2022秋北师广东九年级数学上册 典中点 第一章综合素质评价
北师大版初中九年级数学上册期中素养综合测试卷(一)课件
18. (2023湖南郴州中考,20,★☆☆)(8分)如图,四边形ABCD是平行四边形. (1)尺规作图:作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹). (2)若直线MN分别交AD,BC于E,F两点,求证:四边形AFCE是菱形.
解析 (1)如图,直线MN即为所求.
(3分)
(2)证明:如图,设AC与EF交于点O.由作图可知,EF垂直平分线段AC, ∴OA=OC, (4分) ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥CF, ∴∠OAE=∠OCF,∵∠AOE=∠COF, (5分) ∴△AOE≌△COF(ASA), (6分) ∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形, (7分) ∵AC⊥EF, ∴四边形AFCE是菱形. (8分)
2. (2022江苏无锡中考,8,★☆☆)下列命题中,是真命题的有
(B )
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;
③四边相等的四边形是正方形;④四边相等的四边形是菱形.
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ③④
解析 B 对角线相等且互相平分的四边形是矩形,故①中命题是真命题;对角
期中素养综合测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项符合题目要求)
1. (2022山东青岛广雅中学期中,3,★☆☆)根据下列表格判断关于x的方程ax2+bx
+c=0(a≠0)的一个解x的取值范围是
()
B
x
机摸出1个球 B. 随机摸出一个球后不放回,再随机摸出1个球 C. 随机摸出一个球后放回,再随机摸出3个球 D. 随机摸出一个球后不放回,再随机摸出3个球
北师大版初中九年级数学上册阶段素养综合测试卷(一)课件
12. (2023浙江绍兴柯桥期中,15,★☆☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=44°,D为
线段AB的中点,则∠ACD=
46 °.
答案 46 解析 在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=44°,∴∠A=46°. ∵Rt△ABC中,D为线段AB的中点,∴CD=AD, ∴∠ACD=∠A=46°.故答案是46.
有下列四个推断: ①对于任意四边形ABCD,四边形MNPQ都是平行四边形; ②若四边形ABCD是平行四边形,则MP与NQ交于点O; ③若四边形ABCD是矩形,则四边形MNPQ也是矩形; ④若四边形MNPQ是正方形,则四边形ABCD也一定是正方形.所有正确推断的序
号是 A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
合,∴NQ与AC交于点O,∴MP与 NQ交于点O,∴②正确;③若四边形ABCD是矩 形,则AC=BD,∴MN=MQ,∴四边形MNPQ是菱形,但不一定是矩形,∴③不正确; ④∵四边形MNPQ是正方形,∴MQ=MN,∠QMN=90°,∴AC=BD,AC⊥BD,即四边 形ABCD的对角线互相垂直且相等,不能说明四边形ABCD是正方形,∴④不正 确.
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
解析 A 由数轴得m>0,n<0,m+n<0,∴mn<0,∴Δ=(-mn)2-4·(m+n)>0,∴方程有两
个不相等的实数根.
故选A.
10. (2023北京交大附中期中,8,★★★)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点 O,点M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.
8. (2020浙江衢州中考,7,★★☆)某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所 示,设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程
2022秋北师广东专版九年级数学上册 点训 第一学期期末学情评估
第一学期期末学情评估一、选择题(每小题3分，共30分)1．若x ＝2是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋8＝0的一个根，则m 的值是( )A ．6B ．5C ．2D ．－62．正方形的正投影不可能是( )A ．线段B ．矩形C ．正方形D ．梯形3．下列四组图形中，一定相似的是( )A ．正方形与矩形B ．正方形与菱形C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形4．广州某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女生，1名男生，从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女生的概率为( ) A.23B.12C.13D.165．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD DB ＝23，则AEEC ＝( )A.13B.25C.23D.35(第5题) (第6题)6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 ( ) A ．5B ．4C.342D.347．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1 000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．身高x /cm x <160 160≤x <170 170≤x <180 x ≥180 人数60260550130根据以上统计结果，随机抽取该地区1名九年级男生，估计他的身高不低于170 cm 的概率是( )A ．0.32B ．0.55C ．0.68D ．0.878．已知反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象如图所示，则一次函数y ＝kx ＋2的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限(第8题) (第9题) (第10题)9．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝t (t 为常数)与反比例函数y 1＝4x ，y 2＝－1x 的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，则△OAB 的面积为( )A ．5t B.5t2 C.52 D ．5 10．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的平分线分别交AB ，BD 于点M ，N .若AM ＝2，则线段ON 的长为( ) A.22 B.32C ．1D.62二、填空题(每小题4分，共28分)11．若正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝k ′x 的图象的一个交点的坐标为(－2，3)，则另一个交点的坐标为________． 12．已知x 2＝y 3＝z4≠0，则x 2＋xy yz ＝________．13．关于x 的一元二次方程x 2＋2x －k ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是________．14．从－2，4，5这三个数中，任取两个数作为点P 的坐标，则点P 在第四象限的概率是________．15．已知在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点分别为A (2，1)、B (2，0)、O (0，0)，若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为______________．16．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝________.(第16题)(第17题)17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P 为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F.若△PDF为直角三角形，则DP的长为________．三、解答题(一)(每小题6分，共18分)18．解方程：x(x－7)＝8(7－x)．19．如图所示是一个正三棱柱及它的俯视图．请作出正三棱柱的主视图与左视图．20．甲、乙、丙三人随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．四、解答题(二)(每小题8分，共24分)21．如图是2022年9月的月历表，在该月历表上可以用一个十字方框圈出5个数，若圈出的5个数中，最小数与最大数的乘积为120，求这个最小数(请用方程知识解答)．22．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF.(1)求证：DE＝DC；(2)求证：AF⊥BF；(3)当BE·AB＝9时，请直接写出CE的长．23．某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．如图，测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E，C，A在同一条直线上．测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝7 m．请根据相关测量信息，求小河的宽AB.五、解答题(三)(每小题10分，共20分)24．如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由；(3)如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE与AF相交于点G，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．25．如图①，在平面直角坐标系xOy中，点P(2n，n)(n>0)在函数y＝kx(x>0)的图象上，点B(0，b)在y轴的正半轴上，P A⊥x轴于点A.已知△P AB的面积为4.(1)求点P的坐标与k的值；(2)如图②，设点C是线段AB的中点，点D在函数y＝kx(x>0)的图象上，当四边形BCPD是平行四边形时，求点D的坐标；(3)如图③，设点E在直线AB上，点F在函数y＝kx(x>0)的图象上，若四边形BEPF 是平行四边形，设四边形BEPF的面积为S1，△APE的面积为S2，直接写出S1与S2的数量关系式．答案一、1.A 2.D 3.D 4.B 5.C 6.D7.C 8．C9.C10.C二、11.(2，－3)12.5613.k≥－114.1315．(4，2)或(－4，－2)16.20°17.52或1三、18.解：∵x(x－7)＝8(7－x)，∴x(x－7)＋8(x－7)＝0，∴(x－7)(x＋8)＝0，∴x1＝7，x2＝－8.19．解：主视图与左视图如图所示．20．解：画树状图如图：共有8种等可能的结果，其中这三人在同一个献血站献血的结果有2种，所以这三人在同一个献血站献血的概率为28＝14.四、21.解：设这个最小数为x.根据题意，得x(x＋14)＝120，解得x1＝6，x2＝－20(不符合题意，舍去)．答：这个最小数为6.22．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEB.∵EC平分∠DEB，∴∠DEC＝∠CEB，∴∠DCE＝∠DEC，∴DE＝DC.(2)证明：连接DF.∵DE＝DC，F为CE的中点，∴DF⊥EC，∴∠DFC＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝DC ， ∴BF ＝CF ＝EF ＝12EC ，∴∠FEB ＝∠FBE ， 即∠ABF ＝∠CEB .∵∠DCE ＝∠CEB ，∴∠ABF ＝∠DCE .在△ABF 和△DCF 中，⎩⎨⎧BF ＝CF ，∠ABF ＝∠DCF ，AB ＝DC ，∴△ABF ≌△DCF ，∴∠AFB ＝∠DFC ＝90°，∴AF ⊥BF . (3)解：CE ＝3 2.23．解：由题意，得BC ∥DE ，∴△ABC ∽△ADE .∴BC DE ＝AB AD .∴11.5＝AB AB ＋7.∴AB ＝14 m.答：小河的宽AB 为14 m.五、24.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠DAB ＝90°.∴∠BAF ＋∠GAD ＝90°.∵DE ⊥AF ，∴∠ADG ＋∠GAD ＝90°.∴∠BAF ＝∠ADG . 又∵AF ＝DE ，∠ABF ＝∠DAE ，∴△ABF ≌△DAE (AAS)． ∴AB ＝AD .∴四边形ABCD 是正方形． (2)解：△AHF 是等腰三角形．理由如下： ∵AB ＝AD ，∠ABH ＝∠DAE ＝90°，BH ＝AE ， ∴△ABH ≌△DAE (SAS)．∴AH ＝DE .又∵DE ＝AF ，∴AH ＝AF ，即△AHF 是等腰三角形． (3)解：延长CB 到点H ，使得BH ＝AE ＝6，连接AH . ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AB ＝AD .∴∠ABH ＝∠BAD . ∴△ABH ≌△DAE (SAS)． ∴AH ＝DE ，∠AHB ＝∠DEA ＝60°. 又∵DE ＝AF ，∴AH ＝AF . ∴△AHF 是等边三角形． ∴AH ＝HF .∴DE ＝AH ＝HF ＝HB ＋BF ＝6＋2＝8. 25．解：(1)∵P A ⊥x 轴于点A ，P (2n ，n )(n >0)，∴P A ＝n ，OA ＝2n ，∴S △P AB ＝12OA ·P A ＝12×2n ×n ＝n 2， ∵△P AB 的面积为4，∴n 2＝4， 又∵n >0，∴n ＝2， ∴P (4，2)．将点P (4，2)的坐标代入y ＝kx (x >0)，得k ＝8.(2)∵A (4，0)，B (0，b )，点C 是线段AB 的中点， ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，b 2.∵四边形BCPD 是平行四边形， ∴BC ∥DP ，BC ＝DP ，根据平移规律可得，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，b 2＋2.∵点D 在函数y ＝8x 的图象上，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋2＝8， 解得b ＝4， ∴D (2，4)．(3)12S 1＋S 2＝4或S 2－12S 1＝4.10。
(北师大版)初中数学九年级上册第一章综合测试01含答案解析
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第一章单元综合测试一、单选题1.已知四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，下列结论错误的是（ ） A .OA OC =，OB OD =B .当AB CD =时，四边形ABCD 是菱形C .当90ABC ∠=︒时，四边形ABCD 是矩形D .当AC BD =且AC BD ⊥时，四边形ABCD 是正方形2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE CE =，则OE 的长是（ ）A .2B .52C .3D .4 3.如图，面积为S 的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是线段BC 单位中点，过点E 作EF BD ⊥于F ，EG AC ⊥与G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A .14SB .18SC .112S D .116S 4.如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点.若菱形ABCD 的周长为32，则OE 的长为（ ）A .3B .4C .5D .65.如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）A .310B .13C .25D .496.如图，正方形ABCD 的边长8AB =，E 为平面内一动点，且4AE =，F 为CD 上一点，2CF =，连接EF ，ED ，则2EF ED +的最小值为（ ）A .B .C .12D .10二、填空题7.如图，在菱形ABCD 中，50B ∠=︒，点E 在CD 上，若AE AC =，则BAE ∠=________.8.如图，在矩形ABCD 中，E ,F 分别为边AB ，AD 的中点，BF 与EC ，ED 分别交于点M ，N .已知4AB =，6BC =，则MN 的长为________.9.如图，在矩形ABCD 中，9AB =，AD =，点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，则CQP ∠=________.10.如图，正方形ABCD 中，点E 为对角线AC 上一点，且AE AB =，则BEA ∠的度数是________度.三、作图题11.在正方形ABCD 中，E 是CD 边上的点，过点E 作EF BD ⊥于F .（1）尺规作图：在图中求作点E ，使得EF EC =；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接FC ，求BCF ∠的度数.四、综合题12.如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作EF AC ⊥，分别交AB ，DC 于点E 、F ，连接AF 、CE .（1）若32OE =，求EF 的长；（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由.13.如图，在ABC △中，AB AC =，点D 、E 分别是线段BC 、AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF .（1）求证：A BDE F E △≌△；（2）求证：四边形ADCF 为矩形.14.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，过点D 作DE BC ⊥于E ，延长CB 到点F ，使BF CE =，连接AF ，OF .（1）求证：四边形AFED 是矩形；（2）若7AD =，2BE =，45ABF ∠=︒，试求OF 的长.15.如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，且EBF △是等腰直角三角形，其中90EBF ∠=︒，连接CE 、CF（1）求证：ABF CBE △≌△；（2）判断CE 与EF 的位置关系，并说明理由.16.如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF .（1）求证：HEA CGF ∠∠=；（2）当AH DG =时，求证：菱形EFGH 为正方形.第一章单元综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，OA OC =∴，OB OD =，故A 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB CD =，不能推出四边形ABCD 是菱形，故B 错误，∵四边形ABCD 是平行四边形，90ABC ∠=︒， ∴四边形ABCD 是矩形，故C 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，AC BD ⊥， ∵四边形ABCD 是正方形.故D 正确.故答案为：B . 2.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，8AC =，6BD =，142CO AC ==∴，132OD BD ==，AC BD ⊥，5DC =∴，90EOC DOE ∠+∠=︒，90DCO ODC ∠+∠=︒，OE CE =∵，EOC ECO ∠=∠∴，DOE ODC ∠=∠∴，DE OE =∴，1522OE CD ==∴故答案为：B . 3.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，OA OC =∴，OB OD =，AC BD ⊥，12S AC BD =⨯， EF BD ⊥∵于F ，EG AC ⊥于G ，∴四边形EFOG 是矩形，EF OC ∥，EG OB ∥，∵点E 是线段BC 的中点，EF ∴、EG 都是OBC △的中位线，1124EF OC AC ==∴，1124EG OB BD ==，∴矩形EFOG 的面积11111=44828EF EG AC BD AC BD S ⎛⎫=⨯=⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭；故答案为：B ． 4.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，AC BD ⊥∴，AB BC CD AD ===， 90AOB ∠=︒∴，又32AB BC CD AD +++=∵．8AB =∴，在Rt AOB △中，OE 是斜边上的中线，142OE AB ==∴． 故答案为：B ． 5.【答案】B【解析】如图，过点E 作HF AB ⊥，AM CD ∵∥，DCE EAM ∠=∠∴，CDE EMA ∠=∠，AME CDE △∽△∴，::1:2AM DC EH EF ==∴，1FH AD ==，13EH =∴，23EF =.∴阴影部分的面积1111112343ABCD AME CDE M BC S S S S =−−−=−−−=△△△正方形. 故答案为：B . 6.【答案】B【解析】如图，在AD 上取点k ，使2AK =，连接EK ，在AEK △和ADE △中，EAK DAE ∠=∠，AEK ADE △∽△∴，12EK AE ED AD ==∴，即12EK ED =，12EF ED EF EK +=+∴，当F 、E 、K三点共线时，21EF ED FK +== ()1222()EF ED EF ED +=+=最小∴，故答案为：B 。
2022秋北师广东九年级数学上册 典中点 第二章综合素质评价
第二章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是()A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．1x2＋1x－2＝0C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2－2x＝x2－12．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是() A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x＋2)2＝5 D．(x＋4)2＝153．根据下面表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0，a，b，c为常数)的一个根x的取值范围是()A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.264．某水果种植基地的“1号葡萄”2019年的产量为800吨，2021年的产量为968吨．设这种葡萄产量的年平均增长率为x，则可列方程为()A．800(1－x)2＝968 B．800(1＋x)2＝968C．968(1－x)2＝800 D．968(1＋x)2＝8005．某个三角形的两边的长分别为4和7，第三边的长是方程x2－8x＋12＝0的根，则这个三角形的周长是()A．6 B．13 C．17 D．13或17 6．若一元二次方程x2－8x＋3＝0的两个实数根分别是a，b，则关于x的一次函数y＝abx－a－b的图象一定不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现该超市要保证销售这种水果每天可盈利6 000元，每千克应涨价()A．15元或20元B．10元或15元C．10元D．5元或10元8．若关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解是()A ．x 1＝－6，x 2＝－1B ．x 1＝0，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝5D ．x 1＝－6，x 2＝29．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x >2（x －2），3x －x ＋12≤12a 有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a －2)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则所有满足条件的整数a 的和为( )A ．3B ．5C ．9D ．1010．如果关于x 的方程x 2＋k 2－16＝0和x 2－3k ＋12＝0有相同的实数根，那么k 的值是( )A ．－7B ．－7或4C ．7D ．411．如果方程(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋k 4＝0的三个根可以作为一个三角形的三边的长，那么实数k 的取值范围是( )A ．k ≤4B ．3<k <4C ．3≤k <4D ．3<k ≤412．我国古代数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程(正根)的几何解法．以方程x 2＋2x －35＝0，即x (x ＋2)＝35为例说明，记载的方法如下：构造如图1所示的图形，大正方形的面积是(x ＋x ＋2)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35＋22，据此易得x ＝5．下列方程中，图2是其几何解法的是( )A ．x 2＋3x －10＝0B ．x 2＋2x －8＝0C ．x 2－4x －5＝0D ．x 2＋5x －6＝0二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 13．已知 3x 2－2x ＝5，则9－6x 2＋4x ＝________．14．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 是实数，且a ≠0)，若a －b ＋c ＝0，则方程必有一根是________________．15．如图，点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧，且点A 对应的数是2x－1，点B 对应的数是x 2＋x ，已知AB ＝5，则x 的值为________．16．若数a 使关于x 的一元二次方程x 2－2x －6＋a ＝0有两个不相等的实数解，且使关于y 的分式方程a y －1＋31－y＝2的解为非负整数，则满足条件的a 的值为________．17．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0和x 2＋cx ＋d ＝0有一个公共解是x ＝2，且a ≠c ，b ≠d ，b ≠0，d ≠0．下列结论：①c －a b －d 有唯一对应的值12；②a 2＋c 24≤b ＋d ；③x ＝12是一元二次方程(b ＋d )x 2＋(a ＋c )x ＋2＝0的一个解．其中正确结论的序号是________．18．设一元二次方程x 2－2 023x ＋1＝0的两个根分别为a ，b ，记S 1＝11＋a＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，S 3＝11＋a 3＋11＋b 3，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分． 19．解方程：(1)x 2－7x ＝8(x －7)； (2)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．20．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．21．某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．经市场调查发现，每千克特产每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．若该特产专卖店销售这种特产想要平均每天获利2 240元，且销售量尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？(1)解法1：设每千克特产降价x元，由题意可列方程为______________________；解法2：设每千克特产定价为x元，由题意可列方程为____________________．(2)请你选择(1)中的一种解法，写出完整的解答过程．22．已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，若满足|x1－x2|＝1，则此方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义．解决下列问题：(1)通过计算，判断方程x2－4x－5＝0是否是“差根方程”；(2)已知关于x的方程x2＋2ax＝0是“差根方程”，求a的值；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常数，a>0)是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．23．已知点P(14，1)，一次函数y＝－x＋a的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．若△ABP的面积为18，求a的值．24．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝16 cm ，BC ＝6 cm ．动点P 从点A 出发，以3 cm/s 的速度向点B 运动，到点B 时停止运动．(1)若动点Q 同时从点C 出发，以2 cm/s 的速度向点D 运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动，连接PQ ，当运动时间为多少秒时，PQ ＝10 cm ? (2)连接PC ，PD ．①以PC ，PD 为边作平行四边形PDEC ，对角线PE ，CD 的长度能否相等？若能相等，说明点P 的位置；若不能相等，说明理由；②设PC ＝a ，PD ＝b ，当a ，b 满足16a ＝a 2＋60，12b 2＝8b －30时，求PCPD ＋PDPC 的值．答案一、1．A 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．B 9．A 10．D 11．D 12．A二、13．－1 14．x ＝－1 15．1－172 16．1或517．①③18．10 点拨：∵一元二次方程x 2－2 023x ＋1＝0的两个根分别为a ，b ，∴ab ＝1，∴S 1＝11＋a ＋11＋b ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋ab ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋1＝1，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2＝2＋a 2＋b 21＋a 2＋b 2＋a 2b 2＝2＋a 2＋b 21＋a 2＋b 2＋1＝1，S 3＝11＋a 3＋11＋b 3＝2＋a 3＋b 31＋a 3＋b 3＋a 3b 3＝2＋a 3＋b 31＋a 3＋b 3＋1＝1，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10＝2＋a 10＋b 101＋a 10＋b 10＋a 10b 10＝2＋a 10＋b 101＋a 10＋b 10＋1＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10．三、19．解：(1)原方程可变形为x 2－7x ＝8x －56．x 2－15x ＋56＝0．(x －7)(x －8)＝0． x －7＝0或x －8＝0，∴x 1＝7，x 2＝8． (2)原方程可化为x 2＋9x ＋20＝0， 即(x ＋4)(x ＋5)＝0． x ＋4＝0或x ＋5＝0． ∴x 1＝－4，x 2＝－5．20．解：(1)依题意得y ＝x (32÷2－x )＝－x 2＋16x ．(2)由(1)知，y ＝－x 2＋16x ．当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，即(x －6)(x －10)＝0． 解得 x 1＝6，x 2＝10，即当x 为6或10时，围成的养鸡场的面积为60平方米． (3)不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下： 由(1)知，y ＝－x 2＋16x ．当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，即x 2－16x ＋70＝0． 因为Δ＝(－16)2－4×1×70＝－24＜0， 所以该方程无解．即不能围成面积为70平方米的养鸡场．四、21．解：(1)(60－40－x )(100＋10x )＝2 240；(x －40)[100＋10(60－x )]＝2 240(2)选解法1：设每千克特产降价x 元，由题意可列方程为(60－40－x )(100＋10x )＝2 240，解得x 1＝4，x 2＝6．因为要让销售量尽可能大，所以x ＝6，60－6＝54(元)，即每千克特产应定价为54元．(答案不唯一)22．解：(1)设x 3，x 4是一元二次方程x 2－4x －5＝0的两个实数根，∴x 3＋x 4＝4，x 3x 4＝－5．∴|x 3－x 4|＝（x 3 ＋x 4）2－4x 3 x 4 ＝42－4×（－5）＝6． ∴方程x 2－4x －5＝0不是“差根方程”． (2) x 2＋2ax ＝0，因式分解得，x (x ＋2a )＝0， 解得x ＝0或x ＝－2a ．∵关于x 的方程x 2＋2ax ＝0是“差根方程”， 即|0－(－2a )|＝|2a |＝1， ∴2a ＝±1，即a ＝±12．(3)设x 5，x 6是一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0( a ，b 是常数，a >0)的两个实数根，∴x 5＋x 6＝－b a ，x 5x 6＝1a ．∵关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0( a ，b 是常数，a >0)是“差根方程”， ∴|x 5－x 6|＝1，∴|x 5－x 6|＝（x 5 ＋x 6）2－4x 5 x 6 ＝1，即(－b a )2－4·1a ＝1，∴b 2＝a 2＋4a ．五、23．解：当a ＝0时，△ABP 不存在，所以a ≠0；当点P (14，1)恰好在一次函数y ＝－x ＋a 的图象上，即a ＝15时，△ABP 不存在，所以a ≠15．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M (14，0)．①当点A 在线段OM 上(不含点O )，即0<a ≤14时，S △PAB ＝S 梯形PMOB －S △PMA －S △BOA ，即12×14(1＋a )－12(14－a )×1－12a 2＝18， 解得a 1＝3，a 2＝12．②当点A 在点M 右侧，且点P 在直线y ＝－x ＋a 上方，即14<a <15时，S △PAB ＝S 梯形PMOB ＋S △PMA －S △AOB ，即12×14(1＋a )＋12(a －14)×1－12a 2＝18，解得a 1＝3(舍去)，a 2＝12(舍去)．③当点A 在点M 右侧，且点P 在直线y ＝－x ＋a 下方，即a >15时，S △PAB ＝S △BOA －S 梯形PMOB －S △PMA ， 即12a 2－12×14(1＋a )－12(a －14)×1＝18， 解得a 1＝15＋3412，a 2＝15－3412(舍去)．④当点A 在点O 左侧，即a <0时，连接BM ，S △PAB ＝S △PMA ＋S △BMA －S △PMB ，即12(14－a )×1＋12(14－a )×(0－a )－12×1×14＝18，解得a 1＝15－3412， a 2＝15＋3412 (舍去)．综上所述，满足题意的a 的值是3或12或15－3412或15＋3412．24．解：(1)过点Q 作QF ⊥AB 于点F ，易证四边形BCQF 为矩形，∴CQ ＝BF ，QF ＝BC ＝6 cm ．晨鸟教育Earlybird 设运动时间为t s ，由题意得AP ＝3t cm ，BF ＝CQ ＝2t cm ，∴PF ＝AB －AP －BF ＝(16－5t ) cm ．在Rt △PQF 中，PF 2＋QF 2＝PQ 2，即(16－5t )2＋62＝102，解得t 1＝85，t 2＝245．易知0≤t ≤163，∴当运动时间为85s 或245s 时，PQ ＝10 cm ．(2)①能相等．∵四边形PDEC 是平行四边形，PE ＝CD ，∴四边形PDEC 是矩形，∴∠DPC ＝90°．∴DP 2＋PC 2＝CD 2．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ＝6 cm ，CD ＝AB ＝16 cm ．∴DP 2＝AD 2＋AP 2，PC 2＝BP 2＋BC 2．设AP ＝x cm ，则BP ＝(16－x ) cm ，则62＋x 2＋(16－x )2＋62＝162，解得x 1＝8＋2 ，x 2＝8－2 ．∴对角线PE ，CD 的长度相等时，点P 距点A (8＋2)cm 或(8－2)cm ．②由16a ＝a 2＋60得a 2－16a ＋60＝0，由12b 2＝8b －30得b 2－16b ＋60＝0．当a ＝b ，即PC ＝PD 时，PC PD ＋PD PC ＝2；当a ≠b ，即PC ≠PD 时，可将a ，b 看成方程x 2－16x ＋60＝0的两个根，∴a ＋b ＝16，ab ＝60，∴PC PD ＋PD PC ＝a b ＋b a ＝a 2＋b 2ab ＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝162－2×6060＝3415． 综上所述，PC PD ＋PD PC 的值为2或3415．。
2022秋北师九年级数学上册 点训 全册 检查卷
第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为() A．1 B. 3 C．2 D．2 3(第1题)(第3题)(第4题)(第6题)2．已知正方形的面积为36，则其对角线的长为()A．6 B．6 2 C．9 D．9 2 3．【教材P3例1变式】如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为()A. 3 cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm 4．【2021·柳州】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD 的面积为()A．9 B．10 C．11 D．125．下列命题中，真命题是()A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()A.15 B.14 C.13 D.3107．【教材P4习题T2改编】【2021·陕西】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则ACBD的值为()A.12 B.22 C.32 D.33(第7题)(第9题)(第10题)8．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是()A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AD∥BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC9．【2021·兰州】如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图②的四边形ABCD(相邻纸片之间不重叠，无缝隙)．若四边形ABCD 的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b则(a＋b)2＝()A．25 B．24 C．13 D．12 10．【教材P28复习题T15拓展】如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为(10，8)，点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是()A．(0，4) B．(0，5) C．(0，3) D．(0，2)二、填空题(每题3分，共30分)11．在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4 cm，那么斜边AB＝________．12．已知菱形的两条对角线长分别为6 cm，8 cm，则它的周长是________．13．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16 cm，若墙上钉子间的距离AB ＝BC＝16 cm，则∠1＝________．(第13题)(第14题)(第15题)(第16题) 14．【2021·北京】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是________(写出一个即可)．15．【教材P9习题T3变式】如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．16．如图，菱形ABCD的顶点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．17．【2020·包头】如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝________．(第17题)(第18题)(第19题)(第20题)18．【中考·安顺】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D 是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．19．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD 于点E，则DE＝________.20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G.给出下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF .＝2S△ABE其中正确结论的序号为__________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．【教材P9习题T1改编】【2021·菏泽】如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN.22．【2021·云南】如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点，若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F 重合．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若ED＝2AE，AB·AD＝33，求EF·BD的值．23．【2021·贵阳】如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N.(1)求证：△ABN≌△MAD；(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB.(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小(作图说明)；(2)求出△BPE周长的最小值．25．【教材P19习题T3变式】【2020·贺州】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD 是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG.(1)求证：AD∥CF；(2)求证：四边形ADCF是矩形．26．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD 的中点G，连接EG，CG，如图①，易证EG＝CG且EG⊥CG.(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．答案一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B7．D8.C9.A10.C 点思路：先根据勾股定理求出AE的长，进而可得出OE的长，在Rt△DOE中，由DE＝CD及勾股定理可求得OD长，进而得出D点坐标．二、11.8 cm12.20 cm13.120°14．AE＝AF(答案不唯一)15.501316.(4，4)17．22°18.12519.2－120.①②③⑤三、21.证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C.∴△AMD≌△CND(ASA)．∴AM＝CN.∴AB－AM＝BC－CN，即BM＝BN.22．(1)证明：∵△BED沿直线BD折叠，点E与点F重合，∴BE＝BF，DE＝DF，∠EDB＝∠FDB.∵四边形ABCD是矩形，且E、F分别是线段AD、BC上的点，∴DE∥BF.∴∠EDB＝∠FBD.∴∠FDB＝∠FBD.∴BF＝DF.∴BE＝BF＝DF＝DE.∴四边形BEDF是菱形．(2)解：∵ED＝2AE，E是线段AD上的点，∴ED＝23AD.∵四边形BEDF是菱形，四边形ABCD是矩形，∴S菱形BEDF ＝12EF·BD＝ED·AB＝23AD·AB.∵AB·AD＝3 3.∴12EF·BD＝23×33，∴EF·BD＝4 3.23．(1)证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD.∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°.∴△ABN≌△MAD(AAS)．(2)解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD. ∵AD＝2，∴BN＝2.又∵AN＝4，∴在Rt△ABN中，由勾股定理，得AB＝2 5.∴S矩形ABCD＝2×25＝4 5.又∵S△ABN ＝S△MAD＝12×2×4＝4.∴S四边形BCMN ＝S矩形ABCD－S△ABN－S△MAD＝45－8.24．解：(1)如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，则此时P′B＋P′E的值最小，即当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．(2)∵四边形ABCD是正方形，∴B，D关于AC对称．∴P′B＝P′D.∴P′B＋P′E＝DE.∵BE＝2，AE＝3BE，∴AE＝6.∴AD＝AB＝AE＋BE＝8.∴DE＝62＋82＝10.∴PB＋PE的最小值是10.∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12.25．证明：(1)∵E，G分别是AC，DC的中点，∴EG是△ACD的中位线．∴EG∥AD.∵∠FCA＝∠CEG，∴EG∥CF.∴AD∥CF.(2)由(1)得AD∥CF，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE.∵E是AC的中点，∴AE＝CE.∴△ADE≌△CFE(AAS)．∴AD＝CF.∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.∴平行四边形ADCF是矩形．26. 点方法：本题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判定和性质，如何构造全等的三角形是解答本题的关键．解：(1)EG＝CG，EG⊥CG.(2)EG＝CG，EG⊥CG.证明如下：延长FE交DC的延长线于点M，连接MG，如图所示．易得∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE＝CM，BC＝EM，∠EMC＝90°.易知∠ABD＝45°，∴∠EBF＝45°.又∵∠BEF＝90°，∴△BEF为等腰直角三角形．∴BE＝EF，∠F＝45°.∴EF＝CM.∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴MG＝12FD＝FG.∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD. ∵EF＝CM，∴FM＝DM.又∵FG＝DG，∴∠CMG＝12∠EMC＝45°.∴∠F＝∠CMG.∴△GFE≌△GMC(SAS)．∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC.∵MF＝MD，FG＝DG，∴MG⊥FD. ∴∠FGE＋∠EGM＝90°.∴∠MGC＋∠EGM＝90°，即∠EGC＝90°.∴EG⊥CG.第二章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列式子是一元二次方程的是()A．3x2－6x＋2 B．x2－y＋1＝0 C．x2＝0 D.1x2＋x＝22．若方程2x2＋mx＝4x＋2不含x的一次项，则m＝()A．1 B．2 C．3 D．43．【教材P47例题(1)变式】一元二次方程x2－2x＝0的根是() A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝24．用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果正确的是()A．(x－3)2＝17 B．(x－3)2＝14 C．(x－6)2＝44 D．(x－3)2＝1 5．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为()A．4 B．2 C．1 D．－46．关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的两实根分别为x1，x2，且x1＋3x2＝5，则m的值为()A.74 B.75 C.76D．07．扬帆中学有一块长30 m、宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为()A．(30－x)(20－x)＝34×20×30B．(30－2x)(20－x)＝14×20×30C．30x＋2×20x＝14×20×30D．(30－2x)(20－x)＝34×20×308．【教材P51习题T4改编】已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长为()A．7 B．10 C．11 D．10或11 9．一个菱形的边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为()A．48 B．24 C．24或40 D．48或80 10．若关于x的一元二次方程mx2－2x－1＝0无实数根，则一次函数y＝mx＋m 的图象不经过．．．()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题(每题3分，共30分)11．若关于x的方程(m－1)x|m＋1|＋3x－2＝0是一元二次方程，则m的值为________．12．【教材P32随堂练习T2变式】一元二次方程(3x－1)(2x＋4)＝1化成一般形式为__________________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．13．已知－3是关于x的一元二次方程ax2－2x＋3＝0的一个解，则此方程的另一个解为______．14．若关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋(k2－1)＝0无实数根，则k的取值范围是_________________________________________________________________ _______．15．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是____________．16．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m的值为________．17．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，则这个两位数是________．18．已知关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0的一个解与方程x＋2x－1＝4的解相同，则k＝________．19．【易错题】【2021·菏泽改编】关于x的方程(k－1)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．20．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有______(填序号)．①方程x2－x－2＝0是倍根方程；②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程：则4m2＋5mn＋n2＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程；④若方程以ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac.三、解答题(21题16分，26题12分，其余每题8分，共60分)21．用适当的方法解下列方程：(1)4(x－1)2－9＝0；(2)(x＋2)2－4(x－3)2＝0；(3)x2－3x－94＝0; (4)y2－2y＝5.22．已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？23．【教材P56复习题T7变式】某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．24．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)若a为正整数，求a的值；(2)若x1，x2满足x21＋x22－x1x2＝16，求a的值．25．【教材P57复习题T12变式】先阅读下面的材料，再解答问题．解方程：x4－5x2＋4＝0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2.∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.(1)解方程(x2＋2x)2－4(x2＋2x)－5＝0.则x2＋2x＝________；(2)若(a2＋b2)(a2＋b2－1)＝20，求a2＋b2＝________；(3)若实数x满足x2＋1x2＋2⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x－1＝0，求x＋1x.26．某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司每月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费．(1)该小区每月可收取物管费90 000元，该小区共有多少套80平方米的住宅？(2)为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少310a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少14a%.这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少5 18a%，求a的值．答案一、1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.A 7．D 8.D9.B 点方法：利用因式分解法解方程得到x 1＝5，x 2＝3，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5，利有勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后计算菱形的面积． 10．A二、11.－3 12.6x 2＋10x －5＝0；6；10 13．1 14.k ＞54 15.4或－1 16．3 17.2418．－1 点拨：解x ＋2x －1＝4，得x ＝2.经检验，x ＝2是分式方程的解． ∴x ＝2是x 2＋kx －2＝0的一个解． ∴4＋2k －2＝0，解得k ＝－1. 19．k ≥14 20.②③④三、21.解：(1)原方程变形为(x －1)2＝94，开平方，得x －1＝±32.∴x 1＝52，x 2＝－12.(2)原方程变形为(x ＋2)2－[2(x －3)]2＝0，因式分解得[(x ＋2)＋2(x －3)]·[(x ＋2)－2(x －3)]＝0，即(3x －4)(－x ＋8)＝0， ∴3x －4＝0或－x ＋8＝0. ∴x 1＝43，x 2＝8.(3)方程中a ＝1，b ＝－3，c ＝－94. ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＝12. ∴x ＝3±122，即x 1＝3＋232＝32 3，x 2＝3－232＝－12 3. (4)配方，得y 2－2y ＋1＝5＋1，即y2－2y＋1＝6，则(y－1)2＝6.∴y－1＝±6.∴y1＝1＋6，y2＝1－ 6.22. 点方法：如果说一元二次方程有实数根，那么应包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号．(1)证明：在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0.∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)解：设方程的两根分别为m，n，则mn＝t－2.∵方程的两个根互为倒数，∴mn＝t－2＝1，解得t＝3.∴当t＝3时，方程的两个根互为倒数．23．解：(1)设每个月生产成本的下降率为x.根据题意，得400(1－x)2＝361，解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不合题意，舍去)．答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．答：4月份该公司的生产成本约为342.95万元．24．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－2(a－1)]2－4(a2－a－2)>0，解得a<3.∵a为正整数，∴a＝1或2.(2)由根与系数的关系知x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2－a－2.∵x21＋x22－x1x2＝16，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝16.∴[2(a－1)]2－3(a2－a－2)＝16，解得a1＝－1，a2＝6.∵a <3， ∴a ＝－1.25．解：(1)5或－1 (2)5(3)x 2＋1x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －3＝0， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＝0， x ＋1x ＋3＝0或x ＋1x －1＝0，解得x ＋1x ＝－3或x ＋1x ＝1，∵x ＋1x ＝1，∴x 2－x ＋1＝0， Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0， 此时x 不存在，∴x ＋1x ＝－3.26．解：(1)设该小区共有x 套80平方米的住宅，则50平方米的住宅有2x 套．由题意得2(50×2x ＋80x )＝90 000，解得x ＝250. 答：该小区共有250套80平方米的住宅． (2)参加活动一：50平方米的住户每户所缴纳的物管费为100元，有250×2×40%＝200(户)参加；80平方米的住户每户所缴纳的物管费为160元，有250×20%＝50(户)参加． 参加活动二：50平方米的住户每户所缴纳的物管费为100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－310a %元，有200(1＋2a %)户参加；80平方米的住户每户所缴纳的物管费为160⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a %元，有50(1＋6a %)户参加．由题意得100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－310a %·200(1＋2a %)＋160⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a %·50(1＋6a %)＝[200(1＋2a %)×100＋50(1＋6a %)×160](1－518a %)． 令t ＝a %，化简得t (2t －1)＝0， 解得t 1＝0(舍去)，t 2＝12.∴a ＝50.第三章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．【2021·齐齐哈尔】五张不透明的卡片，正面分别写有实数－1，2，115，9，5.060 060 006 000 06…(相邻两个6之间0的个数依次加1)，这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是( ) A.15B.25C.35D.452．从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是( )A ．0B.13C.23D ．13．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( ) A.12B.13C.14D.164．【2021·临沂】现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是( ) A.12B.23C.34D.565．【教材P 70随堂练习T 2改编】在一个不透明的盒中有20个除颜色外均相同的球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计盒中红球的个数为( ) A ．4个 B ．6个 C ．8个D ．12个6．【教材P73复习题T6改编】【2020·长沙】一个不透明袋子中装有1个红球、2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误．．的是()A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球C．第一次摸出的球是红球的概率是1 3D．两次摸出的球都是红球的概率是1 97．【2021·兰州】如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的概率为()A.2027 B.827C.29 D.4278．用1，2，3三个数字随机生成点的坐标，如果每个点出现的可能性相等，那么从中任意取一点，这个点在函数y＝x＋1的图象上的概率是()A.19 B.12 C.13 D.299．【教材P72复习题T2改编】【2021·常州】以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是13，则对应的转盘是()10．【2022·云南大学附属中学月考】甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张分别标有数14，12，1的卡片，乙中有三张分别标有数1，2，3的卡片，卡片除所标数外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数记为a，从乙中任取一张卡片，将其数记为b.若a，b能使关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜，则乙获胜的概率为()A.23 B.59 C.49 D.13二、填空题(每题3分，共30分)11．【2021·天津】不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________．12．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数100400800 1 000 2 000 5 000发芽种子粒数853******** 1 604 4 005发芽频率0.8500.7950.8150.7930.8020.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为________(精确到0.01)．13．【2020·苏州】一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是________．(第13题)(第15题)14．【教材P64习题T4变式】现有一枚质地均匀的正方体骰子，连续投掷两次骰子，把朝上一面的点数相加，若和大于5，则小刚得1分，否则小明得1分，该游戏规则对________更有利一些．15．在如图所示的电路图中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是________．16．在x2□2xy□y2的□中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是________．17．【2021·贵阳】贵阳市2021年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并随机抽签决定分组，有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概率是______．18．如图，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口)，那么蚂蚁从A 出发到达E处的概率是________．19．【教材P70随堂练习T2变式】袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程．摸了100次后，发现有30次摸到红球，估计这个袋中红球约有________个．20．一个盒子里有完全相同的三个小球，小球上分别标有数－2，1，4，随机摸出一个小球(不放回)，将该小球上的数记为p，再随机摸出另一个小球，将该小球上的数记为q，则所得p，q满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是________．三、解答题(21题10分，25题14分，其余每题12分，共60分)21．【教材P73复习题T6变式】【2021·南京】不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．(1)从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率；(2)从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球，再次摸出的球都是白球的概率是________．22．某射击运动员在相同条件下射击160次，其成绩记录如下：射击次数20406080100120140160 “射中9环以上”的次数1533637997111130 “射中9环以上”的频率0.750.830.800.790.790.790.81 (1)根据上表中的信息将两个空格的数据补全(“射中9环以上”的次数为整数，频率精确到0.01)；(2)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时，“射中9环以上”的概率(精确到0.1)，并简述理由．23．【教材P73复习题T8改编】如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有数－1，1，2，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数(若指针恰好指在等分线上，当作指向右边的扇形).(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率．(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“英雄所见略同”．用列表法(或画树状图法)求两人“英雄所见略同”的概率．24．有四张正面分别标有数2，1，－3，－4的不透明卡片，它们除所标数外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数记为m，再随机地摸取一张，将该卡片上的数记为n.(1)请画出树状图，并写出(m，n)所有可能的结果；(2)求所选出的m，n能使一次函数y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限的概率．25．【2021·河北】某博物馆展厅的俯视示意图如图①所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．(1)求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；(2)补全图②的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．答案一、1.B 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A7.B点规律：直接根据题意得出恰有三个面被涂色的有8个，再利用概率公式求出答案．8．D9.D10.C二、11.3712.0.8013.3814.小刚15.1316.1217.1318.1219.320.23三、21.解：(1)根据题意，列表如下.从表中可以看出，一共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种．∴P(两次都摸到红球)＝4 9.(2)1 922. 点技巧：大量重复试验得出的频率来估计概率，随着试验次数的增加，表示频率的数据集中趋势指向的那个数值就是概率．解：(1)48；0.81(2)“射中9环以上”的概率约是0.8.理由：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时，“射中9环以上”的概率约是0.8.23．解：(1)P(得到负数)＝1 3.(2)列表如下：1 (1，－1) (1，1) (1，2)2 (2，－1) (2，1) (2，2)由表可知共有9种等可能的结果，两人得到的数相同的结果有3种，故P(两人“英雄所见略同”)＝39＝13.24. 点方法：此题为函数与概率的综合，画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．解：(1)画树状图如图所示．则(m，n)所有可能的结果为(2，1)，(2，－3)，(2，－4)，(1，2)，(1，－3)，(1，－4)，(－3，2)，(－3，1)，(－3，－4)，(－4，2)，(－4，1)，(－4，－3)．(2)∵所选出的m，n能使一次函数y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限的有(－3，－4)，(－4，－3)，∴所选出的m，n能使一次函数y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限的概率为212＝16.25．解：(1)∵当嘉淇走到十字道口A时，有直行、向左转、向右转3种等可能结果，只有向右转是向北走，∴P(嘉淇向北走)＝1 3.(2)如图，树状图：所有等可能结果共有9种，其中朝向：向东2种，向西3种，向南2种，向北2种．∴P(向西)＝39＝13＞P(向东)＝P(向南)＝P(向北)＝29.∴嘉淇向西参观的概率较大．第四章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．【教材P79随堂练习T3改编】下列各组中的四条线段成比例的是() A．a＝2，b＝3，c＝2，d＝ 3B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝2，b＝5，c＝23，d＝15D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝12．【2020·营口】如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD＝32，则CECA的值为()A.35 B.23 C.45 D.32 (第2题)(第4题)(第5题)(第6题)3．下列说法正确的是()A．边都对应成比例的多边形相似B．角都对应相等的多边形相似C．边数相同的正多边形相似D．矩形都相似4．【教材P112习题T7改编】【2021·罗湖区模拟】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD AB＝23，记△ADE的面积为S1，四边形DBCE的面积为S2，则S1S2的值是()A.45 B.59 C.23 D.495．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为12，∠OCD＝90°，CO＝CD.若点B的坐标为(1，0)，则点C的坐标为() A．(1，2) B．(1，1) C．(2，2) D．(2，1) 6．如图，方格纸中△ABC和△EPD的顶点均在格点上，若△ABC和△EPD相似，则点P所在格点为()A．P1B．P2C．P3D．P47．【2021·临沂】如图，点A，B都在格点上，若BC＝2133，则AC的长为()A.13B.4133C．213 D．313(第7题)(第8题)(第9题)(第10题) 8．【2020·益阳】如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立．．．的是()A．∠DAE＝30°B．∠BAC＝45° C.EFFB＝12 D.ADAB＝329．如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4 m，梯子上点D距墙1.2 m，BD长0.5 m，则梯子的长为()A．3.5 m B．3.85 m C．4 m D．4.2 m 10．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，给出下列结论：①DEBC＝12；②S△DOES△COB＝12；③ADAB＝OEOB；④S△DOES△ADE＝13.其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(每题3分，共30分)11．【教材P80随堂练习变式】【2020·娄底】若ba＝dc＝12(a≠c)，则b－da－c＝________．12．相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20 cm，那么与其相邻的一条边的长等于__________．13．一个多边形图案在一个有放大功能的复印机上复印出来，它的一条边的长度由原来的1 cm变成了2 cm，那么它的面积会由原来的6 cm2变为________．14．如图，点G是△ABC的重心，AD GD＝31，GH⊥BC，垂足为H，若GH＝3，则点A到BC的距离为________．(第14题)(第15题)(第16题)(第17题)(第18题) 15．【教材P93习题T3改编】如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB上(点D 与A，B不重合)，若再增加一个条件就能使△ACD∽△ABC，则这个条件是____________(写出一个条件即可)．16．【2021·烟台】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1 m，AC＝1.6 m，AE＝0.4 m，那么CD为______ m.17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为________．18．【教材P117随堂练习改编】如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是________．19．【2021·内江】如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E.交BC于点F，则线段EF的长为________．20．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，在线段AB上取一点D，作DE⊥AB交AC于点E，将△ADE沿DE折叠．设点A落在线段BD 上的对应点为A1，DA1的中点为F，若△FEA1∽△FBE，则AD＝________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．【教材P81习题T1改编】【2021·奉贤区校级期中】已知a∶b∶c＝3∶4∶5.(1)求代数式3a－b＋c2a＋3b－c的值；(2)如果3a－b＋c＝10，求a、b、c的值．22．【2021·南京】如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F.(1)求证：△AOB≌△DOC；(2)若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．23．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1；(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的相似比为21，并直接写出点A2的坐标．24．【教材P102习题T4改编】【2020·枣庄一模】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF(点E，F分别在边AC，BC上)．(1)若△CEF与△ABC相似．①当AC＝BC＝2时，AD的长为________；②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为________；(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？说明理由．25．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场上的旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶端A在同一直线上．已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m ，求旗杆的高度．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为CB上的一个动点(点D不与点B重合)，过点D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD.(1)求证：△DOB∽△ACB；(2)若AD平分∠CAB，求线段BD的长；。
2022秋北师版九年级数学 典中点 第一章达标检测卷
第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形．此图形的对称轴有()A．2条B．4条C．6条D．8条2．【2020·天津】如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是()A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6)3．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为()A．4 B．6 C．8 D．104．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为()A．20 B．30 C．40 D．505．【2020·日照】已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为()A．8 3 B．8 C．4 3 D．2 3 6．【2020·荷泽】如果顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是()A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分7．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE 的度数是()A．67.5°B．22.5°C．30°D．45°8．【2020·遂宁】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是()A．1 B．43C．32D．539．【2020·绍兴】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF 形状的变化依次为()A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形10．【2021·安徽】如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD 的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为()A．3＋ 3 B．2＋2 3 C．2＋ 3 D．1＋2 3 二、填空题(每题3分，共24分)11．【2021·益阳】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD 成为菱形，应选择______(限填序号)．12．【2021·南充】如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为________．13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF 的周长为________．14．【教材P16例3变式】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若S△ABE＝18，CE＝4，则线段BE的长为________．16．【2021·连云港】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为________．17．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD 于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝________．18．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为________．三、解答题(每题11分，共66分)19．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝5，请求出EF的长．20．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________时，四边形BECD是矩形．21．【教材P7习题T1改编】【2020·连云港】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E．(1)求证：BD＝BE；(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．23．如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．(1)求证：△BCE≌△DCF．(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．24．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点，度数为60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合．(1)求证：BE＝CF．(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．答案一、1．B 2．D 3．C 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．B10．A 点拨：连接OA ，OD ．由四边形ABCD 是菱形可得OA ⊥OD ，∠OAD ＝∠ADC ＝60°，则∠ADO ＝30°，所以OA ＝12AD ＝1．易求得AH ＝12，DH ＝32，则EH ＝32，HG ＝32．最后由O 是对称中心得四边形EFGH 是平行四边形，则其周长为2(EH ＋HG )＝3＋3．二、11．① 12．3 13．16 14．2.5 15．213 16．12517．22°18．154 点拨：连接EG ，易知EG ＝FG ．不妨设DE ＝x ，则BF ＝x ，EG＝FG ＝3＋x ，EC ＝5－x ．在Rt △ECG 中，利用勾股定理列方程求出x ，问题得解．三、19．(1)证明：∵ 四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ＝∠ADF ＝90°．在△ABE 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF (SAS)． (2)解：∵△ABE ≌△ADF ， ∴AE ＝AF ＝5，∠BAE ＝∠DAF ． ∵∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∴∠DAF ＋∠EAD ＝90°，即∠EAF ＝90°． ∴EF ＝AE 2＋AF 2＝52．20．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ． ∴∠OEB ＝∠ODC ．∵O 为BC 的中点，∴BO ＝CO ．在△BOE 和△COD 中，⎩⎨⎧∠OEB ＝∠ODC ，∠BOE ＝∠COD ，BO ＝CO ，∴△BOE ≌△COD (AAS)． ∴OE ＝OD ． 又∵BO ＝CO ，∴四边形BECD 是平行四边形． (2)100°21．(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DMO ＝∠BNO ．∵MN 是对角线BD 的垂直平分线， ∴OB ＝OD ，MN ⊥BD ．在△MOD 和△NOB 中，⎩⎨⎧∠DMO ＝∠BNO ，∠MOD ＝∠NOB ，OD ＝OB ，∴△MOD ≌△NOB (AAS)． ∴OM ＝ON ．∵OB ＝OD ，∴四边形BNDM 是平行四边形． 又∵MN ⊥BD ，∴四边形BNDM 是菱形．(2)解：∵四边形BNDM 是菱形，BD ＝24，MN ＝10， ∴BM ＝BN ＝DM ＝DN ， OB ＝12BD ＝12，OM ＝12MN ＝5．在Rt △BOM 中，由勾股定理得BM ＝OM 2＋OB 2＝52＋122＝13， ∴菱形BNDM 的周长为4BM ＝4×13＝52． 22．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AB ∥CD ．又∵BE ∥AC ，E 在DC 的延长线上， ∴四边形ABEC 是平行四边形． ∴AC ＝BE ．∴BD ＝BE ．(2)解：如图，过点O 作OF ⊥CD 于点F ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCD ＝90°． ∴∠BCE ＝90°．在Rt △BCE 中，根据勾股定理可得BC ＝8． ∵BE ＝BD ，∠BCD ＝90°，∴CD ＝CE ＝6． ∴DE ＝12．由题易知OD ＝OC ，∵OF ⊥CD ，∴CF ＝DF ． 又∵OB ＝OD ，∴OF 为△BCD 的中位线． ∴OF ＝12BC ＝4．∴S △ODE ＝12DE ·OF ＝12×12×4＝24．23．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D ． ∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12AD ． ∴BE ＝DF ．在△BCE 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝DC ，∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∴△BCE ≌△DCF (SAS)． (2)解：AB ⊥BC ．理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点， ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，OE ＝12BC ，OF ＝12CD ，AF ＝12AD ，AE ＝12AB ，OE ∥BC ．晨鸟教育Earlybird ∴OE ＝OF ＝AF ＝AE ．∴四边形AEOF 是菱形．∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴AE ⊥OE ．∴∠AEO ＝90°．∴四边形AEOF 是正方形．24．(1)证明：如图，连接AC ．∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAC ＝∠DAC ＝60°．∴△ABC 和△ADC 都是等边三角形，∠1＋∠2＝60°． ∴∠ABE ＝∠ACF ＝60°，AB ＝AC ．∵∠3＋∠2＝∠EAF ＝60°，∴∠1＝∠3．∴△ABE ≌△ACF (ASA)．∴BE ＝CF ．(2)解：四边形AECF 的面积不变．由(1)知△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ．故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC ． 如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2， ∴AM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝23．∴S △ABC ＝12BC ·AM ＝12×4×23＝43．∴S 四边形AECF ＝43．。
北师版九年级数学上册第一章综合测试卷含答案
北师版九年级数学上册第一章综合测试卷一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．[2023揭阳期末]菱形、矩形、正方形都具有的性质是() A．对角线互相垂直B．对角线相等C．四条边相等，四个角相等D．两组对边分别平行且相等2．[2024邢台襄都区模拟]如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是() A．CD＝4 B．CD＝2 C．OD＝2 D．OD＝43．[2023成都温江区期末]如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E.若∠AFC＝130°，则∠DEC的度数为()A．65°B．70°C．75°D．80°4．[2022安徽]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝() A．α－90°B．α－45°C．180°－αD．270°－α5．[2023东莞期中]若顺次连接某四边形四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形一定是()A．菱形B．矩形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形6. 三个边长为8 cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分(阴影)的面积为()A．16 cm2B．24 cm2C．28 cm2 D．32 cm27．在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为()A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm8. 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(5，12)，则AC的长是()A．5 B．7 C．12 D．139．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N 分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM，若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为()A．3 B．3.5 C．2 D．2.510．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G.下列结论：①AC垂直平分EF；②当∠EAF＝45°时，∠AEB＝∠AEF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当CE＝(2－2)BC时，BE＋DF＝EF.其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝28°，D是AC的中点，则∠CBD ＝________°.12．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和25，则此平行四边形的面积为________．13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，PD＝1 2AC，∠P＝52°，则∠PDC＝________．14. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10 cm，∠A＝60°，点E，F同时从A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动，点E 的速度为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当一点到达B点时，另一点随之停止移动，经过t s后△DEF恰为等边三角形，则此时t 的值为________．15．[2024东莞模拟]如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC 上一动点(不与点B，C重合)，过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF.有下列结论：①AE＝EF；②CF＝2BE；③∠DAF＝∠CEF.其中正确的是________．(把正确结论的序号都填上)三、解答题(共7小题，第16～21题每题10分，第22题15分，共75分)16．[2023扬州邗江区期末]如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N 分别是AC，BD的中点，连接BM，DM.求证：(1)BM＝DM；(2)MN⊥BD.17．[2023广州海珠区期中]如图，在矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E，F.求证：四边形BEDF 是菱形．18．[2024宝鸡陈仓区期中]在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝2AD，F是BC的中点．(1)如图①，求证：四边形AFCD是矩形；(2)如图②，过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，EF.求证：DE＝DC.19．如图，在矩形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，BE⊥EF，∠ABE＋∠CEF＝45°. (1)求∠1＋∠2的度数；(2)求证：四边形ABCD是正方形．20. 在正方形ABCD中，点G是边DC上的一点，点F是直线BC上一动点，FE⊥AG于H，交直线AD于点E.(1)当点F运动到与点B重合时(如图①)，线段EF与AG的数量关系是________．(2)当点F运动到如图②所示的位置时，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10.(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E，F相遇时除外)?答：________．(直接填空，不用说理)(2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．(3)在(1)的条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．22. 如图，四边形ABCD是正方形，点P在射线AC上，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，点O为线段AC的中点．【感知】如图①，当点P在线段AO上(点P不与点A，O重合)时，①易证：△ABP≌△ADP(不需要证明)．进而得到PE与PD的数量关系是__________；②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，易证：Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要证明)．进而得到PE与PD的位置关系是__________；【探究】如图②，当点P在线段OC上(点P不与点O，C重合)时，试写出PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由；【应用】如图③，当点P在AC的延长线上时，直接写出当AB＝3，CP＝2时线段DE的长．答案一、1.D 2.D 3.B 4.C 5.C 6.D7.C8.D9．D 【点拨】∵点M，N分别是边AD，CD的中点，∴MN是△ACD的中位线．∴AC＝2MN＝2×3＝6.∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24，∴OA＝OC＝12AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，12AC·BD＝24.即12×6×BD＝24，∴BD＝8.∴OD＝12BD＝4.∴在Rt△OCD中，由勾股定理得CD＝OC2＋OD2＝32＋42＝5.∵点M是AD的中点，OA＝OC，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝12CD＝2.5.10．D 【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°.又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF.∴BE ＝DF ，∠BAE ＝∠DAF . ∴∠EAC ＝∠F AC . ∴AC 垂直平分EF ，故①正确； ∵∠EAF ＝45°， ∴易得∠EAC ＝∠F AC ＝∠BAE ＝∠DAF ＝22.5°. ∴∠BEA ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°. ∵BC ＝CD ，BE ＝DF ，∴CE ＝CF . ∴∠CEF ＝45°. ∴∠AEF ＝180°－∠CEF －∠BEA ＝180°－45°－67.5°＝67.5°＝∠AEB ，故②正确； ∵∠DAF ＝15°， ∴∠EAF ＝∠BAD －∠BAE －∠DAF ＝90°－15°－15°＝60°. ∵AE ＝AF ， ∴△AEF 为等边三角形，故③正确； ∵CE ＝(2－2)BC ， ∴BE ＝DF ＝BC －CE ＝BC －(2－2)BC ＝(2－1)BC . ∴BE ＋DF ＝2(2－1)BC . ∴EF ＝EC 2＋FC 2＝2EC ＝2(2－2)BC ＝2(2－1)BC ＝BE ＋DF ，故④正确； ∴正确的结论有4个． 二、11.62 12.45 13.12° 14.5315．①② 【点拨】如图，在AB 上取点H ，使AH ＝EC ，连接EH .∵四边形ABCD 是正方形，EF ⊥AE ，∴∠BCD ＝∠B ＝∠AEF ＝90°，AB ＝BC .∴∠HAE ＋∠AEB ＝90°，∠CEF ＋∠AEB ＝90°，∴∠HAE ＝∠CEF .∵AH ＝CE ，AB ＝BC ，∴BH ＝BE .∴△BHE 为等腰直角三角形．∴易得∠AHE ＝135°.∵CF 是正方形外角的平分线，∴易得∠ECF ＝135°.∴∠AHE ＝∠ECF .在△AHE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠HAE ＝∠CEF ，AH ＝EC ，∠AHE ＝∠ECF ，∴△AHE ≌△ECF (ASA)．∴AE ＝EF ，EH ＝CF ，∠AEH ＝∠EFC .故①正确；∵BE ＝BH ，∠B ＝90°，∴EH ＝BH 2＋BE 2＝2BE .∴CF＝2BE.故②正确；∵∠AHE＝135°，∴∠HAE＋∠AEH＝45°.∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°.∴∠HAE＋∠DAF＝45°.∴∠AEH＝∠DAF.∵∠AEH＝∠EFC，∴∠DAF＝∠EFC.而∠FEC不一定等于∠EFC，∴∠DAF不一定等于∠FEC，故③错误．故答案为①②.三、16.【证明】(1)∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝12AC，DM＝12AC.∴BM＝DM.(2)∵点N是BD的中点，BM＝DM，∴MN⊥BD.17．【证明】如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC .∴∠1＝∠2.∵O 为BD 的中点，∴BO ＝DO .∵∠BOE ＝∠DOF ，∴△OBE ≌△ODF (ASA)．∴BE ＝DF .∴四边形BEDF 是平行四边形．又∵EF ⊥BD ，∴四边形BEDF 是菱形．18．【证明】(1)∵F 是BC 的中点，∴BF ＝CF ＝12BC .∵BC ＝2AD ，∴AD ＝12BC .∴AD ＝CF ＝BF .∵AD ∥BC ，∴四边形AFCD 是平行四边形．又∵CD⊥BC，∴∠DCF＝90°.∴四边形AFCD是矩形．(2)如图，连接DF交CE于G，由(1)知AD＝BF.∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形．∴AB∥DF.∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，CE⊥DF. 又∵F是BC的中点，∴EF＝12BC＝CF.∴GE＝GC.∴DF是线段CE的垂直平分线．∴DE＝DC.19．(1)【解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.∴∠ABE＋∠1＝90°.∵BE⊥EF，∴∠CEF＋∠2＝90°.∵∠ABE＋∠CEF＝45°，∴∠1＋∠2＝90°＋90°－45°＝135°.(2)【证明】∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－135°＝45°.∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠ACB＝90°.∴∠BAC＝90°－∠ACB＝90°－45°＝45°.∴∠ACB＝∠BAC.∴AB＝BC.∴四边形ABCD是正方形．20．【解】(1)EF＝AG【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADG＝90°，AB＝AD.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.∵EF⊥AG，∴∠AHE＝90°.∴∠AEB＋∠DAG＝90°.∴∠ABE＝∠DAG.∴△ABE≌△DAG(ASA)．∴EF＝BE＝AG.(2)成立．证明：如图，过点F作FM⊥AE，垂足为M，则∠EMF＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝90°，AD＝CD.∴易得MF＝CD＝AD.∵EF⊥AH，∴∠AHE＝90°，∴∠HAE＋∠E＝90°.又∵∠E＋∠EFM＝90°，∴∠HAE＝∠EFM.∴△ADG≌△FME(ASA)．∴EF＝AG.21．【解】(1)四边形EGFH是平行四边形(2)如图①，②，连接GH.由题意易得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四边形ABHG是矩形．∴GH＝AB＝6.①如图①，当四边形EGFH是矩形时，EF＝GH＝6.∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.∵AE＝CF＝t，∴EF＝10－2t＝6.∴t＝2.②如图②，当四边形EGFH是矩形时，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t＋t－10＝2t－10＝6.∴t＝8.综上，当四边形EGFH为矩形时，t的值为2或8. (3)如图③，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O.∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，AD＝BC＝8.∴AM＝4.∵四边形EGFH为菱形，∴GH⊥EF，OG＝OH.∴AG＝AH.∴四边形AGCH为菱形．∴AG＝CG.设AG ＝CG ＝x ，则DG ＝8－x ，∴在Rt △CDG 中，由勾股定理可得CD 2＋DG 2＝CG 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254. ∴MG ＝254－4＝94，即t ＝94，∴当t 的值为94时，四边形EGFH 为菱形．22．【解】【感知】①PE ＝PD 【点拨】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAP ＝∠DAP ＝45°.在△ABP 和△ADP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAP ＝∠DAP ，AP ＝AP ，∴△ABP ≌△ADP (SAS)．∴PB ＝PD .∵PB ＝PE ，∴PE ＝PD .②PE ⊥PD 【点拨】由题意得∠PNE ＝∠PMD ＝∠PMC ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴CP 平分∠MCN ，∠NCM ＝90°.∴四边形PMCN 是矩形，PN ＝PM .∴∠MPN ＝90°.在Rt △PNE 和Rt △PMD 中，⎩⎪⎨⎪⎧PE ＝PD ，PN ＝PM ， ∴Rt △PNE ≌Rt △PMD (HL)．∴∠EPN ＝∠DPM .∵∠MPN ＝∠MPE ＋∠EPN ＝90°，∴∠MPE ＋∠DPM ＝90°，即∠DPE ＝90°.∴PE ⊥PD .【探究】PE 与PD 的数量关系和位置关系为PE ＝PD ， PE ⊥PD ，理由如下：设PE 交CD 于F .∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ACB ＝∠ACD ＝45°. 在△CBP 和△CDP 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，∠PCB ＝∠PCD ，PC ＝PC ，∴△CBP ≌△CDP (SAS)．∴PD ＝PB ，∠PBC ＝∠PDF .又∵PB ＝PE ，∴PD ＝PE ，∠PBE ＝∠PEB .∴∠PDF ＝∠PEB .∵∠PFD ＝∠CFE ，∴180°－∠PFD－∠PDC＝180°－∠CFE－∠PEB，即∠DPF＝∠ECF.∵∠ECF＝∠BCD＝90°，∴∠DPF＝90°.∴PD⊥PE.【应用】线段DE的长为34. 【点拨】设PD交BE于H.由题意易证△CBP≌△CDP.∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC.∴易得∠PDC＝∠PEB，PE＝PD.∵∠PHE＝∠CHD，∴180°－∠CHD－∠PDC＝180°－∠PHE－∠PEB，即∠DPE＝∠DCE.又∵易知∠DCE＝90°，∴∠DPE＝90°.∴△DPE是等腰直角三角形．过点P作PQ⊥BE于Q，∵PB＝PE，∴BQ＝EQ.∵∠PCQ＝∠ACB＝45°，∴△CQP是等腰直角三角形．∴CQ＝PQ＝22CP＝1.∴EQ＝BQ＝BC＋CQ＝AB＋CQ＝3＋1＝4. ∴PE＝EQ2＋PQ2＝42＋12＝17.∴DE＝PD2＋PE2＝2PE＝2×17＝34.。
北师大版九年级数学上册 第一章核心素养评价卷
北师大版九年级上册第一章核心素养评价卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，点，，在同一条直线上，正方形，正方形的边长分别为3，4，为线段的中点，则的长为（）A． B.C. 或D.2 . 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F 分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．B．4C．3D．23 . 如图，直线l是五边形ABCDE的对称轴，其中，，那么的度数等于A．B．C．D．4 . 下列说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．平行四边形的对角线平分一组对角D．矩形的对角线相等且互相平分5 . 如图，矩形的周长是28，点是线段的中点，点是的中点，的周长与的周长差是2(且)，则的周长为（）A．12B．14C．16D．186 . 下列命题中，正确的是（）A．菱形的对角线相等B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．正方形的对角线不能相等D．正方形的对角线相等且互相垂直7 . 在Rt△ABC中，斜边BC=10，则BC2+AB2+AC2等于（）A．20B．100C．200D．144二、填空题8 . 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，边接EF，则EF的最小值为_cm．9 . 下列条件之一能使□ABCD是菱形的有_____________________．（只填序号即可）（1）AC⊥BD；（2）∠BAD=90°；（3）AB=CB；（4）AC=BD．10 . 如图，菱形中，，点是直线上的一点．已知的面积为6，则线段的长是_____．11 . 如图，正方形 ABCD 中，AC 、BD 交于O ，ÐEOF = 90°，已知 AE = 3, CF = 4 ，则 EF的长为_____。
北师大版九年级数学上册 第一章核心素养评价卷
北师大版九年级上册第一章核心素养评价卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，矩形中，，，点为矩形内一动点，且满足，则线段的最小值为（）A．5B．1C．2D．32 . 如图，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD 的长为（）A．4.2B．4.8C．5.4D．63 . 能判断四边形是矩形的条件是（）A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等C．两条对角线互相平分且相等D．两条对角线互相垂直4 . 菱形两对角线长为6和8，则一边上的高等于（）A．5B．3C．4.8D．85 . 如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，是中点，表示竹竿端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿滑动过程中（）A．下滑时，增大B．上升时，减小C．只要滑动，就变化D．无论怎样滑动，不变6 . 如下图，在中，，分别是的中点，在延长线上, ∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形的周长为（）A．B．C．D．7 . 一个多边形的内角和是540°，这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．以上都不可能二、填空题8 . 如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝10，∠ABC＝∠DAC，则AC长为_____．9 . 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝4，OC＝7，则另一条直角边BC的长为_____．10 . 如图，菱形ABCD对角线AC=6cm，BD=8cm，AH⊥BC于点H，则AH的长为_______．11 . 已知矩形ABCD中，AB=4，BC=7．∠BAD的平分线AE交BC于E点，EF⊥DE交AB于F点，则EF的长为_____．12 . 已知一个菱形的两条对角线的长分别为5cm和8cm，该菱形的面积为______cm2．13 . 如图，已知正三角形ABC与正三角形CDE，若∠DBE=66°，则∠ADB度数为__________.14 . 对角线互相的平行四边形是菱形．三、解答题15 . 如图，O为码头，A、B两个灯塔与码头O的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船P离开码头，计划沿∠AOB 的平分线航行．（1）用尺规作出轮船的预定航线OC；（2）在航行途中，轮船P始终保持与灯塔A、B的距离相等，试问轮船航行时是否偏离了预定航线？请说明理由．16 . 通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。
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第一章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角2．已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线的长为()A．4 B．2 3 C．2 D．1 3．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形ABCD分成阴影部分和空白部分，当菱形ABCD的边长为10，一条对角线的长为12时，阴影部分的面积为()A．48 B．36 C．24 D．604．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD ＝8，则DC的长为()A．4 3 B．4 C．3 D．5 5．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点E为BC上一点，ED平分∠AEC，则BE的长为()A．10 B．8 C．6 D．4 6．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD ＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD上的点B′处，则BE的长度为()A．1 B． 2 C． 3 D．27．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为() A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.48．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°9．如图，将两个长为9，宽为3的全等矩形叠合后得到四边形ABCD(不完全重合)，则四边形ABCD面积的最大值是()A．15 B．16 C．19 D．2010．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE ＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为()A．13 B．15 C．4.5 D．4.3 11．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA＋MB＋MD的最小值是()A．3 3 B．3＋3 3 C．6＋ 3 D．6 312．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，连接EF．则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．13．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则∠ABE 的度数是________．14．如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE 的左侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为________．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F分别从点A，C出发，沿AB，CB方向向点B匀速移动，点E的速度为1 cm/s，点F 的速度为2 cm/s，点E，F同时出发，当其中一点到达终点B时，另一点也随之停止移动，设移动时间为t s，当△DEF为等边三角形时，t的值为________．16．如图，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，点P的坐标为________________．17．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在BC，CD上运动，点E不与点B，C重合，点F不与点C，D重合，则△CEF面积的最大值是________．18．将正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，正方形A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx ＋b和x轴上，已知B1(1，1)，B2(3，2)，则B4的坐标为________，B n的坐标为________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．(1)用尺规作图，作出△ABC的角平分线CD(不写作法，保留作图痕迹)；(2)在(1)的基础上，过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，判断四边形CEDF的形状，并说明理由．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB相交于点F．(1)试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；(2)若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．四、解答题(二)：本大题共2小题，每小题10分，共20分．21．如图，四边形ABCD是菱形，以点A为圆心，以AB为半径画弧分别交BC，CD于点E，F，连接AE，AF，EF．(1)求证：CE＝CF；(2)若△AEF为等边三角形，求∠BAD的度数．22．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．(1)求证：PB＝PE；(2)在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不发生变化，请说明理由，并求出PF的长度；若发生变化，请说明理由．五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．23．如图，已知正方形ABCD，过点A在其外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，DE交直线AP于点F．(1)若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数；(2)若45°＜∠P AB＜90°，请写出线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．24．如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是(－6，8)．沿BD折叠矩形ABCO，使点A落在OB上的点E处，延长BD 交x轴于点F．(1)求点D的坐标；(2)若点N是平面内任意一点，在x轴上是否存在点M，使以点M，N，E，O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、1．C 2．C 3．A 4．B 5．B 6．D7．D 点拨：连接AP ．∵∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，∴BC ＝62＋82＝10．∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠AEP ＝∠AFP ＝90°．∴四边形AFPE 是矩形，∴EF 与AP 互相平分．∵M 是EF 的中点，∴M 在AP 上，且M 为AP 的中点，∴PM ＝12AP ．易知当AP ⊥BC 时，AP 有最小值，则PM 有最小值，此时S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AP ，∴AP ＝AB ·AC BC ＝4.8，∴PM ＝12AP ＝2.4．故选D ．8．D 9．A 10．A11．D 点拨：如图，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，连接BD ．∵菱形ABCD 的边长为6，∠ABC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，AD ＝AB ＝6，∴△ADB 是等边三角形，∴∠MAE ＝30°，∴AM ＝2ME ，易知MD ＝MB ，∴MA ＋MB ＋MD ＝2ME ＋2MD ．当D ，M ，E 三点共线时，2ME ＋2MD 最小，即MA ＋MB ＋MD 最小，此时2ME ＋2MD ＝2DE ．在Rt △ADE 中，易知AE ＝12AD ＝3．∴DE ＝AD 2－AE 2＝62－32＝3 3，∴2DE ＝6 3．∴MA ＋MB ＋MD 的最小值是6 3．故选D ．12．C二、13．15°14．3015．4316．(3，4)或(2，4)或(8，4)17．318．(15，8)；(2n－1，2n－1)三、19．解：(1)如图，CD即为所求．(2)如图，四边形CEDF是正方形，理由：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°．∴四边形CEDF是矩形．∵CD平分∠ACB，∴DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．20．解：(1)四边形AEBO是矩形．理由：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四边形AEBO是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝12AC＝8，BD＝2OB．由(1)知四边形AEBO是矩形，∴∠OAE＝90°，OB＝AE．∴AE＝OE2－OA2＝102－82＝6，∴OB ＝6，∴BD ＝12．易知S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ，∴S 菱形ABCD ＝12×16×12＝96．四、21．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠B ＝∠D ．∴AE ＝AF ＝AB ＝AD ．∴∠B ＝∠AEB ，∠D ＝∠AFD ，∴∠AEB ＝∠AFD ．∴△ABE ≌△ADF ，∴BE ＝DF ．∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ．(2)解：由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE ＝∠DAF ．设 ∠BAE ＝∠DAF ＝x °，∠B ＝∠AEB ＝y °，则x ＋2y ＝180．①∵△AEF 为等边三角形，∴∠EAF ＝60°．∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAF ＋∠DAF ＝60°＋2x °．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠B ＝180°－y °，∴60＋2x ＝180－y ．②联立①②得⎩⎨⎧x ＋2y ＝180，60＋2x ＝180－y .解得⎩⎨⎧x ＝20，y ＝80.∴∠BAD ＝180°－80°＝100°．22．(1)证明：过点P 作PG ⊥BC 于点G ，过点P 作PH ⊥DC 于点H ，如图1．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，CA 平分∠BCD ，又∵PG ⊥BC ，PH ⊥DC ，∴PG ＝PH ，∠PGC ＝∠PGB ＝∠PHE ＝90°．∴∠GPH ＝90°．∵PE ⊥PB ，∴∠BPE ＝90°，易得∠BPG ＝∠EPH ．在△PGB 和△PHE 中，⎩⎨⎧∠PGB ＝∠PHE ，PG ＝PH ，∠BPG ＝∠EPH ，∴△PGB ≌△PHE ，∴PB ＝PE ．(2)解：PF 的长度不发生变化．理由如下： 连接BD 交AC 于点O ，如图2．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOP ＝90°，OB ＝OA ．∴∠PBO ＝90°－∠BPO ，2OB 2＝AB 2＝4．∴OB ＝2．∵∠BPE ＝90°，∴∠EPF ＝90°－∠BPO ＝∠PBO ，∵EF ⊥PC ，∴∠PFE ＝90°＝∠BOP ．在△BOP 和△PFE 中，⎩⎨⎧∠PBO ＝∠EPF ，∠BOP ＝∠PFE ，PB ＝PE ，∴△BOP ≌△PFE ，∴PF ＝OB ＝2．∴在点P 运动的过程中，PF 的长度不发生变化，为2． 五、23．解：(1)如图1，连接AE ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点，∴∠PAE ＝∠PAB ＝20°，AE ＝AB ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°．∴∠AED ＝∠ADF ，∠EAD ＝∠DAB ＋∠PAB ＋∠PAE ＝130°．∴∠ADF ＝180°－130°2＝25°． (2)EF 2＋FD 2＝2AB 2．证明：如图2，连接AE ，BF ，BD ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点，∴AE ＝AB ，EF ＝BF ．∴∠AEB ＝∠ABE ，∠FEB ＝∠FBE ．∴∠AEF ＝∠ABF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∴∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ，∠ABF ＋∠FBD ＋∠ADB ＝90°． ∴∠ADF ＋∠ADB ＋∠FBD ＝90°．∴∠BFD ＝90°．在Rt △BFD 中，BF 2＋FD 2＝BD 2，在Rt △ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2＝2AB 2，∴BF 2＋FD 2＝2AB 2．∴EF 2＋FD 2＝2AB 2．24．解：(1)∵四边形ABCO 是矩形，点B 的坐标是(－6，8)，∴∠BAD ＝90°，AB ＝6，OA ＝8，∴BO ＝AB 2＋OA 2＝10．由折叠的性质得BE ＝AB ＝6，∠BED ＝∠BAD ＝90°，DE ＝AD ， ∴OE ＝BO －BE ＝10－6＝4，∠OED ＝90°．设点D 的坐标为(0，a )，则OD ＝a ，∴DE ＝AD ＝OA －OD ＝8－a ．在Rt △EOD 中，由勾股定理得DE 2＋OE 2＝OD 2，即(8－a )2＋42＝a 2，解得a ＝5，∴点D 的坐标为(0，5)．(2)存在，点M 的坐标为(4，0)或(－4，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－245，0．。