx，,2yxpxp,，2再求通解,将方程写成112dxdypdypxdppdxxdp,,，，，(222) ppdxdp,,即 2xp2()4ycxc,,通积分为:从2()4ycxc,,,,,2()4ycc和中消去C得:yx,, 及 x,0yx,,按C,P消去法知是奇解.就特殊方程:dy ,fxy,，，dx假设连续.给出以下两种特殊的求奇解的方法.即自然法和拾遗法. fxy,，，6,,4.2. 自然法,,,f定义:当点集L,不是孤立点集,而是有分支时,则 yx,,(,)|xy,,，，,,,y,, 可能是奇解. yx,,，，,fdydy对于当连续,则只要有界,就能保证的,fxy,fxy,,fxy,，，，，，，,ydxdx,f解存在唯一,所以当时,他就可能破坏了解的唯一性. ,，,,y'2,yy,,1【例8】: 求 (|y|1)的奇解.,,fy2fxyy,1,,, 解: ，，2,y1,y,f当y,,1时, ,，,,y所以可能破坏解的唯一性,它可能是奇解. y,,1验证: (1) 显然是方程的解. y,,1,, (2) 由分离变量法求得通解是:yxc,，sin() (),,，,xc22,在y,1上任取一点通解表达式中有解 x,1yxxxx,，,,,sin()cos()，，0002 'y,0通过点且其上导数 ,即此解与y,1相切,故y,1是奇解. x,1，，0同理:y,,1也是方程的奇解.7,,4.3. 拾遗法dy定义:当方程在求通积分的过程中,经常遇到分离变量,方程两边,fxy,，，dx 需要同时除以不含导数的因式,则令这个因式等于零,可能得到奇解.因为方程两边同时除以含有x、y的因式时,原方程可能遗失了解,当然有可能遗失了方程的奇解.2x,1【例9】: 求的奇解. xxdydx10,,,，，2解: 除以因式得: xx1,dx dy,2xx1,积分后得通解:xyc,，ln|| 211，,x2但令消去因子为零,即得; xx10,,x,0x,,1验证: (1) 它们都是方程的解;xlimln||,,,(2) 有 2x,011，,xxxlimln||limln||0,, 22xx,,11,，1111，,，,xx前者说明通解表达式中没有解与相交; x,0后者说明通解表达式中有解与.相交,且从方程本身看出交点上的斜率x,,1'y,,,都是因此得结论:是正常解,是奇解. x,0x,,15(结论以上五种是判定奇解的方法,都需验证所得曲线是否真是奇解,这个验证步骤有时比较麻烦,若C,判别式和P,判别式容易求得时,,xy,0,,xy,0,，，，，方法C,P 削去法常是可取的.从以上的几个例子中,在利用两个判别式求一阶微分方程的奇解时,会出现以下几种情况:(1) P,判别式和C,判别式均可用来求奇解;(2) P,判别式与C,判别式联合可求方程的奇解;(3) 当一阶微分方程的一阶导数的次数为一次时,P,判别式不可求奇解,但C,判别式未必失效;(4) 当一阶微分方程的通解中常数C的次数为一次时,C,判别式不可求奇解,并且导致P,判别式也不可求奇解,此时只能另找他法.参考文献丁同仁、李承志.常微分方程教程.高等教育出版社,1991年. 1M,,,,钱祥征.常微分方程解题方法.湖南科学技术出版社,1984年. 2M,,,,王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松.常微分方程.高等教育出版,1978年 .3M,,,,何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记.内江师范高等专科学校学4J,,,,报,2000年第15卷第2期:1,3.路畅、智婕.一阶微分方程奇解的两个判别式.科学教育论坛,2005年第5J,,,,24期:207,211.张维琪.浅谈奇解的求法.吉安师专学报,1989年第6期:5,10. 6J,,,,谷丽彦.微分方程奇解的求法及存在性的条件.河北师范学院学,1993年7J,,,,第3期:27,31.曾庆健.一类常微分方程奇解的求法.安徽电子信息职业技术学院学报 8J,,,, 2004第5、6期第225页.张少霞.常微分方程奇解的讨论J.工科数,第13卷第4期,1997年8月:1339,,,,,136.。
常微分方程 奇解与包络
y
c0
从图形可以看到，有无数 条积分曲线过初始点。
0
1
2
x
例2：求方程 dy 2 1 y dx 的所有解。
§2.4 singularly solution
解：该方程有通解 y sin( x c) 此外还有两个特解y=1和y=-1
§2.4 singularly solution
y
x
§2.4 singularly solution
定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应 的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏， 则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积 分曲线称为奇积分曲线
§2.4 singularly solution
一 包络和奇解的定义 曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包
§2.4 singularly solution
例1
dy 2 y dx y (0) 0
解： 容易看到 y=0是解，并且满足给定的初始条件
由
得通解
dy dx 2 y y x c y ( x c )2 , xc
利用通解和特解可以构造解：
xc 0, y 2 ( x c ) , xc
注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族:
§2.4 singularly solution
x y c
2 2
2
(其中c为参数)表示一族同心圆. 如图
从图形可见, 此曲线族没有包络.
二、不存在奇解的判别法
•假设方程(1.9)的右端函数
上有定义，如果
§2.4 singularly solution
x
o
§2.4 singularly solution
常微分方程课件奇解和包络.ppt
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样. 易验证, 此参数曲线恰为通解的包络 结果: Clairaut方程
dy dy y x f dx dx
此直线族的包络
的通解
y cx f( c )是一直线族,
或
x f '(p) 0 y xp f (p)
x f '(c) 0 y xc f (c)
是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解.
例4: 解:
求解方程
1 y xy' . y'
其中
这是Clairaut方程,
因而它有通解: 因为
f (c) , 所以 c 1 x 2 0 从 c 1 y cx c
注:
p 判别曲线是否为方程的 奇解 , 尚需进一步 .
例3:
解:
dy 2 求微分方程 y 10 dx p2 y2 1 0, 从 2p 0.
消去p(实际上p=0), 得到p-判别曲线 即
2
的奇解.
y 2 1,
y 1.
y sin( x c ), c 为任常数
现在l 上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 l c 上. 由于
l与 l c
在M点有相同的切线, 而
l 与 lc
3-26 - 奇解、克莱罗方程、包络
3.3奇解和包络(Singular solution of ODE and envelop of curve family)
[教学内容]1.介绍微分方程奇解的概念;2.介绍曲线族包络的概念;3.介绍求解微分方程奇解的方法;4.介绍寻找曲线族包络的方法；5.复习克莱罗方程.
[教学重难点]重点是知道并会运用微分方程奇解的必要条件来寻找微分方程的奇解；难点是如何验证由奇解必要条件获得函数是微分方程的奇解
[教学方法]预习1、2、3；讲授1、2、3
[考核目标]
1.微分方程奇解的概念;
2.知道曲线族包络的概念;
3.求解微分方程奇解的方法;
4.知道寻找曲线族包络的方法;
5.认识克莱罗方程并会求解.
1.微分方程奇解和曲线族包络的概念
2.包络和奇解的寻找。
常微分第三章第4节(奇解)
y cx f (c)
' x f ( p) 0 ' 如果 x f ( p) 0，则 y xp f ( p) 消去 p 得到方程的另一个解。
这里
c 是任意常数。
25
注意，求得此解的过程正好与从通解
y cx f (c)
可以验证，此解的确是通解 中求包络的过程一样。 的包络。
注1：包络一定包含在 c-判别曲线中。 注2：c-判别曲线不一定为包络。
2 充分但不必要。 2 x y 0
15
C 判别曲线法求方程奇解的一般步骤： （1）求出方程的通解（积分曲线族）； （2）求积分曲线族的 c 判别曲线；
（3）检验 c 判别曲线是否为包络，若是，则 为方程的奇解。
16
y 1
其中
容易求得原方程的通解为 y sin( x c)
c 为任意常数。而 y 1 是通解的包络。
所以此两直线都是方程的奇解。
22
例4
求方程
dy dy 2 y 2x ( ) 的奇解。 dx dx
y 2 xp p 2 解 从 2 x 2 p 0
消去
这是克莱罗方程，因而它的通解是 1 y cx c 1
27
y2 4x
O
图(3.5)
28
例6
求一曲线,使在其上每一点的切线截割坐
标轴而成的直角三角形的面积都等于2 。 y A
O 图(3.6)
B
x
29
依题意有ab 4，而
dy 2 dy 得 ( y x ) 4 dx dx
现在求曲线族的包络，亦即微分方程的奇解。
30
y 2c c 2 x 从 中消去 c 得微分方程的奇解 1 cx 0
21常微分方程的几何解释
绵阳师范学院
先求出 f x0 , y0 用经过 x0 , y0 斜率为 f x0 , y0 的直线段来近
y
x 2 , y2 x1 , y1
y0
似积分曲线,其方程为 x0 x1 x 2 y y0 f x0 , y0 x x0 求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
dy 2 x y的方向场和积分曲线 . 例7 研究方程 dx
向量场的示意图 积分曲线
常微分方程
绵阳师范学院
2.1.2 欧拉折线----求过一点的近似积分曲线 dy f ( x, y) , (2.2) dx a x b, y , y ( x 0 ) y0
在方向场中,方向相同的点 的几何轨迹称为等斜线. f x, y k K为参数
定了一个线素场(又称方向场).
G
常微分方程
绵阳师范学院
dy y 例1 试讨论方程 所确定的线素场. dx x 解 除Y 轴无定义外,方程在两个半平面上都确定 了线素场.
y k x
易见在点 x , y 的线素与 过原点与该点的射线重合.
用经
常微分方程
y y1 f x1 , y1 x x1
绵阳师范学院
求出直线上横坐标 x 2 处的点的纵坐标
y2 y1 f x1 , y1 x2 x1 y1 f x1 , y1 h
类推,可求出方程(2.1)的真正解在各处的近似值
yk yk 1 f xk 1 , yk 1 h , k 1,2,
y1 y0 f x0 , y0 x1 x0 y0 f x0 , y0 h
b x
f x1 , y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
关于奇解的若干探讨
取 ＝ ０，
＋ ｃ
．
。 － ｃ
一
孚
被破 坏。但是 ，并不是任何微分方程都有奇解 ，奇解存 在的条件 还有待 进行更深入的探讨和研究 。 ２ ． 奇 解 的 定 义及 求 法 ２ ．１奇解的定义 我们知道对某些微分方程 ，存在一 条特殊 的积分 曲线 ，它并 不属于 这个方程 的积分 曲线 族 ，但是 ，在这条特 殊 的积 分 曲线 上的每一 点处 ， 都有积分 曲线族 中的一条 曲线和它在此点相切。在微分方程 里 ，这条特 ， 一 ● ４ ● ● ● ， 、 ● ● 一 Ｉ ２ 殊的积分 曲线所对应 的解称 为方程 的奇解 。 Ｉ Ｉ Ｉ ｌ 定义 １ ：微分方程 的一个解称 为奇解 ，如果在 这个解 的每一 个点上 一 ２ 面 还有方程 的另外一个解存 在 ，也就是说奇解是这样的一个解 ，在它上 的每一个点唯一性都 不成 立。或者说 ，奇解对应的曲线上每 一点至少有 ∥ 方 程 的 两 条 积 分 曲线 通 过 。 ２ ． ２奇 解 的 求 法 圈 １ 从奇解 的定义 容易看 出 ，奇解有两个特点 ：①奇解一定 是原方程 的 ２ ．２ ．２通过存在唯一性定理被破坏求奇解 解 ，但不包含 在通 解的形式之中 ；②破坏了解 的唯一性 ，奇 解对应 的曲 存在唯一性定理 如果在点 （ Ｘ ０ Ｙ ｏ ， ， ， 。 ）的某 一领域 中 线上每一点 至少有方 程的两条积分曲线通过。 ① Ｆ （ ｘ ， ） ， ， Ｙ ）对所有变元 （ ， Ｙ ， Ｙ ） 连续 ， 且存在 连续偏导数 ； ２ ．２ ．１ 通过求通解 的包 络求奇解 定义２ ：对 于给定的一个单参数 曲线族 ： ｚ ： （ ， ｙ ， ｃ ）＝０，其 中 ｃ ②Ｆ （ ｙ 。 ， ｙ ， 。 ） ： ｏ ； ③ 阜 ≠ ０． ∈，ｃ Ｒ为参数 。若存在一 条曲线 ｚ 满足下列条件 ： 则方程 Ｆ （ ｘ ， ） ， ， ）＝０ 存 在唯一解 ＝ （ ），Ｊ 一 Ｊ ≤ｈ （ ｈ 为足 ① ｆ簪 ｛ ｆ ， ；②对任意 的 （ ， Ｙ ｏ ）∈ｆ，存在唯一的 ｃ 。Ｅ，，使 够小的正数） 满足初 始条件 Ｙ ｏ：ｙ （ 。 ） ， Ｙ ｏ ＝， ， （ 。 ）。 （ 。 ， ｙ 。 ）Ｅ ｚ 且 ｚ 与ｚ 在 ｘ 。 ， Ｙ 。 ）有 相 同 的 切 线 。 则称 ｌ 为 曲线族 ｚ ： （ ， Ｙ ， ｃ ）＝０的一条包络线 ，简称为包络。 由该 定 理知道 ，如果 Ｆ （ ， ｙ ， ｙ ） 关 于 ， ） ， ， ｙ 连续 可微 ，则 只要 ≠ ０ 从 奇解 的定义容易知道一阶微分方程 的通解 的包络 （ 如果它存 在的 就能保证解的唯一性 ， 因此 ，奇解 （ 存在的话 ）必须同时满足下列方程 话 ）一定是奇解 ；反之 ，微分 方程 的奇解 （ 如果 存在 的话 ）也 是微 分 ）＝ ｏ， ＝ ｏ 方程 的通解 的包络。因而 ，为 了求微分方程 的奇解 ，可 以先求 出它 的通 解 ，然后求 通解的包络 。 由微分几何学的知识 可知 ，曲线 族 （ ． ｙ ， ｃ ）＝０的包 络包含 在 由
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２ ． １ 定义 １
方面努力探索微 积分严格化 的途 径 ， 一方面 往往又不顾基础 问题的 困 难 而大胆 前进 ， 大大 地扩展 了微 积分的应 用范围 ， 尤其是与力 学的有 机结合 ， 当时几乎所有 的数学家也是力学家 ．
究 。比如 牛顿 ，莱布 尼茨等 。常 微分方 程是 １ ７ 世纪和微 积分 同时诞 ２ 包络的定义 生的一 门理论性非常 强，研 究应用非常广泛的学科之一 ， 常微 分方程 我们现在给 出曲线族包络 的定义 ，并介 绍它的求法 ： 的发展分 了四个发展 阶段 ，这四个发展阶段对常微分方 程非常关键 。
而不会产生歧义 ． 为了便于讨论 ，现将第一种定义写出 ：
１ ． １ 定义 １
３ 奇 解 与 包 络 的 关 系
由奇解与包络 的定义 显然可 以知道 ，微分方 程的积分 曲线族 （ 即
如果存在 ， 则必定是方程的奇解 ． 事 微分方程 的一个解 称为奇解 ，如果在这个解 的每 一点上还有方程 通积分所对应 的曲线族 ）的包络 ， 的另外一 些解 存在 ，在 它上面的每一点 唯一性都不成 立 ， 奇 解对应 的 实 上 ，在 积分 曲线族 的包络上 的点 （ ｘ ， ｙ ）处 的 ｘ ， ｙ 和ｙ 满足方程 ． 这 就 是说 ，包络是 积分 曲线 ． 其次 ，在 包络 的每 一点 ，积分 曲线族中都 曲线上每一点至少有方程的两条积分 曲线通过 ＿ １ ］ 。
坏定义奇解 ． Ｇ上任取 一点其中则 由包络 的定义 可知 ，曲线族 中有一 条曲线 在点与 由下面的讨论可 知 ，用第一种方法定义奇解将会产 生混乱 ，甚至 相 切 ， 因为是微 分方程 的一个解 ，所 以由 ｘ Ｊ于是任 意给定 的 ，这 会 出现不 相容的情况 ． 第二种 定义则来源于 微分方程本 身内容 ，准确 后一等式就说 明了是微分 方程 的解 ． 定理 ２证完 ．
含在判别 曲线 ｆ （ ｘ ， ｙ ） ： Ｏ中 。
２ ． ３ 定理 ２
设微分方有通积分又设曲线族有包络 ， 则包络是微分方程的奇解 。
族的包络 （ 以下简称包络 ）定义奇解 ；另一种是用奇解 的唯一性被破 证 明： 根据奇解和包 络的定义 ，我们只需证明是 Ｇ微分方程 的解 ． 在
到运动 的全 过程 ． 运 动是服从 一定的客观规律 的 ， 物质运动与 瞬时变 我们 把 由方程 组所得 的曲线 （ 如果 有 曲线 ），记 为 ｆ （ ｘ ’ ｙ ） ＝ Ｏ，并 化率之 间有着紧 密的联 系 ， 而这 种联 系 ， 用数 学语言表述出来 ， 即抽象 称之为 曲线族的 Ｃ 一 判别 曲线 ． 我们有 下述定 理 ： 为 某种数学结 构 ， 其结 果往往形成 一个微分方 程 ， 一 旦求出其解或 研 ２ ． ２ 定理 １ 究清楚其 动力 学行为 ， 运动规律就一 目了然 了。
设给定单参数 曲线族 ｆ （ ｘ ’ ｙ ， ｃ ） ＝ ０ 及曲线 ，如果在曲线上的每一点都 有 曲线族 的某一 曲线与之相切 ，并且 在曲线的每一段上都 有曲线族中 的无穷多条 曲线与之相切 ，我们就把这条 曲线称为 曲线族 的包络 ． 把 由方程组 消去 Ｃ 所得 的曲线 （ 如果有 曲线 ） ，记为 ，并称之 为曲线族
１ ＿ ２ 定 理
至少有一 条 曲线 与包络相 切 ． 因此 ，包 络是奇 解 ． 由此可 知 ，如果知
那 么该通 积分 的包络 ， 也 就是奇 解 ， 但请注意 ， 设 函数 Ｆ对是 连续的 。而且 对 Ｙ ， Ｐ 有连续 的偏微商 ，若 函数是微 道 了微分 方程的通积分 ， 分方程的一个奇解 ， 并且则奇解满足一个称之 Ｐ 一 为判别式 的联立方程 。 奇 解不一定是包 络 。
牛顿和莱布 尼茨都处理过与常 微分方程有关 的问题 ． 微 积分的产 的Ｃ ． 判别 曲线 ． 但是 ，一般 的曲线 族不一定有 包络 ． 例如 同心 圆族 ， 生的一个重要 的动因来 自于人们探 求物质世界运 动规律的需求 ． 一般 平行直线族都没有包络 ． 那 么对于给定 的曲线族 ， 如何求它的包络 （ 如 地， 认识 规律 很难 完全靠实验观测 认识清楚 ， 因为人们不太可 能观测 果有包络 ）呢？
的．
关键词 ：常微分 方程 ；定义；奇解 ；包络
０ 前言
切． 这 个结论与是 奇解的假设 是不足 上述 Ｐ 一 判别式的第二 式 ． 定 理从 而得证 ． 应该强 常微分方 程 ，是一个有悠久历史发展迅速 的学科 ，是一个理论和 调 指出，上 面介 绍的两种方法 ，只是提供 求奇解 的途 径，所 以 Ｐ 一 判别 实际应用都很有价值 的学科 ，它不但 自身应用十分广泛 ，而且对其他 曲线是不是奇解 ，必须进行检验 。 学科都有非常大 的帮 助。许 多科学家都对微分方程有 了不同程度的研
２ ０ ７
柬工案 术
浅谈常微分 方程奇解 与包络
姜 曼
（ 西安 交通工 程学 院 ， 西安 ７ １ ０ ３ ０ ０ ）
摘 要： 对 常微 分方程教科 书中采用的不 同方 式来定 义奇解 ，进行 了讨论 ，指 出了用 包络定 义奇解 的不相 容性，和用唯一性破坏定义 奇解 的合 理 性。给 出 了求常微 分方程以 已知 函数求奇解 的多种 方法 ， 方法和实例表 明 ，这对有奇解 的常微分 方程 以及 同一奇解的常微分方程都是 非常多
为 了便于讨论 ，现 将第一 种定义 写出 ：
设ｆ （ ｘ ， Ｙ ， ｃ ］ 及其各 一阶偏导数是 它的的连续 函数 ． 若 ｆ ｏ ｘ ， Ｙ 有＝ Ｏ 包
络 ，并且该包络 是一条连续 曲线 ，且有连 续转动的切线 ，则它必须包
１ 奇解 的定义
在 通常教科书 中对奇解 的定义采用两种方法 ：一种 是用 积分曲线