8-3第二类曲线积分new
第二型曲线积分
§2 第二型曲线积分教学目的：掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式．教学要求：(1)掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别．(2)了解两类曲线积分的联系．教学建议：(1) 要求学生必须掌握第二型曲线积分的定义和计算公式．（2）两类曲线积分的联系有一定的难度，可要求较好学生掌握，并布置这方面习题教学程序：一. 第二型曲线积分的定义:1. 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功:一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线C 运动,当质点从C 之一端点A 移动到另一端B 时,求力F(x,y)所做功W.大家知道,如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s.那末这个常力所做功为 W=||F||||s||cos θ其中||F||.||s||分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法).为此,我们对有向曲线C 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与 A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向 小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n)以Si ∆ 记为小曲线段i i M M 1-的弧长.}max{Si ∇=λ设力F(x,y)在x 轴和y 轴方向上的投影分别为 P(x,y)与Q(x,y) 即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x,y)j由于),,().,(111i i i i i i y x M y x M --- 记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x 和ii m C 1-=(),(y x ∆∆)从而力F(x,y)在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ),(i F ηξ≈ii m C 1-= P(j i ηξ,)i x ∆+Q (j i ηξ,)i y ∆其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力F 沿C(AB)所作的功可近似i W =∑=n i i W 1i ni i i i n i i i y s Q x S P ∆+∆≈∑∑==11),()),((ηη当0→λ时,右端积分和式的极限就是所求的功,这种类型和式极限计算上述形式的和式上极限,得(,)ABW F dx dy →=⋅⎰ , 即 ds F W L⋅=⎰.2. 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).设有流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =. 求在单位时间内通过曲线AB 从左侧到 右侧的流量E . 通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为 ⎰⎰-=ABABdx y x Q dy y x P dE ),(),(.3. 第二型曲线积分的定义: 设P,Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线C 上的函数,对任一分割T,它把C 分成n 个小弧段i i M M 1-,I=1,2,3,……,n;记),(i i i y x M ,i i M M 1-弧长为i s ∆,}max{Si ∇=λ,11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x , I=1,2,3,……,n.又设 (j i ηξ,)∈ i i M M 1-,若极限lim ∑=n i i i p 1. ),(ηξxi ∆+lim ∑=ni i i Q 1. ),(ηξyi ∆存在且与分割T 与界点(j i ηξ,)的取法无关,则称此极限为函数P,Q 有线段C 上的第二类曲线积分,记为⎰cQdy Pds + or⎰ABQdy Pds +or ⎰⎰+ccQdy Pdx or⎰ABQdy Pds AB⎰+注(1)若记f(x,y)= (P(x,y),Q(x,y)) ,ds=(dx,dy)则上述记号可写成向量形式:⎰cfds(2)倘若C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在C 上的函数,则可按上述办法定义沿有向曲线C 的第二类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P fds cc),,(),,(),,(++=⎰⎰按这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为 ⎰+=ABQdy Pdx W .流速场),(y x v ()),( , ),(y x Q y x P =在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为 ⎰-=ABQdx Pdy E .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 ⎰⎰-=BAAB,因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为X 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分 ⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.4. 第二型曲线积分的性质:第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比,除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma 的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.(1)线性性 设C 为有向曲线,⎰cfds ,⎰cgds 存在, 则,,R ∈∀βα则ds f f c)(⎰+βα存在,且⎰⎰⎰+=+cccgds fds ds f f βαβα)((2)可加性:设⎰cfds 存在,,21C C C ⋃=⎰⎰⇒21,c c fds fds 存在,且⎰⎰⎰+=21c c cfds fds fds(1)平面上光滑闭曲线如何规定方向呢?此时无所谓”起点””终点”,若为封闭有向线段,则记为⎰cfds(2)设C -是C 的反向曲线(即C -和C 方向相反),则⎰cfds =-⎰cfds即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关(注意第一类曲线积分表达示是函数f 与弧长的乘机,它与曲线C 的方向无关),这是两种类型曲线积分的一个重要差别. 二. 第二型曲线积分的计算:曲线的自然方向: 设曲线L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L 为光滑或按段光滑曲线 , L : βαψϕ≤≤==t t y t x , )( , )(.A ())( , )(αψαϕ,B ())( , )(βψβϕ; 函数),(y x P 和),(y x Q 在L 上连续, 则沿L 的自然方向( 即从点A 到点B 的方向)有()()[]⎰⎰'+'=+Ldt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P βαψψϕϕψϕ)()( , )()()( , )(),(),(.(证略)注：起点参数值作下限，终点参数值作上限．例1计算()⎰-+Ldy x y xydx ，其中L 分别沿以下路线从点()1,1A 到点()3,2B ⅰ）直线ABⅱ）抛物线ACB ：()1122+-=x y ⅲ）三角形周界ADBA解ⅰ）直线AB :[]⎩⎨⎧∈+=+=1,0,21,1t t y t x 故()⎰-+ABdy x y xydx =()()[]dt t t t ⎰+++12211=625 ⅱ）抛物线ACB ：()1122+-=x y ，21≤≤x()⎰-+ACBdy x y xydx =()[]()[](){}dx x x x x x ⎰--+-++-12214112112=310ⅲ）三角形周界ADBA ：()⎰-+ADBAdy x y xydx =()⎰-+ADdy x y xydx +()⎰-+DBdy x y xydx +()⎰-+Bady x y xydx=⎰21xdx +()⎰-312dy y +()()[]dt t t t ⎰+++012211=625023-++=38- 注：这里沿不同路径积分值不同，而沿封闭曲线的值不为0． 例2计算⎰+Lydx xdy ，这里L ：ⅰ）沿抛物线从O 到B ⅱ）沿直线段O B ：x y 2= ⅲ）沿封闭曲线OABO解ⅰ）沿抛物线从O 到B ：⎰+Lydx xdy =()[]dx x x x ⎰+1224=2ⅱ）沿直线段O B ：x y 2=，⎰+Lydx xdy =()dx x x ⎰+122=2注：这里不同路径积分值相同 ⅲ）沿封闭曲线OABO ：⎰+Lydx xdy =⎰+OAydx xdy +⎰+ABydx xdy +⎰+BOydx xdy =()0220=-++注：由于这里不同路径积分值相同，造成沿封闭曲线的值为0 空间曲线时有：设有空间光滑曲线L ：()()()[]βα,,,,∈⎪⎩⎪⎨⎧===t t z z t y y t x x 起点为()()()()αααz y x ,,，终点为()()()()βββz y x ,,则有：⎰++L Rzy Qdy Pdx =()()()()()()()()()()()()()()()[]⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P ,,,,,, 注：仍为起点参数作下限，终点参数作上限．例3计算第二型曲线积分()⎰+++Ldz x dy y x xydx 2，L 是螺旋线：t a x cos =，t a y sin =，bt z =从0=t 到π=t 上的一段解 ()⎰+++Ldz x dy y x xydx 2=()⎰+-+-π2222223cos cos sin cos sin cos dt t b a t t a t a t t a=()πb a +1212 例4求力F ()z y x x y ++-,,作用下ⅰ）质点由A 沿螺旋线 1L 到B 所做的功，其中1L ：t a x cos =，t a y sin =，bt z =，π20≤≤t ,ⅱ）质点由A 沿直线 2L 到B 所做的功 解 ⅰ）W =()⎰+++-Ldz z y x xdy ydx=()⎰+++--π2022222sin cos cos sin dt t b t ab t ab t a t a=()222a b -ππⅱ）W =()⎰+++-Ldz z y x xdy ydx=()⎰+π20dt t a =()b a b ππ+2注：这里不同路径积分值不同．第二十章 习题课1§1第一型曲线积分例1 求⎰++Lds zx yz xy )(，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线.解法1 ⎰++Lds zx yz xy )(⎰++=Lds zx yz xy )(221⎰++-++=Lds z y x z y x )]()[(212222 ⎰++-=L ds z y x )(21222⎰-=-=La ds a 322π 解法2 求曲线L 的参数方程.由2222a z y x =++，0=++z y x 消去y ，得2222)(a z z x x =+++即 )231(2)2(2222z aa z x -=+ 令t a z sin 32=，则)231(22222z aa z x -±-=t a t a sin 6cos 2-±= t at a z x y sin 6cos 2)(-=+-=于是得到两组参数方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-=t a z t a t a y t a t a x sin 32sin 6cos 2sin 6cos 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=t a z t a t a y t a t a x sin 32sin 6cos 2sin 6cos 2 我们可任选一组，例如第一组.显然，被积函数和L 都具有轮换对称性，则⎰++Lds zx yz xy )(⎰=Lzxds 3⎰=π202sin 3t a dt t z t y t x t t )()()()sin 31(cos 222'+'+'-⎰=π203sin 3t adt t t )sin 31(cos -32023sin a dt t aππ-=-=⎰解法 3 作坐标旋转.就坐标是),(y x ，新坐标是),(Y X ，旋转角为θ，则旋转变换的一般公式为θθsin cos Y X x -=， θθcos sin Y X y +=因为平面0=++z y x 的单位法矢为}1,1,1{31=n ，则它与z 轴的夹角余弦为31cos =φ.下面分两步进行旋转，先将Oxy 平面旋转4π，得新坐标系vz u O '；再将u Oz '平面旋转φ，得新坐标系Ouvw .即Oxyz → vz u O ' → Ouvw 由旋转公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'=-'=)(21)(21v u y v u x ⎩⎨⎧+='-=φφφφcos sin sin cos u w u u w z 于是得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++=+-=φφφφφφsin cos )sin cos (21)sin cos (21u w z w v u y w v u x 在这组变换下，曲线L ：2222a z y x =++，0=++z y x 变为2222a w v u =++，0=w ，故⎰++L ds zx yz xy )(⎰=L xyds 3⎰+-=Lds v u v u )cos )(cos (23φφ ⎰-=L ds v u )cos (23222φds v u L)3(2122-=⎰ ds v v u L]4)([21222-+=⎰320233sin 2a tdt a a πππ-=-=⎰ 注1 三种解法各具特点：解法1技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分. 解法2常规的方法，即写出参数方程 → 套公式 → 计算定积分这里主要难在第一步，写参数方程.通过解法2，给出了一种求参数方程的方法.解法3先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算.Oxyz 坐标系下的线积分 → Ouvw 坐标系下的线积分 → 写出参数方程 → 套公式 → 计算定积分在新的坐标下，曲线有简单的参数方程.这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程.第二十章习题课2§2 第二型曲线积分例1 计算曲线积分⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222，（1）L 是球面三角形1222=++z y x ，0>x ，0>y ，0>z 的边界线，从球的外侧看去，L 的方向为逆时针方向；（2）L 是球面2222a z y x =++和柱面)0(22>=+a ax y x 的交线位于Oxy 平面上方的部分，从x 轴上))(0,0,(a b b >点看去，L 是顺时针方向.解 （1）显然，L 具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将L 分为三段1L ：122=+y x ，0=z （0>x ，0>y ） 2L ：122=+z y ，0=x （0>y ，0>z ） 3L ：122=+z x ，0=y （0>x ，0>z ）则 ⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-+-+-=1)()()(3222222L dz y x dy x z dx z y⎰-=1223L dy x dx y 4)1(3)1(312012-=---=⎰⎰dy y dx x或 ⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-=Ldx z y )(322⎰⎰⎰-++=312))((322L L L dx z y⎰⎰-+=132233L L dx z dx y 4)1(3)1(312012-=---=⎰⎰dx x dx x注1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍.它们的区别在于第一种方法：积分表达式不变，积分化为1L 上的积分的3倍.第二种方法：积分曲线L 不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍.问题1 是否可化为既是1L 上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的3倍，即⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-=1)(922L dx z y（2）曲线关于Ozx 平面对称，且方向相反⎰-Ldx z y )(22⎰≥-=0,22)(y L dx z y ⎰≤=-+0,220)(y L dx z y 同理 ⎰-Ldz y x )(22⎰≥-=,22)(y L dz y x 0)(0,22=-=⎰≤y L dz y x 故 ⎰-+-+-=L dz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-=Ldy x z )(22下面求曲线L 的参数方程. 方法1 利用球面的参数方程φθsin cos a x =，φθsin sin a y =，φcos a z =，代入柱面方程ax y x =+22得θφcos sin =，于是得L 的参数方程θ2cos a x =， θθcos sin a y =， |sin |θa z =， θ从2π到2π-方法2 利用柱面的参数方程θcos 22a a x +=，θsin 2a y =，代入球面方程2222a z y x =++，得L 的参数方程 θcos 22a a x +=， θsin 2a y =， |2sin |θa z =， θ从π2到0不妨取方法1中的参数方程进行计算， ⎰-=Ldy x z I )(22⎰---=2/2/22422)sin (cos ]cos [sin ππθθθθθd a a ⎰---=02/2423)1cos 2](cos cos 1[2πθθθθd a⎰--+--=2/06423)cos 2cos cos 31(2πθθθθd a332]224635222434321[2a a ππ=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-+--=注2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0.值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的.例如第一项积分，曲线关于Ozx平面对称，且方向相反，而被积函数关于y是偶函数（不是奇函数），则⎰-Ldx zy)(22⎰≥-=,2 2)( y Ldxzy⎰≤=-+,220)(yLdxzy上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的. [作业] 教材P203:1;2;3.。
曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分-图文并茂-自学必备)
x 2d s y 2 d s z 2d s
( 2a ds , 球面大圆周长 )
18
对弧长的曲线积分
例5 曲线
是中心在
( R,0), 半径为R
2
的上半圆周.求 提示:用极坐标
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.
14
对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到
L
( 2,2)的一段 .
2
对x积分?
2
y (0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 3
2
2
2
通过几何直观,还有更简单的方法吗?
21
x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 2 1, ( x 0, y 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z c
之间部分的面积.
提示:
xy A ds L c
x y L : 2 2 1 a b
2
2
22
对弧长的曲线积分
3
解 对称性,得
y
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 x=0对称,
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L
第二类曲线积分计算公式
第二类曲线积分计算公式曲线积分是高等数学中的重要概念，它是对向量场在曲线上的积分。
在积分过程中，我们需要根据曲线的特性来选择适合的计算公式。
第二类曲线积分计算公式是其中一种常用的公式，它可以帮助我们计算向量场在曲线上的积分。
本文将详细介绍第二类曲线积分计算公式的定义、性质以及应用。
一、第二类曲线积分计算公式的定义在介绍第二类曲线积分计算公式之前，我们需要先了解一下曲线积分的概念。
对于一个二维向量场 $F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，我们可以定义其在曲线 $C: y=f(x)$ 上的积分为：$$int_C F(x,y)cdot ds=int_a^bF(x,f(x))cdotsqrt{1+(f'(x))^2}dx$$其中，$ds=sqrt{1+(f'(x))^2}dx$ 表示曲线元素。
这个积分式子就是曲线积分的基本形式。
在这个基础上，我们可以继续分类讨论，分成第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第二类曲线积分是指曲线积分中，积分项中的 $F(x,y)$ 为一个梯度场的情况。
具体来说，如果存在一个标量场$varphi(x,y)$，使得 $ablavarphi(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，那么我们就称$F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$ 为一个梯度场。
此时，第二类曲线积分的计算公式为：$$int_C F(x,y)cdot ds=varphi(B)-varphi(A)$$其中，$A$ 和 $B$ 分别表示曲线 $C$ 的起点和终点。
也就是说，第二类曲线积分的结果只与曲线的起点和终点有关，与曲线的具体形状无关。
二、第二类曲线积分计算公式的性质第二类曲线积分计算公式有以下几个重要的性质：1. 线性性质对于任意两个梯度场 $F_1(x,y)=(P_1(x,y),Q_1(x,y))$ 和$F_2(x,y)=(P_2(x,y),Q_2(x,y))$，以及任意两个标量场$varphi_1(x,y)$ 和 $varphi_2(x,y)$，有：$$int_C (F_1(x,y)+F_2(x,y))cdot ds=int_C F_1(x,y)cdot ds+int_C F_2(x,y)cdot ds$$$$int_C (kcdot F(x,y))cdot ds=kcdotint_C F(x,y)cdot ds$$$$int_C (varphi_1(x,y)+varphi_2(x,y))cdot ds=int_C varphi_1(x,y)cdot ds+int_C varphi_2(x,y)cdot ds$$$$int_C (kcdotvarphi(x,y))cdot ds=kcdotint_Cvarphi(x,y)cdot ds$$其中，$k$ 是任意常数。
第二类曲线积分
上限b L的终点B
即计算定积分：
a不一定小于 b ! 即可；
2º如果 L 的方程为 y ψ ( x), x : a b,
b P[ x, ψ ( x)] Q[x, ψ ( x)] ψ( x)dx a
x φ(t)
3º对空间光滑曲线弧
:
y
ψ(t)
z ω(t)
t:α β
{P[ (t), (t), (t)](t) (t)
(t )
格林公式
定理（Green公式）设平面区域 D 是由分段
光滑闭曲线围成, 函数 有连续一阶偏导数, 则
在 D上具
(Q P )dxd y Pdx Qd y
x y
D
D
—— 格林公式
其中D是D的边界曲线正向.
注 1° 区域连通性分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域；
P
LD
dPxdxQ
dQyd
y
.
DP Q
LL
4º格林公式的条件：
① L封闭，取正向;
DD
(负)
② P，Q在L所围区域D上有一阶连续偏导数.
5º对复连通区域 D 应用格林公式，
Q P dxd y D x y
D P dx Qd y
公式右端的D应包括沿区域D的全部边界，
且边界的方向对 D 来说都是正向.
注 1º定理中关于区域的单连通性和函数P、Q
的一阶偏导数的连续性两个条件缺一不可.
缺少一个，定理结论不一定成立.
反例1
I
L
xd y x2
yd y2
x
2
0
L :包围(0,0)的任一条正向闭曲线.
曲线积分的应用原理
曲线积分的应用原理1. 什么是曲线积分？曲线积分是微积分中的一个重要概念，它描述了沿曲线路径上的函数值的累积效应。
也可以说，曲线积分是一种通过将函数沿曲线路径的小段进行累加来求得整个曲线上函数的总和的方法。
2. 曲线积分的基本形式曲线积分可以分为两种基本形式：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
2.1 第一类曲线积分第一类曲线积分也称为定积分，它是将函数f(x,y)沿曲线C的弧长l进行累加的过程。
其数学表达式为：$\\int_C f(x,y) ds$这里，ds表示曲线上的微元弧长。
2.2 第二类曲线积分第二类曲线积分也称为曲线积分，它是将函数F(x,y)对曲线C上的切向量进行点积再进行累加的过程。
其数学表达式为：$\\int_C F \\cdot dr$这里，F表示向量函数，dr表示曲线上的微元位移向量。
3. 曲线积分的应用曲线积分在物理学和工程学中有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用领域及其原理。
3.1 电场强度的计算曲线积分可以应用于计算电场强度。
根据库仑定律，电场强度可以用以下公式表示：$E = \\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0} \\int_C \\frac{q}{r^2} dr$其中，$\\epsilon_0$是真空的电介质常数，q是电荷量，r是距离。
这个式子表示了沿曲线C积分的点积，其计算结果可以用来求解电场强度。
3.2 流体的流量计算曲线积分也可以应用于计算流体的流量。
通过对流体速度V进行曲线积分，可以得到流体通过曲线C的总流量。
其数学表达式为：$\\Phi = \\int_C V \\cdot dr$这个式子表示了速度与位移的点积累加，其计算结果可以用来求解流体的流量。
3.3 物体运动的质量分布曲线积分还可以应用于计算物体运动的质量分布。
通过对质量密度$\\rho$进行曲线积分，可以得到物体在曲线C上的总质量。
其数学表达式为：$m = \\int_C \\rho \\cdot ds$这个式子表示了密度与弧长的累加过程，其计算结果可以用来求解物体运动的总质量。
对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线-
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, ,n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L上对坐 标 x的积分, 记为
作用下, 沿曲线 L 从点 A移到点B, 则力F 所做的功为
W yzdx 3xzdy 2xydz.
而在曲线上, 有
dy dz
x dx, a2 x2
z
y a2 x2
yz0
O
y
x
W yzdx 3xz`dy 2xydz
yzdx xzdy
a
a2
x2
x
a2 x2
a
a a2dx 2a3. a
x dx
a2 x2
三、两类曲线积分的联系
变到 时, 点 M x, y 从 L的起点 A沿L移动到L 的终
点B, 则有
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
b
a
P
(t
),
(t
)
(t
)
Q
(t
),
(t
)
(t
)dt.
（8.7）
下面来推导该公式.
因 P x, y,Qx, y在 L 上连续, 故所给的曲线积分
定存在. 在 L上取取一一列点 A M 0 , M1, M 2 , , M n1,
故, 单位切向量为
y
e
1 1,2x.
1 4x2
y x2
O
x
2.变力沿曲线的作功问题
设一质点从点 A沿光滑的平面曲线 L移动到点 B, 在移
高等数学-第二类曲线积分
【例8-2】设有一平面力场F(x,y)=(x+y,y-x)，一质点在 F(x,y)作用下运动，求下列情形下F(x,y)所作的功．
（1）质点从点A(1,1)到点C(4,2)沿抛物线y2=x的一段弧；
（2）质点从点A(1,1)到点C(4,2) 的直线段；
（3）质点从点A(1,1)沿直线到点B(1,2)，再沿直线到点
注意 :
在第二类曲线积分中,L 是有方向的,
若 L 表示从 A 到 B 的方向, L 表示从 B 到 A的方向,
则 P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
L
第二类曲线积分的计算
设
r
r
r
F (x, y) P(x, y)i Q(x, y) j (P(x, y),Q(x, y))
(1) 对 uuuuuuur
L
进行分割:Mi (xi , yi )(i
0,1,L
, n), si
M¼i 1M i的长度.
Mi1Mi (xi xi1, yi yi1) (xi , yi ). T m1iaxn {si}.
(2)
求和: 取 (i,ri ) M¼iu1uMuuiu,uuFrr (x, y) 在
曲线
L
:
x y
x(t) y(t)
,
且起点 A 对应 t ,终点 B 对应 t ,则
P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
[P(x(t), y(t))x '(t) Q(x(t), y(t)) y '(t)]dt
【例8-1】计算曲线积分 I L xd y yd x ，L为椭圆周 x=acost，y=bsint上对应于t 从0到 的一段弧．
第二类曲线与曲面积分
·293·第二类曲线与曲面积分（一） 基本概念1.第二类曲线积分定义 6.5 若矢量函数()()()(){}z y x R z y x Q z y x P z y x A ,,,,,,,,,,=与曲线AB Γ上点(x,y,z)处切线的单位矢量{}γβαcos ,cos ,cos 0=(且0T 的方向AB Γ指定的方向一致)的点乘积在AB Γ上的第一类曲线积分().0ds T A A B⋅⎰Γ存在 该积分值称为()z y x A ,,沿曲线Γ从A 到B 的第二类曲线积分。
()ds T A 0 ⋅⎰Γ的物理意义是：当流体流速为A沿闭合曲线Γ指定的方向通过的环流量。
注：由定义知第二类曲线积分是特殊的第一类曲线积分。
若把A .0T 看成数量函数，这个积分也具有第一类曲线积分的性质。
由定义容易得到下面两个性质性质1()()ds T A ds T A B A A B0 ⋅-=⋅⎰⎰ΓΓ注：等式左右两边的0T 正好相差一个符号。
性质 2 若有向曲线AB Γ是由有向曲线AC Γ，CB Γ首尾相接而成，则()()().000ds T A ds T A ds T A CB A C A B⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰ΓΓΓ记 {}{}.,,cos ,cos ,cos 0dz dy dx ds ds T s d ===γβα注：dx x ds =∆=αcos 是ds 在x 轴上的有向投影，当α为锐角，0>dx ，当α为钝角，0<dx ，0,2==dx πα，而dz dy ,是ds 分别在y 轴，z 轴上的有向投影，从而第二类曲线积分五种形式之一出现：()()()()()()()().,,,,,,,,,,,,cos cos cos 0⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓΓΓ++=++=⋅=++=⋅A BA BA BA BA B A BA Bdz z y x R dy z y x Q dx z y x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P s d A ds R Q P ds T Aγβα 而常常以形式()()()⎰Γ++A Bdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,出现的较多，如果是直接计算，不论是给哪一种形式出现，都需化成()()()⎰Γ++A Bdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,的形式（最后一种形式和上面形式实际上是相同的）·294· 若曲线()()()⎪⎩⎪⎨⎧===Γt z z t y y t x x AB:，为光滑曲线且起点A 对应的参数为A t ，终点B 对应的参数为B t ，则 ()()()⎰Γ++A Bdzz y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,()()()()()()()()()()()()()()()[].,,,,,,dt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P B At t ⎰'+'+'=必须注意，公式中的A t ，B t 一定要与曲线的起点A 终点B 相对应。
第二类曲线积分
x
∆Wk ≈ F(ξk , ηk ) ⋅ Mk−1Mk
= P(ξk , ηk )∆xk + Q(ξk , ηk )∆ yk
3º “近似和” 近似和” 近似和
W ≈ ∑ [P(ξk , ηk )∆xk + Q(ξk , ηk )∆ yk ]
k=1
n
4º “取极限” 取极限” 取极限 变力沿曲线所作的功
x
A(1,−1)
-1
注意积分 路径的 表示形式
例2 计算
其中 L 为
(1) 半径为 a 圆心在原点的
o 上半圆周, 方向为逆时针方向; 上半圆周 方向为逆时针方向 −a (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 沿
解 (1) L: 则
沿不同的路径 积分， 积分，其结果 B 不同 A
→
→
W = ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
L
性质 (1) 线性性质：∀α，β ∈ R1 线性性质：
∫
→ → → [α F1( x, y) + β F2( x, y)]⋅ d r L → → F1( x, y) ⋅ d r +β
= α∫
L
∫L
→ → F 2( x, y) ⋅ d r
切向量 r′(t ) = (−sint, cos t ) 与L方向相反 方向相反. 方向相反
2 沿不同的路径 x= y 积分， 积分，所得到 2 y=x 结果相同
L : OA+ AB.
1
o
= 4∫
A(1, 0) x
1 3 x dx 0
= ∫ ( 2y2 y ⋅ 2y + y4 )dy
第二类曲线积分
高等数学（ZYH）
F (k , k , k ) rk
n
F (k ,k , k )
F
s1
3) 求和：
n
A
rk 1
O
sk rk rk
sn
B
W lim F (k , k , k ) rk 4) 取极限：
0
k 1
记作
n
P( x, y, z ) d x Q ( x, y, z ) d y R( x, y, z ) d z（分量形式）
（对坐标x 的曲线积分）
其中 lim P (k , k , k ) xk P( x, y, z ) d x 0
k 1
去掉第三分量就是第二类(对坐标的)平面曲线积分
lim
0
P ( , ) x
k 1 k k
n
k
Q (k , k ) yk
记作
P ( x, y ) d x Q ( x, y ) d y
高等数学（ZYH）
二、第二类曲线积分的性质
1. 积分的存在性 有界闭曲线上的 (分段) 连续函数必可积 (积分存在) 2. 线性性质
第二类(对坐标的)空间曲线积分
lim F (k , k , k ) rk
n
记作
0
k 1
n
F ( x, y , z ) d r
（向量形式）
lim
0
P ( , ,
k 1 k k
k
) xk Q (k , k , k ) yk R (k , k , k ) zk
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微积分
8.3
第二类曲线积分
设 M ( x( t ), y( t ), z ( t )) , N ( x ( t t ), y( t t ), z ( t t ))
则当a b时， 在点M 处的切向量 ( x( t ), y( t ), z( t )) 则当a b时， 在点M 处的切向量 ( x( t ), y( t ), z( t ))
B(4 , 4 , 2) , 求 F 所作的功 W.
向坐标原点,
解: F k ( r 0 ) k xi y j z k z z x2 yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ z 2
L
其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.
z
r
o x
B A
y
W F d s k
xdx ydyzdz
W
AB
k x dx k yd y
x a cos t t :0 AB : y b sin t 2
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微积分
8.3
第二类曲线积分
2. 已知 为折线 ABCOA(如图), 计算
提示:
AB
0 1
dxd y
0 1
BC
d y y d z 0 OA d x
8.3
第二类曲线积分
二、第二类曲线积分的概念
变力F 沿定向曲线 L
实例：
y
Mi
M n 1
B
所作的功, L : A B , A o 设 F ( P ( x , y ), Q ( x , y ))
在L上连续,
LM
M1 M2
i 1
x
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微积分
8.3
第二类曲线积分
功元素 dW F dr cos
F dr F e ds (dr为定向弧元素) W ( F e )ds
L
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微积分
8.3
第二类曲线积分
向量值函数F ( P ( x , y ), Q( x , y ))在定向曲线L上
定义：
的曲线积分为
L
到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
y2 x
4 答案: 5
A(1,1)
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微积分
2
8.3
第二类曲线积分
例2、 L y dx , 其中L为 计算
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; (2) 从点 A(a ,0) 沿 x 轴到点 B( a ,0) 的直线段.
B( a,0)
b a
Q[ x ( t ), y( t ), z ( t )] y ( t ) R[ x ( t ), y( t ), z ( t )]z ( t )}dt
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微积分
8.3
第二类曲线积分
例4. 设在力场
沿移动到 其中为
作用下, 质点由
z
B
A x
y
试求力场对质点所作的功.
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微积分
b a
(2) L : x x( y ) y起点为c, 终点为d . 则
L
Pdx Qdy { P[ x( y ), y ] x ( y ) Q[ x ( y ), y ]}dy .
d c
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微积分
8.3
第二类曲线积分
例1、 2 计算 xydx , 其中L为抛物线 y x上从A(1, 1)
四、推广
P ( x , y , z )dx Q( x , y , z )dy R( x , y , z )dz
F dr
( F e )ds
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微积分
8.3
第二类曲线积分
且有
Pdx Qdy Rdz
{ P[ x ( t ), y( t ), z ( t )] x ( t )
3、物理意义： F dr表示变力F沿定向曲线L
L
L
从起点到终点所做的功.
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微积分
8.3
第二类曲线积分
4、性质 (设 L是定向曲线)
(1)线性性质
L
( F G ) dr F dr G dr
计算步骤：
(1)写出L的参数方程 (带方向) t : a b
(2)表为定积分并计算( x , y分别用x( t ), y( t )代替).
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微积分
8.3
第二类曲线积分
特殊情形： (1) L : y y( x ) x起点为a , 终点为b. 则
L
Pdx Qdy { P[ x , y( x )] Q[ x , y( x )] y ( x )}dx .
2
(2) 有向折线OAB，这里O , A, B依次是点(0,0) (1,0),(1,1).
B(1,1)
B(1,1)
y x2
A(1,0)
A(1,0)
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答案 : (1) 1; (2) 1.
微积分
8.3
第二类曲线积分
注意：
被积函数相同，起点和终点也相同， 但路径不同而积分结果相同.
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微积分
8.3
练习、
求 ydx zdy xdz , 其中 是从A(2,0,0)到 B(3,4,5)再到C (3,4,0)的折线段.
19 答案: 2
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微积分
8.3
第二类曲线积分
五、小结 1、第二类曲线积分的概念 2、第二类曲线积分的计算
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微积分
8.3
第二类曲线积分
思考题：
当曲线 L 的参数方程与参数的变化范围给定之后 （例如 L： x a cos t ， y a sin t ， t [0, 2] ， a 是正常数），试问如何表示 L 的方向（如 L 表 示为顺时针方向、逆时针方向）？
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微积分
8.3
第二类曲线积分
思考题解答： 曲线方向由参数的变化方向而定.
例如 L ： x a cos t ， y a sin t ，t [0,2 ]中
L 当t 从 0 变到2 时， 取逆时针方向;
L 反之当t 从2 变到 0 时， 取顺时针方向.
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微积分
8.3
处受
备用题
1. 设一个质点在 力F 的作用,
(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;
(2) 计算曲线积分
解: (1)
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微积分
(2) 原式 =
8.3
第二类曲线积分
令
利用“偶倍奇零 ”
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1
2dx (1 y )d y dx
0
z
C (0,0,1) y z 1
1 2 (1 ) 1 2
B(0,1,0) o y x y 1 A(1,0,0) x
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微积分
3.
线移动到
8.3
第二类曲线积分
已知 F 的方向指
一质点在力场F 作用下由点
A(2 , 2 ,1) 沿直
三、第二类曲线积分的计算 定理：
设P ( x , y ), Q ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续, x x ( t ), L的参数方程为 当参数t单调地由a变 y y( t ), 到b时, 点M ( x , y )从L的起点A沿L运动到终点B , x ( t ), y( t )在以 a及 b为端点的闭区间上具有一 阶连续导数, 且 x 2 ( t ) y 2 ( t ) 0, 则曲线积分
L L
(2)可加性 ( L L1 L2 )
L
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy .
L1 L2
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微积分
8.3
第二类曲线积分
(3)方向性
L
Pdx Qdy Pdx Qdy
L
即第二类曲线积分与曲线的方向有关.
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微积分
8.3
第二类曲线积分
解: 取 的参数方程
x cos t , y sin t ,
z 2 cos t sin t ( t : 2 0 )
(2 2 cos t sin t ) cos t
2 0
(1 4 cos 2 t ) d t 2
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微积分
8.3
第二类曲线积分
第二类曲线积分 y B(0, b) M ( x, y )
F 的大小与M 到原
F 的方向 沿椭圆
F
o
A(a,0) x
原点 O 的距离成正比, 恒指向原点,
此质点由点
沿逆时针移动到 提示:
求力F 所作的功. 改为与OM 垂直且 与 yF k( y , x ) 轴夹锐角,则
OM ( x , y ) , F k ( x , y) 思考: 若题中F 的方向
微积分
8.3
第二类曲线积分
第三节
向量值函数在定向曲线上的积分 （第二类曲线积分） 一、定向曲线及其切向量 二、第二类曲线积分的概念 三、第二类曲线积分的计算 四、推广 五、小结
作业
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8.3
第二类曲线积分
一、定向曲线及其切向量 定向曲线： 规定了方向的曲线.
若定向曲线 的参数方程为
x x(t ) y y( t ) z z(t )
L
x 2t 2 L : y 2 t 2 (t : 0 1) z t 1 1 3d t 3k ln 2 k 0 t 1