弱形式方程中分片函数奇异性的光滑化分析
什么是弱形式？
什么是弱形式？弱形式简介对于COMSOL Multiphysics 的各类物理场，软件都会在后台使用弱公式化来建立数学模型，我们也将它称为弱形式。
理解弱形式有助于我们洞察软件的内部工作原理，当模型所涉及的物理场在软件内没有对应的预置接口时，弱形式还可以帮助我们写出自己的方程。
本文将简要介绍弱形式，旨在为没接触过有限元分析和矢算、但对弱形式又有浓厚兴趣的用户提供一些物理及积分方面的基础知识。
一个简单示例现考虑一个无热源的一维稳态热传递案例。
我们主要关注区间内的温度，它是位置的函数。
简单起见，我们假设导热系数均匀。
那么x 轴正方向的热通量可由温度的梯度给出：（1）热通量（域内没有热源）的守恒可简单表示为：（2）以上就是需要求解的主要方程。
解将给出域内的温度分布。
该形式的方程可见于多个学科。
例如在静电学中，由电势替代，由电场替代；在弹性理论中，变成位移，变成应力。
在此，让我们先来了解为什么COMSOL Multiphysics 可以轻松求解多物理场耦合问题：不论涉及何种物理机制，它们都会被建模处理成方程；方程确定后，就可以被COMSOL 软件中的核心算法直接离散和求解。
一些读者可能会好奇我们为什么会选择这么一个过于简单的例子，甚至其解析解都可由非常简单的数学或物理量得到。
原因有两个：1.我们希望专注于弱形式的核心思想，不希望因复杂物理系统中的数学而分散注意力。
2.后续文章中，我们会拓展到涉及多个域的系统，以便阐述两个方程组在边界条件处的耦合。
如果现在就开始研究复杂的案例，那等到拓展案例时主题将会变得非常晦涩难懂。
弱公式化方程 (2) 包含了热通量的一次导数，或者是温度的二次导数，但在温度分布可能受限的实际情况下，这可能导致数值问题。
例如，当边界处的相邻材料具有不同导热系数时，温度的一次导数将不连续，进而使温度二阶不可导。
弱形式的核心思想是将微分方程变为积分方程，进而减轻数值算法的求导负担。
如希望将微分方程 (2) 变成积分方程，第一步是在的域上对其积分：以上方程表示整个域中的平均值为零。
数值模拟偏微分方程的三种方法：FDM、FEM及FVM
数值模拟偏微分方程的三种方法：FDM、FEM及FVM偏微分方程数值模拟常用的方法主要有三种：有限差分方法（FDM）、有限元方法（FEM）、有限体积方法（FVM），本文将对这三种方法进行简单的介绍和比较。
有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Methods)是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法包括区域剖分和差商代替导数两个过程。
具体地，首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。
其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替来进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。
对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。
目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于结构网格，网格的步长一般根据问题模型和Courant稳定条件来决定。
请输入标题有限元方法(Finite Element Methods)的基础是变分原理和分片多项式插值。
该方法的构造过程包括以下三个步骤。
首先，利用变分原理得到偏微分方程的弱形式(利用泛函分析的知识将求解空间扩大)。
其次，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元(三角形、四边形、四面体、六面体等)。
再次，在每个单元内选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。
利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。
有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活(复杂区域)、单元类型灵活(适于结构网格和非结构网格)、程序代码通用(数值模拟软件多数基于有限元方法)等特点。
第九讲奇异最优控制
奇异二次型最优控制是一类常见的最优化奇
异解问题，该问题可以用数学语言描述如下：
考虑线性受控系统
(t ) A(t ) X (t ) B(t )U (t ) X
(9-8)
B 是具有适当维数的常数矩阵。 系数矩阵 A，
控制变量受如下不等式约束
u j (t ) 1 , j 1,2, , r
(9-31)
此即奇异弧上的最优控制，它是状态的线性反馈。
现在讨论如下两种情况。 (1)T 为给定的有限值，式(9-29)中的常数 C
取决于初态的非零值。这时，奇异弧是双曲线，
它不通过原点，因此，不是最优轨线的最后一段
弧线。典型的最优轨线由三段组成： 第一段控制取其边界值1 ，将系统转移到
奇异弧上。
所以，对于一般的Bolza问题：
X f ( X ,U , t ) tf J ( X (t f ), t f ) F ( X ,U , t )dt t0 X (t0 ) X 0 G ( x(t f ), t f ) 0 U {u j ()：u j (t )是分段连续函数，且 u (t ) M ＜ ，t [t , t ] , j 1, 2, 0 f j t0给定，t f 可以固定，也可以不固定
9.1 奇异最优控制问题的提出
在研究时间最短和燃料最少的最优控 制问题时就会涉及到奇异解问题，在时间 最短最优控制问题中，应用庞特里亚金极 小值原理可得
u j* (t ) sgn q j (t ) j 1, 2, , r , t [t0 , t f ]
(9-1)
在正常情况下，函数 q j (t ) 在控制区间[t0 , t f ] 中只有有限个零值点。控制变量在其约束的边 界上取值，得到的最优控制为Bang-Bang控制。 但在奇异情况下，至少有一个函数 q j (t )在某一 区间 [t1 , t 2 ] [t 0 , t f ] 上恒等于零。
数学中的奇异积分方程理论
数学中的奇异积分方程理论奇异积分方程是指一个不在普通积分方程的解析解范畴内的积分方程。
这类方程出现的原因可能是因为方程本身的积分核存在奇异或不可积分点。
例如，勒让德方程和贝塞尔方程就是奇异积分方程。
奇异积分方程是数学中的重要分支之一，它在物理、工程学、统计、微分方程等众多领域中都有着广泛的应用。
不同于传统的解析理论，奇异积分方程是一种分析理论，它主要依赖于对积分核进行适当的分析。
下面我们将具体介绍奇异积分方程理论的一些基本概念和运用。
一、弱奇异性和强奇异性在奇异积分方程中，存在两种不同的奇异性：弱奇异性和强奇异性。
1. 弱奇异性弱奇异性是指积分核在奇异点附近的某些区域内，其积分值趋于无穷大。
此时，奇异点附近的积分可通过Cauchy主值积分得到有限的值。
例如，对于函数$f(x)$和$g(x)$，在满足$0\leq z\leq 1$的区域内，积分核$K(x,z)$如下所示：$K(x,z)=\dfrac{f(x)g(z)}{x-z}$此时，若$f(x)$和$g(z)$在$x=z$处极限存在，则在$0\leq z\leq1$的积分中，$K(x,z)$是弱奇异积分核。
2. 强奇异性强奇异性是指积分核在奇异点附近的积分值无限增长，而无法通过主值积分得到有限值。
例如，对于函数$f(x)$和$g(x)$，在满足$0\leq z\leq 1$的区域内，积分核$K(x,z)$如下所示：$K(x,z)=\dfrac{\ln{(x-z)}}{x-z}$此时，$K(x,z)$是强奇异积分核，因为在$x=z$处，$K(x,z)$无界。
二、Fredholm积分方程Fredholm积分方程是奇异积分方程的主要类别之一。
Fredholm 积分方程的一般形式为：$\varphi(x)=\int_{a}^{b}K(x,y)f(y)dy$其中，$\varphi(x)$是已知函数，$K(x,y)$是积分核，$f(y)$是未知函数。
该方程的目标就是求解$f(y)$的解析解。
PDE弱形式介绍
PDE弱形式介绍GJ：看到⼀个介绍COMSOL解决物理问题弱形式的⽂档，感觉很⽜啊，通过COMSOL Multiphysics的弱形式⽤户界⾯来求解更多更复杂的问题，这绝对是物理研究的利器啊！⽽且貌似COMSOL是唯⼀可以直接使⽤弱形式来求解问题的软件。
为什么要理解PDE⽅程的弱形式？⼀般情况下，PDE⽅程都已经内置在COMSOL Multiphysics的各个模块当中，这种情况下，没有必要去了解PDE⽅程和及其相关的弱形式。
有时候可能问题是没有办法⽤COMSOL Multiphysics内置模块来求解的，这个时候可以使⽤经典PDE模版。
但是，有时候可能经典PDE模版也不包括要求解的问题，这个时候就只能使⽤弱形式了（虽然这种情况是极少数的）。
另⼀个原因就是弱形式有时候描述问题⽐PDE⽅程紧凑的多。
还有，如果你是⼀个教授去教有限元分析⽅法，可以帮助学⽣们直接利⽤弱形式来更深⼊的了解有限元。
最后，你对有限元⽅法了解的越多，对于COMSOL中的⼀些求解器的⾼级设置就懂得更多。
⼀个重要的事实是：在所有的应⽤模式和PDE模式求解的时候，COMSOL Multiphysics都是先将⽅程式系统转为了弱形式，然后进⾏求解。
物理问题的三种描述⽅式1.偏微分⽅程2.能量最⼩化形式3.弱形式PDE问题常常具有最⼩能量问题的等效形式，这让⼈有⼀种直觉，那就是PDE⽅程都可以有相应的弱形式。
实际上这些PDE⽅程和能量最⼩值问题只是同⼀个物理⽅程的两种不同表达形式罢了，同样，弱形式（⼏乎）是同⼀个物理⽅程的第我们必须记住，这三种形式只是求解同⼀个问题的三种不同形式――⽤数学⽅法求解真实世界的物理现三个等效形式。
我们必须记住，象。
根据不同的需求，这三种⽅式⼜有各⾃不同的优点。
三种不同形式的求解PDE形式在各种书籍中⽐较常见，⽽且⼀般都提供了PDE⽅程的解法。
能量法⼀般见于结构分析的⽂献中，采⽤弹性势能最⼩化形式求解问题是相当⾃然的⼀件事。
几类分段光滑系统极限环与奇异环的滑动与穿越动力学
几类分段光滑系统极限环与奇异环的滑动与穿越动力学一、引言在探讨分段光滑系统极限环与奇异环的滑动与穿越动力学之前，首先需要了解什么是分段光滑系统以及极限环与奇异环的概念。
分段光滑系统是一类具有非光滑性质的系统，即系统的动力学行为在某些区域内是光滑的，在另一些区域内却是非光滑的。
而极限环与奇异环则是在系统的相平面上展现出来的一类特殊环结构，对系统的动力学行为有着重要的影响。
二、分段光滑系统的动力学特性分段光滑系统常常具有多重极限环和奇异环，且其动力学特性复杂而丰富。
根据系统的非光滑性质，分段光滑系统可能出现跃迁现象，即系统在某些状态下突然跃迁到另一状态，这种跃迁现象可以导致系统的动力学行为发生剧烈的变化。
另外，分段光滑系统还可能表现出周期倍增、混沌等丰富的动力学行为，这些都使得其研究充满了挑战性和深刻性。
三、极限环的滑动与穿越动力学在分段光滑系统中，极限环的滑动与穿越动力学是一个重要且复杂的问题。
极限环的滑动指的是系统在极限环附近的动力学行为，可能出现的一种穿越现象。
当系统的初始条件发生微小变化时，极限环可能出现滑动，甚至发生穿越现象，即系统的轨迹从一个极限环跃迁到另一个极限环。
这种动力学行为对于系统的稳定性和可控性具有重要的影响，因此需要深入研究和分析。
四、奇异环的滑动与穿越动力学与极限环类似，奇异环的滑动与穿越动力学也是分段光滑系统中一个重要的问题。
奇异环相对于极限环而言具有更为复杂的动力学特性，其滑动与穿越现象可能会导致系统的动力学行为出现奇异性。
对于奇异环的滑动与穿越动力学的研究，不仅可以帮助我们更好地理解系统的复杂动力学行为，还可以为系统的控制和应用提供重要的理论基础。
五、个人观点与理解在分段光滑系统极限环与奇异环的滑动与穿越动力学中，我认为需要从多个角度综合分析系统的动力学特性，尤其是要考虑非光滑性质对系统的影响。
对于极限环和奇异环的滑动与穿越现象，需要进行深入的数值模拟和实验研究，以验证理论分析的有效性。
细分曲面奇异点处的光滑过渡
3. 细分曲面奇异点处的 G2 连续性
本节通过改进 Charles Loop [4]的理论给出了含有奇异点的 G 2 重建方法。首先，对初始控制网格进行 “混合细分”，即先采用形状可调的 C-C 细分方法进行细分然后再用经典的 C-C 细分，目的是为了保证 曲面片具有 B 样条边界；其次，在“混合细分”的基础上，以奇异点处的 2-环作为控制网格，采用循环 映射的方法得到了二阶连续的约束方程组；最后，利用循环矩阵和能量函数优化方法给出了 G 2 填充 n 边 洞时，Bézier 控制点的显式解，不仅使奇异点周围曲面片之间满足 G 2 ，并且和 Catmull-Clark 细分曲面实 现 G 2 拼接，得到整体 G 2 连续的曲面。
th th nd
Received: Nov. 30 , 2017; accepted: Dec. 15 , 2017; published: Dec. 22 , 2017
Abstract
This paper discusses G2 smooth connection near singular points on subdivision surfaces. A shape adjustable Catmull-Clark subdivision algorithm is present by introducing subdivision shape adjustment parameter c ( 0 ≤ c ≤ 1) . Based on this, aimed at the singular points in subdivision surface, based on the 2-ring of the singular points as control mesh, adopting the method of cyclic mapping, this paper proposes a G2 surface modeling method which is shape-adjustable. Then we can get the explicit solution of the Bezier control points. Compared with existing methods, the generated surface not only achieves the G2 continuous at singular points, but solves the problem of the curved surface design to be adjustable. The algorithm process and data structure are present. Corresponding examples are also given in this paper.
Mumford_Shah模型在图像分割中的研究
第9卷 第2期2004年2月中国图象图形学报Jou rnal of I m age and Grap h icsV o l .9,N o.2Feb .2004基金项目:国家“863”高技术研究发展计划(2001AA 415220)收稿日期:2003204214;改回日期:2003208218M u m ford -Shah 模型在图像分割中的研究冯志林 尹建伟 陈 刚 董金祥(浙江大学计算机科学与工程系,杭州 310027)摘 要 介绍了图像分割中的M um fo rd 2Shah (M S )模型,提出了一种新的M S 模型的数值求解方法。
首先在数学上指出了M S 泛函弱解在SBV 函数空间中的存在性,然后讨论了计算弱解的数值逼近方法。
为了得到M S 泛函的数值解,首先定义了自适应三角剖分空间上的离散型M S 泛函,然后在每次迭代前对有限元网格进行相应的自适应调整,接着采用拟牛顿最小化方法,并通过收敛意义上的离散有限元逼近,得到离散型M S 泛函在每次迭代中的最小值。
实验结果表明,该方法适合含噪图像的分割,是一种有效的图像分割算法。
关键词 M um fo rd 2Shah 泛函 有限元 三角剖分 有界变分中图法分类号:T P 391.4 文献标识码:A 文章编号:100628961(2004)022*******Research on the M u m ford -Shah M odel i n I mage Segm en ta tionFEN G Zh i 2L in ,Y I N J ian 2W ei ,CH EN Gang ,DON G J in 2X iang(D ep art m ent of Co mp u ter S cience and E ng ineering ,Z hej iang U niversity ,H ang z hou 310027)Abstract T heM um fo rd 2Shah model has been w ell acknow ledged as an i m po rtan t m ethod fo r i m age segm en tati on .T he paper discu sses the p rob lem of si m u ltaneou s i m age segm en tati on and s moo th ing by app roach ing the M um fo rd 2Shah paradigm from a num erical app rox i m ati on perspective .In particu lar ,a novel m ethod fo r the num ericalso lving of the M um fo rd 2Shah model is p ropo sed .F irst ,the paper p resen ts m athem atically the ex istence of a so lu ti on in the w eak fo rm u lati on of SBV space .T hen som e app rox i m ati on s and num erical m ethods fo r compu ting the w eak so lu ti on are discu ssed .F inally ,a m in i m izati on m ethod based on the quasi 2N ew ton algo rithm is pu t fo rw ard .T he m ethod can find the ab so lu te m in i m um of the functi onal in each iterati on .Con sidering the i m po rtan t ro le of a discrete fin ite elem en ts app rox i m ati on m ethod in the sen se of #2convergence ,an adju stm en t schem e fo r adap tive triangu lati on is u sed to i m p rove the efficiency of iterati on befo re the cu rren t iterati on begin s .Experi m en t resu lts show that the p ropo sed algo rithm can be si m u ltaneou sly u sed to i m age segm en tati on and s moo th ing ,and the perfo rm ance of the algo rithm is satisfacto ry .Keywords M um fo rd 2Shah functi onal ,fin ite elem en t ,triangu lati on ,bounded variati on1 引 言近年来,基于变分法的M um fo rd 2Shah (M S )泛函模型[1]日益成为图像处理领域中一种有效而强大的研究工具。
偏微分方程解法中的光滑化方法
偏微分方程解法中的光滑化方法偏微分方程是数学中一个非常重要的研究领域，它在物理学、天文学、工程学等众多学科领域中都有广泛应用。
而对于许多情况，我们需要采用数值计算的方法来求解偏微分方程。
但是，由于数值计算存在舍入误差和计算不精确等问题，因此，为了得到更加准确的解，我们往往需要使用光滑化方法。
光滑化方法是指一类通过在原始解上进行平滑操作的技术，以消除数值计算中出现的边缘效应、震荡等问题，并获得更加稳定和精确的解。
光滑化方法有多种，其中最常用的包括各种平滑函数、正则化方法和滤波技术。
其中，平滑函数是最基本的光滑化方法。
它的本质是将原始解曲面通过一个具有平滑性质的函数进行近似。
最常用的平滑函数是高斯核函数，它可以将对原始解中某个点的影响权重分布在周围的点上，从而实现平滑化。
具体来说，高斯核函数的形式为：$$G(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$$其中，$x$为偏微分方程解的位置参数，$\sigma$为高斯函数参数，控制平滑的尺度大小。
平滑函数可以通过将原始解的长波分量软化、降低其高频分量，从而抑制原始解中的发散和震荡现象。
正则化方法是一种较为复杂的光滑化方法，它的核心思想是在偏微分方程求解中加入额外的约束条件，来改善数值解的稳定性和精确性。
正则化方法通常应用在求解反问题、逆问题中，对于控制问题，它可以通过对目标函数施加先验知识进行平滑化。
在实践中，正则化方法最常用的是L-2正则化方法，即在目标函数中增加一个二次范数的先验知识。
滤波技术是另一种常用的光滑化方法，它是通过在原始解曲面上进行滤波操作，将高频震荡从解曲面中移除，从而实现平滑化。
滤波方法可以分为一阶和二阶滤波两种。
在使用这些光滑化方法时，我们需要注意其优缺点。
例如，平滑函数虽然可以有效地对数值误差进行抑制，但它会对解的边缘产生过度的平滑，导致误差在该处积累。
光滑有限元原理
光滑有限元原理有限元方法作为数值计算中的一种重要方法，在各个领域中得到了广泛的应用。
其中，光滑有限元方法作为有限元方法中的一种，其在求解PDE时有着较优秀的性能表现。
下面将围绕“光滑有限元原理”这个主题进行阐述。
步骤一：光滑有限元方法的基本思想光滑有限元方法是一种将光滑函数空间内的函数作为试函数来处理非光滑问题的方法。
其基本思想是，将求解非光滑问题的过程转化为在光滑函数空间中求解问题。
通过构造光滑函数的试函数空间，利用其来逼近非光滑函数，从而得到非光滑问题的解。
步骤二：光滑有限元方法的求解过程以求解弦振动方程为例，对光滑有限元方法的求解过程进行具体阐述。
首先，我们将弦振动方程变为其弱形式，即：$$\begin{aligned}\int_0^L\left( w_t\phi + aw_x\phi_x \right) dx =\int_0^Lf\phi dx\end{aligned}$$其中，$w$为弦的振动状态，$a$为弦的材料密度，$f$为外力，$\phi$为试函数。
采用光滑有限元方法对其进行求解的具体步骤如下：1）选取合适的光滑函数空间，如Sobolev空间。
2）构造试函数的离散空间，一般选取基函数为Hermite插值函数，相应的插值点称为节点。
3）构造刚度矩阵和质量矩阵，通过在试函数的离散空间上进行积分得到。
4）离散化外力项，同样利用试函数的离散空间来对其进行逼近。
5）利用得到的刚度矩阵、质量矩阵和离散化的外力项，通过求解线性方程组得到弦的振动状态$w$。
步骤三：光滑有限元方法的优点光滑有限元方法相对于传统有限元方法具有以下优点：1）对非光滑问题有较好的适应性。
光滑有限元方法能够利用光滑函数逼近非光滑函数，因此能够更好的处理非光滑问题。
2）具有更高的精度。
光滑有限元方法在光滑函数空间内进行计算，相比于传统有限元方法有更高的精度。
3）具有更好的稳定性。
光滑有限元方法在进行求解时往往会采用较优的数值方法，因此具有更好的稳定性。
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上海交通大 学 ｌ 力学系， 上海 ２ ０ ３ ） ｌ 程 ０ ０ ０
摘 要 研 究 弱 形式 方程 中的 分片 光滑 函 数 因求导 数 出现 的 奇异 性 『题，意 在 为得 到 离散格 式 时 口 Ｊ 正确处 理这 问题 提供 依 据，在 不改 变拟 台 性质 的情 况 下，将 分片 函数光 滑化，则 分步积 分 公 式仍 然有 效 通 过光 滑后 的丽数 讨论 箕积 分的性 质 ，总 结 出了 几条 计算 规 则，文 中的典 型例 子
规则 【格 Ｅ的差 分 和 离散算子 差分 Ｊ检 验 函数 的 连 续 性 问题 是 其 中 的重 点 和 难 点 ，很 多方 法 应 用 了 分 步 积 分公 式 来 降低 微 分 算 子 的阶 次 ，但 实 际 中这 些 函 数 不 具有 分 步 积 分 公 式 所 需 要 的连 续 可 微 条 件 ．人 们 通 过 Ｓ ｂｅ ｏ ｌｖ空 间 理 论
１１ 一 维 情 况 ． 设 分 片 函 数
， ） （ ：
』 ～ ∈ＡＢ ＾ 。 ， 。。
Ｉ ） ． ∈（Ｂ Ｘ ］ ｚ ，ｃ
（ １ ）
被 用 来拟 合 函 数 Ｆ（） ｚ ．点 Ｂ 是 ｆｘ （）的不 光 滑 点 ． ｆｘ 在 口 点 的左 右 极 限 分 别 是 ＾ Ｂ （） ）和
（） ｚ ＝３
（） ；
０１ －， － ｒ
（） ３
） 如 ．
如果 ｆｘ 连续， ９。 与 图 ２中的 ｍ（） （） （） 。 类似，并且其一 阶和二阶导 数分别 为 ｇ （） ２ｘ 和 果 ，ｚ （）不 连 续 ， ｇｚ 将 与 ９（）类 似 ， 它 的一 阶 导 数 是 ｇ （） （） ２ｘ ３ｚ ．
本文从
一 新 的 ， 比较 直 观 的 角度 来 讨 论 和 处 理 分 片 光 滑 函 数 的连 续 性 问题 ，给 出 处 理 这 个
方 面 问题 的 一 个 依 据 ， 也 许 可 以 作 为研 究 这 类 问题 的 新 方 向． 本 文 采 用 的处 理 方 浩 ，是 在 不 改 变 拟 合 性 质 的 情 况 下 ， 将 分片 函 数 光 滑 化 ， 则分 步 积 分 公 式 仍 然 有 效 ，并 通 过 光 滑 后 的函 数 讨 论 其 积 分 的 性 质 ， 也不 会 增 加 实 际 的工 作 量 ．
Ｂ， １
设 函数 ９ｚ 是 （）
的 ， 且 有
９。 ＝ ／ｘ ， （） （）
（ ｚ∈ＩＡ ｚ ｈ ， ｘ ，Ｂ 】
∈［口＋ｈ 。 】 ｚ ， Ｇ）
（） ２
其 中 ｈ是 一个非 负小 量， ｒ足够 大以满 足方程需 要．此外， ９ 在 ｚ∈［ （ Ｘ Ｂ—ｈ ｚ ，口＋州 上还 应 具 有 尽 可 能 少 的极 值 点 在 不 改 变 ｆｘ 对 Ｆ（） 合 能 力 的 情 况 下 ，可 如 下 表 达 ｆ ｘ （） ｚ拟 （）
， ）能 够 更 精 确 地 拟 合 Ｆ ） 所 以 分 片 函 数 （ ．
，ｚ （）的 拟 合 函 数 Ｆ ）的 能 力勿 容 质 疑 ． 在 ２ 点 和 ３点 ｆ ｘ （）的导 数 不 存在 ， 而 且 在 其 两侧 ， ）的导 数 发 生 突 变 ， ． 种 导 数 的变 化 在 （ （） 这
说 明这 些 计 算规 别是 合 理而 有效 的 关键词 光 滑化 ，弱 形式 ，计 算规 则， 有 限 元，离 散算 于羞 舟
弱 形 式 的方 程 因 其 在 数 值 求 解 方面 具 有 优 势 ，在 各 个 领 域 得 到 了 广 泛 的 应用 ．如 果 弱 形 式 中 的试 函 数 和检 验 函数 是 分 片 光 滑 函 数 ，则 其 适 应 件 更 强 ，可 以求 解 不 规 则 的 形状 和 各 种边 界 条 件 形 式 ． 其 成 功 应 用 的 例 子 有 有 限 元 法 ， 离 散 算 子 法 【 ，有 限体 积 法 ， 广 义 差 分 法 ，不
成 功 地 分 析 了有 限 元 法 中 的位 移 协 调 元．对 丁非 协 调 元， 绝 大 多 数还 是 通 过 分 片 试 验 来 讨 论 ，
其 中对分 片试验与收敛 性关 系的讨论还 没有停止．此 外，数学 Ｅ 的研 究方 法和 语 言也很 难被数
学 以 外 的 科 学 工 作 者 所 理 解 和 灵 活 应 用．
１ 光滑 化 分析
’ ｂ
很 多 分 片 光 滑 函 数 具 有 足够 的拟 合 能 力 ，
，（ ３ ７
尽 管 它 们 在 片 与 片 之 间 不 具 备 某 些 阶 次 的 导
数 ．如 图 １ 示，函数 ｐ（） 所 ｘ 被分 片函数 ， （） 拟 合 ．很 明 显 ， 当单 元 １ 、 ３和 ３ ２２ ４变 短 时 ，
维普资讯
第
３ 卷 第 ３ 期 ４
５ 月
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学 报
Ｖｏ ＿３ ｌ ４．Ｎｏ．３
Ｍ ａ ，２ ０２ ｙ ０
２０ 皇 ０２
ＡＣＴＡ ＥＣＨ ＡＮ Ｉ Ｍ ＣＡ Ｉ Ｉ Ｓ Ｎ ＣＡ
弱形 式 方 程 中分 片 函数 奇 异 性 的 光滑 化 分 析
２ ０ ４３ — ４嘘 到 第 一 稿 、 ２ ０ 一 ２ ２ 恒 到 修 改 稿 ００ ８２ ０ Ｉ ０－ ８
图 １ 一 维 函 数 拟 和
Ｆｉ Ｏ ｎｅ ｄｉ ｅ ｉ ｔ ｉ ｇ１ ｍ ｎｓｏｎ ｆ ｔ ｎｇ ｉ
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２０ 年 ０２
第 ３ 卷 ４
ｆｘ （）对 Ｆ（） 的拟合 中非 常 重要 ，在 计算 中我们 应 当将 这 一 因素 考虑进 去．这里 ， ｚ 是 连续 （） 的，在 有 些情 况 ／ｘ 也 可能 是 不 连续 的．以 下 将 把 这 些 函 数 光 滑化 ，从 而 使 分 步 积 分 公 式 仍 然 （） 有 效 ，而 且 充 分 考 虑 了 ／ｘ 的 拟 台 作 用 ． （）