人教A版高中数学必修一3三角函数的诱导公式

第三讲 三角函数的诱导公式
一、教学目标
1.能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值
2.能够进行简单的三角函数式的化简与恒等式的证明 二、知识点的梳理
知识点一、三角函数的诱导公式知识点总结 公式一
sin （2k π＋α）= sin α cos （2k π＋α）= cos α tan （2k π＋α）= tan α 公式二
sin （π＋α）= -sin α cos （π＋α）= -cos α tan （π＋α）= tan α 公式三
sin （-α）= -sin α cos （-α）= cos α tan （-α）= -tan α 公式四
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin （π-α）= sin α cos （π-α）= -cos α tan （π-α）= -tan α 公式五
2
π
+α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cos α cos （2π
+α）= -sin α
公式六
2
π
-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cos α cos （2π
-α）= sin α
拓展——公式七
2
3π
+α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π+α）= -cos α cos （2
3π+α）= sin α
拓展——公式八
2
3π
-α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π-α）= -cos α cos （2
3π-α）= -sin α (以上k ∈Z)
方法点拨： 把α看作锐角
一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限
公式（五）到公式（八）总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限） 二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ
+⋅
2
k 或是απ
-⋅
2
k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，
是奇数就改变函数名，偶数就不变
知识点二、求任意角的三角函数的步骤：
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
用公式 三或一
用公式一
0~2π的三角函数
用公式 二或四
锐角的三角函数
三、典型例题
（一）利用诱导公式求值
例1、求下列各三角函数的值：（1）10sin 3π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．
例2、求下列各三角函数的值： （1）252525sin
cos tan()634
πππ
++-；
（2）()()cos 585tan 300--- （3）2222132131sin cos 6tan 10cot 2
4
3
π
πππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
例3、（1）已知cos 6πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭25cos sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫+--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值． （2）已知1
cos(75)3α-︒=-，且α为第四象限角，求sin(105°+α)的值．
变式练习：
1.求sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)+tan945°的值．
2.已知1
cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°-α)+sin(α-105°)的值．
3.已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．
（二）利用诱导公式化简 例1、化简：
（1）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-；（2）
cos sin(5)cos(8)2cos(3)sin(3)sin(4)
πθθππθπθθπθπ⎛⎫
- ⎪
--⎝⎭⋅⋅----.
例2、化简：sin()sin()
()sin()cos()
n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-
变式练习：化简： （1）()()()()
cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin 2n n Z π
∈；
（3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫
+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．
（三）利用诱导公式进行证明 例1、求证：
tan(2)sin(2)cos(6)
tan 33sin cos 22παπαπααππαα----=-⎛⎫⎛
⎫++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭．
例2、设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sin cos 22A B C +=；（3）tan cot 22
A B C
+=
变式练习：设8tan 7a απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77a a πααππααπ⎛⎫⎛
⎫++- ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭．
（四）诱导公式的综合应用
例1、已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()
f παππαααπαπα⎛
⎫---+
⎪⎝⎭=
----．
（1）化简()f α；
（2）若α是第三象限的角，且31
cos 25
πα⎛
⎫-
= ⎪⎝
⎭，求()f α的值． （3）若313
π
α=-，求()f α的值．
变式练习：已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
求2f πα⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值．
四、课后作业
1．02120sin 等于（ ）
A ．23±
B ．23
C ．23-
D ．2
1
2．化简0sin 600的值是（ ） A ．0.5 B ．0.5- C
D
．
3.3
5cos
π
的值为（ ） A.21- B.23- C.2
1
D.23
4.已知5
1
)25sin(
=+απ，那么=αcos （ ） A.52- B.51- C.51 D.
52
5.已知,13
5
)cos(-=-πα且α是第四象限角，则)2sin(απ+-等于（ ） A.1312-
B.1312
C.1312±
D.12
5 6.已知2tan =θ，则)
sin()2sin()
cos()2sin(θπθπ
θπθπ
--+--+等于（ ） A.2 B.-2 C.0 D.
3
2 7.已知.)
2sin()cos(4)
sin(3)cos(2,3)tan(的值求απααπαπαπ-+-+--=+
8.已知α是第三象限角，且.)
sin()23tan()tan()2cos()sin()(παπαπααπαπα--+
-----=
f
（1）若);(,5
1
)23cos(
απαf 求=- （2）若，︒=1920α求).(αf。