卫星(天体)匀速圆周运动问题

卫星（天体）匀速圆周运动问题
一、背景知识
1．卫星轨道有三类：第一类、可以与赤道平面重合（赤道轨道），但不能与任意纬线重合。

第二类、可以与地球不同的经线重合（极地轨道）。

第三类、过地球球心的其他轨道
2．发射卫星时，火箭要克服地球引力做功。

由于地球周围存在稀薄的大气，卫星在运行过程中要受到空气阻力，动能要变小，速率要变小，轨道要降低，即半径变小。

3．地球公转周期是一年（约365天，折合 小时），自转周期是一天（约24小时）。

月球绕地球运行周期是一个月（约28天，折合 小时；实际是27.3天）
4．光年，是长度单位，1光年= 千米
5．认为星球质量分布均匀，密度M
V ρ=，球体体积343
V R π=，表面积24S R π= 6．围绕地球运行飞船内的物体，受重力，但处于完全失重状态。

7．发射同步通讯卫星都采用变轨道发射：点火，卫星进入停泊轨道（圆形轨道，200—300km ），当卫星穿过赤道平面时，点火，卫星进入转移轨
道（椭圆轨道），当卫星达到远地点时，点火，进入静止轨道（同步轨道）。

小常识：每隔03角，可以“放置”一颗同步卫星。

二、具体内容
1．行星表面附近（认为0h =）或距离地面高度为h 处，认为物体所受重力大小等于万有引力大小。

02mM
mg G R =，2()h mM mg G R h =+
02GM
g R =，关于重力加速度的提法，任何地球表面都存在重力加速度，
假设星球质量分布是均匀的，星球表面重力加速度的大小由星球质量G
和星球半径R 共同决定。

得2
0GM g R =，2
02()h R g g R h =+ 2．卫星（天体）的匀速圆周运动
万有引力提供（充当）向心力，根据牛顿第二定律列式（注意：卫星轨道
半径与星球半径的区别，r
R h =+。

地面附近，认为0h =，有r R =） ⑴2mM F
G r = ⑵2mM G ma r =，2
GM a r =，距星球表面一定高度处的重力加速度，也是由星球质量M 和此位置距离球心的距离r 决定
⑶22mM v G m r r =，v =
⑷22mM G mr r ω=，ω=
⑸222()mM G mr r T π=，T =⑹小结 ①推导：22
34T R GM
π==恒量
②第一宇宙速度： 说法一：“人造地球卫星在地面附近．．．．
做匀速圆周运动所必需具有的速度” 说法二：如果没有空气阻力，在高山上以多大的水平速度抛出物体，物体就永远不会落到地面上来。

v =v == ③星球密度：2
3GT πρ
= ④星球质量： ⑺常见题目里星球（包括人造卫星）的组合情况
①星球表面（及不同高度处）重力加速度问题
②同一个星球，一个卫星在半径不同的轨道上运动或两个卫星轨道半径不同
③结合实际问题——地球外层卫星轨道高度处有稀薄的空气，对卫星的运动产生阻力，引起轨道半径的变化
④两个星球，各自有一个卫星
3．同步通讯卫星
只能在赤道平面上，加速度a ，高度H ，周期T （与地球
自转角速度相同，与地球相对静止），线速度v ，“四个．．唯．
一．
”。

222()()()mM G m R H R H T π=++地自
H=3.6×107m
练习：某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳照亮的这颗卫星。

问，春分那天（太阳光直射赤道，光线与赤道平面平行。

这一天昼夜都是12小时），在日落．．12．．小时内．．．有多长时间观察者看不见．．．
此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处重力加速度为g ，地球自转周期为T ，不考虑大气对光线的折射。

点评：这道题与地理、数学知识有着密不可分的联系，是一道训练形象思维、空间想象力的好题。

4．双星问题(ω相同)
练习：若已知r 和T ，求双向的质量。

由2121122()m m G m r r T π=，2122222()m m G m r r T
π= 得222124r r m GT π=，22122
4r r m GT π= 23122
4r m m GT π+=
练习：若已知双星各自的质量和它们之间的距离，求12
:r r = 12:v v = ω=
5．内部综合 解题需要星球表面的重力加速度，但题目中没有直接给出，而是给出一定的条件．．．．．
，利用给定的这些条件，可以求出星球表面的重力加速度。

这些给定的条件有以下类型
⑴自由落体运动（不计空气阻力，给定0v =0,h ）212
h gt = 练习：宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h 处释放，经时间t 后落到月球表面（设月球半径为R ）。

据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率是多大。

⑵竖直上抛运动（不计空气阻力，给定0v 和从抛出到落回原处的t ）00v v gt -=-
练习：宇航员在月球上以速度0v 竖直上抛一个质量为m 的小球，不计空气阻力，经过t 秒后落回手中。

已经测得月球的半径为R 。

要是物体沿水平方向抛出而不落回月球表面，沿月球表面抛出的速度至少是多大。

⑶平抛运动（不计空气阻力，给定,,h s t 或,,s t θ'）
练习：宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。

经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。

若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L 。

已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。

求该星球的质量M 。

⑷单摆的简谐振动（不计空气阻力，给定摆长L 和完成N 次全振动经历的时间t ）
练习：宇航员在某星球上想通过实验的方法估测星球的质量。

他用长L 的细线和质量为m 的小球（可视为质点）做成一个单摆，让小球在竖直面内作摆角小于0
10的摆动。

测得小球在T 的时间内，完成N 次全振动。

已知星球半径为R ，求该星球的质量。

解题体会：读懂题，画草图，标字母，已未知，列等式，细推导。