八年级上册数学认识无理数知识点(北大师版)
认识无理数课件
第二章 实数
1
认识无理数
学习目标
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼
近的思想（难点）
复习回顾
1．整 数和 分 数统称为有理数.
整数分为 正整数、0、负整数
3 （均
填整数）。
3
7.有六个数：0.123，（-1.5） ，3.1416， ，-2π，
0.1020020002···（每两个2之间依次增加一个0），若其中无理数
的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则
x+y+z=
6
.
五、当堂达标检测
拓展提升
在下图的正方形网格中画出1个三角形使三边都是无理数。
例2：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找
出长度是无理数的线段.
长度为有理数的线段： AB、EF
长度为无理数的线段：CD、GH、MN
三、即学即练，应用知识
1.判断下列说法是否正确：
（1）所有无限小数都是无理数；
（2）所有无理数都是无限小数;
（3）有理数都是有限小数;
（4）不是有限小数的不是有理数.
；
分数分为 正分数、负分数
.
2．一个整数的平方一定是整数吗？ 是
3 .一个分数的平方一定是分数吗？
是
一、创设情境，引入新知
活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
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一、创设情境，引入新知
还有好多方法，课余时间再动手试一试，比比谁找的多！
北师大版八年级上册数学第6讲《无理数与实数》知识点梳理
5 ⎨ ⎩ ⎭ ⎨ 北师大版八年级上册数学第6 讲《无理数与实数》知识点梳理【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（ 2 ） 常见的无理数有三种形式： ① 含π类. ② 看似循环而实质不循环的数， 如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 .要点二、实数有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母 R 表示.1.实数的分类按定义分：⎧ ⎧正有理数⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪有理数⎨零⎬有限小数或无限循环小数 实数⎪ ⎪负有理数⎪ ⎪ ⎧正无理数⎫ ⎪无理数⎨ ⎬无限不循环小数⎩⎪⎩负无理数⎭ 按与 0 的大小关系分：⎧ ⎧正有理数 ⎪正数⎨ ⎪ 实数⎪0 ⎩正无理数 ⎪ ⎧负有理数 ⎪负数⎨⎩⎪⎩负无理数 2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 要点三、实数大小的比较2 2 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于 0，负实数小于 0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，而且正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数：2, 22 , π, - 9, 3 8, 3 9, 0, - 2 , 1- 2, 5 5, 0.1010010001......7 3【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类， 不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有 22 , - 9, 3 8, 0, - 2 ,7 3无理数有 2, π, 3 9, 1- 2, 5 5, 0.1010010001 ……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根 号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5举一反三：【变式】下列说法错误的是（ ）， 3 9 ， ，1- .①无限小数一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.A ．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④【答案】C ；类型二、实数大小的比较2、（2014 秋•新华区校级期中）比较 和 1 的大小．57 5 2 解：∵＜＜，即 2＜＜3，∴1＜ ﹣1＜2，∴＜1．【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出﹣1 的取值范围是解题关键． 举一反三：【变式】比较大小-π- 3.14 4 3 2 3 2 －3 9 0 -3- | -4 | - (-7) 【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.3、（2016•通州区二模）如图，数轴上的 A ，B ，C ，D 四点中，与表示数的点数接近的点是（ ） A ．点 A B ．点 B C ．点 C D ．点 D【思路点拨】先估算出与比较接近的两个整数，再根据数轴即可得到哪个点与最接近，本题得以解决．【答案】C ； 【解析】解：∵，∴4＜ ＜5， ∴数轴上与表示数的点数接近的点是 C ，故选 C ． 【总结升华】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，可以估算出与哪两个整数最接近．类型三、实数的运算4、化简： (1) | 2－1.4| (2) | 7－| 7－4|| (3) |1－2|+| 2－3|+| 3－2|2 3 10 32 23 2 3 b - 3 xyz xyz ⎩ ⎩⎨ ⎩ ⎨ ⎩解： | 2－1.4| = -1.4 | 7－| 7－4|| =| 7－4+ 7| =2- 4|1－ 2|+| 2－ 3|+| 3－2| = -1+ - + 2 - = 1.【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.举一反三：【变式】（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+|﹣1|﹣ ． 【答案】解：原式=4+﹣1﹣3 =．5、若| a - 2 | + + (c - 4)2 = 0 ，则a - b + c = ．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.【答案】3；【解析】⎧a - 2 = 0 ⎧a = 2 解：由非负数性质可知： ⎪ - 3 = 0 ，即⎪ = 3 ，∴ a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3 ．⎨b ⎪c - 4 = 0 ⎨b ⎪c = 4【总结升华】初中阶段所学的非负数有| a |， a 2 , 举一反三：，非负数的和为 0，只能每个非负数分别为 0 . 【变式】已知(x +16)2 + | y + 3 | 【答案】= 0 ，求 的值．⎧x +16 = 0 解：由已知得⎪ y + 3 = 0 ⎪z - 3 = 0 ∴ ＝ ⎧x = -16 ，解得⎪ y = -3 ． ⎪z = 3 = 12 .7 a z - 3 (-16) ⨯(-3) ⨯ 3。
八年级数学上册第2章实数1认识无理数新版北师大版
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7. [2024西安铁一中期中]下列各数中，是无理数的是(
A. 面积为16的正方形的边长
B. 体积为27的正方体的棱长
C. 两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长
D. 长为4，宽为3的长方形的对角线长
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D. a 比2小
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2. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 所对的
边分别为 a ， b ， c .
(1)①当 a ＝1， c ＝2时， b2＝
；
3
②当 a ＝3， c ＝5时， b2＝ 16
；
③当 a ＝0.6， c ＝1时， b2＝ 0.64
D. 3.3与3.4之间
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知识点3 无理数的概念
5. 【新考向 数学文化】公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学
派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数
之比(分数)表示.后来，这一学派的希伯索斯发现，边长
为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比表示，
北师大版数学八年级上册课件：2.1 认识无理数(共13张PPT)
综合能力提升练
13.( 教材母题变式 )如图是16个边长为1的小正方形拼成的大正方形,其中CA,CB,CD,CE中 长度既不是整数,也不是分数的有 3 条.
14.( 改编 )把下列各数填入表示它所在的数集的大括号内: -2,-12,3.020020002…( 每两个 2 之间多 1 个 0 ),272,-π3,-( -3 ),0.333,0,34,-17,3.1·5·,0.12345678910111213…( 小数部分由相继的正整数组 成 ),-1.202020202…( 每两个 2 之间有 1 个 0 ).
( 4 )无理数集合: 3.020020002…( 每两个 2 之间多 1 个 0 ),-
π 3
,0.12345678910111213…(
小数部分由相继的正整数组成
)…
.
综合能力提升练
15.请你在方格纸上按照如下要求设计图形,每个单元格的边长为1.( 所设计图形顶点在格 点上 ) ( 1 )请在图1中设计一个直角三角形,使它三边中有两边边长不是有理数. ( 2 )请在图2中设计一个直角三角形,使它的三边边长都不是有理数.
综合能力提升练
( 1 )整数集合:{-2,-(-3 ),0,-17…}; ( 2 )分数集合: -12 , 272,0.333,-34,3.1·5·,-1.202020202…( 每两个 2 之间 有 1 个 0 )… ; ( 3 )负有理数集合: -2,-12,-34,-17,-1.202020202…( 每两个 2 之间有 1 个 0 )… ;
拓展探究突破练
17.无限循环小数如何化为分数呢?请你仔细阅读下列资料:由于小数部分位数是无限的,所 以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数.转化时需要先去掉无限循环小数 的“无限小数部分”.一般是用扩倍的方法,把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…… 使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同,然后这两个数相
北师大版八年级数学(上)第二章 实数 认识无理数
我们所学过的数可以分为：
实数
有理数：有限小数或无限循环小数
整数 分数
无理数：无限不循环小数
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数
例题精讲：
例 1：下列各数中，（ ）是无理数．
解：（1）边长分别为 3，4，5 的三角形是直角三角形； （2）边长分别为 1，1， 的三角形是直角三角形．
练习：下列正方形中，边长为无理数的是（ ）
A．面积为 64 的正方形
B．面积为 16 的正方形
C．面积为 1.44 的正方形
D．面积为 12 的正方形
解：A、边长是 8，是有理数，故本选项错误； B、边长是 4，是有理数，故本选项错误； C、边长是 1.2，是有理数，故本选项错误； D、边长是 ，是无理数，故本选项正确； 故选：D．
A．1
B．2
C．3
D．4
解： 是分数，属于有理数；0. 是循环小数，属于有理数；﹣2 是整数，属于有理数． 无理数有：π，0.101001…（每两个 1 之间多一个 0）共 2 个．故选：B．
例 3：请你设计两个直角三角形，满足下列条件： （1）使其三边长都能用有理数表示； （2）使其三边中两边是有理数，另一边是无理数．
C．3 个
D．4 个
解： 是分数，属于有理数；﹣0.5，3.14 是有限小数，属于有理数； 无理数有：3.3030030003…，﹣π 共 2 个．故选：B．
3.设面积为 3π 的圆的半径为 r，则 r 是有理数还是无理数？
解：面积为 3π 的圆的半径 r＝ ， 是无理数．答：r是无理数．
八年级上册数学北师大版认识无理数课件
事实上，=1.41421356…是一个无限不循环小数
在数学中，我们将无限不循环小数称为无理数
你能举一个无理数的例子吗？
π
判断无理数需满足①无限小数②不循环小数
例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，，0.，0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)
无理数的简单估算
YOURE NAME
谢谢观看!
随堂练习下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，，-π，，18
1. =2，介于哪两个连续的整数之间？
介于1和2之间
2. 的整数部分是几？十分位上的数字是几？百分位呢？
思考：
估算=2时，的值（精确到0.01）
＜1＜2＜＜＜＜＜＜1. 估算面积为5的正方形的边长b的值（精确到0.01）
北师大版八年级上册
认识无理数
1.理解无理数的概念，并能准确判断给定数为有理数还是无理数
2.能对无理数进行简单估算
教学目标
之前我们学过哪些数？
整数、小数、分数、正数、负数……
有理数：整数和分数统称为有理数
有理数
整数
分数（有限小数、无限循环小数）
是整数，也不是分数，所以不是有理数
计算：=1 =
三、填空题 如图是一个边长为1的正方形网格图，该图中长度为无理数的线段有 .
四、应用题 已知=8，m,n是两个连续的整数，且m<<n，求m+n的值
有理数：整数和分数统称为有理数例：1.34，-1，，0.1010101...
无理数：无限不循环小数称为无理数例：π，0.1010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)
北师大版初中八年级数学上册第2章1认识无理数课件
是有理数吗?(2)哪个数是无限不循环小数?哪个是含有π的数?这些数都是
无理数吗?
11
解 有理数:0,-4,0.12,- ,3.141 592 7;无理数: ,1.112 111 211…(相邻两个 2 之
7
2
··
间 1 的个数逐次加 1).
【误区警示】
1.注意3.141 592 7与π的区别.3.141 592 7属于有限小数,不是π,前者是有理
(2)x不是有理数.因为没有一个整数的平方等于7,也没有一个分数的平方等
于7.由上面的计算知,x是无限不循环小数;
(3)x≈2.6;验证略;
(4)x≈2.65.
【方法归纳】
要估算无理数的近似值,第一步应确定被估算的无理数的整数取值范围;第
二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1),并求其平方,
实数
1
认识无理数
核心·重难探究
知识点一
无理数的识别
【例1】 下列各数,哪些是有理数?哪些是无理数?
·· 11
π
0, ,-4,0.12,- ,1.112
2
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111 211…(相邻两个 2 之间 1 的个数逐次加 1),
3.141 592 7.
思路分析 (1)哪个数是整数?哪个是分数?哪个是无限循环小数?这些数都
确定被估算数的十分位;…;如此继续下去,可以求出无理数的近似值.
数,后者是无理数.
2.
π
2
不是分数,分数的分子与分母都是正整数.
知识点二
无理数的近似值的估算
【例2】 设面积为x的整数部分是多少?
(2)x是有理数吗?请简要说明理由.
(3)估计x的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.
北师大版八年级数学上册 第二章 实数 认识无理数(第2课时)
想一想
解：3=3.0，
分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?
分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
探究新知
像0.585885888588885…，1.41421356…，-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数. 我们把无限不循环小数称为无理数. (圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数). 你能找到其他的无理数吗?
知识点 2
1.若边长为a cm的正方形的面积与长、宽分别为8 cm、4 cm的长方形的面积相等，则a的取值在 ( ) A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
D
2.一块面积为10的正方形草坪，其边长（ ） A．小于3 B. 等于3 C．在3与4之间 D.大于4
2.1 认识无理数(第2课时)
北师大版 数学 八年级 上册
思考导入
1.有理数如何分类？
有理数
整数(如-1，0，2，3，… ):都可看成有限小数
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
导入新知
1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想． 形的边长为x,则x2=2. 因为AB2=x2+(3x)2=10x2=20,所以AB的长不是有理数. 因为CD2=(2x)2+(2x)2=8x2=16,CD=4,即CD的长是有理数. 因为EF2=x2+x2=2x2=4,EF=2,即EF的长是有理数. 因为GH2=x2+(2x)2=5x2=10,所以GH的长不是有理数.
认识无理数课件北师大版八年级数学上册
C.是有理数
D.不是有理数
(2)如图，在Rt△ABC中，AC＝2 cm，BC＝2 cm，那么AB 的长是有理数吗?
AB的长不是有理数
3.【例1】边长为2的正方形的对角线长( D )
A.是整数
B.是分数
C.是有理数 D.不是有理数
C
5.【例3】(北师8上P21改编)如图，在Rt△ABC中，两直角边 长分别为a＝2，b＝3，斜边长为c. (1)c满足什么关系式? (2)c是整数吗? (3)c是有理数吗?
解：(1)根据勾股定理，得c2＝a2＋b2＝22＋32＝13， ∴c满足c2＝13的关系式. (2)c不是整数. (3)c不是有理数.
6.【例4】(新题速递)如图，阴影部分是正方形，求出此正方 形的面积.此正方形的边长是有理数吗?为什么? 解：设正方形的边长为a， 根据勾股定理得 a2＝152－82＝161. 因为a不是整数也不是分数，所以a不是有理数.
教学反思：这节课的内容是无理数的概念以及判断一个数是有 理数还是无理数.是数的范围的又一次扩充，是很重要的一节.培 养了学生分类归纳的思想.但对概念的理解掌握一些同学还不是 很好，只能在以后的教学过程中不断的完善.
教学重难点
1.无理数的探索过程. 2.了解无理数与有理数的区别，并能正确判断. 3把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要 性. 2.从实际背景中发现“不可比的数”，感受到这样的数的广泛 性.
知识点一：有理数(复习) 整数和分数都可以化成有限小数或无限循环小数.
－5，3，0 －5，3，0
知识点二：无理数的产生 (1)用边长为1的两个小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形， 大正方形的边长a应满足的条件是 a2＝2 ;a 不是 整数，
北师大版八年级数学上册_基础知识精练课件：1_认识无理数
(1)x是有理数吗?说明理由.
(2)x的整数部分是多少?
(3)将x精确到十分位是多少?
【解析】
(1)x不是有理数.理由如下:
由圆的面积公式可得πx2=10π,
所以x2=10.
因为没有一个整数或分数的平方等于10,所以x不是有理数.
【解析】
(2)由(1)知x2=10,
2.在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)计算:
①当a=1,c=2时,b2=
3
;
②当a=3,c=5时,b2=
16
;
③当a=0.6,c=1时,b2=
0.64
.
(2)通过(1)中计算出的b2的值,可知b是整数的是
b是分数的是
③
②
;b既不是整数,也不是分数的是
的个数逐次加1)是无限不循环小数,属于无理数.故无理数有2个.故选B.
6.写出和为6的两个无理数:
【解析】 π,6-π(答案不唯一)
.(只需写出一组)
7.把下列各数填在相应的集合内.
5,π,-|- |, ,1.131
331 333 1···(相邻两个1之间依次多一个3),1.6,0.
因此AB,AC,BD的长度是有理数,BC,CD,AD的长度不是有理数.
归纳总结
判断图形中线段的长度是不是有理数的方法
可将所求线段的长看成某一直角三角形的边长,由勾股定理求出这条线段长的平方.若找不到平方等
于这条线段长的平方的有理数,则这条线段的长不是有理数.
知识点2 识别无理数
4.下列说法不正确的是 (
)
A.所有的整数和分数都是有理数
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八年级上册数学认识无理数知识点（北大师版）对于初中年级的学习，我们要多掌握一些知识点，一起来看一下这篇八年级上册数学认识无理数知识点，来做一下参考吧!
1.无限小数都是无理数无限小数分：为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环的小数才是无理数。
2.无理数包括正无理数、负无理数和零。
受思维习惯的影响，有些同学错误认为正无理数与负无理数之间应有零，零也是无理数，其实零是一个有理数，因此，无理数只分为正无理数和负无理数两类。
3.带根号的数是无理数。
是有理数2，是有理数-2，可见带根号的数不一定是无理数。
4.无理数是用根号形式表示的数。
是无理数，但并不是用根号形式表示的，再如：0.1010010001(两个1之间依次多一个)，亦为不带根号的无理数。
5.无理数是开方开不尽的数。
无理数并非由开方的结果来定义的，事实上，如，0.232232223，等无理数，都不是由开方得到的。
6.两个无理数的和、差、积、商仍是无理数。
两个无理数的和，差，积，商不一定是无理数，如：等都是有理数。
7.无理数与有理数的乘积是无理数。
这种说法是错误的!由
等似乎易见无理数与有理数的积是无理数，就下肯定结论，错了!如等足以推翻以上结论。
8.有些无理数是分数。
因为分数属于有理数，且无理数与有理数是两类不同的数，所以说，无理数不可能写成分数，当然，有些无理数可以借助分数线来表示。
如，但一定要注意它并不是分数。
9.无理数比有理数少。
这种说法错误，无理数在人们生产和生活中使用的少一些，但并不是说无理数就少一些，我们平常的计算中没有特别需要时，习惯地把一些无理数按要求通过取近似值的方法用有理数来表示，这样似乎就觉得使用无理数少一些，实际上，无理数也有无限个且比有理数多得多。
10.一个无理数的平方一定是有理数。
这种说法错误，不要误认为只有等无理数，如等也是无理数，显然等不是有理数。
现在是不是感觉查字典数学网为大家准备的八年级上册数
学认识无理数知识点很关键呢?欢迎大家阅读与选择!。