1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(定义域、值域、周期性)
正弦函数、余弦函数的性质
2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k
2
, k Z时取得最大值1, 当
2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值 都有 时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数 的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最 及取得最值时自 值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、 周期性 正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．知识点三 正弦、余弦函数的单调性[－1,1][－1,1]对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．2、下列函数是以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin x ＋2C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －13．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．类型二 三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．1、判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝sin(－x )（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．2、已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．3、设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.类型四 求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。
正弦函数余弦函数函数周期性
最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π 4π 6π
-1
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
2
思 考 2: 当 自 变 量 x 分 别 取 何 值 时 , 正 弦 函 数 y=sinx取得最大值1和最小值－1？
x
2
O
2
2-1
2
2
2
余弦函数当且仅当 x 2k 时取最大值1,
当且仅当 x (2k 1) 时取最小值-1.
思考4:根据上述结论函数y=Asinωx(ω≠0)的值域是什么?
[-|A| ， |A|]
探究（三）：正、余弦函数的正负值区间
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
(1) y sin x T 2
y
Asin( x )
T
2 | |
(2) y cos x T 2
y Acos( x )
T 2 | |
练习
• 已知函数 y f ( x) 的周期是3，且当 x [0,3] 时， f ( x) x2 1 ，求 f (1), f (5), f (16).
解（1）令 z 2x 则 y sin(2x ) sin z
3
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
即2x k
2
32
解得：对称轴为
x
k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
14届HW上课课件1.4.2正弦函数,余弦函数的性质(3)17
原函数的定义域为 { x | (2k 1)π x 2( k 1)π, k Z }
例1 求下列函数的定义域：
(2) y lg cos x
解: 由已知 cos x 0
解 得
2
2 k x
23 17 (2) cos( )与 cos( ). 5
分析：化为同一单调区间的上的同名函数， 再利用三角函数单调性作出判断。
(1)sin(
解：
（1）
18
10
)与 sin(
18
10
);
2
0, 且正弦函数y sin x在区间
[
2
, 0] 上是增函数，所以
2
(k z )
思考3：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还关 于其它的点和直线对称？
1
y
2
4
6
4
2
1 o
6
x
观察图像指出函数y cos x( x R )的 对称轴 及对称中心
6
4
2
1
y
2
4
1 o
6
x
6
4
2
1
y
2
4
练习：教材第40页第1-3题．
正弦、余弦函数的图象
y=sinx (xR)
-4 -3 -2 -
y
1
o
-1
2
3
4
5
6
x
y=cosx (xR)
-4 -3 -2
人教版必修四1.4正弦函数余弦函数性质
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为 ( k ,0) ,k Z
62
练习5
▪ 为函数 y sin(2x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x
2
C.x
12
D.x 0
1
3 5
2
2 3
练习3.求下列函数取最值时自变量x的集合，并求出最值。
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的x的集合，就是 使函数y cos x, x R 取得最大值的x的集合
2
1
2
3 2
2
5 3 x
2
上时，
曲线逐渐上升，cosα的值由 增大到 。
当 在区间
上时，
曲线逐渐降落，cosα的值由 减小到 。
探究：余弦函数的单调性
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2余弦函数的周期性知： 在每个闭区间
都是增函数，
其值从－1增大到1 ；
而在每个闭区间
上都是减函数，
(
3 2
,1)
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
余弦函数 y 图像特征： 1 -
y cos x x [0, 2 ]
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)
2π T= = 4π 3) y = 2 sin( x − ), x ∈ R 1 2 6 2 函数y = A sin(ω x + ϕ )及y = A cos(ω x + ϕ ), x ∈ R 2π ( A, ω , ϕ为常数, A ≠ 0, ω > 0)的周期T = ω
π
2π T= =π 2
课堂小结： 课堂小结：
1. 定义法 公式法： 2. 公式法：
周期求法
一般地， 一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数， 为常数， 的周期是: 且 A≠0, ω≠0 ）的周期是:
T= 2π
ω
(ω ≠ 0)
1、求下列函数的周期或函数值 、
利用正弦函数和余弦函数的图象， 例2.利用正弦函数和余弦函数的图象， 利用正弦函数和余弦函数的图象 求满足下列条件的x的集合 的集合： 求满足下列条件的 的集合：
2 (2) cos x ≤ 1 ，x ∈ (0, 5π ) (1) sin x ≥ 2 2 2
例3.求下列函数的定义域： 3.求下列函数的定义域： 求下列函数的定义域
π
2
,1 )
最低点： 最低点： ( 3π
2
,−1)
轴的交点： 与x轴的交点： (0, 0) (π , 0) (2π , 0) 轴的交点
y
-
y = cos x
x ∈ [0, 2π ]
1-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
的图象上，关键点： 在函数 y = cos x, x ∈ [0, 2π ] 的图象上，关键点： 最高点： 最高点： (0,1) (2π ,1) 轴的交点： 与x轴的交点： ( 轴的交点 最低点： 最低点：
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
1.4.2正弦函数、余弦函数的最值
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
分析：令 z 2x
2 则 y 3cosz
化未知为已知
• P46 A2最值问题 使原函数取得最大值的集合是
(4)
y
1 2
sin
1 2
x
3
解：令z 1 x
23
x
|
x
3
4k
,k
Z
要使y 1 sin z有最小值， 2
要使y 1 sin z有最大值， 2
2
零点： x k (k Z )
探究：余弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 0 2k 时，有最大值 y 1 最小值：当 x 2k 时，有最小值 y 1
零点：x k (k Z )
2
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
同理，使函数y 3sin 2x, x R 取最小值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
函数 y 3sin 2x, x R取最大值是3，最小值是-3。
高一七班1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)
单调性
一.利用正余弦函数性质求最值： • 例1：求使得下列函数取得最大值、最小值的自变量x的 集合，并分别求出最大值、最小值：
3 1 例题： y cos( x ) 2 2 6
x 练习: y 2 cos 3 当x x x 6k 3 , k z时，函数取最大值3
§1.4.3正弦函数、余弦函数的性质
1.正弦函数在每一个闭区间_______ 上 都是增函数，其值从-1增加到1；在每一个闭区间 ______上都是减函数，其值从1减少到-1；
2.余弦函数在每一个闭区间_____上都是增函数， 在每一个闭区间_______上都是减函数; 3.正弦函数当且仅当x=_____时取得最大值1，当 且仅当x=_____时取得最小值。 4.余弦函数当且仅当x=_____时取得最大值1，当 且仅当x=_____时取得最小值。
正弦函数 定义域 值 域 [-1,1] 周 期 奇偶性 R
余弦函数
R
[-1,1]
2π
奇函数
单调递增区间： π π [ 2kπ, 2kπ](k Z) 2 2 单调递减区间： π 3π [ 2kπ, 2k [2kπ, π 2kπ](k Z) 单调递增区间： [2kπ π, 2kπ 2π](k Z)
1 练习 求函数y sin( x)的单调递增区间 1: 3 2
1 练习2: 求函数y sin( x), x [2 , 2 ]的递增区间 3 2
例：根据正余弦函数的图像，写出 使下列不等式成立的x的取值集合：
(1)sin x 0
1 (2)sin x 2
当x x x 6k , k z},函数取得最小值1
二.利用正、余弦函数的单调性比较大小：
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学 科学案 序号 20 高一 年级 12,13 班 教师 周春萍 学生
第一章 三角函数
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质——定义域、值域、周期性
学习目标：正弦函数、余弦函数的定义域、值域，周期性
学习重点：理解正弦函数、余弦函数的周期性，周期函数的意义
求周期函数的最小正周期 学习过程 一、 复习巩固
画出正弦函数y=sinx 、余弦函数y=cosx 的图象
sin y x =
cos y x =
二、 新课讲练
1、写出正弦函数、余弦函数定义域、值域
（1）定义域 （2）值域 （3）图象是否有规律？
2、正余弦函数的周期性
观察正余弦函数图象发现：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
问题：能否联系实际，列举我们现实生活中一些同样具有如上变化规律的事物或现象？…… 周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，
都有：()()T f x f x +=那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
思考：根据定义，回答以下问题：
（1） 正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数？如果是，周期是多少？
sin y x =，[0,2]x π∈呢？ cos y x =，x R ∈呢？ （2）若函数()f x 的周期为T ，则kT （k N +∈）也是()f x 的周期吗？
（3）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23
π
是它的周期？
最小正周期：对于一个周期函数)(x f ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期.
根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,)≠∈(0,2k Z k k π都是它的周期,最小正周期是π2.
例题1、求下列函数的周期
① x y cos 3= ②x y 2sin = ③12sin()26
y x π
=-，
x R ∈
④)sin(x y -= ⑤
)
31
41cos(21x y -=
π ⑥
2sin(2)3y x ππ=-
规律：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期T =_______
如：函数cos y x ω=的最小正周期为2
π
，则ω=_________
小结：求三角函数的周期的方法：（1）定义法；（2）公式法2||T π
ω=；
（3）观察法（图像法） 三、 课堂小结
①通过本节学习，更加深入和透彻的研究正、余弦曲线的图形特征；
②理解掌握周期的定义及正、余弦函数的周期性，能求出正、余弦函数的周期；③函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2||T π
ω=
四、 课后巩固
1．用定义法求下列函数的周期
① x y 4cos = ②）（x y 21
3sin 21-=π ③）
—（—63cos 23ππx y =
2.下列函数中，周期为2
π
的是 （ ）
A ．sin 2x y = B. y=sin2x C. y=cos 4
x
D. cos 4y x =
3. 已知sin()y A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0A ≠，0ω>）的最小正周期为2，则ω=_____
4.函数()1sin f x x =+的最小正周期是 。
5.已知定义在R 上的函数f(x)的最小正周期为2π，且sin ,0(),cos 1,2x x f x x x π
ππ
⎧-≤<⎪=⎨
+≤<⎪⎩则 20123f π
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
__________
6.。