曲线积分的计算法
第一类曲线积分计算
第一类曲线积分计算【原创实用版】目录一、曲线积分的概述二、第一类曲线积分的计算方法1.直线参数方程2.圆参数方程3.一般曲线参数方程三、第一类曲线积分的应用实例正文一、曲线积分的概述曲线积分是一种数学工具，用于计算空间曲线上的向量场在某一段曲线上的积分。
它可以用来求解物理量，如质点在曲线路径上的速度、加速度等。
曲线积分分为两类，本篇主要介绍第一类曲线积分的计算方法。
二、第一类曲线积分的计算方法1.直线参数方程假设有一条直线 L，其参数方程为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为直线上的点。
我们可以通过以下步骤计算直线 L 上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在直线 L 上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算直线 L 上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。
2.圆参数方程假设有一个圆 C，其参数方程为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为圆上的点。
我们可以通过以下步骤计算圆 C 上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在圆 C 上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算圆 C 上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。
3.一般曲线参数方程对于一般的曲线，我们可以将其参数方程表示为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为曲线上的点。
我们可以通过以下步骤计算一般曲线上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在曲线上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算曲线上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。
曲线积分的计算方法
曲线积分的计算方法曲线积分是微积分中的重要概念，它在物理、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
曲线积分的计算方法有很多种，下面我们将逐一介绍。
首先，我们来看一下曲线积分的定义。
设曲线C为一条光滑曲线，其参数方程为x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b。
函数f(x,y)在曲线C上有定义，则曲线积分的定义为：∫f(x,y)ds=∫(f(x(t),y(t))·√(x'(t)²+y'(t)²))dt。
其中，ds表示弧长元素，x'(t)和y'(t)分别表示x和y关于参数t的导数。
接下来，我们介绍曲线积分的计算方法之一——参数方程法。
对于曲线积分∫f(x,y)ds，我们可以利用曲线C的参数方程x=x(t)，y=y(t)来进行计算。
首先，我们需要将曲线C的参数方程代入到被积函数f(x,y)中，得到f(x(t),y(t))。
然后，我们计算出弧长元素ds，即√(x'(t)²+y'(t)²)dt。
最后，将f(x(t),y(t))·√(x'(t)²+y'(t)²)dt在参数区间[a,b]上进行积分即可得到曲线积分的值。
其次，我们介绍曲线积分的计算方法之二——直角坐标系下的计算方法。
在直角坐标系下，曲线积分∫f(x,y)ds可以转化为∫f(x(t),y(t))·√(x'(t)²+y'(t)²)dt的形式。
我们可以先将曲线C的参数方程x=x(t)，y=y(t)转化为直角坐标系下的参数方程x=x(t)，y=y(t)，然后按照参数方程法进行计算即可。
最后，我们介绍曲线积分的计算方法之三——极坐标系下的计算方法。
对于一些具有极坐标方程r=r(θ)的曲线C，我们可以利用极坐标系下的参数方程x=r(θ)cos(θ)，y=r(θ)sin(θ)来进行曲线积分的计算。
空间曲线积分
空间曲线积分空间曲线积分是向量分析中的一个重要概念，用于描述曲线在三维空间中的积分性质。
它在物理学、工程学和数学等领域中具有广泛的应用。
在本文中，将介绍空间曲线积分的基本定义、计算方法以及一些实际应用。
一、基本定义空间曲线积分是对曲线上的向量场进行积分的一种方式。
设有参数化曲线C，可以用向量函数r(t)表示，其中t为参数。
向量函数r(t)的曲线可写为C:r(t)= (x(t), y(t), z(t))，t∈[a, b]，a和b为参数的起始和终止值。
向量函数r(t)描述了曲线上点的位置。
二、计算方法1. 第一种类型：标量场的空间曲线积分如果曲线积分中的被积函数为标量场，则空间曲线积分的计算方法如下：∫f(x, y, z) ds = ∫f(x(t), y(t), z(t)) |r'(t)| dt其中，f(x, y, z)为被积函数，|r'(t)|为曲线的切向量长度，也可以表示为|r'(t)|= √((dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²)。
2. 第二种类型：向量场的空间曲线积分如果曲线积分中的被积函数为向量场，则空间曲线积分的计算方法如下：∫F · ds = ∫F(x(t), y(t), z(t)) · r'(t) dt其中，F(x, y, z)为向量场，F(x(t), y(t), z(t))为曲线上每一点的向量值，·表示向量的点乘运算。
三、实际应用空间曲线积分在物理学和工程学中有广泛的应用。
以下是几个实际应用的例子：1. 力学中的功在力学中，空间曲线积分可以用来计算力在曲线上的做功。
假设物体沿曲线C移动，受到力场F的作用，那么力在曲线上的做功可以表示为∫F · ds。
通过计算力场在曲线上的积分，可以得到物体在移动过程中所做的总功。
2. 电磁学中的感应电动势在电磁学中，当导体运动穿过磁感应线时，会感应出电动势。
《高数》第十章习题课-线面积分的计算
12
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周 提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
L
L
2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy
a a
(1 cos sin t
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
P185 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
场力所作的功与所取的路径无关.
证明在此力场中
P185 10. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
3
16
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
17
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 重心公式
20
例4. 设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
(常向量)
则 cos( n ,a ) d S n a 0 dS
第一类曲线积分定义
第一类曲线积分定义曲线积分是数学分析中的一种重要概念，可以用来描述曲线上某个向量场的沿曲线的累积效应。
在曲线积分的研究中，第一类曲线积分是最基本的一种形式，它的定义及其性质对于理解和研究其他类型的曲线积分都具有重要意义。
本文将介绍第一类曲线积分的定义、计算方法和一些基本性质。
一、第一类曲线积分的定义设C为一条光滑曲线，P(x,y)为C上的任意一点，f(x,y)为定义在C上的标量函数，则在C上对f(x,y)的第一类曲线积分定义如下：∫Cf(x,y)ds其中ds表示曲线C上的一个长度微元，即ds=√[dx²+dy²]。
该式的意义为将曲线C分为若干小段，对每一小段上的f(x,y)进行积分求和，然后将这些积分结果相加得到整条曲线上的积分值。
二、第一类曲线积分的计算方法对于一些简单的曲线如直线、圆弧等，可以通过参数方程或直接计算弧长来求出曲线的长度微元ds。
但是对于复杂的曲线，曲线长度的计算则需要借助曲线积分进行。
下面介绍两种求解第一类曲线积分的常用方法。
1.参数化计算法将曲线C表示为x=x(t)，y=y(t)，t∈[a,b]的参数方程形式，则有：ds=√[dx²+dy²]=√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]dt因此，第一类曲线积分可以表示为：∫Cf(x,y)ds=∫bf(x(t),y(t))√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]dt2.直接计算法对于一些对称的曲线如圆、椭圆等，可以使用极坐标或直角坐标变换将曲线简化为较为简单的形式。
例如，对于以原点为中心，半径为r的圆弧C，我们可以使用x=rcos(θ)，y=rsin(θ)的参数方程表示曲线C，然后计算曲线C上的积分。
三、第一类曲线积分的基本性质1. 可加性：若C可以表示为C1和C2的组合，即C=C1+C2，则有∫Cf(x,y)ds=∫C1f(x,y)ds+∫C2f(x,y)ds2. 线性性：对于任意实数a,b和定义在曲线C上的标量函数f(x,y)和g(x,y)，有∫C(af(x,y)+bg(x,y))ds=a∫Cf(x,y)ds+b∫Cg(x,y)ds3. 保号性：若曲线C的方向与正方向相同时，当f(x,y)>0时，∫Cf(x,y)ds>0；当f(x,y)<0时，∫Cf(x,y)ds<0。
第一类曲线积分的三种计算方式
第一类曲线积分的三种计算方式1.参数方程法参数方程法是最常用的计算第一类曲线积分的方法之一、它利用参数方程将曲线分成若干小段，然后计算每一小段上的积分，最后将所有小段上的积分相加得到整个曲线上的积分值。
具体步骤如下：1.将曲线的参数方程表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中t的取值范围为[a,b]。
2.求出曲线的切线向量T(t)和曲率向量K(t)。
3.将向量场F(x,y,z)表示为F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k。
4. 计算曲线段的长度ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)，其中dx=f'(t)dt，dy=g'(t)dt，dz=h'(t)dt。
5.将向量场在曲线上的投影F·T计算出来。
6. 将F·T乘以ds，再积分得到曲线上的积分。
参数方程法的优点是适用于任意形状的曲线，缺点是当曲线的参数方程比较复杂时，计算较为繁琐。
2.向量场法向量场法是计算第一类曲线积分的另一种常见方法。
它直接利用向量场在曲线上的投影与曲线段的长度相乘然后积分，而无需转化为参数方程。
具体步骤如下：1.将向量场F(x,y,z)表示为F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k。
2.将曲线表示为r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k，其中t的取值范围为[a,b]。
3. 计算向量场在曲线上的投影F·dr，其中dr=dx i+dy j+dz k，dx=x'(t)dt，dy=y'(t)dt，dz=z'(t)dt。
4. 将F·dr积分得到曲线上的积分。
向量场法的优点是计算较为简单直接，而无需转化为参数方程，缺点是不适用于复杂的曲线形状。
3.微积分基本定理法微积分基本定理法是计算第一类曲线积分的另一个重要方法。
它利用微积分基本定理将曲线积分转化为定积分，从而简化计算过程。
曲线积分计算方法
解: IR 1 3x d yd zyd zd x zd x d y
思考: 计算 ?
本题R13改 为3d椭x球dy面dzax224πby22
cz22
1时,
应如何
提示: 在椭球面内作辅助小球面 x2y2z22取
内侧, 然后用高斯公式 .
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例7. 设 是曲面 1z(x2)2(y1)2 (z0), 5 16 9
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
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一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 第二类
( (
对弧长 对坐标
) )
转化
定积分
用参数方程
(1) 选择积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
原 式 a2 2πtsitndt 0 a2tco tsitn 2 0π2πa2
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P244 3(6). 计算 xyzdz,其中 由平面 y = z 截球面
x2 y2 z21所得 ,从 z 轴正向看沿逆时针方向.
提示: 因在 上有 x22y21,故
z
xco t s
:
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例1. 计算 I (x2yz2)ds, 其中 为曲线
x2xyy2zz20a2 解: 利用轮换对称性 , 有
z
y
O
x2ds y2ds z2ds
x
利用重心公式知
ydsy ds0
( 的重心在原点)
I2 (x2y2z2)ds 3
2a2 ds 4 π a 3
第七讲线面积分
S : z = z0 + r2 − ( x − x0 )2 − ( y − )y0 2 ，方向向上，若对任何点 ( x0, y0, z0 ) 和
r>0，第二型曲面积分
S
Pdydz
+
Rdxdy
=
0
。证明
P x
=
0
（2016
年，第
7
届决赛，14 分）
斯托克斯公式
6
( ) ( ) ( ) 例 22 求 I = y2 + z2 dx + z2 + x2 dy + x2 + y2 dz ，L 是球面 x2 + y2 + z2 = 2bx L
（1） S
(
z x, y,
z
)dS
；（2） S
z
(
x
+
3
y
+
z
)dS
（2011
年，第
2
届决赛，
16 分）
对坐标的曲面积分Βιβλιοθήκη 例15计算
axdydz + (
x2 +
z+ y2
a +
)2 dxdy
z2
，Σ
是下半球面 z = −
a2 − x2 − y2 的上
侧， a 0 。（2010 年，首届决赛）
例 16
的上侧。
答案：2
2．计算第一型曲面积分
S
(1 n r
)
dS
，其中曲面
S：
z = 1+ x2 + y2 (z 2) ， r = x2 + y2 + z2 ，而 n = (cos, cos , cos ) 为 S 的
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曲线积分
第一类 ( 对弧长 )
第二类 ( 对坐标 )
⎭
⎬⎫转化
定积分
(1) 选择积分变量
用参数方程
用直角坐标方程
用极坐标方程
(2) 确定积分上下限
第一类: 下小上大 第二类: 下始上终
对弧长曲线积分的计算
定理
)
()()()](),([),(,],[)(),()(),(),
(,
),(22βαψϕψϕβαψϕβαψϕβ
α
<'+'=≤≤⎩
⎨
⎧==⎰⎰
dt
t t t t f ds y x f t t t t y t x L L y x f L
且
上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意:
;.1βα一定要小于上限定积分的下限.
,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f 特殊情形
.
)
(:)1(b x a x y L ≤≤=ψ.
)(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f b a
L
⎰⎰
'+=ψψ.
)(:)2(d y c y x L ≤≤=ϕ.
)(1]),([),(2dy y y y f ds y x f d
c
L
⎰⎰
'+=ϕϕ
).(,
sin ,cos :,象限第椭圆求I ⎩
⎨
⎧===⎰t b y t a x L xyds I L
解
dt
t b t a t b t a I 2220
)cos ()sin (sin cos +-⋅=⎰π
dt
t b t a t t ab 222220
cos sin cos sin +=⎰π
⎰-=
a
b du u b a ab 22
2)
cos sin (2222t b t a u +=令.
)
(3)
(22b a b ab a ab +++=例2 .
)2,1()2,1(,4:,
2
一段到从其中求-==⎰x y
L yds I L
x
y 42=解
dy y
y I 222)2
(1+=⎰-.
0=例3 )
20(.,
sin ,cos :,
πθθθθ≤≤===Γ=⎰Γ
的一段其中求k z a y a x xyzds I 解
θ
θθθd k a k a 222sin cos +⋅⎰
=π
20
I .
2
1
222k a ka +-=π例4 ⎩⎨
⎧=++=++Γ=⎰Γ
.
0,
,
22
2
2
2z y x a z
y x ds x I 为圆周其中求解 由对称性, 知
.
22
2
⎰⎰⎰Γ
ΓΓ==ds z ds y
ds x ⎰Γ
++=ds z y x I )(312
22故例1
对坐标的曲线积分的计算
,
),(),(,0)()(,)(),(,
),(,),
(),(,),(),,(22存在则曲线积分
且续导数一阶连
为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设⎰+≠'+'⎩⎨
⎧==L
dy y x Q dx y x P t t t t B L A L y x M t t y t x L L y x Q y x P ψϕβαψϕβαψϕdt
t t t Q t t t P dy
y x Q dx y x P L
)}()](),([)()](),([{),(),(ψψϕϕψϕβ
α
'+'=+⎰⎰且特殊情形
.
)
(:)1(b a x x y y L ，终点为起点为=.
)}()](,[)](,[{dx x y x y x Q x y x P Qdy Pdx b
a
L
⎰⎰'+=+则.
)
(:)2(d c y y x x L ，终点为起点为=.
]}),([)(]),([{dy y y x Q y x y y x P Qdy Pdx d
c
L
⎰⎰+'=+则例5 计算 ,d d )2(⎰+-L y x x y a 其中L 为摆线 ,
)sin (t t a x -=)
cos 1(t a y -=上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示: y x x y a d d )2(+-)cos 1(t a +=t
t a d )cos 1(-⋅t
t a t t a d sin )sin (⋅-+t
t t a d sin 2=⎰Γ=ds a 3
2
.323a π=),2(球面大圆周长⎰Γ=ds a π
其中 由平面 y = z 截球
22y x +,
12所得=+z 从 z 轴正向看沿逆时针方向.
提示: 因在 上有
,
1222
=+y x
故
t
x cos =t
y sin 2
1=
sin 2
1t z =原式 =
曲面积分的计算法 1. 基本方
曲面积分 ⎩
⎨
⎧第一类( 对面积 )
第二类( 对坐标 ) ⎭⎬⎫转化
二重积分
(2) 积分元素投影
⎩⎨⎧第一类: 始终非负
第二类: 有向投影 (3) 确定二重积分域
例 6 计算
(1) 选择积分变量 — 代入曲面方程
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
定理: 设有光滑曲面
y
x D y x y x z z ∈=∑),(),,(:f (x, y, z ) 在 上连续, 则曲面积分 ⎰⎰∑S
z y x f d ),,(存在, 且有
⎰⎰
∑
S z y x f d ),,(⎰⎰
=y
x D y x f )
,,(),(y x z 例7 计算⎰⎰∑
++ds z y x )(, 其中∑为
平面
5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的
部分.
解
积分曲面
∑：y z -=5 ,
dxdy
z z dS y x
2
21'+'+=dxdy
2)1(01-++=,2dxdy =⎰⎰∑++ds
z y x )(故
⎰⎰-++=
xy
D dxdy y y x )5(2投影域 ：}25|),{(22≤+=y x y x D
xy
⎰⎰
+=xy
D dxdy
x )5(2rdr r d ⎰⎰+=5
20
)cos 5(2θθπ.
2125π=对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号
例8. 计算曲面积分 ,
d d ⎰⎰∑
y x xyz 其中 为球面
+2x 12
2
=++z y 122=++z y 外侧在第一和第五卦限部分.
解: 把 分为上下两部分
对面积的曲面积分的计算法
例9
⎰⎰∑
+dydz x z
)(2
⎰⎰∑
+=ds
x z αcos )(2⎰⎰∑
+=dxdy x z γα
cos cos )
(2有上在曲面,∑.
11
cos ,1cos 2
222y
x y x x ++-=++=γα⎰⎰⎰⎰∑
∑
--+=-+∴dxdy
z x x z zdxdy dydz x z ]))([()(22⎰⎰+--⋅++-=xy
D dxdy
y x x x y x )}(21
)(])(41{[2222⎰⎰++=xy
D dxdy
y x x )](21[2
22⎰⎰+=2022220)2
1
cos (rdr r r d θθπ.8π=⎰⎰
∑
∴y
x z y x d d ⎰⎰
∑+2
d d y
x z y x ⎰⎰
--=y
x D y
x y x y x d d 1222221cos sin 2r r y
x D -=⎰⎰
θθθd d r r ⎰
=2
0d 2sin πθθr r r d 12103-⎰
152= 计算
zdxdy dydz x z
-+⎰⎰∑
)(2
,
其中Σ是旋转抛物面)(2
1
22y x z +=介于平面0=z 及
2=z 之间的部分的下侧.
解。